Tôpô yếu và một số tính chất của không gian định chuẩn

Dothòigianvàkienthúccóhanvàcũnglàlanđautiênnghiêncúukhoahocnênnhungvanđetrìnhbàytrongkhoálu¾nkhôngtránhkhóinhungthieusót.Vìv¾y,emratmongnh¾nđ ocưóchetemxin nhungýkienđónggópcúacácthaycôv

Đehoànthànhkhoálu¾nnày,tr óchetemxinưóchetemxin bàytólòngbiet nsâusacơnsâusac đencácthaycôtrongtoGiáitích,khoaToántr òngưóchetemxin ĐaihocsưóchetemxinphamHàN®i2đãđ®ngviêngiúpđõemtrongsuotquátrìnhlàmkhoálu¾n.Đ¾cbi¾temxinchânthànhcám nơnsâusac thayTranVănBang-

Ng òiưóchetemxin thayđãtrnctieph óngưóchetemxin danem,taođieuki¾ntotnhatvàchíbáot¾ntìnhđeemcóthehoànthànhkhoálu¾ntotnghi¾pnày

Dothòigianvàkienthúccóhanvàcũnglàlanđautiênnghiêncúukhoahocnênnhungvanđetrìnhbàytrongkhoálu¾nkhôngtránhkhóinhungthieusót.Vìv¾y,emratmongnh¾nđ ocưóchetemxin nhungýkienđónggópcúacácthaycôvàcác bansinhviên.M®tlannuaemxinđưóchetemxinocgúilòicám nơnsâusac chânthành,sâusacvàlòichúcsúckhoéđencácthaycôvàtoànthecácban

Emxinchânthànhcámơn!

HàN®i,ngày06tháng05năm2012

Sinhviên

PhanTh%Thuý

Méđau 1

Chương1.KienthNcchuanb% 2

1.1 KhônggianTôpô 2

1.2 Ánhxaliêntnc 5

1.3 KhônggianBanach 6

1.4 Toántútuyentính 7

Chương2.Tôpôyeuvàm®tsotínhchatcúakhônggianđ%nhchuan 8 2.1 Tôpôyeu 8

2.2 Tôpôyeu*σ(E ∗ ,E) 13

2.3 Khônggianphánxa 19

2.4 Khônggiantáchđ ocưóchetemxin 25

2.5 Khônggianloiđeu 30

Ketlu¾n 34

Tàili¾uthamkháo 35

MeĐAU

1 Lýdochonđetài

Giáitíchhàmlàm®tngànhToánhocđ ocưóchetemxin xâydnngvàokhoángnúađauthekýXX

nh ngưóchetemxin hi¾nnayhaunh đ ocưóchetemxin ưóchetemxin xemnhưóchetemxinlàm®tngànhToánhoccođien.N®idungcúanólàsnhopnhatcúanhunglýthuyettongquátxuatpháttùvi¾cmór®ngm®tsokháini¾mvàketquácúagiáitích,đaiso,ph ngưóchetemxinơnsâusac trìnhviphân

Trongquátrìnhpháttrientùđóđennay,giáitíchhàmđãtíchluyđ ocm®tưóchetemxin son®idunghetsúcphongphú.Nhungph ngphápưóchetemxinơnsâusac vàketquáratmaumnccúagiáitíchhàmđãxâmnh¾pvàotatcácácngànhToánhoccóliênquanvàcósúdnngđennhungcôngcncúagiáitíchvàkhônggianvect ơnsâusac Ngoàiranócòncónhungúngdnngtrongv¾tlýlýthuyetvàtrongm®tsolĩnhvnckythu¾t.Khihocb®môngiáitíchhàm,chúngtaseđ ocnhacđenkháini¾mưóchetemxin:Khônggiantôpô.Vóimongmuonđ ocnghiêncúuưóchetemxin vàtìmhieusâuh nơnsâusac veKhônggiantôpôcũngnhưóchetemxinb®môngiáitíchhàmemđãchonđetài:“Tôpôyeuvàm®tsotínhchatcúakhôngg

ianđ

%nhchuan”.Nghiêncúuđetàinàychúngtacócơnsâusach®itìmhieusâuh nơnsâusac vetôpô,m®tn®i

dungkháquenthu®cvàbaohàmnhieutínhchatđ¾ctr ngưóchetemxin vàtongquátcúagiáitíchhàm

2 Cau trúckhóa lu¾n

Ngoàimnclnc,phanmóđau,ketlu¾nvàtàili¾uthamkháo,khoálu¾ngom2chưóchetemxinơnsâusacng:

Chưóchetemxinơnsâusac 1.Kienthúcchuanb%.ng

Chưóchetemxinơnsâusac 2.Tôpôyeuvàm®tsotínhchatcúakhônggianđ%nhchuan.ng

Đ%nhnghĩa1.3.[SosánhTôpô]

Khicóhaikhônggiantôpôτ,τrtrênXtanóitôpôτyeuh n ơnsâusac tôpôτr(haytôpôτrm

anhh nơnsâusac tôpôτ)neuτ⊂τr;nghĩalàmoit¾pmótrongtôpôτđeulàt¾pmótrongtôpôτr TrongtatcácáctôpôtrênX,tôpôthôlàtôpôyeunhat,tôpôròiraclàtôpômanhnhat.

Đ%nhnghĩa1.4.[ C s ó ơ só vàtien cơnsâusacsó tôpô] Choτlà m®ttôpô trênX M®t hoconβcúaτgoilàcơnsâusacsócúaτneumoit¾pthu®cτđeubanghopcúam®thothu®cβ.Nó icáchkhác,hoconβcúaτlàcơnsâusacsócúaτneu∀G∈τ,∀x∈G,∃V∈βsaochox∈V⊂G M®thoconσcúahoτgoilàm®ttiencơnsâusacsócúaτneuhotatcácácgiaohuuhancáct

thìcóm®tt¾phuuhanI 0⊆ Isaocho:

1.2 Ánhxaliêntnc

ChoXvàYlàcáckhônggiantôpôvàánhxaf :X→Y,ánhxaf g o i làliêntnctai

x∈Xneuvóimoilânc¾nVcúaf(x)trongYđeutontailânc¾nUcúaxtrongXsaochof(U )⊂V,hayf −1(V)làm®tlânc¾ncúax.

GiásúXlàm®tt¾phop,{Y s ,ξ s } s∈S làm®thokhônggiantôpô,{f s :X→Y s } s∈S

làm®thoánhxaf stù Xv àoY s TronghocáctôpôtrênXsaochotatcácácánh xaf sđeuliêntnc,tontaim®ttôpôyeunhat.Hoℑtatcácáct¾phopcódang

{f s } s∈S làm®thoánhxaf s :X s →Y.Trongtatcácácánhxaf s đeuliêntnc,tontaim®ttô

pôξmanhnhat.Vói∀V⊂ Y,V∈ξkhivàchíkhivóimois∈S,f s −1(V)∈ξ s ξgoilàtôpôc uoixácđ%nhbóihoánhxa{f s } s∈S

Tôpôyeuvàm®tsotínhchatcúa khônggianđ%nhchuan

2.1 Tôpôyeu

ChoElàm®tkhônggianBanachvàf∈E ∗ Kíhi¾uϕ f :E→Rlàhàm

tuyentín h ϕ f (x)=(f,x).Kh i fchayk h a p E ∗ t a cóhoánhxa.ϕ f

Chúýrangmoiánhxaϕ flàliêntncđoivóimoitôpôth òngnênưóchetemxin tôpôyeulà

yeuh nơnsâusac tôpôth òng.ưóchetemxin

M¾nhđe2.1.Tôpôyeuσ(E,E ∗ )làHausdorff.

Chúngminh.Chox1,x2∈E,x1ƒ=x2.Tachúngtórangcóhait¾pmóO1và

O2đoivóitôpôyeuσ(E,E ∗ ):x1∈O1,x2∈O2vàO1∩ O2=0/

TheoĐ%nhlýHahn-Banach,tontaim®tsiêuphangđóngtáchng¾t{x1},{x2}.

f f

Ng ocưóchetemxin lai,choUlàm®tlânc¾ncúax0đoivóitôpôσ(E,E ∗).Tùđ

%nhnghĩacúaσ(E,E ∗ ),tontait¾pmóW,x0∈W,W⊂Uvàcódang:

M¾nhđe2.3.Chodãy(x n )⊂E.Khiđó:

(i) [x n ~xyeutheoσ(E,E ∗ )]⇔[(f,x n )→(f,x)∀f∈E ∗]

(ii) Neux n →xmanh,thìx n ~xyeutheoσ(E,E ∗)

(iii) Neux n ~xyeutheoσ(E,E ∗ ),thì("x n ")làb%ch¾nvà"x"≤liminf"x n "

(iv) Neux n ~xyeutheoσ(E,E ∗ )vàneuf n →fmanhtrongE ∗ ("f n −f" E ∗ → 0),thì(

f n ,x n )→(f,x)

Chúngminh.

(i)SuyratùM¾nhđe(*):"Chodãy(x n )trongX.Khiđóx n →x(theotôpôτ)neuvàchíneu

ϕ i (x n )→ϕ i (x),∀i∈I."vàđ%nhnghĩatôpôyeuσ(E,E ∗)

(ii) Suy ra tù (i), vì|(f,x n )−(f,x)|≤"f"."x n − x", nócũng đ oc suy ra tùưóchetemxin

tínhchattôpôyeulàtôpôyeuh nơnsâusac tôpômanh

TrongđóS¯ σ(E,E∗)làbaođóngcúaStheotôpôσ(E,E ∗ )vàB E làhình

cauđ nơnsâusac v%trongE:

U C ={x∈E;"x"≥1}

làđóngyeu

⇒S=B E ∩U C cũngđóngyeu(mâuthuanVD1)

Nh¾nxét2 2 Trongkhônggianvôhanchieu,tôpôyeulàkhôngthe

metrichoáđ oc,túclàkhôngcó ưoc m®tmetricnàotrongEsinhratôpôyeuσ(E,E ∗ ).

Tuynhiên,neuE ∗ làtáchđ oc ưoc thìtacótheđ

Cannhóranghaikhônggianmetric(ho¾ckhámetric)vóicùngsnh®itncúacácdãythì cótôpôtrùngnhau.Tuynhiên,neuhaikhônggiantôpôcócùngsnh®itncúacácdãythìc

KhixchaykhaptrongEtacóho(ϕ x)x∈Ecá c ánhxatùE ∗vàoR.

Đ

%nhnghĩa2.2.Tôpôyeu*,σ(E ∗ ,E ),làtôpôthônhattrênE ∗ sinhbóihoánhxaϕ(x) x∈

E

Vì E⊂E ∗∗ nêntôpô σ(E ∗ ,E )làthôh n ơn tôpô σ(E ∗ ,E ∗∗ ),tú cl à tôpô

σ(E ∗ ,E )cóítt¾pmóh ntôpô ơn σ (E ∗ ,E ∗∗ )⇒ σ(E ∗ ,E )cóítt¾pmóh n ơn tôpômanh.

Nh¾nxét2 4 Nguyênnhânpháinghiêncúutôpôyeu*làvì:“m®ttôpôthôh n ơn s ecónhieut¾pcompacth n”.Changhan; ơn

Hìnhcauđ n ơn v%đóng:B E ∗ trongE ∗ khônglàt¾pcompacttheotôpômanh

(trùkhidimE<∞),nh nglàt¾pcompact ưoc theotôpôyeu*σ(E ∗ ,E ).

M¾nhđe2.7.C h o (f n )làm®tdãytrongE ∗ Khiđó:

(i) [f n ~ftheoσ(E ∗ ,E )⇔[(f n ,x)→(f,x),∀x∈E]

(ii) Neuf n →fmanhthìf n ~ftheoσ(E ∗ ,E ∗∗)

Neuf n ~ftheoσ(E ∗ ,E ∗∗ ),thìtheoσ(E ∗ ,E)

(iii) Neuf n ~ftheoσ(E ∗ ,E )thì("f n ")làb%ch¾nvà"f"≤liminf"f n "

(iv) Neuf n ~ftheoσ(E ∗ ,E )vàneux n →xmanhtrongE,thì

Th¾tv¾y:

PhépnhúngchínhtacJ:E→E ∗∗ làtoànánh(VìdimE=dimE ∗∗ )

⇒σ(E ∗ ,E )=σ(E ∗ ,E ∗∗)

M¾nhđe2.8.C h o ϕ:E ∗ →Rlàm®thàmtuyentínhliêntnctheoσ(E ∗ ,E)

trênE ∗ Khiđó,∃x o ∈E:ϕ(f)=(f,x o ),∀f∈E ∗

i=1

H¾quá2.1.G í a súHlàm®tsiêuphangtrongE ∗ ,đóngtheoσ(E ∗ ,E ).Khiđó Hc

ódang:H={f∈E ∗ ;(f,x0)=α}vóim®tx0∈E,x0ƒ=0;α∈R

Chúngminh.Tacó:

H={f∈E ∗ ;ϕ(f)=α}, óđóϕlàphiem hàmtuyentínhtrênE ∗ ,ϕƒ≡0.Giá súf0∈/

H ,Vlàm®tlânc¾ncúaf0theotôpôσ(E ∗ ,E ):V⊂H C .

Tagiáthiet:V={f∈E ∗ , |f−f0|<ε,∀i=1,2, ,k}

VìVlàt¾ploinên:

ϕ(f)<α,∀f∈V (3)Ho¾c

Nh¾nxét2 7 G i á súđ nơnsâusac ánhchínhtacJ:E→E ∗∗ khônglàtoànánh.Khi

đótôpôσ(E ∗ ,E)làthôh nhanơnsâusac tôpôσ(E ∗ ,E ∗∗)

Chúngminh.XéttíchđêcacY=R E bao gomtatcácácánhxa:E→R.Takíhi¾ucá

cphantúcúaYbói:ω=(ω x)x∈E vóiE→R.

KhônggianYlàđ ocưóchetemxin

trangb%vóitôpôtích-làtôpôthônhattrênYsinhbóihocácánhxa:ω›→ω x(khi xc haykhapE).Tatnhiên,tôpô

nàytrùngvói

tôpôcúasnh®itntheotùngđiem

SauđâyE ∗luônđ ocưóchetemxin trangb

%vóitôpôyeu*σ(E ∗ ,E ).VìE ∗bao gomcácánhxađ¾cbi¾ttùE→R(ánhxatuyentínhliê ntnc)nêntacóthecoiE ∗nhưm®t

2.3 Khônggianphánxa

Đ%nhnghĩa2.3.C h o Elàm®tkhônggianBanachvàJ:E→E ∗∗ làđ n ơn ánhchínhtac tùE→E ∗∗ Không gianEđ oc ưoc goi là phán xa neuJlàtoànánh Túclà:J(E)=E ∗∗

KhiElàphánxa,thìE ∗∗ th òng ưoc đ ocđongnhat ưoc vóiE.

TacóB E ∗∗ làcompacttheotôpôσ(E ∗∗ ,E ∗)(theoĐ

%nhlý2.1).Dođó,tachícan chúngminh:J −1 l à liêntnctùE ∗∗ vói

σ(E ∗∗ ,E ∗)

⇒B E làcompacttheoσ(E,E ∗).

+)Đechúngminhchieung oclai,ưóchetemxin tacantóihaibođesau:

Bođe2.2.(HELLY)

ChoElàkhônggianBanach,f1,f2, ,f k ∈E ∗ và γ1,γ2, γ k ∈R.Cáctính chatsaut ng ưocơn đ ng: ưocơn

Giásúng oclaiưóchetemxin là(i)sai,túclàγ∈/ϕ(B E ).Khiđó,

{γ}vàϕ(B E )đ ocưóchetemxin táchng¾ttrongRk bóim®tsiêuphang,túclà∃β=(β1,β2, ,β k)

Bođe2.3.( G O L D S T I N E )

ChoElàkhônggianBanachbatkỳ.KhiđóJ(B E )trùm¾ttrongB E ∗∗ đoivóitôpôσ(E ∗∗

,E ∗ )vàdođóJ(B E )trùm¾ttrongE ∗∗ đoivóitôpôσ(E ∗∗ ,E ∗ ).

Chúngminh.G i á súξ∈B E ∗∗ vàVlàm®tlânc¾ncúaξđoivóitôpôσ(E ∗∗ ,E ∗).Tacanch

Đ nơnsâusac ánhchínhtacJ:E→E ∗∗ luônliên tnc

tùσ(E,E ∗ )vàoσ(E ∗∗ ,E ∗ ).Vìvóimoif ∈E ∗ cođ

%nh,ánhxax›→(Jx,f)=(f,x)làliêntncđoivóiσ(E,E ∗)

GiásúB Elà compacttheotôpôσ(E,E ∗ ),nênJ(B E)làcompactvàdođóđóng

trongE ∗∗ đoivóitôpôσ(E ∗∗ ,E∗).

M¾tkhác,theoBođe2.3:J(B E) trùm¾ttrongB E ∗∗vóicùngm®ttôpô

Đieung oc ưoc laicũngđúng.

Thncte,haitôpônàylàtrùngnhau(vì,theoĐ%nhlýHahn-Banach,moihà m tuyentínhliêntnctrênMđeulàsnhanchelênMcúam®tphiemhà mtuyentínhliêntnctrênE).

TheoĐ%nhlý2.2,tapháichúngminhrang:B Ml àcompacttheotôpô

σ(M,M ∗)ho¾ct ngđ nglàtheotôpôưóchetemxinơnsâusac ưóchetemxinơnsâusac σ(E,E ∗)

Tuynhiên,B E làcompacttheotôpôσ(E,E ∗ )vàMlàđóngtheotôpôσ(E,E ∗)

(A ∗∗ : D(A ∗∗ )⊂E ∗∗ → F ∗∗ )vànócònđ ocxemnh ưoc ưocm®ttoántúkhôngb% ch¾ntùE→F.Khiđótacó

gianhuuhanchieulàtáchđ oc ưoc L p (và l p )làkhônggiantáchđ oc. ưoc Tuynhiên,

L∞và l p khônggiantáchđ oc ưoc

M¾nhđe2.10.C h o Elàkhônggianmetrictáchđ oc ưoc vàF⊂Elàt¾pconbatkỳ KhiđóFcũngtáchđ oc ưoc

Chúngminh.Giású(U n)làt¾pcontrù,đemđ occúaưóchetemxin E

(r m)làdãysodưóchetemxinơnsâusacng,r m →0.Chonđiembatkỳa m,n ∈B(U n ,r m )∩Fneut¾pnàykhácr

ong

Khiđót¾p(a m,n)làđemđ ocưóchetemxin vàtrùm¾ttrongF.

Đ%nhlý2.6.G i á súElàkhônggianBanach.NeuE ∗ táchđ octhì ưoc Elàtách

2" f N "≤(f N ,x N )=(f N −f,x N )<ε (Vì(f,x N )=0).Tùđâytasuyra"f"≤"f−f N "+"f N "<3ε

NeuEphánxavàtáchđ octhìưóchetemxin E ∗∗= J(E)cũngphánxavàtáchđ oc,dođóưóchetemxin

E ∗làphánxavàtáchđ oc.ưóchetemxin

Tínhchattáchđ ocưóchetemxin liênquanm¾tthietvóitínhkhámetriccúatôpôyeu.Tanhaclai:k

hônggianXgoilàkhámetricneucóm®tmetrictrongXsinhratôpôcúaX.

Đ

%nhlý2.7.C h o ElàkhônggianBanachtáchđ oc.Khiđó ưoc B E ∗ làkhámetrictheotôpôy eu*σ(E ∗ ,E ).Ng oclai,neu ưoc B E ∗ k h á metrictheoσ(E ∗ ,E )thìElàtáchđ oc ưoc Đâylàm®tketquá“đoingau”.

[.]làm®tchuantrên[E ∗ ]và[f]≤"f".Goid(f,g)=[f− g]làmetrict ưóchetemxin ơnsâusac n g úng

Tasechúngminhrang:tôpôcámsinhbóidtrênB E ∗là tôpôσ(E ∗ ,E)hanche

trênB E ∗

(a)Layf0∈B E ∗ vàgoiVlàm®tlânc¾ncúaf0đoivóiσ(E ∗ ,E).Tasephái

chíram®tsor>0saocho:

U={f∈B E ∗ : d(f,f0)<r}⊂V.Tagiás úVcódang:

<1 δ

Chúngminh.K h ô n g mattongquát,giású"f n "≤1,∀n.T¾pB E ∗ làcompact

%nhlý2.6).H nnua,ơnsâusac Mlàphánxa(xemM¾nh đe2.9).Do

đóB Ml àcompactvàkhámetric theo tôpôyeu

Tínhloiđeuth òng ưoc đ ocsú ưoc dnngnh ph ng ưoc ưocơn ti¾nđechúngminhtínhphánx a.Nh ng ưoc nókhôngpháilàcôngcntoi u- ưoc

vìcóm®tsokhônggianphánxakhôngthùanh¾nbatcúchuanloit ngđ ngnào ưocơn ưocơn

λ n =max("x n ", "x"),y n =λ n −1 x n vày="x" −1 x,K h i

đóλ n →"x"vày n ~yyeutheoσ(E,E ∗).Dođó

[A] Tàili¾u tiengVi¾t

[1]NguyenPhnHy (2005),Giáitíchhàm, NxbKhoa hocvàkythu¾t, HàN®i [2]NguyenVănKhuê,LêM¾uHái,Cơnsólýthuyethàmvàgiáitíchhàm,t¾pI,II,