Tham số hoá tự nhiên của cung và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA toán ---***--- Bùi thị nhuệ Tham số hóa tự nhiên của cung và ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: hình học Ng ời h ớng dẫn khoa học: PG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA toán -*** -

Bùi thị nhuệ

Tham số hóa tự nhiên của cung và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: hình học

Ng ời h ớng dẫn khoa học:

PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà nội, 2012

LỜI CẢM ƠN

Em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

giáo Nguyễn Năng Tâm đã tận tình hớng dẫn, giúp đỡ,

cung cấp cho em những kiến thức, những kinh nghiệm quýbáu, động viên và khích lệ em hoàn thành khóa luận với đề

tài: □Tham số hóa tự nhiên của cung và ứng dụng□.

Em xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên

khoa Toán trờng

Đại học s phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp

đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Hà Nội, tháng 05 năm

2012 Sinh viên

Bùi Thị Nhuệ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quảnghiên cứu của một công trình nghiên cứu nào đó đợcnghiên cứu Trong quá trình tiến hành thực hiện khóa luận,chúng tôi có tham khảo những thành tựu nghiên cứu của cácnhà khoa học, nhà nghiên cứu đi trớc Các số liệu, căn cứ,kết quả nêu trong khóa luận là trung thực

Hà Nội, tháng 05 năm

2012 Sinh viên

Bùi Thị Nhuệ

Mục lục

Mở đầu 5

1.Lý do chọn đề tài 5

2.Mục đích nghiên cứu 5

3.Phơng pháp nghiên cứu 5

Chơng 1: Tham số hóa tự nhiên của cung 6

1 Cung trong E n6 1.1 Trờng vectơ 6 1.2 Trờng mục tiêu 7 1.3 Cung tham số 7 1.4 Cung trong E n , tham số hóa của cung 10

1.5 Cung chính quy 11 1.6 Cung định hớng 12 2 Độ dài cung và tham số hóa tự nhiên của cung chính quy 13

2.1 Độ dài cung 13 2.2 Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy 17 Chơng 2: ứng dụng của tham số hóa tự nhiên của cung 19

1 Độ cong của cung trong E n 19 1.1 Độ cong của cung chính quy trong E n 19 1.2 Cung song chính quy 19 2.ứng dụng của tham số hóa tự nhiên của cung trong E 3 20

2.1 Độ xoắn 20

2.2 Công thức Frénet 21

2.3 Định lí cơ bản về lí

thuyết đờng trong E3 22

3.ứng dụng của tham số hóa tự nhiên của cung trong

E 2 263.1 Công thức Frénet của cung chính quy

3.2 Đờng tròn mật tiếp, cung túc bế, cung thân khai 27

3.3 Định lí cơ bản về lí

thuyết đờng trong E2 29

Một số ví dụ 31

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài.

Trong Toán học, môn hình học là một môn khó và rấttrừu tợng Hình học trong không gian rất đa dạng và phongphú nhng lại rất thực tiễn Nhờ có hình học mà từ nhữnghình đơn giản, những vật xung quanh chúng ta trong đờisống hàng ngày ta có thể hiểu đợc phần nào về cấu tạo vàchúng có hình dạng nh thế nào trong không gian n chiều.Trong đó, hình học vi phân là một trong những môn quan trọng, chủ yếu

nghiên cứu về hình học của đờng và mặt

trong không gian lọai độ cong gắn liền với các

đối tợng

E3 thông qua các

Trong hình vi phân, lí thuyết đờng là một phần kiếnthức khá quan trọng và cơ bản Qua quá trình học tập vàtìm hiểu của bản thân, em nhận thấy rằng tham số hóa tựnhiên của cung có nhiều ứng dụng trong một số dạng bài về

lí thuyết đờng Vì vậy, em đã chọn đề tài □Tham số hóa

tự nhiên của cung và ứng dụng□ để nghiên cứu về

những ứng dụng cơ bản của tham số hóa tự nhiên

2 Mục đích nghiên cứu.

Đề tài này nghiên cứu về tham số hóa tự nhiên và một sốứng dụng của nó, nhằm giải quyết một số bài tập hình học

vi phân nhờ vào tham số hóa tự nhiên của cung

3 Đối tợng nghiên cứu.

Cung

trong E n , tham số hóa tự nhiên của cung.

Các định lí cơ bản về lí thuyết đờng

7

4 C¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu

Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu tµi liÖu,

lý luËn Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch tæng kÕt

8

Ch¬ng 1 Tham sè hãa tù nhiªn cña cung

U n}

trên U sao cho:

Với mỗi p ∈U , {U1 ( p),U2 ( p),

…,U n ( p) } là một

cơ sở của TpU

Khi

đó, mọi

X ∈Vec (U )viết đợc một và chỉmột cách dới dạng

i U

v.v□

Nếu với mọi

( p).U j ( p)

= δij

(tức

tr-1.3.

Định nghĩa

ét cung

N h Ë n x Ð t

k

còng nãi ρ

r ( R) = {O}; ảnh của cung tham số này là

ρ là đờng thẳng đi qua O với vectơ chỉ phơng n

( p), ,

f n

( p) ),

f i :U

→ R

1, 2,

→ R

1, 2,

…

, n) kh¶ vi (líp C

k

) trªn U

Râ rµng, tÝch c¸c ¸nh x¹ kh¶ vi lµ ¸nh x¹ kh¶ vi Ch¼ng h¹n, nÕu

p p

UJ

Ng-ta còn dùng kí hiệu f*p thay cho Tpf, đôi khi viết tắt Tf hay f*

ánh xạ Tpf còn gọi là ánh xạ tiếp xúc (hay ánh xạ vi phân) tại

p của f

Tpf(αp )V

Nếu Tpf là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh thì f đợcnói theo thứ tự là dìm, ngập hay trải tại p Nếu điều đó

đúng với mọi p ∈ U thì nói f là dìm, ngập hay trải

ii)Vi phôi

Định nghĩa: f là một vi phôi (lớp C k

, k ≥ 1) nếu f khả vi(lớp Ck) và cũng

Quan hệ này có tính chất phản xạ vì:

Cung tham số ρ bất kì luôn tơng đơng với chính nó

định nghĩa sẽ tồn tại một vi phôi λ : J1

ρ3 : J3

→ E là những cung tham

số

sao cho ρ1 tơng đơng ρ2, ρ2 tơng đơng ρ3, ta cần chứng minh ρ1 tơng

đơng ρ3 Theo giả thiết, ta có

Mỗi lớp tơng đơng của quan hệ tơng đơng định nghĩa trên gọi là một

cung

trong E n .

Mỗi cung tham số của một cung còn gọi là một tham số hóa của cung, vi phôi λ gọi là phép đổi tham số hóa của cung

1.5 Cung chính quy

1.5.1 Điểm chính quy và điểm kì dị

Mỗi điểm của cung Γ trong En đợc thể hiện trong mỗi tham số hóa của nó bởi một giá trị của tham số, nếu trongcác tham số hóa t  ρ (t),u  r(u),

nó đợc thể hiện theo thứ tự bởi t0

≠ 0 gọi là một điểm chính quy

Cung mà mọi điểm là chính quy gọi là một cung chính quy

1.5.2 Tiếp tuyến, pháp diện của cung

Tại điểm chính quy t0 của cung Γ, ta định nghĩa đợctiếp tuyến của cung nh sau: Tiếp tuyến của cung là một

đờng thẳng đi qua điểm ρ(t0) với vectơ chỉ phơng

ρ’(t0)

ý hình học của nó

      

Ta

có:

ρ (t0 ) ρ (t)

= (t − t0 ) ρ'(t0 ) + ε ,

ảnh: Tiếp tuyến của Γ tại

điểm “vị trí giới hạn” của cát tuyến MM0 khi M dần về M0 dọc cung

ρ (t0

0 là

Nếu dùng tọa độ afin

thì điểm t0 là điểm chính quy Khi

đó, phơng trình tiếp tuyến tại điểm

x

1 '(

t

)

x

2 '(

n

) n n (

h-vectơ

tiếp xúc

đơn vị 1.6.1 Cung

định hớng

Tr

ịnh nghĩa cung trong E n , nếu ta đòi hỏi

các phép đổi tham

số λphải là những vi phôi bảo tồn hớng (ở đây

λ’(t )

>

0,

∀ t ) thì ta đợckhái

hớng(λ’(t

)

< 0,

Ví dụ:

∀ t ∈ J ) , gọi là có đợc từ

Γ đảo hớng

Cho các cung tham số

 ,t



t2

saocho

ra

ta

có

đạo

hàm

1 2

ơng

đ-ơng

địnhh-ớng

1.6.2.

Trờng v e c t

ơ ti ế

p xú

c

đ

ơn vị

ờn

Tr-g vectơ

X

mộtcungchínhquy

địnhhớngxá

c

địnhbởi

ì

rõràng

định

một

tr-ờng

vect

ơ

đ

ơn

vị T dọc cung Γgọi

định hớng

Γ -, khi đó ờng vectơ tiếpxúc đơn vị

tr-đổi dấu tức là: T(t) = -T –

(λ(t)), nếu kí hiệu T – là tr-ờng vectơ t-

ơng ứng với

Γ -, λ là phép đổi tham số

dài cung, tham số hóa tự nhiên của cung

2 1

Đ ộ

d à i

c u n g

B ổ

đ ề

Chohàmsố

â

nL( ρ)

Thật vậy, giả sử đờng cong γ xác định bởi các tham số hóa

Nói một cách hình học : Độ dài cung là cận trên của độ dài mọi đờng gấp khúc “nội tiếp” cung tham số (hình vẽ).

ρ '(t) dt

Định nghĩa

Cung đoạn là cung xác định bởi các cung tham số xác

định trên đoạn thẳng (đóng, bị chặn trong R)

những hằng số, a > 0 (cung đinh ốc tròn) Hãy tính độ dài

của cung đoạn xác

định trên đoạn [t0 ,t1 ]

Ta có ρ ' t =  ae t π +  + bk

( )

nên Giải

ρ

' =

a2 + b2 Vậy độ dài cung của

∫

2.2 Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy

Cho cung chính quy

n xác địnhbởi ρ : J → E n ,t 

cung) Nh vậy mọi cung chính quy (kể cả chính quy địnhhớng) đều có tham số hóa tự nhiên.

nhiên của cùng một cung chính quy Γ thì có vi

một tham số hóa tự nhiên của Γ khi và chỉ khi ρ’ là vectơ tiếp xúc đơn vị T dọc Γ (xác định hớng của Γ).

Chơng 2 ứng dụng của tham số hóa tự nhiên

1 Độ cong của cung trong E n

1.1 Độ cong của một cung chính quy trong E n

Cho cung chính quy

tức DT xác định một trờng vectơ dọc Γ vì trong

tham số hóa tự nhiên

')

D ( λ '( r '  λ )) ' λ) + λ'2

hệ hai vectơ ρ (t), ρ '(t) độc lập tuyến tính.

là một tham số hóa của Γ thì

Γ song chính quy khi

và chỉ khi các trờng vectơ ρ’, Dρ

dọc ρ là một hệ độc lập tuyến tính

dt

Nh vậy, một cung song chính quy là một cung chính quy Cung chính quy là một cung song chính quy khi và chỉ khi độ cong của nó khác 0 tại mọi

tiếp xúc đơn vị T (xác định hớng) và trờng vectơ pháp tuyến chính đơn vị N dọc Γ.

2 ứng dụng của tham số hóa tự nhiên trong E 3

2.1 Độ xoắn

2.1.1 Trờng mục tiêu Frénet

Định nghĩa: Γ là một cung song chính quy định hớng trong E3 có trờng vectơ tiếp xúc đơn vị T và trờng vectơ pháp tuyến chính đơn vị N,

ngoài ra còn xác định đợc trờng vectơ đơn vị B = T

∧ N dọc Γ gọi là vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc

Γ

Định nghĩa

Cho cung song chính quy định hớng Γ trong E3 có trờng mục tiêu trực chuẩn thuận {T, N, B} dọc Γ gọi là trờng mục tiêu Frénet dọc Γ

2.1.2 Độ xoắn của cung trong E 3

DT ds DN ds DB ds

khai triển đợc theo T và B

Từ T.N

DN ds

=

-DT ds

Cl+2) của một cung song chính quy định

h-ớng trong E3

τ làm hàm

độ cong và

hàm độ xoắn (có hớng) nhận k

vàNếu có hai tham số hóa r và ρ của hai cung nh thế thì có đẳng cấu afin

Chứng minh

Ta sử dụng kết quả của định lí trong lí thuyết phơng trình vi phân, định lí về tồn tại và duy nhất của nghiệm một hệ phơng trình vi phân tuyến tính

Cho các hàm

i , b i (i, j = 1, 2,

l , l ≥ 0 , trên một

tọa độ của ba hàm vectơ T , N , B

J Lấy một cơ sở trực chuẩn thuận tùy ý {T0 , N0

đầu T (s0 ) = T0 , N (s0 ) = N0 , B(s0 ) = B0

Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính của 6 hàm ẩn

(n nói trên bằng 6) mà ta kí hiệu là t2

, n2 , b2 , tn, nb, tb sau:

( t2 ) ' = 2k ( tn )

( n2 ) ' = 2 ( − k ( tn ) + τ ( nb ) )

( b2 ) ' = − 2 τ ( nb ) ( tn ) ' = − k ( t2 ) + k ( n2 ) + τ ( tb ) ( nb ) ' = − τ ( n2 ) + τ ( b2 ) − k ( tb ) ( tb ) ' = − τ ( tn ) + k ( nb )

của hệ (*), thỏa mãn hệ phơng trình vi phân đó với giá trị ban đầu (tức giá trị

Nhng hệ phơng trình vi phân đó còn có nghiệm dễ thử sau:

t2 = 1,

n2 =

1,

b2 =1,

}

XÐt hai tham sè hãa tù

mục tiêu Frénet {T

, N , B}

     

của r và {t, n,b}

của ρ phải xác định hàm vectơ

tự hàm (hay phơng trình tự nhiên) của cung song chính quy

3 ứng dụng của tham số hóa tự nhiên trong E 2

3.1 Công thức Frénet của cung chính quy định hớng trong E2

thuận dọc Γ gọi là trờng mục tiêu Frénet dọc Γ; N gọi

là trờng vectơ pháp tuyến đơn vị dọc Γ Nh vậy,

ph-ơng của N tại mỗi điểm là phph-ơng của pháp tuyến của

s  r(s)

cña Γ, trêngvect¬ DT

ds

kh«ng

phô thuéc tham sè hãa vµ do T.T = 1, DT .T = 0 nªn ta cã

= + kN

= - kTVậy ta có công thức

luôn không âm, k còn đợc gọi là độ cong đại số của Γ; khi đổi hớng của Γ

thì độ cong (đại số) đổi dấu

3.1.2 Công thức tính độ cong đại số của cung định hớng trong E2

E3

thì

đờng tròn mật tiếp của cung này

đ-ờng trònmật tiếp của Γ tại điểm đó Lấy tham

∈ E2

của Γthì

đờng tròn mật tiếp của Γ tại điểm ứng với s0 là đờng tròn C trong mặt phẳng

2

(gọi là tâm cong hay khúc tâm của Γ tai s0),

nó không phụ thuộc hớng của Γ

3.2.2 Cung túc bế và cung thân khai của một cung trong E2

Định nghĩa

Xét hai cung

2 xác định theo thứ tự bởi các tham số hóa Γ:

ρ : J → E2

,t  ρ(t) và r : J → E2 ,t  r(t)

Nói Γ là cung túc bế của γ hay γ là cung thân khai của cung Γ nếu tiếp tuyến của Γ tại t là pháp tuyến của γ tại t, với mọi t ∈ J

Cách tìm cung túc bế Γ của cung γ

Cách tìm cung thân khai γ của cung Γ

C là hằng số tùy ý, s không lấy giá trị bằng C

3.3 Định lí cơ bản về lý thuyết đờng trong E2

3.3.1 Định lí

Cho hai hàm

≥ 0) thì có tham sốhóa tự

g Eluôn tơng2 (có hớng) nhận k làm hàm độ cong và hai cung nh thế

đơng dời hình (đẳng cấu afin bảo tồn hớng) Phơng trình

h = k(s) gọi là phơng trình tự hàm của các cung đó Giải

phơng trình tự hàm có nghĩa là tìm các cung thỏa mãn

định lí

3.3.2 Cách giải phơng trình tự hàm

Trong môc tiªu trùc chuÈn thuËn, gi¶ sö tham sè hãa tù nhiªn cÇn t×m lµ

Tõ (1), (2), (3) suy ra ϕ’(s) = k(s)

(

( ) ( ) (

)



Gi¶ i

a

nã tháa m·n

  

B(s) = ae(s) + bk

Ta

cã: B '(s) =  a.e s +  + 0.k

 2 

 MÆt kh¸c, theo c«ng thøc





N ,

T ' B N

(a cos s, a sin s,bs) (a > 0, b ≠ 0, a2 +

3 có độ cong dơng không đổi,

độ xoắnkhông đổi đều là cung đinh ốc tròn hoặc cung tròn

nhiên, có đọ cong k(s) = a > 0, độ xoắn τ (s) = b ≠ 0 (a,

b là các hằng số) Lấy cung đinh ốc tròn

67

Vì ρ

'(s ) = ρ 1 và độ congnên s là tham số tự nhiên của

k , độ xoắn τ

Vậy s là tham số tự nhiên của ρ

Suy ra, độ cong

=

ρ'(s) = của a = ρ k là(s), độ xoắn

s x(s) = ∫cos(arctg

a

)ds ,

s y(s) = ∫sin(arctg

a )ds

§Æt t = arctg s

⇒ s = tgt

ta cã: x(s(t)) = a ln 1 +

ln

s suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tù

 1   1 hµm

Kết luận

Đề tài “Tham số hóa tự nhiên của cung và ứng dụng”

đ-ợc chia là hai chơng:

Chơng 1: Tham số hóa tự nhiên

Chơng 2: Một số ứng dụng của tham số hóa tự nhiên

Chơng 1 trình bày về lý thuyết

dạng cung, công thức tính độ dài cung và tham số hóa tự nhiên của cung

Chơng 2 trình bày về một số ứng dụng của tham số hóa tự nhiên của cung chính quy

Một là, trình bày công thức tính độ cong độ xoắn, công thức Frénet trong

Ba là, cung túc bế cung thân khai và cách tìm cung túc

đóng góp ý kiến, bổ sung, phê bình của các thầy cô giáo

và các bạn để đề tài của chúng tôi hoàn thiện hơn

Tài liệu tham khảo

1 Văn Nh Cơng, Hình học Afin và hình học ơcơlít, NXB Đại

học s phạm, Hà Nội

2 Đoàn Quỳnh (2003), Giáo trình hình học vi phân, NXB Đại

học s phạm, Hà Nội

3 Đoàn Quỳnh (chủ biên), Trần Đình Viện, Trơng Đức Hinh,

Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB

Giáo dục, Hà Nội

4 Phạm Hồng Trờng (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, NXB

Đại học s phạm, Hà Nội