Một số mở rộng của định lý riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không gian Hilbert...202.2.Định lý Lax - Milgram...22... Giải tích hàm đã được đưa vàochương trình Đại học như một phần bắt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA: TOÁN

PHẠM THỊ DIẾN

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ RIESZ VỀ DẠNG TỔNG QUÁT CỦA

PHIẾM HÀM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TIẾN SĨ BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội, 2012

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường người đã định hướng chọn đề tài

và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quátrình học tập và hoàn thành khóa luận

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012

Phạm Thị Diến

LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường khóa luận tốt nghiệpĐại học chuyên ngành Toán Giải tích của tôi với đề tài “Một số mở rộng củađịnh lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm” được trình bày hoàn toàndưới sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác.Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc.Một số kết quả tác giả đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa học này

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012

Phạm Thị Diến

MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU

BẢNG KÍ HIỆU

BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 81.2 Không gian Hilbert 14

Chương 2: ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

2.1 Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không

gian Hilbert 202.2.Định lý Lax - Milgram 22

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu về cáckhông gian vectơ được trang bị thêm các cấu trúc tôpô và các toán tử tuyếntính liên tục giữa chúng Ra đời từ đầu thế kỉ 20 đến nay Giải tích hàm đã đạtđược những thành tựu quan trọng và trở thành chuẩn mực trong việc nghiêncứu và trình bày các kiến thức toán học Giải tích hàm đã được đưa vàochương trình Đại học như một phần bắt buộc, tuy thế với lượng thời gian cóhạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó, bên cạnh đónội dung của Giải tích hàm rất phong phú như: không gian vectơ lồi địaphương (không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach,…),các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian,…

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc vềGiải tích hàm, em đã chọn đề tài “Một số mở rộng của định lý Riesz về dạngtổng quát của phiếm hàm” Khóa luận này nghiên cứu về những mở rộng củađịnh lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm, cụ thể là định lý Lax-Milgram và định lý về toán tử ẩn

Nội dung khóa luận bao gồm:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này đưa ra các kiến thức cơ bản về không gian định chuẩn, khônggian Banach, không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục, không gian tuyếntính liên tục, không gian đối ngẫu

Chương 2: Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát củaphiếm hàm

Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Chương này đưa ra một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm, cụ thể là định lý Lax-Milgram và định lý toán tử ẩn.

Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn vàtrình độ còn non trẻ nên các vấn đề được trình bày trong bài không tránh khỏinhững thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô

và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

chuẩn trong không gian V

inf f cận dưới đúng của ánh xạ f

sup f cận trên đúng của ánh xạ f

min f giá trị nhỏ nhất của ánh xạ f

max f giá trị lớn nhất của ánh xạ f

ker f hạt nhân, hạch của ánh xạ f

( x,

y)

tích vô hướng của hai nhân tử x và y

chứng minh hoàn thành

BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT

ϕ, Φ phi (thường và hoa)

ψ , Ψ psi (thường và hoa)

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản về: không gian địnhchuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach, toán tử tuyến tính liên tục,phiếm hàm tuyến tính liên tục, không gian đối ngẫu sẽ được sử dụng trong cácphần sau

1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach

trong không gian định

chuẩn X gọi là dãy cơ

Không gian định chuẩn Χ gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong Χ đều hội tụ.

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co)

Cho không gian Banach V , một ánh xạ co T đi từ V vào chính nó,

Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường số thực □ Ánh xạ A

từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãncác điều kiện:

2) (∀x ∈ Χ)(∀α ∈ □ )Α( α x) = αΑx

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử A chỉthỏa mãn điều kiện 1) thì toán tử A gọi là cộng tính, còn khi toán tử A chỉthỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = □ thì toán

tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.5

Cho hai không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A từ không

gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C

Định nghĩa 1.1.6

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vàokhông gian định chuẩn Y Chuẩn của toán tử A, kí hiệu là Α , được xácđịnh bởi:

Α = inf {C > 0 Αx

≤ C x

, ∀x ∈ Χ}

Định lý 1.1.2 (Tính chuẩn của toán tử)

Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu toán tử A bị chặn thì:

Định lý 1.1.3 (Tính liên tục của toán tử ngược)

Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không gian định chuẩn Y có toán tử ngược

cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y.

Ta đưa vào Λ(Χ, Y) hai phép toán:

Tổng của hai toán tử A, B thuộc

Định lý 1.1.5 (Nguyên lý thác triển Hahn- Banach)

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính co

thể thác triển lên

toàn không gian Χ với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định trên toàn không gian

x0 ∈ Χ là một phần tử thỏa mãn điều kiện:

các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X, là không gian

liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí

Định lý 1.1.6

xạ.

Không gian con đóng của một không gian phản xạ là không gian phản

Định nghĩa 1.1.10

Cho không gian định chuẩn

là một cơ sở lân cận của điểm x Tôpô này gọi là tôpô yếu

trên không gian Χ Kí hiệu tôpô đó là τ (Χ, Χ* )

Định nghĩa 1.1.11

Tương tự, ta có khái niệm của tôpô yếu* trên không gian

τ ∗ (Χ∗, Χ∗∗ )

Định nghĩa 1.1.12

Χ*

, kí hiệu là

Cho không gian định chuẩn Χ Dãy

( x n ) ⊂ X

gọi là hội tụ yếu tới phần

tử x ∈ Χ , nếu với mọi lân cận yếu U của x , tìm được số nguyên dương n0

sao cho với mọi

hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X

1) Η là không gian tiền Hilbert;

2) Η là không gian Banach với

chuẩn x =

( x, x) , x ∈Η

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

Η là không gian Hilbert con của không gian Η

Định nghĩa 1.2.4 (Hàm song tuyến tính)

Một hàm ϕ được gọi là hàm song tuyến tính trên không gian phức

Các hàm đa tuyến tính thường được gọi là dạng Sesquilinear Chú ý rằng

hàm song tuyến tính thì đối xứng với biến số đầu và phản đối xứng với biến

số thứ hai Rõ ràng, tất cả các hàm song tuyến tính trên tập E lập thành mộtkhông gian vector

Ví dụ 1.2.1 Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính.

Ví dụ 1.2.2 Đặt A và B là các toán tử trên một không gian tích vô hướng

và ϕ3 ( x, y) = Ax, By

là các hàm song tuyến tính trên E

Ví dụ 1.2.3 Với f và g là các hàm tuyến tính trên không gian vector E.

Khi đó ϕ ( x,

f ( x) g ( y ) là một hàm song tuyến tính trên E

Định nghĩa 1.2.5 (Các hàm song tuyến tính đối xứng, không âm, dương và bị

chặn)

Với ϕ là hàm song tuyến tính trên E.

(a) ϕ được gọi là đối xứng nếu ϕ ( x, y

Chuẩn của một hàm song

tuyến tính bị chặn được định nghĩa bởi:

Với ϕ là một hàm song tuyến tính trên một không gian vector E Hàm

được gọi là dạng toàn phương

Chú ý rằng một dạng toàn phương bị chặn Φ trên một không gianđịnh

chuẩn ta có

Φ( x

)

≤ Φ

x Một hàm song tuyến tính và một dạng toàn

phương tương ứng có tính chất tương tự với một tích vô hướng x, y và bình

phương của chuẩn được định nghĩa bởi tích vô hướng

A* ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi

là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu:

A* liên hợp với toán tử A ánh

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, toán tử liên hợp A*

với toán tử A cũng là toán

tử tuyến tính bị chặn và A*

= A

2

2

Định nghĩa 1.2.8

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu:

Cho không gian Hilbert H Tập K

⊂ H không gian H, nếu mọi dãy vô hạn

( x n ) ⊂ K trong không gian H.

Cho H là không gian Hilbert, K là tập con, lồi, đóng khác rỗng của

H, a(·,·) : H × H → □ là một dạng song tuyến tính sao cho tồn tại hằng số

Chương 2

ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1 Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không gian Hilbert

Định lý 2.1 (Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên

tục trong không gian Hilbert)

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Giả sử a là phần tử cố định tùy ý thuộc không gian H Nhờ các tính chất

của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức:

f ( x) = x,

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H

Bây giờ giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên H Kí hiệu:

f (ax + by) = af ( x) + bf ( y ) = 0 ⇒ ax + by ∈ H0 .Đồng thời H0 là một tập con đóng trong H Thật vậy, nếu dãy điểm ( x n

) ⊂ Η0

hội tụ tới điểm x

∈

H,

thì nhờ tính liên tục của phiếm hàm f ta có:

⇒ x, a

− a ' = 0 (∀x ∈H)

⇒ a

= a ',

nghĩa là phần tử a trong biểu diễn (2.1)

được xác định một cách duy nhất bởi phiếm hàm f

Cuối cùng ta chứng minh hệ thức (2.2) Nhờ bất đẳng thức Schwarz tacó:

Mặt khác,

f ( x

x, a

≤ x a

Định lý được chứng minh ◻

Nhận xét: Từ định lý Riesz ta có mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên

không gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử a

Chứng minh:

và do đó Φ thực

Hiển nhiên giá trị trung bình ở đây là ϕ ( x, y

Định lý 2.2.3

ϕ ( x, y ) ≤ Φ

◻

Định lý 2.2.5

Với A là một toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H Khi đó hàm

) = Αx, y

ϕ ( x, y ) =

Αx , y

lý Riesz về dạng tổng quát, có duy nhất một phần tử Ay ∈H

và do đó: Α( α y1 + β y2 ) = αΑy1

+ βΑy2 .Bây giờ ta thấy rằng A bị chặn Từ ϕ bị chặn ta có:

Một hàm song tuyến tính ϕ trên một không gian định chuẩn E được

gọi là bức (hay eliptic) nếu ở đó có duy nhất một số dương K không đổi mà:

hàm song tuyến tính ϕ được định

2 ( [0,1] ) bởi:

thì bức

1

ϕ ( x , y ) = ∫ x (t ) y (t )z (t ) dt

0

Định lý dưới đây được chứng minh bởi P.Lax và A.N Milgram năm

1954, là mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyếntính liên tục

với x1, x2 ∈ H Nếu Ax1 =Ax2 , khi đó A(x1 − x2 ) = 0.

và vì vậy:

x

≤ 1 Α

ở đó ngầm hiểu x1 =

x2

Do đó, A là một đối một (1−1) Chứng tỏ tập A là

Ρ(A) Với (

x n ) là một dãy liên tục các phần tử của H Nếu Α→ x n − 0y

với mọi y ∈H Khi đó:

≤ 1

Αx

−Α

v,u a

a  T a thấy rằng với mỗi v

∈Ε∗

(b) Trái lại, lấy:

ta có:

a Β ( Ε 1 , Ε 2 ) ≤ C1 a Ε .(b) Từ (2.3.3) ta trực tiếp suy ra ϕ là tuyến tính trong v và phi tuyến tính trong u và a Hơn nữa từ tính liên tục của v

trong trên Ε ta nhận được:

Ε2 ,

T a

trên Ε1 và (2.3.2)

KẾT LUẬN

Như đã nói trong phần mở đầu, mục đích của khóa luận này là nghiêncứu một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Đểthực hiện được nhiệm vụ đó cần nắm vững các kiến thức về không gian địnhchuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert,…Ngoài ra, trong khóa luậncòn trình bày một số hệ quả, nhận xét, để thấy được những mở rộng của định

lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Đó cũng chính là nội dung chínhcủa khóa luận, được trình bày ở chương 2

Mặc dù em đã hết sức cố gắng, song do khả năng và kiến thức còn hạnchế nên bài khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Phạm Thị Diến K34D SP Toán Khóa luận tốt nghiệp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Khoa học và Kĩ

thuật, Hà Nội

[2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB Giáo dục.

[3] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia

Hà Nội

[4] Lokenath Debnath (2005), “Hilbert Spaces with Applications”,

ELSEVIER ACADEMIC PRESS

[5] Paolo Boggiatto, Giuseppe De Donno, Alessandro Oliaro (2007), “A Unified Point of View on Time – Frequency Representations and Pseudo – Differential Operators”, Fields Institute Communications, pp 383 - 399.