Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị

Với những lý do đó em đã chọn đề tài: “Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị” Mục đích của khoá luận này là trình bày một số định lý điểm bất độngcho ánh xạ đa trị , nguyên lý điểm b

Lời mở đầu

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

MỤC LỤC

1.1 Không gian metric 3

1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach Không gian tôpô 6

1.3 Tập hợp lồi 8

1.3.1 Định nghĩa và tính chất 8

1.3.2 Bao lồi và bao đóng 9

1.4 Ánh xạ đa trị 10

Chương 2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị 2.1 Định lý Caristi 14

2.2 Định lý Nadler 18

2.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng 23

2.3.1.Nguyên lý điểm bất động Brouwer 23

2.3.2.Bổ đề phân hoạch đơn vị 31

2.3.3 Định lý Kakutani 33

2.3.4.Điểm bất động trong không gian định chuẩn 37 Kết luận

Tài liệu tham khảo

LỜI MỞ ĐẦU

Nhiều hiện tượng trong thực tế dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại, duynhất và xây dựng xấp xỉ cho phương trình phi tuyến Phương pháp điểm bấtđộng là một trong các phương pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để chứngminh sự tồn tại và nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của các lớp phương trìnhphi tuyến khác nhau Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920,được hoàn thành và phát triển cho tới ngày nay để có thể áp dụng cho ngàycàng nhiều lớp phương trình

Cùng với sự phát triển của khoa học và do nhu cầu phát triển nội tại củatoán học, các ánh xạ đa trị đã được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950.Chúng là công cụ hữu hiệu để mô tả nhiều hiện tượng của tự nhiên, xã hội,kinh tế, Từ đó, nảy sinh ra yêu cầu phát triển các phương pháp nghiên cứuvới ánh xạ đa trị, trong đó có phương pháp điểm bất động

Ngày nay, lý thuyết điểm bất động cho các ánh xạ đa trị đã thu đượcnhiều kết quả có giá trị Tuy nhiên đây vẫn là hướng nghiên cứu đang đượccác nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và hứa hẹn đạt tới những kết quả thú

vị về lý thuyết cũng như ứng dụng

Với những lý do đó em đã chọn đề tài:

“Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị”

Mục đích của khoá luận này là trình bày một số định lý điểm bất độngcho ánh xạ đa trị , nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng của nó

Nội dung khoá luận gồm 2 chương

Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm về một số không gian,

tập hợp và một số định nghĩa về ánh xạ dùng cho chương 2

Chương 2: Chương này giới thiệu một số định lý về điểm bất động của ánh

xạ đa trị , định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co, nguyên lýđiểm bất động Brouwer và suy rộng của nó

2

Bản khoá luận này được hoàn thành tại trường đại học sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của thầy Phùng Đức Thắng Em xin bày tỏ lòng biết ơn

sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy trong quá trình em hoàn thành khoá luậnnày

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, dạy bảo của các thầy cô khoatoán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 trong suốt thời gian em học tập tạitrường

Hà Nội, tháng 5 năm 2012Sinh viên

Ngô Ngọc Huyền

Ánh xạ d gọi là metric trên Χ

Mỗi phần tử của Χ gọi là một điểm

của Χ ; điểm x tới điểm y

Định nghĩa 1.1.2.

d (x, y ) gọi là khoảng cách từ

Cho không gian metric (Χ, d ) , a ∈Χ , số r > 0 Ta gọi

Tập Tập

Cho không gian metric

(Χ, d ),

Α ⊂ Χ Điểm x ∈Χ

gọi là điểm trongcủa Α nếu tồn tại một lân cận của x bao hàm trong Α

Định nghĩa 1.1.5.

Cho không gian metric

),

Α là tập đóng trong Χ nếu với

mọi điểm x ∈Α thì tồn tạimột lân cận của x giao

b Hợp của một họ hữu hạn các tập đóng là một tập hợp đóng

Χ và Α ≠

φ Tập

Α đóng

}

Định lý 1.1.4.

Tập hợp

Α trong không gian metric (Χ,

d )

là tập hợp đóng nếu và chỉ

nếu mọi dãy hội tụ trong

Α đều hội tụ tới điểm thuộc

Α

Định nghĩa 1.1.4.

0

Giả sử Α là tập hợp tuỳ ý trong một không gian metric Χ Số

δΑ = sup d (x, y )

x ,y∈Α

được gọi là đường kính của tập Α , nó có thể là một số hữu hạn hay

vô hạn Nếu δΑ < ∞ thì Α được gọi là một tập hợp bị chặn

Từ định nghĩa ta có điều kiện sau

a Để tập hợp Α là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu

Β(x0

, R ) chứa Α .

b Hợp của một số hữu hạn những tập hợp bị chặn là một tập hợp bịchặn

Định nghĩa 1.1.8.

Tập hợp Κ trong không gian metric

điểm {x n } trong Κ đều có một dãy

con {x n

Định nghĩa 1.1.9.

} hội tụ đến một điểm thuộc

Κ

Dãy {x n } trong không gian metric

(hay dãy Cauchy) nếu

Không gian

metric(Χ, d ) được gọi là không gian đầy đủ (hay không

gian metric đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong Χ đều hội tụ tới một điểm thuộc

1.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH

KHÔNG GIAN TÔPÔ

Định nghĩa 1.2.1.

Giả sử Κ là một trường số thực □ hoặc trường số phức □ Tập hợp

Χ cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân

vô hướng) Phép cộng xác định trên

Χ × Χ và lấy giá trị trong Χ

6) ∀x ∈Χ,∀λ, µ ∈Κ :

7) ∀x ∈Χ,∀λ, µ ∈Κ : ( λµ ) x

= λ ( µx )

8) ∀x ∈Χ :1.x = x

Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa không gian định chuẩn)

Cho Χ là không gian tuyến tính trên trường Κ

+) Chuẩn trong Χ là một ánh xạ

x  x

+) Không gian định chuẩn là (Χ, )trong đó:

Χ là một không gian tuyến tính

là một chuẩn trong Χ

Khi đó x ∈Χ thì x gọi là chuẩn của vectơ x

Định nghĩa 1.2.3 (Định nghĩa không gian Banach)

Nếu không gian định chuẩn Χ là một không gian metric đầy đủ và

đủ hay gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.2.4 (Định nghĩa không gian tôpô)

Một họ các tập con τ

∈ 2Χ

nếu thoả mãn các điều kiện sau

của tập hợp Χ được gọi là một tôpô trong Χ

Tập Χ được trang bị một tôpô τ được gọi là một không gian tôpô và

được ký hiệu bởi

(Χ,τ ) hoặc đơn giản là Χ .

Mệnh đề 1.3.3.

Một tập lồi A trong không gian □

trong tương đối

Mệnh đề 1.3.4.

bao giờ cũng có ít nhất một điểm

Nếu một tập lồi A có một điểm trong a và nếu b

với 0 < α ≤ 1 cũng là điểm trong của A

Giả sử X , Y là các không gian tuyến

Giả sử tập Α ⊂ Χ , giao của tất cả các tổ hợp lồi chứa

Α được gọi là bao

lồi của tập Α và ký hiệu là co Α

Nhận xét 1.3.2.1.

a co Α là một tập lồi và là tập hợp lồi nhỏ nhất chứa Α

b Α lồi thì co Α = Α

Giả sử tập Α ⊂ Χ , giao của tất cả các tập hợp lồi,

đóng chứa Α được gọi là bao lồi đóng của tập Α, ký hiệu là

ở đó 2□

là tập các tập con của tập hợp số phức □

Ta thấy F không phải là ánh xạ theo nghĩa thông thường

Xét phương trình (P) trên tập số thực □ Ta cũng thiết lập tương ứng

19

∈ DomF , nếu F (x ) chỉ gồm duy nhất một phần tử thì F là

ánh xạ đơn trị (ánh xạ theo nghĩa thông thường)

được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈

F (x ) ⊂ V , ∀x ∈U ∩ DomF

Nếu F nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc DomF thì F được gọi là

nửa liên tục trên ở trên X

Định nghĩa 1.4.3.

Ánh xạ đa trị

F : X → 2Y từ không gian tôpô X vào không

gian tôpô Y

được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈

mãn

F (x )∩ V ≠ ∅ có tồn tại lân cận mở U của x sao cho

F (x )∩ V ≠ ∅ , ∀x ∈U ∩ DomF

Nếu F nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc DomF thì F được gọi

là nửa liên tục dưới ở trên X

nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc DomF thì F

được gọi là liên tục ở trên X

CHƯƠNG 2

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

Trong chương này em sẽ trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh

xạ đa trị trong không gian metric đủ ( X , ρ ) , có thể xem như khái quátnguyên lý ánh xạ co Banach

Vì khi ấy với mỗi z

dãy cơ bản trong không gian metric đủ X , cho

là một hàm thế năng mà ta muốn tìm giá trị thấp nhất, thì giả thiết

(1) có nghĩa là: từ bất cứ vị trí x nào cũng có thể chuyển tới một vị trí y ứng

với một thế năng giảm đi ít nhất một lượng bằng số đo khoảng cách từ x

đến

y Khi ấy,

(x ) xây dựng trong chứng minh trên bao gồm các vị trí y

thấp hơn x mà có thể chuyển đến được từ x

(“thấp hơn” theo nghĩa

trên vừa thấy, A (x* ) = {x*}, cho nên chỉ

Ta biết rằng nếu X

không compac thì một hàm nửa liên tục dưới

nghĩa là không có điểm x nào với tính

chất

xấp xỉ cực tiểu theo nghĩa:

mọi điểm

u

∈Χ

với

g cómột

x* ∈Χ sao cho

m i n h

Chỉcần

chứng

minh

cho

ε = 1,

vì không gian X

với metric

n, (đi

ều nà

y mâu thuẫn)

x* cũng chính

là điểm có tính chất (3)

vì nếu có x ∈ X thoả mãn ρ (x*, x f (x thì x ∈ A (x* ) ,

)

Vậy mệnh đề luôn đúng hay định lý được chứng minh.

Đây là định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co, định lý

đã mở rộng nguyên lý Banach cho các ánh xạ đa trị co

Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức sau

Định nghĩa 2.2.1 (Định nghĩa ánh xạ co)

Cho hai không gian metric

Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian mêtric đầy M

x* là điểm bất

Ta đi chứng minh tính duy nhất

Thật vậy, giả sử tồn tại điểm y*

Ví dụ 2.2.1.

Giải và biện luận phương trình sau

x + a sin

x = π , a là tham số, a < 1Phương trình đã cho tương đương với

Dễ dàng kiểm tra được nghiệm duy nhất đó là

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

x* = π

x = π ,∀a

∈(−1,1)

Định nghĩa 2.2.2 (Định nghĩa ánh xạ đa trị co)

Cho không gian metric ( X , ρ )

38

1

Chứng minh

Theo bổ đề 2.2.1, hàm số f (x ) = ρ (x, P (x ) ) là hàm nửa liên

Do đó theo định lý Caristi, phải có một điểm

2.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng

2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer

Nguyên lý điểm bất động Brouwer là định lý trung tâm của lý thuyếtđiểm bất động, đó cũng là một trong những nguyên lý cơ bản nhất của giảitích phi tuyến Nguyên lý này được Brouwer chứng minh năm 1921 dựa vàomột công cụ tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục Tuy nhiên cách chứngminh này là quá khó đối với những người chưa biết lý thuyết này, nên nhiềungười đã tìm cách chứng minh sơ cấp hơn Ở đây em nêu lên cách chứngminh của Knaster, Kuratowki, và Mazurkierwicz, dựa trên một kết quả vềtoán học tổ hợp của Sperner Trước tiên ta hãy nhắc lại một vài định nghĩa sau

lồi của k + 1 đỉnh được gọi là k _diện của S.

Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia S thành

các n_đơn hình con

S i (i

= 0,1, ,

m)

sao cho hợp của chúng bằng S và hai

đơn hình con nếu giao nhau thì giao phải là một diện chung của hai đơn hình

đó

Đối với một phép tam giác phân S, Sperner đưa ra một phép gán cho

mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số 0,1, , n theo quy tắc sau

được gán số i hoặc k ; các đỉnh thuộc

phần trong của tam giác được gán số 0 hoặc 1 hoặc 2

Sau khi gán số, đơn hình con nào có các đỉnh được gán đủ các số0,1, ,n thì được gọi là đơn hình “tốt”.

Trong đơn hình của ví dụ trên có 5 đơn hình tốt

1,các đỉnh còn lại của các đơn hình con nhận các số 0 hoặc 1 (hình vẽ)

Gọi k là số đỉnh (của các đơn hình con) nhận giá trị 0 (nếu các đỉnh

chung được tính 2 lần) Ta có k là số lẻ vì chỉ có một đỉnh nhận số 0 ở đầu

mút, còn các đỉnh nhận số 0 thuộc phần trong thì được tính 2 lần

Gọi h là đỉnh nhận số 0 mà đỉnh còn lại (của đơn hình con chứa đỉnh

đó) cũng nhận số 0

Số đơn hình tốt bằng k

− h là số lẻ Vậy bổ đề đúng với n = 1b) Giả sử bổ đề đúng với n = m Ta sẽ chứng minh bổ đề đúng

với n = m + 1 Gọi k là các m _diện (diện m chiều), mà

k2 là số chẵn vì mỗi diện tốt thuộc phần trong là chung

cho hai đơn hình con nên được tính hai lần Vậy k lẻ.

Gọi h là số các diện tốt mà đỉnh còn lại không được gán

số

m + 1 Vậy

đỉnh đó sẽ được gán một trong các số 0,1, , m Vì vậy (m + 1) _đơn hình con chứa diện đó phải chứa 2 diện tốt Do đó h là số chẵn Vì các số

S = co{u0 , u1 , ,

n và các tập hợp đóng

F0 ,

F1, , F n trong S thoả mãn điều kiện sau

với mọi tập hợp con

Lấy một đỉnh v bất kỳ ( của một đơn hình con) trong phép tam giác phân

u i của S đều phải

thuộc F i , i = 0,1, , n Cách gán này cũng thoả

mãn điềukiện Sperner Vì vậy theo bổ đề Sperner, phải có ít nhất một đơn hình con làtốt (được gán các số từ 0 đến n), ta có kí hiệu đó là □1 = co{v1 , v1, , v1

Ta thực hiện trong S phép tam giác phân bước hai, tức là tiếp tục chia

nhỏ các đơn hình con đã có ở bước một sao cho các điều kiện của tam giácphân (trên S ) vẫn được bảo đảm Các đỉnh mới xuất hiện vẫn được gán số

theo cách đã nêu trong bước một, kết quả ta tìm được một đơn hình tôt mới,

Sau n+1 lần trích dãy con, ta được dãy con

k

Có thể giả thiết lim

i= 0

viết

x = (x0 ,

x1, , x n )

và mỗi x i được gọi là toạ độ trọng tâm của x , nó cũng

biến đổi liên tục theo x

Định lý 2.3.1 (Nguyên lý điểm bất động Brouwer)

Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong

thoả mãn điều kiện KKM.

Vậy điều kiện (KKM) được thoả mãn Theo bổ đề KKM, tồn tại x*

x i

= y i ,với mọi i = 0,1, , n

Định lý Brouwer cũng có nội dung trực quan rất tự nhiên như sau: Giả

sử có n doanh nghiệp cạnh tranh nhau trên một thị trường, và mỗi điểm x

nghiệp nào muốn thay đổi để được lợi hơn Chính với ý nghĩa đó mà định lýbất động Brouwer (cùng với các mở rộng của nó) là công cụ xây dựng các lýthuyết cân bằng trong kinh tế và nhiều lĩnh vực khác.

58

2.3.2 Bổ đề phân hoạch đơn vị

Định lý Brouwer được phát biểu cho ánh xạ đơn trị Để mở rộng nó choánh xạ đa trị ta dựa vào bổ đề sau , gọi là bổ đề “ phân hoạch đơn vị’’

là hai tập đóng rời nhau trong không

gian metric X thì có một hàm số liên

→[0,1]

ta sẽ có được những hàm số đòi hỏi Giả sử bổ đề đã được

chứng minh cho trường hợp m − 1 tập

sao cho h i ( x )

= 0

ở ngoài G i và

rời nhau, cho nên có một hàm số liên tục h : X

→ [0,1] bằng 0 trên 1 trên F Các hàm liên tục

C , có thể cho rằng C có một điểm trong a và C nằm trong phần trong của

một đơn hình S Với mỗi k = 1, 2, , cho C k

= {x ∈ C : ρ (x, S

C) ≥ 1 / k}.

Hai tập mở int C (phần trong của C) và

S C k phủ S , cho nên theo trên, có

một hàm liên tục e k : S

→[0,1]

0 ≤ e k ( x ) ≤ 1, ta có thể thay (nếu cần) các dãy bằng dãy con thích hợp để có

từ một tập C trong không gian định chuẩn

X vào một không gian định chuẩn Y , gọi là đóng, nếu đồ thị của nó

liên tục, cho nên

theo hệ quả 2.3.2 phải có một x = g (x ) Nhưng với mọi

đưa đến mâu thuẫn khi lấy

Giả sử trái lại, các

về bất đẳng thức không tương thích, phải có những số thực

Cho một tập lồi compac C

⊂ □ n và một ánh xạ đa trị đóng f : C

→ 2C từ

C vào chính nó, sao cho với

∈ C,

f (x )

là tập lồi, compac, không rỗng

Khi ấy f có một điểm bất động, nghĩa là một điểm

2.3.4 Điểm bất động trong không gian định chuẩn

Các kết quả trên có thể mở rộng vào không gian định chuẩn

y ∈ F (x ) vì hiển nhiên y ∈ S

từ một tập lồi compac C trong một không

gian định chuẩn vào chính nó bao giờ cũng có một điểm bất động

x*

= f (x* ).Định lý Ky Fan ( cả định lý Schauder) vẫn còn đúng khi X là không gian

lồi địa phương- một lớp không gian rộng hơn không gian định chuẩn

KẾT LUẬNTrên đây là toàn bộ nội dung của khoá luận “ Lý thuyết điểm bất động

của ánh xạ đa trị ” Nội dung cơ bản của khoá luận gồm 2 chương:

Chương 1:

Nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm về một số không gian, tậphợp và một số định nghĩa về ánh xạ dùng cho chương 2

Chương 2:

Nội dung chủ yếu bao gồm: định lý Caristi về điểm bất động của ánh

xạ đa trị; định lý Nadler về điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co;nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng của nó

Để hoàn thành khoá luận này, mặc dù bản thân có nhiều cố gắng song

do kiến thức còn hạn chế hơn nữa đây là một vấn đề khó của giải tích hàmnên khoá luận không tránh được những thiếu sót Em rất mong nhận được ýkiến đóng góp của thầy cô và các bạn để khoá luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn