SKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức
Trang 1A MỞ ĐẦU
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức là các phần quan trọng trong chương trình toán phổ thông và thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức được đề cập nhiều trong các tài liệu tham khảo với nhiều phương pháp giải đa dạng và phong phú Trong quá trình học tập và giảng dạy, ta bắt gặp nhiều bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức mà việc giải quyết chúng là không hề đơn giản, buộc ta phải sử dụng một phương pháp đặc biệt nào đó Vì vậy, trong phạm vi bài viết này, với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một công cụ hữu hiệu giải quyết các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng
trong toàn quốc nên tôi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp hàm số giải bài
toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức”.
Nội dung đề tài được trình bày thành ba phần chính, trong mỗi phần tác giả trình bày theo trình tự: Kiến thức cơ sở, một số ví dụ có lời giải cụ thể và bài tập đề nghị
Phần I Sử dụng tính đơn diệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Ở phần này, tác giả dẫn ra các ví dụ cơ bản tương tự như trong chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 cũng như các ví dụ ở mức độ cao hơn Các ví
dụ được tác giả chú tâm trình bày cụ thể, gọn, rõ ràng từng bước theo đúng cơ
sở lý thuyết nhằm giúp học sinh dể hiểu, đặc biệt sau các ví dụ đều có bài tập tự luyện
Phần II Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiệm
Tương tự phần trên, ngoài những ví dụ cơ bản làm quen, tác giả trình bày các đề thi đại học những năm gần đây một cách công phu, rõ ràng để minh họa, nhằm giúp học sinh rèn luyện kỹ năng trình bày dạng toán này
Phần III Sử dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số để chứng minh bất đẳng thức
Bài toán bất đẳng thức là bài toán khó chịu đối với học sinh, ngoài phương pháp dùng các bất đẳng thức cổ điển để chứng minh, ta có thể dùng
Trang 2phương pháp hàm số Vì vậy, trong phần này tác giả đã trình bày cụ thể quy trình chứng minh một bất đẳng thức bằng phương pháp dùng hàm số thông qua những ví dụ điển hình và bài tập đề nghị
Mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều nhưng bài viết có thể còn những thiếu sót, rất mong quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp góp ý để bài viết được sửa chữa và hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!
Hà tĩnh, ngày 06 tháng 01 năm 2012
Tác giả
Trang 3B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
1 Kiến thức cơ sở
- Nếu hàm số f x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì
+) Phương trình f x k có không quá một nghiệm trên D +) Với x y D, , f x f y xy.
- Nếu hàm số yf x đồng biến và hàm số y g x nghịch biến trên D thì phương trình f x g x có không quá một nghiệm trên D
- Nếu đồ thị hàm số yf x là lồi (lõm) trên khoảng a b; thì phương trình f x k có không quá hai nghiệm trên khoảng a b;
2 Một số ví dụ và bài tập đề nghị
Ví dụ 1 Giải phương trình 3x 4 x.
Giải
- Tập xác định
- Ta có 3x 4 x 3x x 4 0
- Xét hàm số f x 3x x 4
Tập xác định
' 3 ln 3 1 0x .
f x x
Do đó, hàm số f x đồng biến trên
Mặt khác f 1 0.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Bài tập đề nghị
1 Giải phương trình log x 11 x
2 Giải phương trình 9x2 (13 x2 ).3x2 9 x 2 36 0
Ví dụ 2 Giải phương trình
2
2
3 2
3
x x
x
Giải
- Tập xác định
Trang 4- Ta có,
2
2
3 2
3
x x
x
log (3 x2 x 3) ( x2 x 3) log (2 3 x2 4 x 5) (2 x2 4 x 5) *
- Xét hàm số f t log 3t t
Tập xác định 0; .
ln 3
t
Suy ra, hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; .
- Do đó, * f x( 2 x 3) f(2 x 2 4 x 5) x2 x 3 2 x 2 4 x 5
3 2 0
2.
x
x
Vậy phương trình có nghiệm x 1,x 2.
Bài tập đề nghị
1 Giải hệ phương trình
2 2
4.
y
x 2x
2 Giải hệ phương trình
2 2
1.
y
x 3x
3 Giải hệ phương trình 3 10 5
4 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
x
Ví dụ 3 Giải phương trình 3x 2x 1.
Giải
- Tập xác định
- Ta có,
3x 2x 1 3x 2x 1 0 *
- Xét hàm số f t 3x 2x 1
Tập xác định
Trang 5 ' 3 ln 3 2x .
f x x
'' 3 ln 3 0x .
f x x
- Mặt khác, x 0 và x 1 là hai nghiệm của phương trình *
- Vậy phương trình có nghiệm x 0, x 1.
Bài tập đề nghị
1 Giải phương trình 2011x 2012x 4019x 4.
2 Giải phương trình 3x 1 x log (1 2 ) 3 x
3 Giải phương trình 1 cos x 2 4 cosx 3.4 cosx.
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
2 1
2 2
2 3
Giải Xét hàm số f t t3 t2 t 2
Tập xác định
f t t t x
Do đó, hàm số f t đồng biến trên
Giả sử x max ; ; , x y z suy ra xf y f z y và xf y f x z
Từ đó ta có y z và y x , suy ra f y f z hay z x
Do đó x y z x x y z.
Với y x , thế vào phương trình 1 ta có,
3 2
x x x Vậy x y z 1.
2 2 3 1 1
y
x
x y
Giải
- Xét hàm số 2 2 2 3t 1
+) Txđ:
Trang 6+)
2
Do đó, * xy.
- Với xy thế vào phương trình 1 của hệ ta có,
2 2 2 3x1 1 1 2 2 2 3x1 3
- Từ phương trình 3 suy ra 3x 1x 1 x2 2x 2 1 4
- Từ 3 và 4 suy ra: 3x1 1 1 31 x 3x1 31 x 2 1 0 5
- Xét hàm số f x 3x 1 3 1 x 2x 1 0
+) Txđ:
' 3 ln 3 3 ln 3 2 ln 3 3x x x 3 x 2 2 ln 3 1 0
+) f 1 0.
Do đó, x 1 là nghiệm duy nhất phương trình 5
Với x 1 y 1 Thử lại, ta có x y 1 là nghiệm của hệ đã cho
Bài tập đề nghị
1 Giải hệ phương trình
3 3 ln( 1)
x z
2 Giải hệ phương trình
y y
x x
3 Giải hệ phương trình
2 2 1.
z z
x z
z x
Ví dụ 5 Giải bất phương trình x 6 7 x 1
Giải Tập xác định D 6;7
Xét hàm số f x x 6 7 x
Tập xác định D 6;7
Trang 7f’(x) = 1 1 0 6;7
Vậy hàm số f x đồng biến trên đoạn 6;7 Mặt khác f 3 1, do đó x 6 7 x 1 x 3
Vậy bất phương trình có nghiệm 3;7
Bài tập đề nghị
1 Giải bất phương trình x3 3 x 2 6 x 16 2 3 4 x
2 Giải bất phương trình 6 8 6
3 x 2 x
II - Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số tìm giá trị tham số
để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn a b;
1 Kiến thức cơ sở
- Phương trình f x m có nghiệm x thuộc đoạn a b; khi và chỉ khi
min ( ) max ( ).
a b f x m a b f x
- Bất phương trình f x m có nghiệm x thuộc đoạn a b; khi và chỉ khi
;
max ( )
a b f x m
- Bất phương trình f x m có nghiệm x thuộc đoạn a b; khi và chỉ khi
;
min ( )
a b f x m
- Bất phương trình f x m nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn a b; khi
và chỉ khi
;
min ( )
a b f x m
- Bất phương trình f x m nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn a b; khi
và chỉ khi
ax ; ( )
a b
m f x m
2 Một số ví dụ và bài tập đề nghị
Ví dụ 1 Tìm m để phương trình sau 4x 2 3 21 4 x x 2 m
a) Có nghiệm
Trang 8b) Có đúng một nghiệm.
c) Có hai nghiệm phân biệt
Giải Tập xác định D 7;3
( ) 4 2 3 21 4
f x x x x Hàm số liên tục trên D 7;3
2
3(2 )
21 4
x
x x
f x x x x
2
x
2 6
2 7;3 2
x x
x x
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)
x -7 2 3
'
f x
15
10
Từ bảng biến thiên ta có,
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 30 m 15.
b) Phương trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi 30 m 10 hoặc
15.
m
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 10 m 15.
Ví dụ 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
x x m x x m (m là tham số thực)
Giải Điều kiện: 3 x 1, đặt 2
4 3
Trang 9Ta có, t 0;1 và phương trình x2 4 x m x2 4 x 3 m 2 0 1 trở thành:
2
1
t
t
(t 1 không là nghiệm của phương trình với mọi tham số thực m)
Phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 2 có nghiệm
0;1
t
Xét hàm số
2 1 1
t
f t
t
trên nửa khoảng 0;1 +) Hàm số liên tục trên nửa khoảng 0;1 +)
1
lim
x f t
+) Bảng biến thiên
'
f x
1
Từ bảng biến thiên phương trình có nghiệm m 1; .
Bài tập đề nghị
1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
2 4
3 x 1 m x 1 2 x 1
2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
2 4
x x m x
3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm
4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm
4 sin x cos x 5 2 m cos 2x 9 3 m
Trang 105 Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
4 2x 2x 2 6 4 x 2 6 x m
6 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất thuộc đoạn 1
;1
2
3 1 x 2 x 2 x 1 m
7 Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn
;
4 4
sin x + cos x + cos 4x = m
8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
4
x
x
9 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
2
4 6 x x 3 x m x 2 2 3 x
10 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
m x x x x x
Ví dụ 3 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 1
3
3
1
x mx
x
Giải
Ta có x3 3mx 2 3 1
x
x
Xét hàm số 2
4
f x x
x x
trên nửa khoảng 1; Hàm số liên tục trên nửa khoảng 1;
4 2 2
Suy ra f x đồng biến trên khoảng (1; + )
1
2
3
x
Bài tập đề nghị
Trang 111 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị 2; 2 3
x
2 (4 ) ( 4 x 5 2) 0
x x m x
2 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 4,6
3 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 3,6
2 2
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: x x x 12 m 5 x 4 x có nghiệm
Giải
Chú ý: Nếu tính f x rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn
Thủ thuật:
x
Suy ra g x 0 và tăng; h x > 0 và giảm hay 1 0
h x và tăng
Do đó
g x
f x
h x
tăng Suy ra f x m có nghiệm khi và chỉ khi
0;4 0;4
m f x f x f f
Bài tập đề nghị
1 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx 1 x 3 2 m
2 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x3 3x2 1 m x x 13
Ví dụ 5 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 3 3
Giải
- Đặt u x 1;v y 1
3
x
Trang 121 1 2 .1 2;
- Khi đó hệ trở thành
3 3
uv m
-) u v, nếu có là nghiệm của phương trình f t t2 5t 8 m.
- Do đó, hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f t m có 2 nghiệm
1 , 2
t t thỏa mãn t1 2; t2 2
- Bảng biến thiên của hàm sốf t với t 2
f t
+
22
2
7/4
Nhìn bảng biến thiên ta có 7 2 m 22
Bài tập đề nghị
1 Chứng minh rằngvới mọi số thực dương m hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 )
x y
y x m
2 Tìm m để hệ 4
(m là tham số thực) có nghiệm
x; y thỏa mãn điều kiện x 9
III - Sử dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.
1 Kiến thức cơ sở
- Nếu hàm số yf x đồng biến trên đoạn a b; thì
1) f a f x f b x a b, 2) f a f x f b x a b;
Trang 13- Nếu hàm số yf x nghịch biến trên đoạn a b; thì
1) f a f x f b x a b, 2) f a f x f b x a b;
2 Một số ví dụ và bài tập đề nghị
Ví dụ 1 Chứng minh rằng cosx sin22 x
x
2
x
Giải
Xét hàm số sin
cos
x
x
, trên khoảng nửa khoảng 0;
2
+) f x liên tục trên khoảng nửa khoảng 0;
2
+) '( ) 1 cos2 2 cos cos (1 cos )2 0
2 cos cos 2 cos cos
f x
2
x
Do đó hàm số f x đồng biến trên khoảng 0;
2
Từ đó f(x) > f(0)
2 2 sin
x
x
(đpcm)
Bài tập đề nghị
1 Chứng minh rằng
a) 1- 2 cos 2!
x
x
x 0.
b) 3 sin
3!
x
x x x 0.
c) cos 1 2 4
2! 4!
x x 0.
3! 5!
xx x 0.
e) x 1
e x x .
f) ln x x
e
x 0; \ e . g) 2
ln 1
1 2
x
x
x x 0; \ e .
Trang 14h)
3 sin
cos
x
x x
2
x
2 Chứng minh rằng
a) sinx tanx 2x x (0; )
2
b) 1tan 2sin
2 x 3 x x x 0;2
c) x(2 cos ) 3sin x x x 0.
d) sin x 2 x
2
x
e) x(1 x) sin x 4 (1x x) x 0;1
3 Chứng minh rằng:
a) e x 1 xe x x 0.
b) e x 1 x x e2 x x 0.
c) 2 1
x x
x e e x 0.
(1 )
x 0.
4 Chứng minh rằng
ln 1 1 x ln x
x
x 0.
b) ln 1
1
x x
x
x 0.
c) 1 x2 xln2 x x 0.
2
ln 1 cos ln 2
4
x x
x 0;
5 Chứng minh rằng:
a) sin tan x x 0;
4
x
b) tan sin x x 0;
4
x
Ví dụ 2 Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình 2 2
2
12
m
Tìm m để 2 2
1 2
A x x đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
Trang 1512
m
2
12
m
m
Theo định thức Viét ta có
3 3
1 2 1 2 3 1 2 1 2
A x x x x x x x x
3
2
2
4
m
m
1 3
2 m m
Xét hàm số f m m 3
m
trên D 2 3; 2 2; 2 3
1
m
Bảng biến thiên
m 2 3 2 2 2 3
3
'
-
4
-3 3
4
3 3 4 1
4
Dựa vào bảng biến thiên ta được
3 3 max
4
A đạt được khi và chỉ khi m 2 3
3 3 min
4
A đạt được khi và chỉ khi m 2 3
Bài tập đề nghị
Trang 161 Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình 2
2
1 0
x ax
a
Tìm m để
4 4
1 2
Px x đạt giá trị nhỏ nhất
2 Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình x2 (a 1)x a 2 0 Tìm giá
trị nhỏ nhất của
1 2
1 1
P
x x
Ví dụ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
2 2 ( ; ) 3 x y 8 x y
f x y
x y , 0 Giải
Đặt t x y
y x
Ta có,
+) Hàm số đã cho trở thành
f t t t f t 3t2 8t 6 t ; 2 2;
f t liên tục trên các tập ; 2 , 2; .
f t t t
3
f t t
Bảng biến thiên
t -2 4
3
2
3
'
-
f t
22
20
Bài tập đề nghị
1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của sin22 2sin 3
sin 3sin 4
P
2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P 2 sin 2x 2 1 cos 2x
3 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
Trang 174 4 2 2
P
4 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
2
2
Ví dụ 4: Cho các số dương x y, thoả mãn 2 2
1
x y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
y xy P
xy x
Giải Nếu x 0 thì từ giả thiết x2 y2 1 ta có y 1, suy ra P 1
Nếu x 0 thì đặt y tx t 0 Từ giả thiết ta có
2 2 1 2 2 2 1
x y x t x 2
2
1 1
x
t
Ta có, 4 2 22 2 22 1 322 2 1
P
Xét hàm số
2 2
f t
t t
trên nửa khoảng 0; .
2
12 4
(3 2 1)
t t
0 0;
0; 3
t
f t
t
Bảng biến thiên
t 0
'
f t +
f t
1 -1
Từ bảng biến thiên ta có,
minP 1 đạt được khi t 0 x 1 và y 0.
maxP 1 đạt được khi t 0 x 0 và y 1.
Bài tập đề nghị