SKKN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH hàm TRÊN tập số THỰC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ...4 1... ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Bài toán “Giải phương trình hàm” là một bài toán quen thuộc t

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

Nơi thường trú : Xã Nam Vân, thành phố Nam Định, Nam Định

Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán họcChức vụ công tác: Giáo viên bộ môn ToánNơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam ĐịnhĐịa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam ĐịnhĐiện thoại: 0975695404

5 Đồng tác giả: Không.

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định

Địa chỉ: 76 Vị Xuyên, thành phố Nam Định, Nam Định

Điện thoại: 0350.3640297

MỤC LỤC

A ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN 3

B THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN 3

C CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM 3

D NỘI DUNG 4

I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ 4

1 THẾ BIẾN BẰNG CÁC GIÁ TRỊ CỤ THỂ 4

2 THẾ BIẾN BẰNG BIẾN MỚI 8

3 THẾ BIẾN KẾT HỢP VỚI CÁC TÍNH CHẤT: ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH CỦA HÀM SỐ 19

E HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 29

F ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ 29

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

A ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Bài toán “Giải phương trình hàm” là một bài toán quen thuộc trong các đề thihọc sinh giỏi Toán Là một giáo viên trẻ được nhà trường tạo điều kiện bồi dưỡngchuyên môn và tin tưởng giao nhiệm vụ dạy chuyên đề này cho học sinh chuyênToán, tôi đã đọc, tổng hợp và soạn chuyên đề “Phương trình hàm” Sáng kiến

“GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ” là một phần trong chuyên đề của tôi.

B THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN

Mặc dù chuyên đề “Phương trình hàm” là nội dung được học ngay từ chươngtrình chuyên lớp 10, được mở rộng và khai thác sâu hơn nữa ở chương trình chuyênlớp 11 nhưng khi bắt gặp bài toán này trong các đề thi học sinh giỏi, học sinhthường cảm thấy lúng túng vì không xác định được phương hướng làm bài

- Mục 2: Thế biến bằng biến mới

- Mục 3: Thế biến kết hợp với các tính chất: đơn ánh, toàn ánh, song ánh củahàm số

Ba mục trong sáng kiến cùng với các ví dụ minh họa chính là các gợi ý về phươngpháp cho học sinh chọn lựa để có thể bắt tay giải bài toán phương trình hàm trêntập số thực bằng phương pháp thế

Phần cuối tôi có đưa ra 10 bài tập đề nghị là các ví dụ tương tự các ví dụ đã hướng dẫn giải cụ thể ở phía trên với mục đích để học sinh thử sức, xem lại đã nắm bắt được những gì từ 30 ví dụ đã nêu Đặc biệt, bài tập 9, 10 là các bài toán tổng quát của ba ví dụ trong mục 2, 3

NỘI DUNG

I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Giả sử  X Y,   Ta có một vài định nghĩa sau

Định nghĩa 1 Hàm số :f X   được gọi là đơn ánh trên X nếu với mọi

,

a b X và f a  f b  thì a b

Định nghĩa 2 Hàm số :f X  Y được gọi là toàn ánh từ X vào Y nếu với mọi

y Y  đều tồn tại x X sao cho f x   y

Định nghĩa 3 Hàm số :f X  Y được gọi là song ánh từ X vào Y nếu nó vừa là đơn ánh trên X vừa là toàn ánh từ X vào Y

II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Thử lại ta thấy không thỏa mãn (*)

+) Nếu f  0  thay 3 y  vào (*) ta có 0

3f x   3 3 x2  f x      x 3, x

+) Nếu f  1  thay 0 y  vào (*) ta có 1 f x     0, x

Thử lại ta thấy thỏa mãn (*)

+) Nếu f  1  thay 1 y  vào (*) ta có 1

x f x  x f x  x xf x  x  f x   x Đặt f  0 a

Với ,x y  ta thấy (*) được thỏa mãn.0

Với x  ta thấy (*) được thỏa mãn.y 0

Với x0,y  ta thấy (*) trở thành 0 xaxa cũng thỏa mãn

Vậy f x      hoặc 0, x  

1 khi 0 khi 0

x y

vào (*) ta có

1 1 3 11

Vậy ta có điều phải chứng minh

2 THẾ BIẾN BẰNG BIẾN MỚI

Ví dụ 1: Tìm hàm f : \ 2     thỏa mãn điều kiện

2

2 1

2 , 1 (*)1

Ta có

12

Vậy

 

2 2

2

11

t t

Giả sử tồn tại hàm số f x thỏa mãn điều kiện (*). 

Thay y  vào (*) ta được 1 xf xf  1  f f  1 

Giả sử tồn tại hàm số f x thỏa mãn điều kiện (*). 

Thay x bởi 1 x vào (*) ta được

2

ta có f x   1 x2

Thử lại ta thấy thỏa mãn (*)

Ví dụ 7: Tìm hàm số f : \ 0,1     thỏa mãn điều kiện

x x





 , thay x x vào (*) ta được 3 x f x3  3 2f x  1

Ta có hệ phương trình

Giả sử tồn tại hàm số f x thỏa mãn điều kiện (*). 

Thay yf x  vào (*) ta được

Như vậy với mỗi giá trị của x thì ta có hoặc là f x  hoặc là   0 f x   x2002 Ta

sẽ đi chứng minh để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì bắt buộc ta phải có đồng nhất

  0,

f x     hoặc x f x   x2002,  x

Vì f  0  trong cả hai hàm số trên nên ta giả sử tồn tại 0 a  sao cho 0 f a   0.Thay x  vào (*) ta được 0 f y  f  y,   nên f là hàm số chẵn, do đó sẽ y

tồn tại b  sao cho 0 f b  b2002

Khi đó, thế x a y ,  vào (*) ta được b f b f a 2002 b

Cả hai trường hợp đều vô lý vì b  0 b2002  0 và

Do đó, với mỗi x   thì hoặc f x  hoặc   0 f x  x2

Ta đi chứng minh f x      hoặc 0, x f x  x2,  x

Ta luôn có f  0  nên thay 0 x  vào (*) ta được0 f y  f  y,   hay f y

là hàm số chẵn

Giả sử phản chứng tồn tại a0,b sao cho 0 f a  0, f b  b2.

Thay x a y ,  vào (*) ta đượcb

Ta có điều phải chứng minh f x      hoặc 0, x f x  x2,  x

Thử lại vào (*) ta thấy chỉ có hàm số f x      là thỏa mãn.0, x

Ví dụ 12(VMO 2005): Tìm hàm : f   thỏa mãn điều kiện

Từ đó suy ra f  0  vì nếu 0 f x     thì trái với điều kiện f là hàm số lẻ1, x 0

vừa chứng minh ở trên

là điều vô lý Suy ra f x   x x,  .

Thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện (*)

Hướng dẫn:

Ta thấy f x      thỏa mãn điều kiện (*) Ta xét trường hợp 0, x f x   0.

Thay xf y  vào (*) ta được

x

f x   f   x

Mặt khác ta lại có

     

2

0 ,2

x

f x    x

Thử lại vào (*) ta thấy thỏa mãn

Vậy có hai hàm số thỏa mãn là f x  hoặc   0  

2

, 2

Ta thấy hàm f x  không thỏa mãn (*) Ta xét   0 f x   0

Thế x bởi f y vào (*) ta được 

Ta đi chứng minh tập  f x   2f y x y | ,   có tập giá trị là 

Vì f x  nên tồn tại giá trị   0 y   sao cho 0 f y 0  a 0

y y

Thay vào (*) ta được f  0  nên 0 f x   x x,  .

Thử lại ta thấy thỏa mãn (*)

Vậy f x  2x   1, x

Ví dụ 2: Tìm hàm : f   thỏa mãn điều kiện

 

2  2 6, , (*)

Hướng dẫn:

Giả sử tồn tại hàm số f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Tương tự như bài toán trên ta dễ dàng chứng minh f là đơn ánh.

Vậy f x   x2,  x

Ví dụ 3(IMO 1997, Shortlist): Tồn tại hay không các hàm số f x g x trên    ,

thỏa mãn các điều kiện

Vậy không tồn tại các hàm thỏa mãn bài toán

Ví dụ 4: Tìm hàm : f   là toàn ánh thỏa mãn điều kiện

Ta thấy f x  1,   là nghiệm Ta đi tìm nghiệm khác của bài toán.x

Tồn tại a sao cho f a    1

Với x   lại tồn tại ' x   sao cho f x '  nên ta cóx

f x     x

Thử lại ta thấy thỏa mãn (*)

Vậy  

2

1, 2

Vì vậy tồn tại a sao cho f a  Đặt   0 f  0 b.

Thế y a vào (**) ta được f f a     a b2 hay b a b  2

Thế x a y ,  vào (*) ta được 0 f a 2 b 0

.Suy ra f a 2 b f a  a2  b a

Ta đi chứng minh f là hàm không giảm.

Thật vậy, với mọi t   lấy y f t  suy ra f y  f f t    t Khi đó, thay vào(*) ta có

f x t f x  f y  y f x f t  f x f t   x

Ta có bài toán f không giảm và f f x       x x, nên f x     x x,

Thử lại ta thấy thỏa mãn (*)

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Tìm hàm f : \ 1     thỏa mãn

(Đây là bài toán tổng quát của ví dụ 9 mục D.II.3).

Bài 10: Với a0, ,b c là các số thực Tìm hàm :f   thỏa mãn

HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI

Sau khi được học chuyên đề này, tôi nhận thấy học sinh đã tự tin với bài toán

“Giải phương trình hàm” Với các phương pháp đã được học, các em đã lựa chọncách phù hợp với bài toán Đặc biệt, từ ngại ngần khi nhìn thấy bài toán phươngtrình hàm các em đã chuyển sang rất hứng thú với chuyên đề này Các em tự tìmthêm các bài tập, cùng nhau giải quyết, bàn luận và đưa ra các hướng làm mới

F ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ

Phần D.II.3 tôi mới chỉ đưa ra cách giải phương trình hàm trên tập số thực bằngphương pháp thế kết hợp với tính chất: đơn ánh, toàn ánh, song ánh của hàm số.Ngoài các tính chất này còn rất nhiều các tính chất khác của hàm số được sử dụngtrong bài toán giải phương trình hàm như: tính liên tục, tính đơn điệu, tính chấtđiểm bất động Tôi xin được đề cập đến trong một dịp khác

Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng do thời gian công tác còn ngắn, kinhnghiệm cũng như khả năng của bản thân còn hạn chế, nên sáng kiến của tôi vẫn còn

sơ sài và không thể tránh khỏi sai sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô

CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

(Xác nhận, đánh giá và xếp loại)

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

(Xác nhận, đánh giá và xếp loại)

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Các chuyên đề hội thảo tại Bắc Ninh năm 2012

2 Các trang Toán học trên Internet