Phương Pháp Tính - Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Phương Pháp Tính - Hệ Phương Trình Tuyến Tính Đại Học Bách Khoa 1. Đặt vấn đề 2. Phương pháp Gauss 3. Phương pháp nhân tử LU 4. Phương pháp Choleski 5. Chuẩn của vector, Chuẩn của ma trận 6. Những phương pháp lặp

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

N ỘI DUNG BÀI HỌC

N ỘI DUNG BÀI HỌC

N ỘI DUNG BÀI HỌC

N ỘI DUNG BÀI HỌC

N ỘI DUNG BÀI HỌC

N ỘI DUNG BÀI HỌC

thuật.

Đặt vấn đề

so với việc giải trực tiếp hệ phương trình (1) Do đó cần phải có phương pháp để giải hệ (1) hiệu quả.

1 Ta chỉ xét hệ gồm nphương trình và nẩn

so với việc giải trực tiếp hệ phương trình (1) Do đó cần phải có phương pháp để giải hệ (1) hiệu quả.

Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương

S Ử DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG ĐỂ GIẢI

S Ử DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG ĐỂ GIẢI HỆ

Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau

phương trình khác đã được nhân với một

thì ta sẽ được một hệ phương trình mới

tương đương với hệ (1).

Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau

phương trình khác đã được nhân với một

thì ta sẽ được một hệ phương trình mới

tương đương với hệ (1).

Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau

phương trình khác đã được nhân với một

thì ta sẽ được một hệ phương trình mới

tương đương với hệ (1).

Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1):

số λ 6= 0(h i → λh i)

phương trình khác đã được nhân với một

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss

trận bậc thang.

1 nghiệm duy nhất.

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss

1 nghiệm duy nhất.

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss

1 nghiệm duy nhất.

trận bậc thang.

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan

P HƯƠNG PHÁP G AUSS -J ORDAN

ĐỊNH NGHĨA 2.1

nhất , sao cho không cùng hàng và cột với

những phần tử đã chọn trước.

Phương pháp Gauss-Jordan

các phần tử trên cùng cột của phần tử trội bằng không.

P HƯƠNG PHÁP G AUSS -J ORDAN

ĐỊNH NGHĨA 2.1

nhất , sao cho không cùng hàng và cột với những phần tử đã chọn trước.

Phương pháp Gauss-Jordan

các phần tử trên cùng cột của phần tử

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan









Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan

Chọn phần tử trội là a43 = 4 Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp

Chọn phần tử trội không được nằm trên

Chọn phần tử trội không được nằm trên

Chọn phần tử trội không được nằm trên

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau

Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan

N HỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Phương pháp nhân tử LU Nội dung phương pháp

N ỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

đường chéo chính bằng 1 và gọi là

Phương pháp nhân tử LU Nội dung phương pháp

N ỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

đường chéo chính bằng 1 và gọi là

N ỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Các phần tử của 2 ma trận L vàU được xác định theo công thức

Phương pháp nhân tử LU Nội dung phương pháp

Theo công thức nhân 2 ma trận L vàU ta có

1.u11+ 0.0 + 0.0 = a11 = 2 ⇒u11 = 2;

1.u12+ 0.u22 + 0.0 = a12= 2 ⇒u12= 2;

1.u13+ 0.u23 + 0.u33 = a13 = −3 ⇒u13 = −3









Phương pháp nhân tử LU Nội dung phương pháp

1.u12+ 0.u22 + 0.0 = a12= 3 ⇒u12= 3;

1.u13+ 0.u23 + 0.u33 = a13 = 3 ⇒u13 = 3

`21.u11+ 1.0 + 0.0 = a21 = 2 ⇒`21 = a21

u11 = 2

2 = 1;

`21.u12+ 1.u22 + 0.0 = a22= 2

1.u11+ 0.0 + 0.0 = a11 = 2 ⇒u11 = 2;

1.u12+ 0.u22 + 0.0 = a12= 1 ⇒u12= 1;

1.u13+ 0.u23 + 0.u33 = a13 = 8 ⇒u13 = 8

Phương pháp Choleski Ma trận xác định dương

Phương pháp Choleski Ma trận xác định dương

ĐỊNH LÝ 4.2

Cho ma trận vuông A là đối xứng và xác

định dương Khi đó A = B.B T, với Blà ma trận tam giác dưới (b ii > 0, i = 1 n) và được xác định như sau:

Phương pháp Choleski Phương pháp Choleski

Phương pháp Choleski Phương pháp Choleski

Phương pháp Choleski Phương pháp Choleski

Hệ phương trình viết lại dưới dạng ma trận







Hệ phương trình viết lại dưới dạng ma trận

Phương pháp Choleski Phương pháp Choleski

0 −4

p 7 7

2 p 21 7









0 2.28

!

Ã2.00 0 !

Phương pháp Choleski Phương pháp Choleski

Phương pháp Choleski Phương pháp Choleski

ĐỊNH NGHĨA 5.1

Trong không gian tuyến tính thực Rn Chuẩn của véctơ X ∈ R n là một số thực , ký hiệu ||X||thỏa các điều kiện sau:

1 ∀X ∈ R n , ||X|| Ê 0,||X|| = 0 ⇔ X = 0

2 ∀X ∈ R n , ∀λ ∈ R,||λX|| = |λ|.||X||

3 ∀X, Y ∈ R n , ||X + Y || É ||X|| + ||Y ||.

Chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận Chuẩn của véctơ

chỉ xét chủ yếu 2 chuẩn thường dùng sau:

Chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận Chuẩn của véctơ

chỉ xét chủ yếu 2 chuẩn thường dùng sau:

Trong Rn có rất nhiều chuẩn, tuy nhiên ta chỉ xét chủ yếu 2 chuẩn thường dùng sau:

C HUẨN CỦA MA TRẬN

ĐỊNH NGHĨA 5.2

véctơ được xác định theo công thức

Chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận Chuẩn của ma trận

Chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận Chuẩn của ma trận

N HỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

ĐỊNH LÝ 6.1

Để dãy các véctơ (X (m))∞m=0 hội tụ về véctơ X

khi m → +∞thì điều kiện cần và đủ là

những dãy (x (m) k ) hội tụ về x k , ∀k = 1,2, ,n.(hội tụ theo tọa độ).

Xét hệ phương trình AX = B(det(A) 6= 0) có

ĐỊNH NGHĨA 6.2

Số nhỏ nhất k(A)thỏa điều kiện

k(A) É Cond(A) = ||A||.||A−1|| được gọi là số

1 É k(A) É +∞

Những phương pháp lặp Sự không ổn định của hệ phương trình tuyến tính

Trong thực hành tính toán, ta có thể gặp những hệ

phương trình tuyến tính mà những thay đổi nhỏ trên

các hệ số tự do của hệ sẽ gây ra những thay đổi rất

lớn về nghiệm Hệ phương trình tuyến tính như vậy

được gọi là hệ phương trình không ổn định trong

tính toán Nếu ngược lại, hệ được gọi là hệ phương

trình ổn định trong tính toán

Chú ý Người ta chứng minh được rằng, số điều kiện của ma trận đặc trưng cho tính ổn định của hệ

phương trình tuyến tính Giá trịk(A) càng gần với 1

thì hệ càng ổn định Số điều kiệnk(A)càng lớn thì hệ càng mất ổn định.

Trong thực hành tính toán, ta có thể gặp những hệ phương trình tuyến tính mà những thay đổi nhỏ trên các hệ số tự do của hệ sẽ gây ra những thay đổi rất lớn về nghiệm Hệ phương trình tuyến tính như vậy được gọi là hệ phương trình không ổn định trong tính toán Nếu ngược lại, hệ được gọi là hệ phương trình ổn định trong tính toán

Chú ý Người ta chứng minh được rằng, số điều kiện của ma trận đặc trưng cho tính ổn định của hệ

phương trình tuyến tính Giá trịk(A) càng gần với 1

Trong thực hành tính toán, ta có thể gặp những hệ phương trình tuyến tính mà những thay đổi nhỏ trên các hệ số tự do của hệ sẽ gây ra những thay đổi rất lớn về nghiệm Hệ phương trình tuyến tính như vậy được gọi là hệ phương trình không ổn định trong tính toán Nếu ngược lại, hệ được gọi là hệ phương trình ổn định trong tính toán

Chú ý Người ta chứng minh được rằng, số điều kiện của ma trận đặc trưng cho tính ổn định của hệ

phương trình tuyến tính Giá trịk(A) càng gần với 1

¶ Nghiệm

bây giờ của hệ là X =e µ −17

10

¶ Ta thấy

1 3.6429

2 4.6429

3 5.6429

MatA x−1⇒ A−1=

Ã3 14

2 21

Những phương pháp lặp là những phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Để giải hệ (1) ta được nó về dạng

X (m) = TX (m−1) + C, m = 1,2, (2)

ĐỊNH LÝ 6.2

Nếu ||T|| < 1 thì dãy các véctơ(X (m))∞m=0 xác

định theo công thức lặp (2) sẽ hội tụ về véctơ nghiệm X của hệ với mọi véctơ lặp ban đầu

X(0) Khi đó công thức đánh giá sai số là:

ĐỊNH NGHĨA 6.3

Ma trận A được gọi là ma trận đường chéo

Xét hệ phương trình (1) vớiAlà ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt Ta phân tích ma trậnAtheo dạng

Do a ii 6= 0, ∀i = 1, 2, , n nên detD 6= 0. Như vậy

N ỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Dạng tường minh của công thức lặp Jacobi là

Vậy ||T j|| < 1 nên phương pháp Jacobi luôn

 tínhX(1), X(2),

||T j||∞= max

i=1,2,3

3P

j=1 |t ij| =max{|0| + | − 0.06| + |0.02|,| − 0.03| + |0| + |0.05|,

Ã0.390 !

N ỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Đặt T g = (D − L)−1U, C g = (D − L)−1B ta được công thức lặp Gauss-Seidel có dạng

X (m) = T g X (m−1) + C g, m = 1,2,

D ẠNG TƯỜNG MINH CỦA CÔNG THỨC LẶP

Phương pháp Gauss-Seidel có thể xem là 1 biến dạng của phương pháp lặp Jacobi,

tính thành phần thứ i của véctơ lặp X (m) thì

ta sử dụng ngay những thành phần

x (m)1 , x2(m) , , x i−1 (m) vừa tính được

S Ự HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP G AUSS -S EIDEL

Điều kiện hội tụ của phương pháp Gauss-Seidel

hoàn toàn giống với phương pháp Jacobi.

Công thức đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

VÍ DỤ 6.3

Bằng phương pháp lặp Gauss-Seidel, tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình với sai số theo công thức hậu nghiệm nhỏ hơn

x(1)1 = c1 + t12 x2(0)+ t13 x(0)3 ,

x(1)2 = c2 + t21 x1(1)+ t23 x(0)3 ,

x3(1)= c3 + t31 x(1)1 + t32 x(1)2

Đánh giá sai số

||X(3)− X(2)||∞= max

i=1,2,3 |x i(3)− x i(2)| =max{| − 1.499.10−4|, |0.123.10−4|, |0.017.10−4|} =1.499 × 10−4

Ã0.759 !

! ⇒ Câu 2

S AI SỐ

||x(3)− x(2)||∞= max

i=1,2,3 |x(3)i − x(2)i | =max{|0.0018|,|0.0132|,|0.0043|} = 0.0132

||T ω|| ∞ = max{| − 0.25| + | − 0.075| + |0.025|, |0.0094| + | − 0.2472| + |0.0616|, |0.0034| + | − 0.0052| + | − 0.2488|} = max{0.35, 0.3182, 0.2574} = 0.35.

||x(3)− x||∞É ||T ω||

1 − ||T ω||· ||x

(3)

− x(2)||∞=0.35

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE