su dung phuong phap doi bien trong boi duong hs kha gioi mon toan 8

1. Trải qua một quá trình công tác, làm nhiệm vụ giảng dạy đồng thời bồi dưỡng học sinh khá và giỏi môn Toán 8, sau khi đã tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp, tôi nhận thấy trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi có rất nhiều học sinh gặp khó khăn khi sử dụng phương pháp đổi biến trong giải toán, đặc biệt là các em học sinh lớp 8 khi mới làm quen với phương pháp này, có nhiều bài các em không sử dụng phương pháp này dẫn đến lời giải dài dòng, thậm chí giải sai bài toán do quá trình tính toán nhầm lẫn, mặt khác một số em không linh hoạt khi vận dụng phương pháp, không liên tưởng tốt với các vấn đề đã học nên đổi biến không phù hợp. 2. Vấn đề “Sử dụng phương pháp đổi biến trong bồi dữơng học sinh khá giỏi môn Toán 8” có nội dung chủ yếu là hướng dẫn học sinh phát hiện và sử dụng phương pháp đổi biến vào các dạng bài tập chủ yếu của Toán 8 như phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, … nhằm cung cấp thêm tư liệu cho các em đồng thời chỉ ra cách áp dụng hiệu quả nhất phương pháp đổi biến vào các dạng bài đã nêu ở trên. III. CÁC BIỆN PHÁP Đà TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Xuất phát từ những vấn đề đã nêu ở trên, căn cứ vào các bước giải một bài toán, theo tôi, cần dạy giải bài toán bằng phương pháp đổi biến theo trình tự sau đây: Nêu rõ nội dung và vai trò của phương pháp đổi biến: nhờ phương pháp đổi biến, ta có thể hạ bậc của một đa thức, một phương trình, một bất đẳng thức, đưa một đa thức, một phương trình, một bất đẳng thức từ dạng phức tạp về dạng đơn giản hơn hoặc quen thuộc hơn, nhờ đó việc giải toán dễ dàng hơn. Một số chú ý khi sử dụng phương pháp đổi biến: Cần đọc kĩ đề bài, phân tích yêu cầu của đề bài, nhận xét đặc điểm, mối liên hệ giữa các biến, các biểu thức có trong bài toán để sử dụng phương pháp này một cách hợp lí. Với mỗi ví dụ minh hoạ, cần chỉ rõ đường hướng, cách suy nghĩ dẫn đến cách đổi biến hoặc đặt ẩn phụ, khắc sâu những dạng toán đặc biệt hay sử dụng phương pháp này. Không phải bài toán nào cũng sử dụng phương pháp này mà chỉ có những bài toán có đặc điểm riêng (có các biểu thức giống nhau, có mối quan hệ đặc biệt với nhau) mới nghĩ tới việc sử dụng phương pháp này. I Áp dụng phương pháp đổi biến vào dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử. Giáo viên lưu ý học sinh rằng: Trong một số trư¬ờng hợp, ng¬ười ta đổi biến số để đ¬ưa đa thức cần phân tích về dạng đa thức quen thuộc hoặc có bậc thấp hơn, nhờ đó việc phân tích dễ dàng hơn, do đó có thể đặt một, hai hay nhiều biến mới để giải bài toán. Giáo viên đưa ra bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến từ dễ đến khó, bắt đầu từ những bài đơn giản nhất:

PHỤ LỤC

A PHẦN MỞ ĐẦU

- 

Họ và tên : Nguyễn Thanh Hải Đơn vị công tác : Trường THCS Thống Nhất

I BỐI CẢNH CHỌN ĐỀ TÀI

II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

III THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

V PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

B PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

III CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1- Áp dụng phương pháp đổi biến vào dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử

2 - Áp dụng phương pháp đổi biến vào dạng bài giải phương trình

3 - Áp dụng phương pháp đổi biến vào dạng bài chứng minh bất đẳng thức

IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

C PHẦN KẾT LUẬN

I BÀI HỌC KINH NGHIỆM.

II NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

TRONG BỒI DỮƠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI MÔN TOÁN 8



A PHẦN MỞ ĐẦU

I BỐI CẢNH CHỌN ĐỀ TÀI

Chúng ta đều biết, đất nước ta đang trên đà công nghiệp hoá, hiện đạihoá, càng cần hơn bao giờ hết những công dân có trình độ kỹ thuật cao, cóphẩm chất tốt, thực sự năng động trong công việc, do đó nhà trường các cấphọc cần trang bị cho các em không chỉ là kiến thức mà cần phát triển ở các emnhững năng lực tiềm tàng, tính sáng tạo, nhạy bén trong tư duy và hành động Cùng với sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh

tế tri thức trong tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sángtạo và có những phẩm chất thích hợp để đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của xãhội Việc thu thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở nên dễ dàng nhờcác phương tiện truyền thông đại chúng, máy tính, mạng internet Do đó, vấn

đề quan trọng đối với con người hay một cộng đồng không chỉ còn là tiếp thuthông tin, mà là xử lý thông tin để tìm ra những giải pháp tốt nhất cho nhữngvấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng như của xã hội

Để đáp ứng những yêu cầu này, ngành giáo dục đã và đang có nhữngcải tiến mạnh mẽ trong việc đổi mới phương pháp dạy học, thay đổi hình thức

tổ chức, hình thức kiểm tra, đánh giá học sinh, khai thác và đưa vào sử dụng cóhiệu quả các phần mềm dạy học nhằm phát huy tính tích cực học tập của họcsinh

II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Là một giáo viên đang giảng dạy bộ môn Toán 8, tham gia làm nhiệm vụbồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8, tôi nhận thấy trong thực tế, có một bộphận không nhỏ học sinh chưa thực sự có được một phương pháp, một tư duyhọc tập bộ môn đúng đắn, do đó kết quả học tập không cao, đặc biệt là khi các

em tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán thì vấn đề này càng bộc lộ rõ hơn

do yêu cầu cao hơn

Trong các phương pháp giải toán, có một phương pháp thường được sửdụng để giải toán, đó là phương pháp đổi biến Trong quá trình làm nhiệm vụbồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, tôi nhận thấy phương pháp này rất có íchcho việc giải toán, đặc biệt là dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử, các bàigiải phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, …, của chương trìnhToán 8 Tôi cho rằng cần thực sự coi trọng phương pháp này bởi có lúc, có nơingười ta vẫn nghĩ: Sử dụng phương pháp này cũng tốt, còn nếu không thì cũngkhông sao Nhưng thực tế không phải là như vậy Sử dụng phương pháp nàymột cách linh hoạt và khéo léo theo tôi có rất nhiều lợi ích, vừa tiết kiệm thờigian, vừa không bị nhầm lẫn trong quá trình giải toán và có những trường hợpgiúp người giải toán vượt qua những khó khăn một cách dễ dàng Tôi mongmuốn được cùng trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm để mỗi thầy cô giáo có thêmđược những sáng kiến mới, những kinh nghiệm quý báu, từ đó nâng cao chấtlượng giảng dạy của bản thân và giúp các em học sinh phát triển tư duy logic,

có kiến thức vững chắc để tiếp tục học cao lên

III THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu và thực nghiệm đề tài này trong hainăm học: Năm học 2009 – 2010 và năm học 2010 – 2011

IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tôi nghiên cứu đề tài này với mục đích là:

1 Giúp các em học sinh vận dụng tốt và sáng tạo phương pháp đổi biến sốtrong giải toán, đồng thời cũng mong muốn phát triển tư duy logic, rèn luyện

kỹ năng giải toán cho học sinh, rèn tính linh hoạt, tính sáng tạo, khả năng liêntưởng cho các em, tạo hứng thú học tập tốt bộ môn

2 Qua sáng kiến này tôi cũng mong muốn đồng nghiệp của tôi có cách nhìnnhận đúng về vai trò, tầm quan trọng của việc dạy học phương pháp giải toánnày cho học sinh, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh khá giỏi môntoán 8, cùng trao đổi, cùng xây dựng để sáng kiến được hoàn thiện hơn, khaithác có hiệu quả hơn tác dụng của đề tài trong công tác giảng dạy của mình.

3 Việc nghiên cứu sáng kiến này cho tôi một cơ hội để tự học, rút ra cho mìnhnhững kinh nghiệm, những hiểu biết mới, từ đó nâng cao khả năng chuyênmôn, nghiệp vụ của bản thân

V PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

1 Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện thời gian không nhiều, đề tài lại chỉ ápdụng được sau khi học sinh đã được trang bị những kiến thức cơ bản để hoàntất quá trình giải toán nên tôi chỉ tập trung áp dụng đề tài này trong môn toán 8

và với 3 dạng toán cơ bản là như phân tích đa thức thành nhân tử, giải phươngtrình, chứng minh bất đẳng thức

2 Đối tượng nghiên cứu: 76 học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi toán của nhàtrường năm học 2009 – 2010, 68 học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi toán của nhàtrường năm học 2010 – 2011

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Nghiên cứu lý thuyết

2 Quan sát sư phạm

3 Thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp thống kê

B PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

1 Dựa vào quan điểm đổi mới phương pháp dạy học: Luật Giáo dục

2005 (Điều 5) quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực,

tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người họcnăng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên"

2 Căn cứ vào mục tiêu giáo dục phổ thông là “giúp học sinh phát triểntoàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, pháttriển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách conngười Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân;chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, thamgia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”; căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2011 - 2012

là tiếp tục đổi mới chương trình sách giáo khoa, nội dung, phương pháp giáodục ở tất cả các bậc học, cấp học, ngành học , xây dựng đội ngũ giáo viên,cán bộ quản lý giáo dục có phẩm chất chính trị vững vàng, đạo đức tốt, đủ về

số lượng, đồng bộ về cơ cấu, chuẩn hoá về trình độ đào tạo…nhằm nâng caochất lượng giáo dục

3 Mặt khác, với đặc thù của môn Toán, giải toán là một trong những vấn

đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà

cả người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt đối với học sinhphổ thông thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Giải toán làmột hình thức vận dụng những kiến thức đã biết vào các vấn đề cụ thể, vàothực tế, vào các vấn đề mới Trong quá trình giải toán, người giải toán đã hồitưởng hay nhớ lại, huy động và tổ chức những kiến thức toán học đã biết, lựachọn và kết hợp những kiến thức khác nhau để vận dụng Bên cạnh đó, mỗi bàitoán có thể xem là một định lí, có bài toán là tiền đề của những kiến thức khác,

do đó, qua quá trình giải toán, kiến thức toán học của người giải toán đượccủng cố, khắc sâu và trở nên sống động

Giải toán là một hình thức rất tốt để rèn luyện các kỹ năng: kỹ năng tínhtoán, kỹ năng biến đổi, kỹ năng suy luận, kỹ năng toán học hoá.

Giải toán còn là một hình thức tốt nhất để kiểm tra về năng lực, mức độtiếp thu và vận dụng kiến thức

Việc tìm kiến thức lời giải cho một bài toán rèn luyện phương pháp khoahọc trong suy nghĩ, trong suy luận, trong giải quyết vấn đề, …, và qua đó rènluyện trí thông minh sáng tạo, phát triển các các năng lực và phẩm chất trí tuệ.Việc tìm ra lời giải của một bài toán khó, phương pháp giải mới, độc đáocủa một bài toán gây nên sự hào hứng, phấn chấn,…, điều đó có ý nghĩa to lớntrong việc vun đắp lòng say mê học toán và ước mơ vươn tới vinh quang tronglĩnh vực nghiên cứu, khám phá, phát minh những vấn đề mới

Ngoài ra, giải toán còn rèn luyện nhiều đức tính tốt như: tính cần cù, tính

kỉ luật, tính năng động …

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

1 Trải qua một quá trình công tác, làm nhiệm vụ giảng dạy đồng thời bồidưỡng học sinh khá và giỏi môn Toán 8, sau khi đã tham khảo ý kiến của cácđồng nghiệp, tôi nhận thấy trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi có rất nhiềuhọc sinh gặp khó khăn khi sử dụng phương pháp đổi biến trong giải toán, đặcbiệt là các em học sinh lớp 8 khi mới làm quen với phương pháp này, có nhiềubài các em không sử dụng phương pháp này dẫn đến lời giải dài dòng, thậmchí giải sai bài toán do quá trình tính toán nhầm lẫn, mặt khác một số emkhông linh hoạt khi vận dụng phương pháp, không liên tưởng tốt với các vấn

đề đã học nên đổi biến không phù hợp

2 Vấn đề “Sử dụng phương pháp đổi biến trong bồi dữơng học sinh khágiỏi môn Toán 8” có nội dung chủ yếu là hướng dẫn học sinh phát hiện và sử

dụng phương pháp đổi biến vào các dạng bài tập chủ yếu của Toán 8 như phântích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, … nhằm cung cấp thêm tư liệu cho các em đồng thời chỉ ra cách áp dụng hiệu quảnhất phương pháp đổi biến vào các dạng bài đã nêu ở trên.

III CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Xuất phát từ những vấn đề đã nêu ở trên, căn cứ vào các bước giải một bàitoán, theo tôi, cần dạy giải bài toán bằng phương pháp đổi biến theo trình tựsau đây:

* Nêu rõ nội dung và vai trò của phương pháp đổi biến: nhờ phương phápđổi biến, ta có thể hạ bậc của một đa thức, một phương trình, một bất đẳng thức,đưa một đa thức, một phương trình, một bất đẳng thức từ dạng phức tạp vềdạng đơn giản hơn hoặc quen thuộc hơn, nhờ đó việc giải toán dễ dàng hơn

* Một số chú ý khi sử dụng phương pháp đổi biến:

- Cần đọc kĩ đề bài, phân tích yêu cầu của đề bài, nhận xét đặc điểm, mốiliên hệ giữa các biến, các biểu thức có trong bài toán để sử dụng phương phápnày một cách hợp lí

- Với mỗi ví dụ minh hoạ, cần chỉ rõ đường hướng, cách suy nghĩ dẫn đếncách đổi biến hoặc đặt ẩn phụ, khắc sâu những dạng toán đặc biệt hay sử dụngphương pháp này

- Không phải bài toán nào cũng sử dụng phương pháp này mà chỉ có nhữngbài toán có đặc điểm riêng (có các biểu thức giống nhau, có mối quan hệ đặcbiệt với nhau) mới nghĩ tới việc sử dụng phương pháp này

I - Áp dụng phương pháp đổi biến vào dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử.

đổi biến số để đưa đa thức cần phân tích về dạng đa thức quen thuộc hoặc

có bậc thấp hơn, nhờ đó việc phân tích dễ dàng hơn, do đó có thể đặt một,hai hay nhiều biến mới để giải bài toán

Giáo viên đưa ra bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến từ dễ đến khó, bắt đầu từ những bài đơn giản nhất:

Ví dụ:

VD1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

A = (x2 – x + 1)( x2 – x + 2) - 12

Hướng dẫn giải:

Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp này như sau:

Ta thấy đa thức x2 - x lặp lại ở 2 hạng tử của đa thức, do đó có thể đặt :

= (x2 – x + 5)[(x – 1)(x + 1) – (x + 1)]

= (x2 – x + 5)(x + 1)(x – 2)

Giáo viên cần lưu ý học sinh rằng, sau khi thay trở lại biến cũ, cần xét xem các nhân tử của tích có phân tích được nữa không, nếu vẫn phân tích được thì phải tiếp tục cho đến khi không phân tích được nữa thì mới dừng (phân tích triệt để), chẳng hạn như trong ví dụ này, dùng phương pháp tách vẫn phân tích được nhân tử x2 - x – 2 thành (x + 1)(x – 2)

VD2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

= [(x2 + 8x + 10) + (2x + 1)]2 – 4(2x + 1)(x2 + 8x + 10)

= (x2 + 8x + 10)2 + (2x + 1)2 + 2(2x + 1)(x2 + 8x + 10) – 4(2x + 1)(x2 + 8x + 10)

II - Áp dụng phương pháp đổi biến vào dạng bài giải phương trình

Khi học chương trình Toán THCS, học sinh không học phép giải tổng quátcho phương trình bậc 3, bậc 4, còn phương trình bậc 5 không có phép giải tổngquát Đối với dạng bài giải phương trình, người giáo viên cần lưu ý học sinhrằng: Trong một số trường hợp đặc biệt, có thể đưa phương trình cần giải vềnhững phương trình bậc một, bậc hai Ta phải dựa vào đặc thù của phươngtrình để có phương pháp thích hợp Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

cần hợp lí, mục đích là hạ bậc của phương trình, đưa phương trình dạng phứctạp về dạng đơn giản hơn, … , nhờ đó việc giải toán dễ dàng hơn, do đó có thểđặt một, hai hay nhiều ẩn phụ để giải phương trình

Ở phần này, giáo viên cần đưa ra một số phương trình đặc trưng phù hợpvới phương pháp này, chẳng hạn một số dạng phương trình đặt ẩn phụ như sau:

và cho biết có thể đặt ẩn phụ như thế nào để giải được bài toán là học sinh đã

có thể nêu lên được cách đặt ẩn phụ tương tự như cách đổi biến ở các ví dụ củadạng bài phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải: Đặt 2x2 – 3x – 1 = y, phương trình đã cho trở thành:

x x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S =  1;0; ;3 52 2

VD2: Giải phương trình:

x(x – 1)(x + 4)(x + 5) = 84

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn học sinh tìm cách đặt ẩn phụ với nhận xét x(x + 4) = x2 + 4x;

(x – 1)(x + 5) = x2 + 4x – 5, do đó có thể trình bày lời giải như sau:

Giáo viên hướng dẫn học sinh nhân hai vế của phương trình với cùng một số

để đưa các hạng tử có chứa ẩn x về cùng hệ số như sau:

Ngoài ra, giáo viên có thể giới thiệu với học sinh một số phương trình đặc

biệt, như: Phương trình đối xứng bậc chẵn, phương trình đối xứng bậc lẻ,phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c, …

+ an-1xn-1 + +

a1x2n-1 + a0 = 0, là phương trình đối xứng bậc chẵn, phương trình (2) có dạng:

a0 x2n+1 + a1x2n-1 + + an-1xn+1 + anxn

+ an-1xn-1 + + a1x2n-1 + a0 = 0là phươngtrình đối xứng bậc lẻ Ngoài cách giải thông thường (nhẩm nghiệm để tách),các phương trình này còn có cách giải đặc biệt như sau:

Chia cả hai vế của phương trình (1) cho x2  0, ta được:

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S =  1

b) Lưu ý: x = - 1 là nghiệm của phương trình loại này, do đó:

    = 0, phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = 1

VD2: Giải các phương trình sau:

 = y2 – 2, ta giải phương trình:

y2 – 2 + 5y - 12 = 0

 (y – 2)(y + 7) = 0

7 452

x x

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S =  3; 13; 1; ;212 

 = 3

2 

212

x x

- Nếu y = -8

3 

1

x x

 = -8

3 

313

x x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S =  1 3; 2; 1   3;1

2 Giải phương trình bằng cách đặt hai ẩn phụ trở lên.

VD1: Giải phương trình sau: (3 – x)4 + (2 – x)4 = (5 – 2x)4

x x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = 2;3

VD2: Giải phương trình sau: 8x3 - (4x + 3)3 + (2x + 3)3 = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S =  32; 34;0

x x

 = 3

2

x x



 = 6( 3)

2

x x

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Giải phương trình: (x – 4)4 + (x – 2)4 = 82

Hướng dẫn: Đặt y = x – 3, phương trình đã cho trở thành:

(y - 1)4 + (y + 1)4 = 82

 y4 + 6y2 – 40 = 0

 (y2 – 4)(y2 + 10) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = 1;5

Bài 2: Giải phương trình: (x + 1)4 + (x + 3)4 = 16

Hướng dẫn: Đặt y = x + 2, phương trình đã cho trở thành:

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = 1; 3 

Bài 3: Giải các phương trình sau: