Một số phương pháp giải bài toán cân bằng và ứng dụng (tt)

Với các mô hình ứng dụng cụ thểcác thuật toán giải bài toán cân bằng đều thực hiện được trên máytính, trong đó, phần mềm Matlab là một công cụ hữu hiệu giải các bàitoán tối ưu nói chung

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ - BỘ QUỐC PHÒNG

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Phạm Ngọc Anh

2 TS Nguyễn Mạnh Linh

Phản biện 1: GS.TSKH Lê Dũng Mưu

Phản biện 2: GS.TS Nguyễn Hữu Dư

Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Bá Minh

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án

cấp Viện, họp tại Viện KH&CNQS Vào hồi giờ ngày tháng năm 2016

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

- Thư viện Viện Khoa học và Công nghệ quân sự

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, bài toán cân bằng được đặc biệt quantâm nghiên cứu cả trong lý thuyết và ứng dụng Bài toán cân bằngbao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng trong giait tích phi tuyến vàtối ưu như bài toán cân bằng Nash, bất đẳng thức biến phân, bài toán

bù phi tuyến, bài toán tối ưu (tối ưu véc tơ), bài toán điểm bất động,bài toán điểm yên ngựa và lý thuyết trò chơi Hơn nữa nó hợp nhấtcác bài toán này với một cấu trúc rõ ràng tiện lợi cho việc nghiên cứucác bài toán phức tạp nảy sinh trong thực tiễn Các nghiên cứu địnhtính đã thu được nhiều kết quả quan trọng Các nghiên cứu về phươngpháp giải cũng đã đạt được nhiều kết quả, tuy nhiên việc nghiên cứugiải bài toán cân bằng với những giả thiết phù hợp và hiệu quả hơnvẫn đang được tiếp tục nghiên cứu Với các mô hình ứng dụng cụ thểcác thuật toán giải bài toán cân bằng đều thực hiện được trên máytính, trong đó, phần mềm Matlab là một công cụ hữu hiệu giải các bàitoán tối ưu nói chung và các bài toán cân bằng nói riêng

Các phương pháp giải bài toán cân bằng có thể phân theo ba cáchtiếp cận khác nhau Hướng thứ nhất là sử dụng hàm đánh giá Phươngpháp này thay việc giải trực tiếp bài toán cân bằng bằng phương phápdựa trên hàm đánh giá đưa bài toán cân bằng về bài toán tối ưu phùhợp Sau đó sử dụng phương pháp tối ưu cục bộ để giải các bài toántối ưu Phương pháp hàm đánh giá xuất hiện trong toán học ứng dụng

và tối ưu, và được sử dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân bởiZhu và Marcotte Mastroeni phát triển phương pháp này cho bài toáncân bằng Cách tiếp cận thứ hai dựa trên nguyên lý bài toán phụ Bàitoán cân bằng được đưa về bài toán tương đương, được gọi là bài toánphụ, dễ giải hơn Nguyên lý này được giới thiệu bởi Cohen cho bàitoán tối ưu và sau đó ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân.Mastroeni áp dụng phương pháp này cho bài toán cân bằng đơn điệumạnh và liên tục kiểu Lipschitz Cách tiếp thứ ba là phương pháp điểmgần kề Phương pháp điểm gần kề được Martinet phát hiện để giải bàitoán bất đẳng thức biến phân và sau đó được Rockafelar sử dụng để

tìm nghiệm bài toán tìm không điểm cho ánh xạ đơn điệu cực đại Gầnđây, nhiều nghiên cứu đã được phát triển cho bài toán cân bằng.Luận án "Một số phương pháp giải bài toán cân bằng và ứng dụng"

đề xuất một số phương pháp mới giải bài toán cân bằng và đưa ra một

số ví dụ minh họa cho mô hình cân bằng Nash-Cournot

Cấu trúc của luận án

Luận án ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo được chiathành bốn chương:

• Chương 1 Bài toán cân bằng

• Chương 2 Phương pháp xấp xỉ trong

• Chương 3 Phương pháp xấp xỉ ngoài

• Chương 4 Phương pháp lặp egodic

Chương 1 BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Trong chương này, luận án nhắc lại định nghĩa bài toán cân bằng

và một số tính chất đơn điệu, liên tục kiểu Lípchitz và một số phươngpháp giải đã biết của bài toán cân bằng

Định nghĩa 1.1 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trongkhông gian Rn và song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} Bài toán cânbằng (Viết tắt, EP (f, C)) được định nghĩa như sau:

(iv) đơn điệu mạnh trên C với hằng số γ > 0, nếu

Một số phương pháp giải đã biết

Phần này trình bày một số bài toán cân bằng EP (f, C) đã biết vớicác điều kiện của song hàm và tập ràng buộc phù hợp

Thuật toán 1.1 Phương pháp điểm gần kề

Bước 1 Tìm xk+1∈ C là một nghiệm của bài toán dưới đây

Bước 2 nếu xk+1 = xk thì Dừng, xk là một nghiệm Ngược lại, đặt

k := k + 1 và quay lại Bước 1

k := k + 1 và quay lại Bước 1

Thuật toán 1.6 Phương pháp đạo hàm tăng cường

Bước 0 Chọn x0 ∈ C, k = 0, α ∈ (0, 1), ρ ∈ (0, 1), β > 0 và dãy sốdương {γk}

Bước 1 Tìm yk là nghiệm của bài toán dưới đây:

nếu yk = xk, thì Dừng và xk là một nghiệm của EP (f, C) Ngượclại yk6= xk, thực hiện Bước 2

Bước 2 Tìm m là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho

f (zk,m, xk) − f (zk,m, yk) ≥ α

βkyk− xkk2,

ở đó zk,m= (1 − ρm)xk+ ρmyk đặt zk := zk,m và thực hiện Bước3

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG

Chương này trình bày hai phương pháp mới giải bài toán cân bằng.Thứ nhất là phương pháp chiếu cải tiến giải bài toán cân bằng giả đơnđiệu mạnh Thứ hai là phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán giả đơnđiệu không đòi hỏi điều kiện liên tục kiểu Lipschitz

2.1.1 Phương pháp chiếu cải tiến

Phần này trình bày một phương pháp mới để giải bài toán cânbằng giả đơn điệu mạnh Ước lượng sai số nghiệm cho dãy lặp đượcsinh ra bởi thuật toán được xác định với một vài giả thiết Một ví dụminh họa được trình bày

2.1 Thuật toán

Cho  > 0 gọi điểm ¯x ∈ C là một -nghiệm của EP (f, C) nếu tồntại x∗ ∈ Sol(f, C) sao cho k¯x − x∗k ≤  Xét bài toán cân bằng vớisong hàm f is γ-giả đơn điệu mạnh và liên tục kiểu Lipschitz với cáchằng số c1 > 0 và c2 > 0 trên C

Thuật toán 2.1 Chọn dãy số dương {λk} thỏa mãn các điều kiệnsau:

0 < a ≤ λk≤ b < 1

2c1

, c2 < γ,  > 0, δ = 1

p1 + 2a(γ − c2).Bước 0: k = 0, Chọn x0 ∈ C

Bước 1: Giải bài toán lồi mạnh:

xk+1 = argminnλkf (xk, y) +1

2ky − xkk2 : y ∈ Co

Bước 2: Nếu kxk− xk+1k < (1 − δ)

δ , thì kết thúc: x

k+1 là -nghiệmcủa EP (f, C) Ngược lại, đặt k := k + 1 và quay lại Bước 1

Định lý 2.1 Cho f : C × C → R là γ- giả đơn điệu mạnh trên C,liên tục kiểu Lipschiz với các hệ số c1 > 0 và c2 > 0 Với mỗi x ∈ C,

f (x, ·) lồi khả dưới vi phân trên C Thì Sol(f, C) có nghiệm duy nhất

x∗ và

[1 + 2λk(γ − c2)]kxk+1− x∗k2 ≤ kxk− x∗k2, ∀k ≥ 0

Hơn nữa, dãy {xk} được sinh bởi Thuật toán 2.1 hội tụ tới nghiệm x∗

với sai số như sau:

kxk+1− x∗k ≤ δ

k+1

1 − δkx0− x∗kvà

thì xk hội tụ tới nghiệm x∗ của bài toán bất đẳng thức biến phân

V I(F, C) với sai số:

kxk+1− x∗k ≤ δk+1kx0− x∗kvà

kxk+1− x∗k ≤ δ

1 − δkxk− xk+1k

x11= (0.9467, 0.9447, 0.9426, 0.9405, 0.4510)T.

2.2 Phương pháp xấp xỉ trong

Phần này trình bày một phương pháp xấp xỉ trong giải bài toáncân bằng, với song hàm giả đơn điệu, không đòi hỏi điều kiện liên tụckiểu Lipschitz, trên tập đa diện Phương pháp này là sự kết hợp giữaviệc sử dụng hàm xấp xỉ trong thay cho hàm dạng toàn phương trong

phương pháp bài toán phụ, kỹ thuật tìm đường kiểu Armijo và phươngpháp siêu phẳng cắt.

Chúng ta đã biết rằng, kỹ thuật xấp xỉ trong là một công cụ mạnh

để phân tích và giải các bài toán tối ưu Kỹ thuật này được sử dụngrộng rãi để giải các bất đẳng thức biến phân và các bài toán cân bằngtrên tập hợp lồi đa diện, trong đó sử dụng hàm xấp xỉ trong d thaythế cho hàm h trong AuxEP (f, C), có dạng:

B2 Với mỗi x ∈ C, f (x, ·) lồi và khả dưới vi phân trên C

B3 f giả đơn điệu trên C

,

ở đó Xy = diag (l1(y), · · · , lp(y))

Ngược lại, đặt zk := xk− γm kr(xk), ở đó mk là số nguyên không

âm nhỏ nhất sao cho

Định lý 2.2 Giả sử các giả thiết (B1) − (B5) thỏa mãn, ∂f (x, ·) nửaliên tục trên trên C, xk được sinh bởi Thuật toán 2.2 và {xk} ∈int(C) với mọi k thìxk hội tụ tới một nghiệm x∗

of EP (f, C), ở đó

x∗ = P rSol(f,C)(x0)

Định lý 2.3 Giả sử thỏa mãn các điều kiện (B1)−(B4) và ∂f (x, ·) nửaliên tục trên trên C, xk được sinh bởi Thuật toán 2.2., xk ∈ int(C)với mọi k và Sol(f, C) = ∅ thì,

thuật toán xấp xỉ trong Một số ví dụ minh họa cũng được trình bàycho hai thuật toán đề xuất.

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI

Trong chương này, chúng tôi đề xuất hai thuật toán xấp xỉ ngoàimới để giải bài toán cân bằng trên miền ràng buộc phi tuyến Chiếnlược ở đây là thay miền ràng ràng buộc của thuật toán đạo hàm tăngcường hiện thời bằng các đa diện Thuật toán thứ nhất là cải tiến thuậttoán đạo hàm tăng cường với điều kiện tối ưu tiệm cận và đòi hỏi songhàm cân bằng thỏa mãn điều kiện liên tục kiểu Lipschitz Tiếp theo

để tránh đòi hỏi này, chúng tôi kết hợp phương pháp đạo hàm tăngcường với phươngpháp tìm đường kiểu Armijo, đã được sử dụng trongviệc giải bài toán bất đẳng thức biến phân Hơn nữa, chúng tôi nghiêncứu sự hội tụ về nghiệm của thuật toán thứ nhất với điều kiện có sai

(C1.) Với mỗi x ∈ Rn, f (x, ·) lồi, khả dưới vi phân trên Rn;

(C2.) Với mỗi x ∈ Rn, f (·, x) liên tục trên Rn;

(C3.) Sol(f, C) 6= ∅

Đặt C(x) := {y ∈ Rn : ci(x) + h5ci(x), y − xi ≤ 0 ∀i = 1, 2, · · · , p}.3.1 Phương pháp xấp xỉ ngoài

Định lý 3.1 Cho f liên tục kiểu Lipschiz và điều kiện tối ưu tiệmcận sau được thỏa mãn

được gọi là tối ưu tiệm cận của bài toán EP (f, C) được đề xuất bởiIiduka và Yamada, Iusem và Sosa Nó cũng là điều kiện chính quy chothuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép cho bài toán tựa cân bằng đượcStrodiot, Van và Hien sử dụng.

3.2 Phương pháp xấp xỉ ngoài tìm đường kiểu Armijo

r(xk) = xk− yk nếu r(xk) = 0 thì Dừng

Ngược lại, Tìm số nguyên không âm nhỏ nhất mk sao cho

f xk− γm kr(xk), yk
≤ −σkr(xk)k2.đặt zk := xk− γm kr(xk) Chọn ¯wk ∈ ∂f (zk, ·)(zk)

Bước 2 Tính xk+1:= P rC∩Hk(xk), ở đó

Hk =x ∈ Rn: wk, x − zk ≤ 0 đặt k := k + 1, quay lại Bước 1

Định lý 3.2 Giả sử điều kiện tối ưu tiệm cận được thỏa mãn và dãyC(xk) bị chặn,  ¯wk bị chặn bởi M > 0 thì,

3.3 Sai số tính toán

Trong phần này, chúng tôi xét sự hội tụ của Thuật toán 3.1 tớimột nghiệm của bài toán EP (f, C), với lỗi trong tính toán Giả sử tạimỗi bước lặp k, thuật toán 3.1 sinh ra các dãy {xk} và {yk} sao cho

(v) Điều kiện tối ưu tiệm cận.

(1 − 2c1βi)¯2− ¯αi, ∀i ≥ 0,

ở đó ¯αi được định nghĩa bởi (6), và các dãy {xi} và {yi} được địnhnghĩa bởi Lược đồ (2) thì, tồn tại một số nguyên j ∈ [0, K] sao cho(a) kxj − yjk ≤ 2¯

ưu tiệm cận và đòi hỏi song hàm cân bằng liên tục kiểu Lipschiz Đểtránh điều kiện liên tục kiểu Lipschitz chúng tối đề xuât thuật toánxấp xỉ ngoài tìm kiếm theo tia kiểu Armijo

Chương 4 PHƯƠNG PHÁP ERGODIC

Chương này, chúng tôi trình bày một phương pháp mới giải bàitoán cân bằng đơn điệu Phương pháp này dựa trên phương pháp lặpergodic và nguyên lý bài toán phụ với ma trận đối xứng xác địnhdương Hơn nữa, nó đòi hỏi giả thiết đơn giản để dãy lặp hội tụ tớinghiệm của bài toán Đối với các phương pháp trước đòi hỏi tính đơnđiệu mạnh và liên tục kiểu Lipschitz, phương pháp được đề xuất chỉđòi hỏi tính đơn điệu yếu Phương pháp này cũng áp dụng với bài toánbất đẳng thức biến phân Phần cuối trình bày một ví dụ minh họa.4.1 Thuật toán

đặt r(xk) := xk+1− xk nếu kr(xk)k = 0 thì Dừng Ngược lại thựchiện Bước 2

Định lý 4.1 Giả sử f đơn điệu và nửa liên tục dưới trên C, Sol(f, C) 6=

Mệnh đề 4.1 Giả sử dãy {xk} được sinh từ Thuật toán 4.1 nếu tồntại Q > 0 và α ∈ (0, 2) sao cho

(ii) trong trường hợp đặc biệt α = 1 và f (x, y) := hF (x), y − xi, ở đó

F : C → Rn Nếu dãy {F (xk)} bị chặn, thì điều kiện (6) được thỏamãn

(iii) Nếu song hàm f là liên tục H¨older trên C × C, tức là, tồn tạihằng số Λ > 0 và τ ∈ (0, 1] sao cho

|f (x, y) − f (x0, y0)| ≤ Λk(x, y) − (x0, y0)kτM¯ ∀x, y, x0, y0 ∈ C,

ở đó ma trận ¯M được cho bởi

¯



thì, điều kiện (6) được thỏa mãn

(iv) Cho {xk} được sinh bởi Thuật toán 4.1 nếu

V I(G, C) được mô tả như sau:

Đặt r xk
= xk+1 − xk Nếu kr xk
k = 0 thì Dừng Ngược lại, thựchiện Bước 2

đặt k := k + 1 và quay lại Bước 1

4.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 4.1 Xét bài toán EP (f, C) với

Bảng 4.1 Ví dụ 4.1 điểm khởi tạo x0 := (1, 1, 1, 1, 1)T.

k và λk :=

1

k ln(k + 1),Kết quả tính toán được cho bởi Bảng 4.1 Với điểm khởi tạo x0 :=(2, 2, 2, 1, 1)T và λk := 1

k kết quả tính toán cho bởi Bảng 4.2.

4.3 Kết luận

Phương pháp lặp ergodic giải bài toán cân bằng chỉ với điều kiệnđơn điệu của song hàm cân bằng Phương pháp này cũng được xemxét cho bài toán bất đẳng thức biến phân

KẾT LUẬN

1 Những kết quả chính của luận án

Luận án trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi, về bàitoán cân bằng và một số trường hợp riêng của nó, đồng thời trình bàymột số thuật toán cơ bản giải bài toán cân bằng, qua đó đề xuất mụctiêu nghiên cứu của luận án

Chương 2 chứng minh sự hội tụ của thuật toán chiếu chỉ với giảthiết giả đơn điệu mạnh của song hàm cân bằng Đồng thời, đưa ramột thuật toán mới giải bài toán cân bằng với hàm xấp xỉ trong, đểgiải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh mà không đòi hỏi điều kiệnliên tục kiểu Lipschitz của song hàm cân bằng

Chương 3 đề xuất phương pháp xấp xỉ ngoài để giải bài toán cânbằng, phương pháp này thay thế miền ràng buộc của bài toán bởi các

đa diện lồi xấp xỉ ngoài tại các bước lặp Chương này đề xuất hai thuậttoán lặp để giải các bài toán cân bằng giả đơn điệu và liên tục thoảmãn hoặc không thoả mãn giả thiết liên tục kiểu Lipschitz của songhàm cân bằng Đồng thời, đưa ra đánh giá sai số nghiệm với sai số tínhtoán qua mỗi bước lặp

Trong chương 4, lần đầu phương pháp ergodic được sử dụng để giảibài toán cân bằng, phương pháp này được phát triển từ phương pháplặp ergodic giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

Một số ví dụ minh họa cho các thuật toán được đề xuất, cũng đượctrình bày trong Chương 2 và Chương 4

2 Những đóng góp mới của luận án

Đưa ra một phương pháp chiếu cải tiến giải bài toán cân bằng giảđơn điệu mạnh với điều kiện liên tục kiểu Lipschitz

Đề xuất một phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán cân bằng giảđơn điệu không đòi hỏi điều kiện liên tục kiểu Lipschitz trên đa diện.

Đề xuất hai phương pháp mới giải bài toán cân bằng trên miềnràng buộc phi tuyến Ở đó song hàm cân bằng thỏa mãn hoặc khôngthỏa mãn điều kiện liên tục kiểu Lipschitz Chứng minh sự hội tụ củamột thuật toán đề xuất với sai số tính toán

Đề xuất phương pháp lặp ergodic giải bài toán cân bằng đơn điệu

3 Hướng nghiên cứu tiếp theo

Nghiên cứu khắc phục điều kiện tối ưu tiệm cận trong phương phápgiải ergodic và các phương pháp xấp xỉ ngoài

Nghiên cứu giải bài toán cân bằng với song hàm cân bằng giả lồihoặc không lồi với biến thứ hai

Nghiên cứu, đánh giá độ phức tạp các thuật toán đã đề xuất

[1] Anh PN., Tuan PM., Long LB.: An interior approximal method for

solving pseudomonotone equilibrium problems, Journal of

1025-5834, SCIE.

[2] Anh PN., Tuan PM.: Modified projection method extended to

strongly pseudomonotone Ky Fan inequalities JP Journal of Fixed

0973-4228.

[3] Anh PN., Hai TN., Tuan PM.: On Ergodic algorithms for equilibrium

problems, Journal Global Optimization, 64, 179-195, 2016 ISSN: 1573-2916, SCI.

[4] Anh PN., Tuan PM.: Outer-interior proximal algorithms for solving

equilibrium problems, Submitted to Acta Mathematica Vietnamica, 2016

ISSN: 0251-4184, SCOPUS.