BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG

không gian tôpô, một trong những bài toán trung tâm của Tôpô đại số hiện nay.Từ việc nghiên cứu bài toán này đã dẫn tới một bài toán rất khó trong lý thuyếtđồng luân ổn định, đó là tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Phản biện 1: PGS TS Lê Minh Hà

Phản biện 2: TS Phan Hoàng Chơn

Phản biện 3: PGS TS Đoàn Thế Hiếu

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN SUM

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017

Lời cam đoan

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướngdẫn của PGS TS Nguyễn Sum Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứucủa tôi Các kết quả trong luận án là trung thực, được đồng tác giả là thầy hướngdẫn của tôi cho phép sử dụng khi đưa vào luận án và chưa từng được ai công bốtrước đó

Tác giả

Đặng Võ Phúc

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâusắc nhất đến Thầy hướng dẫn là PGS.TS Nguyễn Sum Thầy rất nghiêm khắcnhưng mẫu mực, Thầy không chỉ hướng dẫn một cách tận tình, định hướng, giúp

đỡ tác giả vượt qua được những khó khăn trong những bước đi đầu tiên làmnghiên cứu sinh mà còn sự quan tâm giúp đỡ về mặt vật chất lẫn tinh thần củaThầy trong cuộc sống để tác giả hoàn thành luận án này một cách tốt nhất.Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại họcQuy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán cùng quý Thầy Cô giáo giảngdạy lớp nghiên cứu sinh Toán Đại số và Lý thuyết số khóa 2 đã tận tình giúp đỡ

và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả được học tập và nghiên cứu khoa họctại Trường đại học Quy Nhơn

Tác giả xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè gần xa, đặcbiệt là các bạn NCS Trần Đình Phụng, NCS Dư Thị Hòa Bình và NCS Lưu ThịHiệp đã luôn sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ rất nhiều cho tác giả, để tác giảvượt qua được những biến cố về sức khỏe và có thêm động lực hoàn thành tốtnhất chương trình nghiên cứu sinh của mình

Tác giả

Đặng Võ Phúc

Mục lục

Bảng một số ký hiệu iii

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 11

1.1 Cấu trúc đại số Steenrod mod 2 11

1.2 Tác động của đại số Steenrod trên đại số đa thức Pk 13

1.3 Một số hàm số học 14

1.4 Đồng cấu Kameko 16

1.5 Quan hệ thứ tự giữa các đơn thức và đơn thức chấp nhận được 18

1.6 Tiêu chuẩn đơn thức hit của Singer 22

1.7 Một số kết quả về bài toán hit 23

1.8 Kết luận Chương 1 25

Chương 2 Bài toán hit đối với đại số đa thức tại bậc (k − 1)(2d− 1) 26 2.1 Một số đồng cấu 26

2.2 Chứng minh Định lý 2.1 30

2.3 Kết luận Chương 2 39

Chương 3 Bài toán hit đối với đại số đa thức năm biến tại một số dạng bậc 40 3.1 Chứng minh Định lý 3.1 42

3.2 Chứng minh Định lý 3.2 52

3.3 Kết luận Chương 3 73

Chương 4 Ứng dụng của bài toán hit cho đồng cấu chuyển đại số

thứ năm của Singer 74

4.1 Đồng cấu chuyển đại số và giả thuyết của Singer 74

4.2 Chứng minh Định lý 4.1.4 78

4.3 Kết luận Chương 4 86

Kết luận và kiến nghị 87 Danh mục các công trình liên quan đến luận án 89 Tài liệu tham khảo 90 Phụ lục A 96 A.1 Các đơn thức chấp nhận được bậc 4(2d− 1) trong P5 96

A.2 Các đơn thức chấp nhận được bậc 6 trong P5 106

A.3 Các đơn thức chấp nhận được bậc 17 trong P5 107

A.4 Các đơn thức chấp nhận được bậc 18 trong P5 112

A.5 Các đơn thức chấp nhận được bậc 39 trong P5 115

Bảng một số ký hiệu

F2 : Trường hữu hạn có hai phần tử

Pk : Đại số đa thức của k biến x1, x2, , xk trên trường F2.(Z/2)k : Không gian véctơ k chiều trên trường F2,

2-nhóm Abel sơ cấp hạng k

B(Z/2)k : Không gian phân loại của (Z/2)k

GLk : Nhóm tuyến tính tổng quátgồm các tự đẳng cấu của (Z/2)k

H∗(B(Z/2)k, F2) : Đồng điều kỳ dị của B(Z/2)k, với hệ số trên F2

H∗(B(Z/2)k, F2) : Đối đồng điều kỳ dị của B(Z/2)k, với hệ số trên F2

A : Đại số Steenrod mod 2

TorA∗,∗(F2, F2) : Đồng điều của A, với hệ số trên F2

Ext∗,∗A (F2, F2) : Đối đồng điều của A, với hệ số trên F2

P H∗(B(Z/2)k, F2) : Không gian con của H∗(B(Z/2)k, F2) gồm

tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi tác độngcủa mọi toán tử Steenrod bậc dương

Nk : Tập hợp tất cả các số nguyên dương không vượt quá k

Nk : Tập hợp tất các các cặp (i; I), với I = (i1, i2, , ir) ⊆ Nk,

1 6 i < i1 < i2 < < ir 6 k, 0 6 r < k

XI : Đơn thức x1 ˆxi1 ˆxir xk = Q

i∈N k \I

xi,với I = (i1, i2, , ir) ⊆ Nk

X{i} : Đơn thức x1 ˆxi xk trong Pk với 16 i 6 k

X∅ : Đơn thức x1x2 xk trong Pk

X : Đơn thức x1x2 xk−1 trong Pk−1

αi(n) : Hệ số thứ i > 0 trong khai triển nhị phân

của số nguyên dương n

α(n) : Số các hệ số 1 trong khai tiển nhị phân của n

µ(n) : Số min{m ∈ N| α(n + m) 6 m}

|S| : Lực lượng của tập hợp S

Mở đầu

Ký hiệu H•(X, F2) là đối đồng điều kỳ dị của không gian tôpô X, lấy hệ sốtrên trường nguyên tố F2, có hai phần tử Vào năm 1947, Steenrod [40] xây dựngcác toán tử đối đồng điều mà ngày nay mang tên ông, tác động tự nhiên lên

H•(X, F2):

Sqk : H•(X, F2) → H•+k(X, F2),trong đó k là số nguyên không âm bất kỳ Trong nhiều trường hợp, các toán

tử này là một công cụ hữu hiệu để nhận biết sự khác nhau về kiểu đồng luâncủa các không gian tôpô Chẳng hạn, chúng ta có thể thấy rằng hai không gian

CP4/CP2 và S6 ∨ S8 mặc dù có cùng vành đối đồng điều nhưng không tươngđương đồng luân (hay không cùng kiểu đồng luân) bởi vì toán tử Sq2 tác độngtầm thường trên nhóm đối đồng điều H2(S6 ∨ S8

, F2) nhưng không tầm thườngtrên H2(CP4/CP2, F2)

Trong quá trình nghiên cứu đối đồng điều của các không gian Eilenberg-MacLane, Serre [70] đã chỉ ra rằng với phép cộng thông thường và phép hợp thànhcủa các ánh xạ, các toán tử Steenrod Sqk sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều

ổn định Đại số sinh bởi các toán tử Steenrod được gọi là đại số Steenrod mod 2,

ký hiệu là A Cấu trúc của đại số này còn được khảo sát như là đại số thươngcủa một F2-đại số kết hợp tự do, phân bậc, sinh bởi các ký hiệu Sqk, k > 0 chiacho iđêan hai phía sinh bởi tập tất cả các phần tử có dạng:

không gian tôpô, một trong những bài toán trung tâm của Tôpô đại số hiện nay.

Từ việc nghiên cứu bài toán này đã dẫn tới một bài toán rất khó trong lý thuyếtđồng luân ổn định, đó là tính toán tường minh đối đồng điều (mod 2) của đại sốSteenrod, H∗,∗(A, F2) := Ext∗,∗A (F2, F2), nó là một F2-đại số song phân bậc-giaohoán và là trang E2 của dãy phổ Adams [1] hội tụ về thành phần 2-xoắn củanhóm đồng luân ổn định của mặt cầu πS∗(S0) Cấu trúc của đại số này mặc dù đãđược nhiều tác giả nghiên cứu sâu sắc gần nửa thế kỷ, tuy nhiên cho đến nay vẫnrất khó để nắm bắt được nó

Vào năm 1989, Singer [38] đã cố gắng sử dụng công cụ lý thuyết biểu diễnmodular của các nhóm tuyến tính để nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod,ông thiết lập một đồng cấu đại số mà ngày nay nó được gọi là đồng cấu chuyểnhạng k (hay thứ k) của Singer:

ϕk : TorAk,k+∗(F2, F2) → (F2⊗A H∗(B(Z/2)k, F2))GLk,

từ đồng điều (mod 2) của đại sốA đến không gian con của F2⊗AH∗(B(Z/2)k, F2)gồm tất cả các lớp bất biến dưới tác động thông thường của nhóm tuyến tính tổngquát GLk := GL(k, F2) Ở đây, (Z/2)k là 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k xem như

F2-không gian véctơ k chiều và B(Z/2)k là không gian phân loại của nó Đồngcấu đối ngẫu

T rk : F2⊗GLk P H∗(B(Z/2)k, F2) → Extk,k+∗A (F2, F2)cũng được gọi là đồng cấu chuyển của Singer Chú ý rằng P H∗(B(Z/2)k, F2) =(F2⊗AH∗(B(Z/2)k, F2))∗là không gian con của đại số đồng điều H∗(B(Z/2)k, F2)gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu đối với tác động của mọi toán tử Steenrodbậc dương Singer đã chỉ ra trong [38] rằng T rk là một đẳng cấu với k 6 2 vàtại một số bậc với k = 3, 4 Trong trường hợp hạng năm, ông chứng minh T r5không là toàn cấu tại bậc 9 Các kết quả này của Singer đã chỉ ra giá trị khôngtầm thường của đồng cấu chuyển Vì vậy, nó được kỳ vọng là một công cụ hữuích để mô tả đối đồng điều của đại số Steenrod, Extk,∗A (F2, F2) Đặc biệt, trong[38], Singer đã đưa ra giả thuyết sau đây

Giả thuyết 4.1.1 (Singer [38]) Đồng cấu T rk là một đơn cấu, với mọi số nguyêndương k

Giả thuyết này được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà Tôpô đại số (xem

Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh[17], Chơn-Hà [9, 10, 11], Minami [23], Quỳnh [34], Sum [47, 49, 50, 51], Sum-Tín[52] và một số tác giả khác) Công trình [3] của Boardman năm 1993 đã chỉ ra giảthuyết của Singer cũng đúng với k = 3, cụ thể Boardman chứng minh T r3 cũng làmột đẳng cấu Gần đây, N H V Hưng và các cộng sự đã xác định hoàn toàn ảnhcủa T r4 (xem Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh[17]) Đáng chú ý, N H V Hưng chứng minh trong [14] rằng với bất kỳ k > 5

có vô số bậc mà tại đó T rk không là đẳng cấu Tuy nhiên, ông không khẳng địnhđược T rk là một đơn cấu Vì vậy, giả thuyết của Singer cho đến nay vẫn còn đểngỏ

Để chứng minh hoặc phủ định giả thuyết của Singer thì việc nắm rõ cấu trúccủa tích tensor F2⊗A H∗(B(Z/2)k, F2) là một trong những yếu tố quyết định Vìvậy, việc giải quyết giả thuyết của Singer có mối liên hệ mật thiết với bài toánxác định tường minh một hệ sinh tối tiểu của F2-đại số phân bậc

Pk := H∗(B(Z/2)k, F2) ∼= F2[x1; x2; ; xk],được xét như là một môđun trên đại số SteenrodA, trong đó ký hiệu F2[x1; ; xk]

là F2-đại số đa thức của k-biến x1, x2, , xk, mỗi biến có bậc 1 Cấu trúc Amôđun trái (không ổn định) của đại số Pk được xác định tường minh bởi côngthức:

phân của n Giả thuyết này được ông chứng minh cho trường hợp k 6 2 Sau

đó, Wood [64] chứng minh cho trường hợp tổng quát vào năm 1989 Sau các côngtrình này, bài toán hit thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều tác giảtrong và ngoài nước (xem Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Carlisle-Wood [6],Crabb-Hubbuck [8], Hà [12], Hưng [13], Hưng-Nam [15, 16], Kameko [18, 19],Minami [23], Mothebe [25, 26], Nam [68, 69], Repka-Seilck [35], Silverman [36],Silverman-Singer [37], Singer [39], Walker-Wood [58, 59, 60], Wood [64], Sum[43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50], Tín [54, 55, 56], Tín-Sum [57] và một số tác giảkhác)

Có thể nói bài toán hit là một bài toán mang tính thời sự bởi những ứng dụngquan trọng của nó Cụ thể hơn, bài toán này không những là một công cụ hữuích để nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển của Singer mà nó còn được ứng dụng

để nghiên cứu một số bài toán kinh điển trong lý thuyết đồng luân như lý thuyếtcobordism của các đa tạp thể hiện qua công trình của Peterson [29]; bài toán phântích ổn định không gian phân loại của các 2-nhóm Abel sơ cấp qua công trình củaPriddy [33]; lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính qua các côngtrình của Wood [66], Walker-Wood [59] Cho đến nay, bài toán hit mới giải tườngminh cho trường hợp k 6 4 Trong trường hợp tổng quát, nó vẫn là một bài toánmở

Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán hit của Peterson;

từ đó trên cơ sở sử dụng các kết quả của bài toán này, chúng tôi nghiên cứu kiểmchứng giả thuyết của Singer cho trường hợp k = 5 tại một số bậc Một cách cụthể, chúng tôi tập trung nghiên cứu cấu trúc của không gian véctơ F2⊗A Pk, với

k > 5, tại một số dạng bậc và ứng dụng các kết quả này để kiểm chứng giả thuyếtcủa Singer về đồng cấu chuyển thứ năm T r5, tại các bậc tương ứng

Như chúng tôi đã trình bày ở trên, bài toán hit mới giải quyết hoàn toàn cho

số biến k 6 4 Cụ thể hơn, trường hợp k 6 2 đã được tính toán tường minh trongcông trình [28] của Peterson Trường hợp k = 3 là kết quả của Kameko thực hiệntrong Luận án [18] tại trường Đại học Johns Hopkins vào năm 1990 Đặc biệt,trong công trình này Kameko đưa ra một giả thuyết về một cận trên của số chiềukhông gian véctơ (F2 ⊗A Pk)n chỉ phụ thuộc vào số biến của đại số đa thức Pk,

cụ thể là dim(F2 ⊗A Pk)n 6 Q

16i6k

(2i− 1), với n là số nguyên dương tùy ý Giả

thuyết này được Kameko chứng minh là đúng đối với số biến k 6 3 Năm 2007,

N Sum [43] giải quyết trọn vẹn bài toán hit cho trường hợp k = 4 trong một bảnthảo dài 240 trang Công trình này sau đó được rút gọn lại và công bố chính thứcvào năm 2015 (xem Sum [48]) Dựa vào kết quả này, giả thuyết của Kameko vẫnđúng với k = 4 Tuy nhiên, giả thuyết này không còn đúng khi k > 5; kết quảnày đã được N Sum chứng minh đầy đủ và công bố trong các công trình [44, 45].Một trong những công cụ hữu hiệu để tính toán bài toán hit cũng như nghiêncứu đồng cấu chuyển của Singer là đồng cấu của Kameko fSq0∗ : (F2⊗A Pk)k+2d →(F2 ⊗A Pk)d, với d là một số nguyên dương tùy ý Đồng cấu này được cảm sinh

từ một F2-đồng cấu ψ : Pk −→ Pk xác định như sau:

Chú ý rằng, tác động của các đại số A và GLk trên Pk là giao hoán với nhau

Vì vậy, không gian véctơ (F2⊗APk) cũng có cấu trúc là một GLk-môđun Kameko

đã chứng minh trong [18], nếu µ(n) = k thì n − k là một số chẵn và đồng cấu

(gSq0

∗)d−t : (F2⊗A Pk)k(2d −1)+2 d m −→ (F2⊗A Pk)k(2t −1)+2 t m (0.1)

là một phép đẳng cấu các GLk-môđun với mọi d > t Tuy nhiên, giá trị của t làchưa xác định được cụ thể Trong công trình [14], N H V Hưng đã chỉ ra rằng

đồng cấu lặp (0.1) là đẳng cấu với mọi d> k − 2 Gần đây, trong quá trình nghiêncứu đồng cấu chuyển hạng năm của Singer, Tín-Sum [57] đã mở rộng kết quả nàycủa Hưng bằng việc chứng minh đồng cấu lặp (0.1) là một đẳng cấu với mỗi d> tnếu và chỉ nếu t> t(k, m) := max{0, k − α(m + k) − ς(m + k)}, trong đó ký hiệuς(n) là số nguyên không âm lớn nhất u sao cho số nguyên dương n chia hết cho

2u Ở đây, số t(k, m) là không vượt quá (k − 2), với bất kỳ số nguyên không âm

m Kết quả của Tín-Sum đóng vai trò quan trọng trong việc rút ngắn các tínhtoán bài toán hit tại một số dạng bậc

Từ một kết quả của Wood trong công trình [64], bài toán hit được rút gọn vềtính toán tại các bậc có dạng

n = s(2d − 1) + 2dm, (0.2)với s, d, m là các số nguyên không âm sao cho 1 6 s 6 k, m = 0 hoặc s − 2 6µ(m) 6 s − 1

Ta biết rằng, giải bài toán hit tại các dạng bậc n có dạng (0.2) tương đươngvới tìm một cơ sở của không gian véctơ (F2⊗A Pk)n Tuy nhiên, việc xác địnhtường minh được một cơ sở của (F2⊗A Pk)n là rất phức tạp, mặc dù đã có sự hỗtrợ của máy tính điện tử Trong nhiều trường hợp, nếu đánh giá ước lượng được

số chiều của không gian véctơ (F2⊗A Pk)n thì có thể giúp cho chúng ta thuận lợihơn trong việc tính toán Một trong các kết quả liên quan đến sự kiện này là bấtđẳng thức sau đây cho số chiều của không gian véctơ (F2⊗A Pk)(k−1)(2d −1) :

,

Ở đây, ký hiệu N (k, n) dùng để chỉ số các đơn thức spike bậc n trong Pk (xemĐịnh nghĩa 1.6.1) và n = (k − 1)(2d − 1) tương ứng như (0.2) cho trường hợp

s = k−1, m = 0 Bất đẳng thức trên được thiết lập bởi Mothebe trong luận án [25]của ông thực hiện tại trường Đại học Manchester năm 1997 và được công bố chínhthức trong [26] vào năm 2013 Cấu trúc của không gian véctơ (F2⊗A Pk)(k−1)(2d −1)

cũng được chúng tôi khảo sát trong luận án này và thu được kết quả sau đây (kếtquả này được công bố trong bài báo [30])

Định lý 2.1 Cho n = (k − 1)(2d− 1) với d là một số nguyên dương tùy ý Đặt

p = min{k, d} và q = min{k, d − 1} Nếu k > 3 thì

dim(F2⊗A Pk)n > X

16t6p

kt

+ (k − 3)k

2

X

16`6q

k

`



Dấu “=” xảy ra nếu và chỉ nếu hoặc k = 3 hoặc k = 4, d > 5 hoặc k = 5, d > 6

Từ định lý này và tính chất của các đơn thức spike, chúng tôi dễ dàng thu được

+ (k − 3)k

2

X

26`6q

k

`



Như vậy, bất đẳng thức của Mothebe ở trên được suy ra trực tiếp từ hệ quảnày Kết hợp các kết quả của Kameko [18], N Sum [47] và kết quả của chúng tôitrong Định lý 2.1, việc giải quyết bài toán hit đối với số biến k > 5 tại dạng bậc(k − 1)(2d − 1) được thuận lợi hơn và thu gọn lại một cách đáng kể

Ứng dụng Định lý 2.1, chúng tôi tính toán tường minh các đơn thức chấp nhậnđược bậc (k − 1)(2d − 1) trong Pk với k = 5, d là số nguyên dương bất kỳ Kếtquả chúng tôi thu được là định lý sau đây (kết quả này được công bố trong bàibáo [32])

Định lý 3.1 Số chiều của F2-không gian véctơ (F2 ⊗A P5)4(2d −1) xác định nhưbảng dưới đây:

n = 4(2d − 1) d = 1 d = 2 d = 3 d = 4 d > 5dim(F2⊗A P5)n 45 190 480 650 651Gần đây, trong các công trình [54, 55, 56], N K Tín bằng cách sử dụng tínhđẳng cấu của đồng cấu lặp của đồng cấu Kameko (0.1) đã tính toán tường minhbài toán hit đối với P5 tại dạng bậc như (0.2) với s = 5, m ∈ {1, 2, 3} Trườnghợp s = 5, m = 5 đã được N Sum tính toán cụ thể trong bài báo [50] Tiếp nốicác công trình này, chúng tôi nghiên cứu cho trường hợp m = 6 Cụ thể, chúngtôi xác định tường minh một cơ sở của F2-không gian véctơ F2 ⊗A P5 tại bậc5(2d− 1) + 6.2d, với d là một số nguyên dương tùy ý Kết quả chúng tôi đạt được

là định lý dưới đây (kết quả này với d = 1 đã được công bố chính thức trong bàibáo [31])

Định lý 3.2 Cho n = 5(2d − 1) + 6.2d với d là số nguyên dương tùy ý Khi đó,

ta có dim(F2⊗A P5)n = 566 nếu d = 1 và dim(F2⊗A P5)n = 2130 nếu d > 2.Bằng cách sử dụng trực tiếp Bổ đề 3.3 trong Hưng [14], ta dễ dàng tính đượcµ(83) = 5 Do đó, theo Bổ đề 3.5 trong Hưng [14], ta thấy rằng µ(5(2d−1)+6.2d) =

5, với mọi d > 3 Từ đây, áp dụng Định lý Kameko (xem Định lý 1.4.1), đồng cấulặp

(gSq0

∗)d−2 : (F2⊗A P5)5(2d −1)+6.2 d −→ (F2⊗A P5)5(22 −1)+6.2 2

là một đẳng cấu của các GL5-môđun, với mọi d > 2 Vì vậy, chúng tôi chỉ cầnchứng minh Định lý 3.2 cho các trường hợp d = 1, 2 Đối với trường hợp d = 1thì phép chứng minh là không quá khó nhưng với trường hợp d = 2 thì quá trìnhtính toán đòi hỏi nhiều kỹ thuật phức tạp Tuy nhiên, qua phép chứng minh nàychúng tôi thu được một số kỹ thuật mới khá thú vị để giải bài toán hit đối với sốbiến k = 5

Trên cơ sở sử dụng các kết quả nghiên cứu của bài toán hit đối với đại số P5

tại các bậc có dạng như (0.2), chúng tôi kiểm chứng giả thuyết của Singer trongtrường hợp hạng năm tại các bậc 4(2d−1) và 5(2d−1)+6.2d Cụ thể hơn, tại dạngbậc 4(2d− 1), N Sum [49] đã chứng minh (F2⊗A P5)GL5

4(2 d −1) = 0 Lấy đối ngẫu, ta

có F2⊗GL5 P H4(2d −1)(B(Z/2)5, F2) = 0, với mọi d Áp dụng kết quả này và cáckết quả của Lin [21], Chen [7] và Tangora [53], ta thấy rằng đồng cấu chuyển đạisố

T r5 : F2⊗GL5 P H4(2d −1)(B(Z/2)5, F2) → Ext5,4.2A d+1(F2, F2)

là đẳng cấu tầm thường Do đó, giả thuyết của Singer là đúng cho trường hợp

k = 5 tại bậc 4(2d− 1), với d là số nguyên dương bất kỳ

Đối với dạng bậc n = 5(2d − 1) + 6.2d, chúng tôi kiểm chứng giả thuyết củaSinger về đồng cấu T r5 tại bậc này cho trường hợp d = 1 tương ứng với n = 17

Cụ thể, chúng tôi ứng dụng Định lý 3.2, tính toán tường minh cơ sở của F2-khônggian véctơ (F2⊗A P5)GL5

17 Kết quả chúng tôi đạt được là định lý sau đây (kết quảnày được công bố trong bài báo [31])

Định lý 4.1.4 Có đúng một lớp trong (F2 ⊗A P5)17 khác 0 và bất biến đối vớitác động của nhóm GL5 Nghĩa là, dim(F2⊗A P5)GL5

đó, sử dụng kết quả của Singer [38], Hà [12], Tangora [53], ta thấy rằng phần tử

h2d0 = h0e0 ∈ Ext5,22A (F2, F2) là phân tích được và nằm trong ảnh của T r5 tạisong bậc (5, 22) Kết hợp nhận xét này với Định lý 4.1.4, chúng tôi thu được hệquả sau đây (kết quả này cũng được công bố trong bài báo [31])

Hệ quả 4.1.5 Đồng cấu chuyển đại số

n với d = 2 (tức là, n = 39) Như chúng ta đã biết, đồng cấucủa Kameko với k = 5 tại bậc 39:

39 > 1 Dễ thấy rằng, nếu giả thuyết của Singer về đồng cấuchuyển hạng năm T r5 là đúng tại bậc 39 thì dim(F2⊗A P5)GL5

39 = 1 Việc xác địnhcác phần tử của không gian này có dạng γ[ψ(d0)] + [a] như đã trình bày ở trên làrất phức tạp, tuy nhiên nếu dự đoán sau là đúng thì việc chứng minh đơn giảnhơn rất nhiều

Giả thuyết 4.1.6 Với k = 5 và bậc 39, ta có Ker(gSq0

• Chương 2, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc không gian véctơ (F2⊗A Pk)n với

n = (k − 1)(2d− 1) tương ứng với dạng bậc như (0.2) với s = k − 1, m = 0, d

là số nguyên dương tùy ý Cụ thể, chúng tôi mở rộng kết quả của Mothebe[25, 26], thiết lập một chặn dưới chặt hơn đối với số chiều của không gianvéctơ (F2⊗A Pk)(k−1)(2d −1) (xem Định lý 2.1).

• Chương 3, chúng tôi dựa vào kết quả trong Chương 2 và một số kết quả củaKameko [18], N Sum [48] để tính toán tường minh các đơn thức chấp nhậnđược trong P5 tại các bậc có dạng như (0.2) với s ∈ {4, 5} và m ∈ {0, 6}(xem Định lý 3.1 và 3.2)

• Chương 4, bằng cách sử dụng các kết quả nghiên cứu bài toán hit, chúng tôixác định tường minh các GL5-bất biến của P5 tại bậc n = 5.(2d− 1) + 6.2d với

d = 1 (xem Định lý 4.1.4) Ứng dụng kết quả này và một số kết quả đã biếtcủa Singer [38], Hà [12], và Tangora [53], chúng tôi chứng minh giả thuyếtcủa Singer là đúng trong trường hợp hạng năm và tại bậc 5(2d− 1) + 6.2d với

d = 1 (xem Hệ quả 4.1.5) Ngoài ra, dựa vào các kết quả của N Sum [49], Lin[21], Chen [7] và Tangora [53], chúng tôi chứng minh giả thuyết của Singercũng đúng với k = 5 và tại bậc 4(2d − 1), với d là số nguyên dương bất kỳ.Trong phần Phụ lục, chúng tôi liệt kê tất cả các đơn thức chấp nhận được trong

P5 đã tính toán trong Chương 3

Luận án được viết dựa trên các công trình [30, 31, 32]

Tác giả

Đặng Võ Phúc

1.1 Cấu trúc đại số Steenrod mod 2

Vào năm 1947, Steenrod [40] xây dựng các toán tử đối đồng điều ổn định

Sqk : H•(X, F2) → H•+k(X, F2),với k là số nguyên không âm, tác động tự nhiên lên đối đồng điều kỳ dị của khônggian tôpô X, lấy hệ số trên trường nguyên tố F2, có hai phần tử Các toán tử nàyngày nay được gọi là toán tử Steenrod (hay dãy Steenrod) và có các tính chất sauđây (xem Steenrod and Epstein [42]):

(i) Sqi(u + v) = Sqi(u) + Sqi(v), với mọi u, v ∈ H•(X, F2)

(v) Công thức Cartan (xem Cartan [67]):

Sqi(u ^ v) = X

06t6i

Sqt(u) ^ Sqi−t(v), ∀u, v ∈ H•(X, F2)

(vii) Quan hệ Adem (xem Adem [2])

trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo mod 2

Đại số sinh bởi các toán tử Steenrod Sqi được gọi là đại số Steenrod mod 2,

Chú ý rằng, từ công thức Cartan, Sqi(u ^ v) 6= Sqi(v) ^ Sqi(v) Tuy nhiên,

ta có định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.1.2 (Walker and Wood [61]) Toán tử Sq := P

i>0

Sqi được gọi làtoán tử Steenrod tổng Toán tử này thỏa mãn

Định nghĩa 1.1.3 (Steenrod and Epstein [42]) Ta nói một phần tử bậc i > 0trong đại số A gọi là phân tích được, nếu nó có thể viết dưới dạng tổng của cáchợp thành các phần tử trong A có bậc nhỏ hơn i.

Định lý 1.1.4 (Steenrod and Epstein [42]) Toán tử Sqi là không phân tích đượckhi và chỉ khi i là lũy thừa của 2 Tập hợp tất cả các phần tử Sq2i, i > 0 và Sq0

là một tập sinh cực tiểu của F2-đại số A

Trong [22], Milnor chỉ ra rằng đại số Steenrod A là đại số Hopf liên thông, đốigiao hoán, có kiểu hữu hạn với đối tích và phép bổ sung cho bởi

đa thức Trong mục này, chúng tôi nhắc lại cấu trúc cổ điểnA-môđun trái (không

ổn định) của đại số đa thức Pk

Ký hiệu (Z/2)k là 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k và B(Z/2)k là không gian phânloại của nó Biết rằng, H∗(B(Z/2), F2) ∼= F2[x] với deg x = 1 nên theo công thứcK¨unneth, chúng ta có

Tác động trái của A trên Pk được xác định tường minh bởi công thức

Sau đây là một số kết quả cổ điển về tác động của A trên Pk

Mệnh đề 1.2.1 (Walker and Wood [61]) Cho f là một đa thức thuần nhất trong

Pk Thế thì

(i) Nếu i > deg f thì Sqi(f ) = 0 Nếu i = deg f thì Sqi(f ) = f2

(ii) Nếu i không chia hết cho 2s thì Sqi(f2s) = 0

Định nghĩa 1.3.1 Cho n ∈ N Ký hiệu αi(n) là hệ số thứ i trong khai triển nhịphân của n, tức là n có dạng như sau

n = α0(n)20 + α1(n)21+ α2(n)22+ · · · ,trong đó αi(n) = 0 hoặc αi(n) = 1, với mọi i > 0 Hàm số học α : N −→ N xácđịnh bởi

α(n) =X

i>0

αi(n), ∀n ∈ N

Từ định nghĩa này, ta thấy rằng α(n) là số các hệ số 1 trong khai triển nhị phâncủa n.

Mệnh đề 1.3.4 (Sum [44, 45, 50]) Cho n là một số nguyên dương Khi đó,µ(n) = r khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một dãy số nguyên d1 > d2 > >

dr−1> dr > 0 sao cho

n = 2d1 + 2d2 + · · · + 2dr−1 + 2dr − r

Trong bài báo [50], N Sum đã chứng minh chi tiết mệnh đề này Chú ý rằng,tính chất này của hàm µ có thể đã được biết đến bởi các chuyên gia; tuy nhiêncho đến nay chúng tôi chưa tìm được tài liệu chính thống về số học trình bàychính thức kết quả này

Hệ quả 1.3.5 Cho n là một số nguyên dương Khi đó, chúng ta có:

(i) µ(n) > k khi và chỉ khi α(n + k) > k

(ii) n − µ(n)> 0 và là số chẵn Ngoài ra, µ n − µ(n)

2



6 µ(n)

(iii) µ(2n + µ(n)) = µ(n)

Chúng tôi nhắc lại một kết quả quan trọng của Wood [64] về số chiều của

F2-không gian véctơ (F2 ⊗A Pk)n thông qua hàm số học µ(n) Chú ý rằng, kếtquả này là một giả thuyết của Peterson [28] đưa ra năm 1987 khi nghiên cứu bàitoán hit Ông chứng minh nó cho trường hợp k 6 2 và sau đó Wood [64] chứngminh cho trường hợp tổng quát

Định lý 1.3.6 (Wood [64]) Nếu µ(n) > k thì dim(F2⊗A Pk)n = 0

1.4 Đồng cấu Kameko

Ký hiệu GLk := GL(k, F2) là nhóm tuyến tính tổng quát trên trường F2 Nhóm

GLk tác động trái trên Pk cho bởi

(w(f ))(x1, x2, , xk) = f (w(x1), w(x2), , w(xk)),trong đó w = (wij) ∈ GLk và w(xj) =

k

X

i=1

wijxi, 1 6 j 6 k Khi đó, Pk có cấutrúc là một GLk-môđun trái Vì tác động của đại số A và GLk trên Pk là giaohoán với nhau nên (F2⊗A Pk) cũng có cấu trúc là một GLk-môđun

Với d là số nguyên dương bất kỳ, ký hiệu (F2 ⊗A Pk)GLk

d là không gian concủa F2 ⊗A Pk sinh bởi các lớp bậc d bất biến dưới tác động của nhóm GLk Tabiết rằng, đối ngẫu của (F2 ⊗A Pk)GLk

d là F2 ⊗GLk P Hd(B(Z/2)k), F2), trong đó

P H∗(B(Z/2)k), F2) là không gian con của H∗(B(Z/2)k), F2) gồm tất cả các phần

tử bị triệt tiêu bởi tác động của mọi toán tử Steenrod bậc dương Khi đó, đồngcấu của Kameko fSq0 xác định trên F2⊗GLk P Hd(B(Z/2)k, F2) là đồng cấu

Chú ý rằng, đồng cấu fSq0∗ : (F2⊗A Pk)GLk

k+2d −→ (F2⊗A Pk)GLk

d là đối ngẫu củađồng cấu Kameko fSq0 Hơn nữa, đồng cấu fSq0∗ được cảm sinh từ đồng cấu sauđây cũng được ký hiệu là

f

Sq0∗ : (F2⊗A Pk)k+2d → (F2⊗A Pk)d.Đồng cấu này cũng được gọi là đồng cấu của Kameko và nó được cảm sinh từmột F2-đồng cấu ψ : Pk −→ Pk xác định bởi

Một kết quả quan trọng của Kameko [18] sau đây được chứng tôi ứng dụng đểtính toán bài toán hit trong các chương tiếp theo

Định lý 1.4.1 (Kameko [18]) Cho d là số nguyên dương Nếu µ(2d + k) = k, thìđồng cấu fSq0∗ : (F2⊗A Pk)2d+k −→ (F2⊗A Pk)d là một đẳng cấu GLk-môđun.Định lý sau đây được phát biểu và chứng minh trong [57] cho ta một điều kiệncần và đủ về sự đẳng cấu của đồng cấu lặp của đồng cấu Kameko

Định lý 1.4.2 (Tín-Sum [57]) Cho d là số nguyên không âm bất kỳ Đồng cấulặp Kameko

(gSq0

∗)d−t : (F2⊗A Pk)k(2d −1)+2 d m −→ (F2⊗A Pk)k(2t −1)+2 t m

là một đẳng cấu GLk-môđun với mọi d > t nếu và chỉ nếu t > t(k, m), với bất kỳ

số nguyên không âm m trong đó

đẳng cấu của đồng cấu lặp của đồng cấu Kameko trong bài báo [14] Hơn nữa,kết quả này giúp cho việc giải bài toán hit tại một số dạng bậc được rút ngắn lạimột cách đáng kể.

1.5 Quan hệ thứ tự giữa các đơn thức và

ω(x) = (ω1(x); ω2(x); , ωi(x); ),σ(x) = (a1; a2; ; ak),

trong đó ωi(x) = P

16j6k

αi−1(aj) = deg XJi−1(x), i > 1

Dãy số ω(x) được gọi là véctơ trọng của x và dãy σ(x) được gọi là véctơ lũythừa của x

Dãy các số nguyên không âm ω = (ω1, ω2, , ωi, ) gọi là véctơ trọng nếu

ωi = 0, với i đủ lớn Ta định nghĩa deg ω = P

i>1

2i−1ωi.Quy ước: Các tập các véctơ trọng và các véctơ lũy thừa được sắp thứ tự từđiển trái

Bây giờ, cho ω là một véctơ trọng Nếu tồn tại i0 = 0, i1, i2, , ir > 0 sao cho

Ta nói x < y nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

Khi đó, Pk(ω) và Pk−(ω) là các không gian véctơ con của Pk

Định nghĩa 1.5.3 (Kameko [18], Sum [48]) Cho ω là véctơ trọng và f, g là các

đa thức thuần nhất cùng bậc trong Pk

(i) f ≡ g nếu và chỉ nếu (f + g) ∈A +.Pk Nếu f ≡ 0 thì f là đa thức hit.(ii) f ≡ω g nếu và chỉ nếu (f + g) ∈ A +.Pk + Pk−(ω)

Với định nghĩa như trên, rõ ràng “≡” và “≡ω” là các quan hệ tương đương

Ký hiệu QPk(ω) là không gian véctơ thương của Pk(ω) theo quan hệ tươngđương “≡ω” Khi đó

QPk(ω) = Pk(ω)/((A +.Pk ∩ Pk(ω)) + Pk−(ω))

Bây giờ, cho f là đa thức bất kỳ trong Pk, ký hiệu [f ] là lớp tương đương trong

F2⊗A Pk được đại diện bởi f Nếu ω là véctơ trọng và f ∈ Pk(ω) thì ta ký hiệu[f ]ω là lớp tương đương trong QPk(ω) được đại diện bởi f

Định nghĩa 1.5.4 (Kameko [18]) Đơn thức x trong Pk được gọi là không chấpnhận được (inadmissible) nếu tồn tại các đơn thức y1, y2, , ym trong Pk sao cho

yi < x với i = 1, 2, , m và x ≡ P

16i6m

yi.Đơn thức x trong Pk được gọi là chấp nhận được (admissible) nếu nó khôngphải là đơn thức không chấp nhận được

Ký hiệu

QPkω := h{[x] ∈ F2⊗A Pk : x là đơn thức chấp nhận được và ω(x) = ω}.Thế thì QPkω ⊂ F2⊗A Pk và theo kết quả trong [48], ta có

(ii) Ta thấy rằng, một đơn thức không chấp nhận được chặt là đơn thức khôngchấp nhận được Tuy nhiên, chưa có một ví dụ nào về đơn thức không chấp nhậnđược nhưng không phải không chấp nhận được chặt Hơn nữa, khái niệm đơn thứckhông chấp nhận được chặt là cần thiết cho kết quả sau đây của Kameko [18] và

N Sum [48] về một tiêu chuẩn đối với các đơn thức không chấp nhận được khitính toán bài toán hit tại một dạng bậc nào đó

Định lý 1.5.7 (Kameko [18], Sum [48]) Cho x, y, w là các đơn thức trong Pk saocho ωi(x) = 0 với mọi i > r > 0, ωs(w) > 0 và ωi(w) = 0 với mọi i > s > 0.(i) Nếu w là không chấp nhận được thì xw2r cũng không chấp nhận được.

(ii) Nếu w là không chấp nhận được chặt thì wy2s cũng không chấp nhận đượcchặt

F2⊗A Pk = (F2⊗A Pk0) ⊕ (F2⊗A Pk+)

Chú ý 1.5.9 Chúng tôi thiết lập một công thức tính trực tiếp số chiều của F2không gian véctơ F2⊗A Pk0 tại một dạng bậc n tùy ý Chú ý rằng, công thức nàytương tự như một công thức của Mothebe trong [27]

dim(F2 ⊗A Pk0)n = X

16r6k−1

kr

dim(F2 ⊗A Pr+)n

Như vậy, kết hợp Mệnh đề 1.5.8, để xác định một cơ sở của F2-không gian véctơ

F2⊗A Pk chúng ta chỉ cần xác định cơ sở của F2⊗A Pk+ là đủ

1.6 Tiêu chuẩn đơn thức hit của Singer

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại kết quả trong [39] về các đơn thức hit trong

Pk và một số ứng dụng

Định nghĩa 1.6.1 (Singer [39]) Đơn thức z = xa1

1 xa2

2 xak

k trong Pk được gọi

là spike nếu aj = 2sj − 1 với sj ∈ Z+, j = 1, 2, , k Nếu z là một spike sao cho

s1 > s2 > sr−1 > sr > 0 và sj = 0 với j > r thì z là được gọi là spike cực tiểu.Trong [39], Singer chứng minh rằng nếu µ(n) 6 k thì tồn tại duy nhất một đơnthức spike cực tiểu bậc n trong Pk

Bổ đề sau đây cho ta mối liên hệ giữa véctơ trọng và đơn thức spike

16`6k

xa`

` Vìdeg u < deg z nên tồn tại t với 1 6 t 6 k sao cho at < 2st − 1 Theo công thứcCartan, chúng ta có

Vì 2st − 1 − at 6 2st − 1 nên tồn tại ` > 0 sao cho α`(2st − 1 − at) = 1 Thế thì

α`(at) = 0 Khi đó, theo Bổ đề Lucas trong [24], at

2 st −1−a t
là một số chẵn hay

a t

2 st −1−a t
= 0 (mod 2) Do đó, Sq2st−1−a t(xat

t ) = 0 Điều này dẫn đến z = 0 (mâuthuẫn) Như vậy, z là đơn thức chấp nhận được

Dựa theo Định nghĩa 1.5.1 và 1.6.1, rõ ràng nếu z là đơn thức spike trong Pkthì ω(z) là một dãy giảm yếu

Bây giờ, chúng tôi chứng minh cho phần thứ hai của bổ đề

Giả sử véctơ trọng ω = (ω1, ω2, ) là dãy giảm yếu sao cho ω1 6 k Với j > k,

ta ký hiệu aj là số nguyên không âm sao cho

Định lý sau đây của Singer [39] là sự tổng quát một kết quả của Wood [64] đưa

ra về đơn thức hit năm 1989 Hơn nữa, kết quả này là một tiêu chuẩn giúp cho

ta loại các đơn thức bị hit mà không thông qua định nghĩa khi tính toán bài toánhit tại một dạng bậc nào đó

Định lý 1.6.3 (Singer [39]) Cho x là đơn thức bậc n trong Pk sao cho µ(n) 6 k

và z là spike cực tiểu bậc n Nếu ω(x) < ω(z) thì x là đơn thức hit

Từ kết quả này, ta thấy rằng nếu ω là véctơ trọng cực tiểu trong tập hợp tất

cả các véctơ trọng cùng bậc với ω thì hai quan hệ “≡” và “≡ω” trong Định nghĩa1.5.3 là trùng nhau

1.7 Một số kết quả về bài toán hit

Từ kết quả của Định lý 1.3.6, 1.4.1 và các kết quả của N Sum trong công trình[48], bài toán hit được rút gọn về tính toán tại các bậc có dạng "tổng quát" sau

n = s(2d − 1) + 2dm, (1.1)với s, d, m là các số nguyên không âm sao cho 16 s 6 k và m = 0 hoặc s − 2 6µ(m) 6 s − 1

Định lý sau đây được phát biểu và chứng minh trong Sum [48] cho ta một côngthức truy hồi theo số biến của đại số Pk đối với số chiều của không gian véctơ(F2⊗A Pk)n

Định lý 1.7.1 (Sum [48]) Cho n có dạng như (1.1) với s = k − 1 và d, m là các

số nguyên dương thỏa mãn:

1 6 k − 3 6 µ(m) < k − 1, α(m + µ(m)) = µ(m), d > k − 1 > 3

Khi đó

dim(F2⊗A Pk)n = (2k − 1) dim(F2⊗A Pk−1)m.Trong trường hợp d > k và µ(m) = k − 2, định lý được chứng minh bởi Nam[68] Đối với trường hợp d > k và µ(m) = k − 3, kết quả của định lý cũng đã đượcchứng minh bởi Sum trong bài báo [45]

Dựa theo Định lý 1.7.1, bằng cách quy nạp theo k, chúng ta có hệ quả sau đây

Hệ quả 1.7.2 (Sum [48]) Cho n = P

Hệ quả 1.7.3 (Sum [44, 45]) Cho n = P

r+16i6k

(2i− 1)

 dim Ker(fSq0∗)(r,nr),

trong đó, (fSq0∗)(r,nr) : (F2⊗A Pr)2nr+r −→ (F2⊗A Pr)nr là đồng cấu của Kamekof

Sq0∗ tại bậc 2nr + r Ở đây, quy ước Q

cụ chính để nghiên cứu bài toán hit: hàm số học µ(n), đồng cấu fSq0∗ của Kameko

và trình bày lại các định nghĩa về đơn thức chấp nhận được, đơn thức không chấpnhận được, đơn thức không chấp nhận được chặt; chúng tôi nhắc lại một số kếtquả quan trọng đã biết của bài toán hit (xem Mệnh đề 1.3.4, Định lý 1.4.1, Định

lý 1.5.7, Mệnh đề 1.5.8, Bổ đề 1.6.2, Định lý 1.6.3 và Định lý 1.7.1) để ứng dụngchứng minh các kết quả chính trong Chương 2 và tính toán bài toán hit đối vớiđại số đa thức P5 tại một số dạng bậc có dạng như (1.1) trong Chương 3

Định lý 2.1 Cho n = (k − 1)(2d − 1) với d là một số nguyên dương Đặt

p = min{k, d} và q = min{k, d − 1} Nếu k > 3 thì

dim(F2⊗A Pk)n > X

16t6p

kt

+ (k − 3)k

2

X

16`6q

k

`



Dấu “=” xảy ra nếu và chỉ nếu hoặc k = 3 hoặc k = 4, d > 5 hoặc k = 5, d > 6

Định nghĩa 2.1.2 (Sum [48]) Cho (i; I) ∈ Nk, r = `(I) và u là số nguyên,

Bây giờ, cho (i; I) ∈ Nk và j ∈ Nk Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.3 (Sum [48]) Cho (i; I) ∈ Nk Ký hiệu

x(I;u) = x2iurư1+2rư2+···+2rưu Y

u<t6r

x2itrưt,

với 1 6 u 6 r = `(I) và quy ước x(∅;1) = 1 Định nghĩa ánh xạ F2-tuyến tính

φ(i;I) : Pkư1 → Pk cho bởi

Sau đây là một vài ví dụ về đồng cấu φ(i;I)

• Xét I = (j), 1 6 i < j 6 k Đơn thức x = xa1

1 xa2

2 xakư1

kư1 ∈ Pkư1 là 1-tươngthích với (i, I) nếu và chỉ nếu ajư1 > 1, α0(ajư1) = 1 và φ(i,I)(x) = xiτi(x)

xj .

• Xét k = 4, I = (2, 3, 4) và đơn thức x = x12

1 x62x93 Từ đó, r = `(I) = 3 và với

u = 1, ta có

F2-đại số p(i;I) : Pk −→ Pk−1 xác định bởi

s∈I

xs−1 nếu j = i,

xj−1 nếu i < j 6 k

Chú ý rằng, p(i;I) cũng là đồng cấu A-môđun Nói riêng, nếu I = ∅ thì

p(i;∅)(xi) = 0, p(i;∅)(τi(y)) = y, ∀i = 1, k, ∀y ∈ Pk−1

Bổ đề 2.1.5 Cho x là đơn thức bất kỳ trong Pk Thế thì, p(i;I)(x) ∈ Pk−1(ω(x))

Nếu I = ∅, thì p(i;I)(x) = 0 Nếu I 6= ∅ thì p(i;I)(x) có dạng

16u6c su∈I

16u6c su∈I

16u6c su∈I

y :=



Y

Từ đây, ta nhận được ω(y) = ω(x) với mọi u, 16 u 6 c

Giả sử tồn tại chỉ số u sao cho αtu(asu) = 1 Gọi u0 là chỉ số nhỏ nhất sao cho

Vậy, ω(y) < ω(x) và y = p(i;I)(x) ∈ Pk(ω(x)) Bổ đề được chứng minh.

Chúng tôi ký hiệu X = x1x2 xk−1 là đơn thức trong Pk−1 Đặt

ω(k,d)= ((k − 1)(d)), ω(k,d) = ((k − 1)(d−1), k − 3, 1),với d là một số nguyên dương Từ Bổ đề 2.1.5, nếu ω là một véctơ trọng và

x ∈ Pk(ω), thì p(i;I)(x) ∈ Pk−1(ω) Vì thế, đồng cấu p(i;I) cảm sinh một đồng cấu

F2-không gian véctơ từ QPk(ω) đến QPk−1(ω) Nói riêng, ta có bổ đề sau đây

Bổ đề 2.1.6 (Sum [48]) Cho d là một số nguyên dương và (j; J ), (i; I) ∈ Nk với

`(I) < d

(i) Nếu (i; I) ⊂ (j; J ), thì p(j;J )φ(i;I)(X2d−1) = X2k−1 mod Pk−1− (ω(k,d)))

(ii) Nếu (i; I) 6⊂ (j; J ), thì p(j;J )φ(i;I)(X2d−1) ∈ Pk−1− (ω(k,d))

2.2 Chứng minh Định lý 2.1

Chúng tôi đưa ra một số kết quả bổ trợ cho phép chứng minh

Bổ đề 2.2.1 (Sum [45]) Cho d là một số nguyên dương và j0, j1, , jd−1 ∈ Nk.Đặt i = min{j0, j1, , jd−1}, I = {j0, j1, , jd−1} \ {i} = {i1, i2, , ir} với

mở rộng kết quả của Mothebe [25, 26] là tính toán tường minh số chiều của F2không gian véctơ QPk(ω(k,d)) và QPk(ω(k,d)) Sau đây là các kết quả về số chiềucủa QPk(ω(k,d)) và QPk(ω(k,d)) (các kết quả này được trích ra từ công trình [30]).Mệnh đề dưới đây cho ta một cơ sở và số chiều của F2-không gian véctơ con

-QPk(ω(k,d)) Kết quả này có ý nghĩa rất lớn trong việc rút gọn các tính toán củabài toán hit đối với đại số P5 tại dạng bậc 4(2d − 1) trong chương tiếp theo.Mệnh đề 2.2.2 Cho d là số nguyên dương và p = min{k, d} Khi đó, tập hợp

QPk(ω(k,d)) Thật vậy, với mọi đơn thức x =

Vậy B(d) là hệ sinh của không gian véctơ QPk(ω(k,d))

Bây giờ, chúng tôi chứng minh B(d) là độc lập tuyến tính trong QPk(ω(k,d)).Thật vậy, giả sử có ràng buộc tuyến tính

S = X

(i;I)∈N k,p

γ(i;I)φ(i;I)(X2d−1) ≡ 0, (2.1)

trong đó, γ(i;I) ∈ F2 Ta đi chứng minh γ(i;I) = 0, với mọi (i; I) ∈ Nk,p

Ta chứng minh γ(j;J ) = 0 bằng cách quy nạp theo `(J ), với mọi (j; J ) ∈ Nk,p

• Với mọi j = 1, k, tác động các đồng cấu p(j;∅) vào hai vế của (2.1) và áp dụng

p(j;J )(S) = X

(i;I)∈N k,p

γ(i;I)p(j;J ) φ(i;I)(X2d−1)
≡ω(k,d) 0

≡ω(k,d) γ(j;J )X2d−1 ≡ω(k,d) 0

Khi đó, γ(j;J ) = 0, với mọi (j; J ) ∈ Nk,p Mệnh đề được chứng minh

Bây giờ, chúng tôi ký hiệu

Ck = {xj1xj2 xjk−3x2j : 1 6 j1 < j2 < < jk−3 6 k − 1, j1 6 j 6 k − 1}

Dễ thấy, Ck ⊂ Pk−1 và |Ck| = (k − 3) k2
Với mỗi x ∈ Ck, ta có

x = xj1xj2 xjk−3x2j = XJ0(x)XJ2

1 (x),với J0(x) = Nk \ {j1, j2, , jk−3} và J1(x) = Nk\ {j} Khi đó, ω(x) = (k − 3; 1),

Bổ đề 2.2.3 Ck là tập tất cả cả các đơn thức chấp nhận được với véctơ trọng lượngcủa các đơn thức đó là ω(k,1) Điều này có nghĩa, dim QPk−1(ω(k,1)) = (k − 3) k2
.Chứng minh Cho z là đơn thức trong Pk−1 sao cho ω(z) = (k − 3, 1) Thế thì

Giả sử z ∈ Ck Nếu tồn tại j = jt thì z là spike Do đó, theo Bổ đề 1.6.2 thì

z là chấp nhận được Giả sử j > jt với mọi 1 6 t 6 k − 3 Nếu z là không chấpnhận được thì tồn tại các đơn thức y1 < z, y2 < z, , ys < z sao cho

z = y1+ y2+ · · · + ys+ X

m>0

Sq2m(gm),

trong đó gm là đơn thức phù hợp trong Pk−1 Vì yt < z nên z là hạng tử củaP

m>0

Sq2m(gm) Theo công thức Cartan thì z không là hạng tử của Sq2m(gm) với

m > 0 Nếu z là hạng tử của Sq1(y) với y là đơn thức trong Pk−1 thì y =

xj1xi2 ˆxjt xjk−3xj := y Điều này có nghĩa là y là hạng tử của g0 Mặt khác

Sq2m(gm) Lập luận tương tự như trên, ta nhận được y là hạng

tử của g0 + y Điều này mâu thuẫn với y là hạng tử của g0 Bổ đề được chứngminh

Hệ quả 2.2.4 Cho d là một số nguyên dương Thế thì

Phép chứng minh bổ đề sau đây tương tự như Bổ đề 3.7 trong [48] Tuy nhiên,quan hệ “≡” sử dụng ở Bổ đề 3.7 trong [48] được thay bằng quan hệ “≡ω(k,d)”

Bổ đề 2.2.5 (Sum [49]) Cho d là một số nguyên dương và y ∈ D(k,d), (i; I), (j; J ) ∈

y nếu (j; J ) = (i; I),

0 nếu (j; J ) 6= (i; I)