Nguyên lý so sánh đối với toán tử monge ampère phức trong các lớp cegrell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------ ĐẶNG VĂN THẮNG NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC... Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ba

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

ĐẶNG VĂN THẮNG

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

ĐẶNG VĂN THẮNG

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2017

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Đặng văn Thắng

ii

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên

để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2017

Tác giả Đặng Văn Thắng

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán tử Monge-Ampère phức (dd c.)n đối với lớp hàm đa điều hòa dưới

bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị được E Bedford và B.A Taylor [2] xây dựng từ năm 1982 Đồng thời các tác giả đã thiết lập và sử dụng nguyên lý so sánh để nghiên cứu các bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong

( )

loc

PSH ÇL¥ W Bài toán mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampère

đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả Năm 1998, Cegrell [3] định nghĩa các lớp năng lượng E F E0, p, p trên đó toán tử Monge-Ampère phức hoàn toàn xác định Năm 2004, Cegrell [4] định nghĩa các lớp E F, và chỉ ra rằng lớp E là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampère phức (dd c.)n Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge – Ampère xác định, liên

tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới Các lớp này còn được gọi là các lớp Cegrell Nghiên cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán Dirichlet [5] Nguyên lí so sánh cổ điển của Bedford và Taylor có ứng dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong trường hợp n

Gần đây, nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu nguyên lý so sánh trong trong một

số lớp tổng quát hơn từ đó áp dụng việc giải bài toán Dirichlet trong các lớp

tổng quát đó Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức trong các lớp Cegrell ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của N.V Khue và P.H Hiep ([8]) về Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức trong các lớp Cegrell

2

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số kiến thức cơ sở trong lý thuyết đa thế vị, nguyên lí

so sánh trong các lớp Cegrell và một vài áp dụng

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần Mở đầu, hai chương nội dung, phần Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo, được viết dựa trên các tài liệu [1] và [8]

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn Kết quả chính của chương là Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh kiểu Xing Trong Mục 2.1, chúng tôi nhắc lại một số lớp Cegrell Trong Mục 2.2, nhắc lại khái niệm dung lương

và sự hội tụ theo dung lượng Mục 2.3, trình bày các nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới theo C - n dung lượng Mục 2.4 tập trung vào các Định lý 2.4.2 và 2.4.9 Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có một vài kết quả về các lớp Cegrell Trong Định lý 2.4.4, trình bày ước lượng địa phương đối với

độ đo Monge – Ampère theo nghĩa dung lượng tương đối Bedford-Taylor Trong phần áp dụng, trong Định lý 2.4.5 đã chỉ ra kết quả phân rã các độ đo Monge – Ampère, tương tự Định lý 6.1 ([3]) Cuối cùng từ Mệnh đề 2.3.3 và Định lý 2.4.2, ta có nguyên lý so sánh kiểu Xing đối với lớp F và E

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

3

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hoà dưới

Định nghĩa 1.1.1 Cho W là một tập con mở của £n và u :W® - ¥ ¥é , )

Kí hiệu PSH W là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong ( ) W

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:

Mệnh đề 1.1.2 Nếu , u v Î PSH( )W và u = v hầu khắp nơi trong W thì

u º v

Mệnh đề 1.1.3 Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £n và

( )

u Î PSH W thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W,

( ) sup lim sup ( )

y y

rỗng của W Giả sử u Î PSH( ), W v Î PSH w( ) và lim supx®y v x( )£ v y( )

với mọi y Î ¶ Ç Ww Khi đó

w

ìïï

= íï

Wïî

là hàm đa điều hoà dưới trên W

Chứng minh Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W Chỉ cần chứng tỏ nếu

Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, ở đó WwW là bao đóng của

w lấy trong W Chỉ cần xét trường hợp a Î wWÇ W Khi đó ( )w a = u a( )

ii Cho u Î PSH( )W , v Î PSH( )W , và v > 0 trong W Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi

và tăng dần thì v u f ( / )v là đa điều hoà dưới trong W

F = z Î W v z = - ¥ là một tập con đóng của W ở đây v Î PSH( )W

Nếu u Î PSH( \W F) là bị chặn trên thì hàm u xác định bởi

ïïïïî

là đa điều hoà dưới trong W

Hàm (u E,W)* là đa điều hoà dưới trong W

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối

Mệnh đề 1.2.2 Nếu E1 Ì E2 Ì W Ì W1 2 thì

1 , 1 2 , 1 2 , 2

u W ³ u W ³ u W

Định nghĩa 1.2.3 Miền bị chặn WÌ £ gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một n

hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục :r W® - ¥( , 0) sao cho với " >c 0

Chứng minh Nếu r < 0 là một hàm vét cạn đối với W thì với số M > 0 nào

đó, M r < - 1 trên E Như vậy M r £ u E,W trong W Rõ ràng, lim ( ) 0

z z

w r

và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm

Mệnh đề 1.2.5 Nếu WÌ £ là miền siêu lồi và K Ì W là một tập compact n

Chứng minh Lấy u = u E,W và ký hiệu F Ì PSH( )W là họ các hàm u Giả sử

r là hàm xác định của W sao cho r < - 1 trên K Khi đó r £ u trong W Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi e Î (0,1) tồn tại v Î C( )W Ç Sao cho F

u - e £ v £ u trong W Thật vậy, lấy e Î (0,1) Þ tồn tại h > 0 sao cho

u - e < r trong W W\ h và K Ì Wh, trong đó

W =h {z Î W:dist z( ,¶ W >) h}

Theo Định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và Định lý Dini

có thể tìm được s > 0 sao cho u * cd - e < r trên ¶W và u *c d- e < - 1trên K Đặt

h e

u- e £ max{u- e r, }£ v e £ u

tại mỗi điểm trong W

Mệnh đề 1.2.6 Cho WÌ £n là tập mở liên thông và E Ì W Khi đó các điều kiện sau tương đương :

( )i u E*,Wº 0;

( )ii Tồn tại hàm v Î PSH( )W âm sao cho E Ì {z Î W: ( )v z = - ¥ }

9

sao cho

1

j j

xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa 1

và gọi là toán tử Monge-Ampère của u

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère

Mệnh đề 1.3.2 Giả sử { }m j là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ ¡ hội n

tụ yếu tới độ đo Radon m Khi đó

cận mở của K và j Î C V0( ), 0 £ j £ và 1 j = 1 trên K Khi đó

c Viết E = IntE È ¶ Khi đó E

( ) (int ) lim inf j(int ) lim inf j( )

12

Mệnh đề 1.3.3 Giả sử WÌ £ là miền bị chặn và n u v, Î PSH( )W ÇL loc¥ ( )W

sao cho u v £ , 0 trên W và lim ( ) 0

z u z

® ¶ W = Giả sử T là ( n- 1,n - 1)- dòng dương, đóng trên W Khi đó

1.4 Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor

Định lý 1.4.1 Giả sử WÌ £ là miền bị chặn và n u v, Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

e > tồn tại K Ð sao cho W " Î Wz \ K thì ( )u z - v z( )³ - Hơn nữa khi e

thay u bởi u + d d, > 0 thì {u + d< v}Z {u < v} khi d ] 0 Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên {u + d < v} thì cho d ] 0 suy ra (1.1) đúng trên {u < v} Vì vậy có thể giả sử lim inf( ( ) ( )) 0

z u z v z d

® ¶ W - ³ > Vậy {u < v}Ð W

13

u z + ³e v z + >d v z với z gần biên ¶W Vậy u e = u z( )+ e gần biên

¶W và ue ] v trên W¢ Theo công thức Stokes ta có

trên W Khi đó u ³ v trên W

Chứng minh Đặt y( )z = z 2 - M , với M được chọn đủ lớn sao cho y < 0

trên W Giả sử {u < v}¹ Æ Khi đó có e > 0 sao cho {u < v + ey}¹ Æ

và do đó nó có độ đo Lebesgue dương Theo Định lí 1.4.1 ta có

16

Hệ quả 1.4.3 Giả sử WÌ £ là miền bị chặn và n u v, Î PSH( )W ÇL¥ ( )W sao

cho lim inf( ( ) ( )) 0

17

Chương 2 NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL

Chương này trình bày nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức trong các lớp Cegrell Kết quả chính của chương là Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh kiểu Xing Đó là tổng quát hóa Bổ đề 5.4 trong [3] và Bổ

đề 3.4 trong [7]

2.1 Các lớp Cegrell (xem [3] và [4])

Ký hiệu W là miền siêu lồi bị chặn trong £ n PSH- ( )W là lớp các hàm

đa điều hòa dưới âm trên W Ta có các định nghĩa sau:

E= E( )W = {j Î P SH- ( ) : zW " 0 Î W tồn tại lân cận w của z0,

j j Î E0, j j ] j trên W sao cho sup ( c j)n

Trong [4], Cegrell đã chứng minh rằng

E = E( )W = {j Î PSH-( ),W "K Ð W $, j K Î F( ) :W j K = j trên K}

2.2 Sự hội tụ theo dung lượng

Định nghĩa 2.2.1 C - n Dung lượng theo nghĩa Bedford và Taylor của E đối với W được xác định bởi

với mọi tập hợp Borel E trong W

Trong [2], Bedford và Taylor đã chứng minh

* ,

Các khái niệm sau được tham khảo trong [9]

Định nghĩa 2.2.2 Dãy hàm u j trên W được gọi là hội tụ tới một hàm u theo

n

C - dung lượng trên E Ì W nếu với mọi d > 0, ta có:

C n( {z Î E : u z j( ) - u z( ) > d} )® 0 khi j ® ¥

19

Định nghĩa 2.2.3 Họ các độ đo dương { }m trên a W được gọi là liên tục tuyệt đối đều đối với C - n dung lượng trong E Ì W nếu với mỗi e > 0 tồn tại 0

d > sao cho với mỗi tập con Borel F Ì E với C F n( )< d thì m a( )F < e xảy

ra với mọi a Ta viết m = a C n trong E đều đối với a

20

{ }

1( )( c ) n

C - dung lượng, ta cần một số bổ đề sau:

Bổ đề 2.3.1 Cho u v, Î PSH ÇL¥ ( )W sao cho u £ v trên W và

với mọi wÎ PSH( ), 0W £ w£ 1 với mọi dòng dương, đóng T

Chứng minh Trước tiên, ta giả sử u v, Î PSH ÇL¥ ( )W, u £ v trên W và

u = v trên W\ K , K Ð W Áp dụng công thức Stokes ta có:

-W

Trong trường hợp tổng quát, với mỗi e > 0, đặt v e = max( ,u v- e) Khi đó

v e Z v trên , vW e ³ u trên W và v e = u trên W\ K với K Ð W Do đó

1(v e u dd)k c w T k (1 w)(v e u)k- dd u c T

22

1 1

Trong trường hợp tổng quát, với mỗi e > 0 đặt v e = max( ,u v- e) Khi đó

v e Z v trên W, v e ³ u trên W và v e = u trên W\ K với K Ð W Do đó

Vì 0£ v e - u Z v - u, (dd v c e)k ÙT hội tụ yếu đến (dd v c )k ÙT khi e ] 0

và r - w1 nửa liên tục dưới , nên cho e ] 0 ta nhận được

r w dd v T

W

£ ò - Ù W

Mệnh đề 2.3.3

a Cho u Î E j 0, u j ] u và v Î E j 0,v j ] v như trong định nghĩa của lớp F

Bằng cách thay v j bởi max( , )u v j j , ta có thể giả sử u j £ v j với j ³ 1.Theo

với t ³ j ³ 1 Theo Mệnh đề 5.1 trong [4], cho t ® ¥ trong bất đẳng thức

(2.1) ta được

b Cho , W G là các tập con mở sao cho K ÐG Ð WÐ W Theo chú ý sau

Định nghĩa 4.6 trong [4] ta có thể chọn một hàm v%Î F sao cho v% ³ v và

Vì u = v = v% trên W \ K nên ta có u%Î PSH-( ).W Dễ thấy u%Î F, u%£ v%

n B

j K

Khi đó g A( j) ® 0 khi j ® ¥ theo C - n dung lượng

Chứng minh Theo giả thiết, ta có:

Theo Định lý 2.3.5 ta có g A( j) ® 0 khi j ® ¥ theo C - Dung lượng n

Phần này kết thúc với tiêu chuẩn về tính đa cực

Định lý 2.3.7 Cho u Î F j sao cho

< + ¥

ò Khi đó tồn tại một hằng số A > 0 sao cho:

2.4 Một vài tính chất của các lớp Cegrell và ứng dụng

Bổ đề 2.4.1 Cho m là độ đo Borel trên W và f :W® ¡ là hàm đo được trên

ii Þ i Ta chỉ cần chứng minh m = 0 trên mỗi X d = {f > d> 0 } Theo Định

lý phân hoạch Hahn, tồn tại các tập con đo được X d+ và X d- của X d sao cho

,

X d = X d+ ÈX d- X d+ ÇX d- = Æ và m ³ 0 trên X d+, m £ 0 trên X d- Ta có:

i òdd u Ù Ùdd u = O C B với mọi tập hợp Borel B Ì W¢ÐW ;

/ 1

Chứng minh Ta có thể giả sử 0£ u j £ 1 với j = 1, ,k Mặt khác, theo chú

ý sau Định nghĩa 4.6 trong [4] ta lại giả sử

1, ,

u + u Î F )

i Với mỗi tập hợp mở B Ð W, áp dụng Mệnh đề 2.3.3 và Hệ quả 5.6 trong [4]

34

1 ( , )

Định lý 2.4.5 Cho u1, ,u Î E n Khi đó tồn tại a

u%Î E sao cho

36

Chứng minh Áp dụng trực tiếp Định lý 2.4.5 ta sẽ có kết quả

Nguyên lý so sánh đối với lớp F đã được nghiên cứu trong [5] Tuy nhiên bằng cách dùng Mệnh đề 2.3.3 và Định lý 2.4.2, ta cũng nhận được nguyên lý

so sánh dạng Xing đối với lớp F

với mọi w j Î PSH( ), 0W £ w j £ 1,j = 1, , ,k w k+1, ,w n Î F và mọi r ³ 1

Chứng minh Cho e > 0, đặt v%= max( ,u v- e) Theo )a trong Mệnh đề 2.3.3

u v

r w dd u

<

-với mọi v Î E, r ³ 1 và với mọi w1, w n Î PSH( ), 0W £ w1, ,w n £ 1

Chứng minh Cho (Wj) là một dãy tăng vét cạn các tập con compact tương đối của W Đặt

lý so sánh Xing đối với lớp E

Định lý 2.4.9 Cho ,u v Î E và 1 £ k £ n sao cho lim ( ) ( ) 0

41

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày:

- Tổng quan và hệ thống các kết quả về một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor

- Khái niệm về các lớp Cegrell, các khái niệm dung lương và sự hội tụ theo dung lượng Sự hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới theo

- Áp dụng Định lý 2.3.5, ta có các kết quả về sự hội tụ của các hàm Green

đa cực và tiêu chuẩn đối với tính đa cực

- Kết quả chính của luận văn là Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh kiểu Xing Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có một vài kết quả về các lớp Cegrell Trong Định lý 2.4.4, chúng tôi đã trình bày ước lượng địa phương đối với độ đo Monge – Ampère theo nghĩa dung lượng tương đối Bedford-Taylor Trong phần áp dụng, Định lý 2.4.5 đã chỉ ra kết quả phân rã các độ đo Monge – Ampère Cuối cùng là nguyên lý so sánh kiểu Xing đối với lớp F và E được suy ra từ Mệnh đề 2.3.3 và Định lý 2.4.2