SKKN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG

SKKN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNGSKKN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNGSKKN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNGSKKN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNGSKKN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNGSKKN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNGSKKN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNGSKKN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến:

“PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC ðẠI SỐ

CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG”

2 Lĩnh vực áp dụng:

Sáng kiến ñược áp dụng trong giảng dạy nội dung Bất ñẳng thức dành cho

các ñối tượng: Học sinh giỏi toán THCS, học sinh giỏi toán THPT, học sinh chuyên toán; ñã áp dụng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán dự thi học sinh giỏi khu vực Duyên hải và ðồng bằng Bắc bộ, bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia và tập huấn học sinh thi chọn ñội tuyển dự thi toán Quốc tế Một phần của sáng kiến có thể sử dụng trong ôn luyện thi THPT Quốc gia nhằm rèn luyện năng lực vận dụng cao

3 Thời gian áp dụng: Từ tháng 06/2015 ñến nay

4 Tác giả:

Họ và tên: PHẠM BẮC PHÚ

Năm sinh: 1984

Nơi thường trú: ðội 10-xã Hải Thanh-huyện Hải Hậu-tỉnh Nam ðịnh

Trình ñộ chuyên môn: Cử nhân khoa học-chuyên ngành sư phạm Toán Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

ðịa chỉ liên hệ: Phạm Bắc Phú-Giáo viên THPT chuyên Lê Hồng Phong Mail: phupb.toan@gmail.com

5 ðơn vị áp dụng sáng kiến:

ðơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

ðịa chỉ: 76 Vị Xuyên, thành phố Nam ðịnh

ðiện thoại: 0350 3640 297

MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG BÁO CÁO

[x] – Tr.y Tài liệu [x], trang y

[x] – Tr.y-z Tài liệu [x], trang y ñến trang z

Bài n [X] X là tên tác giả của bài toán n

Bài n (X) X là tên kì thi toán mà ñề thi có chứa bài n

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC ðẠI SỐ

CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC QUA PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG

I ðiều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

Bất ñẳng thức là nội dung hay và phức tạp, ñóng vai trò quan trọng trong các nội dung Toán học ở bậc trung học (THCS và THPT) Bất ñẳng thức có thể ñược xem

là “mảnh ñất màu mỡ” cho việc phát triển các năng lực chuyên biệt của Toán học, do vậy dù là nội dung khó nhưng có rất nhiều người ñam mê và nó cũng thường xuyên

có mặt trong hầu hết các ñề thi môn Toán (thi học sinh giỏi các cấp, thi THPT Quốc gia, …) với chức năng là câu phân loại học sinh ở cấp ñộ vận dụng cao của tư duy Bởi những lẽ ñó, cũng như nhiều người học toán và làm toán khác, tác giả luôn trăn trở tìm kiếm những ñường lối giảng dạy và học tập ñơn giản nhất trước sự phong phú

về dạng bài và phương pháp làm toán bất ñẳng thức

Thực hiện nhiệm vụ năm học 2015-2016, kể từ tháng 06/2015, khi giảng dạy Toán chuyên, tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia, tập huấn học sinh

dự thi chọn ñội tuyển thi Toán quốc tế, bồi dưỡng học sinh thi học sinh giỏi cụm Duyên hải và ðồng bằng Bắc bộ và nhiều cuộc thi khác; trong ñó bất ñẳng thức là một nội dung tác giả ñã thực hiện giảng dạy và thu ñược kết quả tốt Trong quá trình

này, tác giả cho rằng hướng dẫn học sinh làm bất ñẳng thức với việc chú trọng phát huy các năng lực cá nhân (ước lượng, phát hiện và giải quyết vấn ñề) quan trọng hơn việc cho học sinh học nhiều dạng bài và kĩ thuật Mặt khác việc cố gắng hạn chế các ñánh giá trung gian, hạn chế sử dụng bất ñẳng thức phụ sẽ giúp cho người làm toán

có thể nhìn thấy vẻ ñẹp nguyên gốc của bài toán, ñồng thời sẽ nảy sinh những sáng tạo từ cái gốc ñó

Bất ñẳng thức ba biến với các biểu thức dạng ñối xứng hay dạng hoán vị vòng thường xuyên xuất hiện trong các kì thi nên ñã từ lâu, nó trở thành nội dung bắt buộc trong dạy học toán chuyên 10 và bồi dưỡng các ñội tuyển Chúng ta có thể thấy rõ ñiều này qua các ñề thi, chẳng hạn:

* Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

(Trích ñề thi HSG Quốc gia Việt Nam năm 2006)

* Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh rằng:

3 a + +b c ≥ + +a b c ab+ bc+ ca + −a b + −b c + −c a ≥ + +a b c

(Trích ñề thi HSG Quốc gia Việt Nam năm 2015)

* Cho a, b, c là các số dương thay ñổi sao cho a+ + =b c abc Chứng minh rằng:

Bởi những lẽ ñó, trên cơ sở bài giảng Bất ñẳng thức ba biến ñã thực hiện, tác

giả lựa chọn báo cáo kinh nghiệm: “Phát triển năng lực chứng minh bất ñẳng thức ñại số cho học sinh giỏi Toán ở bậc trung học qua phương pháp phân tích tổng bình phương”

II Mô tả giải pháp:

Trong phần này, báo cáo sẽ trình bày những nội dung sau:

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

1.1 Cơ sở lí luận: Năng lực toán học thể hiện trong chứng minh bất ñẳng thức

1.2 Tóm tắt một số kiến thức về bất ñẳng thức, phương pháp phân tích tổng bình phương và các tiêu chuẩn ñã có

1.3 Một số hạn chế mắc phải khi vận dụng phương pháp phân tích tổng bình phương

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

2.1 Phát triển năng lực phân tích tổng bình phương

2.2 Phát triển năng lực vận dụng các tiêu chuẩn

2.3 Hướng sáng tạo từ việc vận dụng phương pháp phân tích tổng bình phương

o Dựa trên nguyên tắc chung của phương pháp phân tích tổng bình phương cho phép sáng tạo những tiêu chuẩn S.O.S mới, khai thác các tiêu chuẩn ñã có ñể tạo ra bài toán mới

o Trong báo cáo thể hiện 25 bài toán mới do tác giả sáng tạo, tuy là

số lượng ít nhưng phần nào ñã mô tả ñược cách thức sáng tạo, bạn ñọc có thể theo hướng này ñể tạo “tài nguyên” cho riêng mình

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

1.1 Cơ sở lí luận: Năng lực Toán học thể hiện trong chứng minh bất ñẳng thức

Trong báo cáo sáng kiến năm 2014 bàn về “Năng lực Toán học trong dạy học một số phương pháp và kĩ thuật ñiển hình tìm nguyên hàm, tích phân”, tác giả ñã có

những tìm hiểu về các khái niệm “năng lực”, “năng lực Toán học” Dưới ñây tác giả xin nêu lại một vài ñiểm về “năng lực Toán học” và khả năng phát triển năng lực Toán học trong dạy và học bất ñẳng thức

1.1.1- Khái niệm: Năng lực Toán học là ñặc ñiểm tâm lí cá nhân, trước hết là ñặc

ñiểm hoạt ñộng trí tuệ ñáp ứng các yêu cầu của hoạt ñộng học Toán, tạo ñiều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực Toán học tương ñối nhanh chóng

và sâu sắc trong những ñiều kiện như nhau

Năng lực Toán học ñược xét theo hai góc ñộ:

Một là: Năng lực nghiên cứu, sáng tạo cái mới

Hai là: Năng lực học tập Toán học

1.1.2- Các thành phần của năng lực Toán học:

* Theo Kônmôgôrốp, các thành phần của năng lực Toán học bao gồm:

- Năng lực biến ñổi khéo léo các biểu thức chữ phức tạp; năng lực tìm ñược các con ñường giải các bài toán, nhất là các bài toán không có quy tắc chuẩn; năng lực tính toán

- Trí tưởng tượng hình học

- Suy luận logic theo các bước ñã ñược phân chia một cách ñúng ñắn kế tiếp nhau; có kĩ năng quy nạp, khái quát vấn ñề

* Theo A.V.Cruchetxki ([13]), cấu trúc của năng lực Toán học bao gồm:

a) Thu nhận thông tin: Tri giác hóa tài liệu Toán; nắm bắt cấu trúc của bài toán b) Chế biến thông tin:

- Năng lực tư duy logic trong phạm vi quan hệ số lượng, quan hệ không gian,

tư duy với các kí hiệu Toán học

- Năng lực khái quát hóa các ñối tượng – các quan hệ - các cấu trúc; năng lực rút ngắn quá trình suy luận và tính toán

- Tính mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt ñộng Toán

- Khuynh hướng rõ ràng, giản ñơn, tiết kiệm và hợp lí lời giải

- Năng lực thay đổi nhanh chĩng và dễ dàng suy nghĩ theo dạng tương tự, dạng

tư duy thuận chuyển sang nghịch; xem xét cách giải bài tốn theo nhiều khía cạnh khác nhau; năng lực phân chia trường hợp

c) Lưu trữ thơng tin: Ghi nhớ các khái quát; các chứng minh; các nguyên tắc giải

1.1.3- Phát triển năng lực Tốn học trong quá trình dạy học bộ mơn Tốn ở bậc trung học

Quá trình dạy và học bộ mơn Tốn, hai tuyến nhân vật chính là giáo viên và học sinh tác động qua lại với nhau thơng qua nội dung và chương trình Tốn học Phát triển năng lực Tốn học trong quá trình này bao gồm: Phát triển năng lực Tốn học cho giáo viên và phát triển năng lực Tốn học cho học sinh Theo nghiên cứu từ

[11] – Tr.107-110, thấy rằng:

a – Phát triển năng lực Tốn học cho học sinh trong quá trình dạy học bộ mơn Tốn ở bậc trung học gồm cĩ:

• Phát triển năng lực nhận dạng và thể hiện (khái niệm, định lí, phương pháp)

• Phát triển năng lực hoạt động phức hợp trong bộ mơn Tốn: Chứng minh, định nghĩa, dựng hình, giải tốn quỹ tích, tính tốn và ước lượng, …

• Phát triển năng lực hoạt động trí tuệ phổ biến trong mơn Tốn: Lật ngược vấn

đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp, xét đốn các khả năng xảy ra…

• Phát triển năng lực hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hĩa, tương tự hĩa, đặc biệt hĩa, …

• Phát triển năng lực hoạt động ngơn ngữ: Phát biểu, giải thích bằng lời; biến đổi hình thức bài tốn…

• Phát triển năng lực tri giác thẩm mĩ: Thấy được vẻ đẹp nội tại của Tốn học, nâng cao tình yêu với mơn học

b – Phát triển năng lực Tốn học cho giáo viên trong quá trình dạy học bộ mơn Tốn ở trường THPT:

• Trước hết người dạy Tốn phải như là một học sinh học Tốn, do vậy cần tự

mình phát triển, bồi dưỡng các nhĩm năng lực Tốn học ở trên như đối với người học sinh

• Hơn thế, người giáo viên cần cĩ năng lực nghiên cứu sáng tạo cái mới (phương

pháp mới, kiến thức mới, bài tốn mới) để nâng cao trình độ nghiệp vụ của mình, giữ đúng vai trị là hình mẫu, là người điều khiển (nhưng khơng làm thay chủ thể) của quá trình dạy học

Tĩm lại: Phát triển năng lực Tốn học trong quá trình dạy học bộ mơn Tốn là

tìm cách nâng cao ba yếu tố sau: Tri thức chuyên mơn Tốn, kĩ năng làm Tốn, thái

độ tình cảm đối với bộ mơn Tốn

1.1.3 – Phát triển năng lực chứng minh bất đẳng thức đại số qua phương pháp phân tích tổng bình phương

a- Năng lực Tốn học biểu hiện trong hoạt động chứng minh bất đẳng thức:

(i) Năng lực tính tốn, biến đổi biểu thức đại số một cách linh hoạt

(ii) Năng lực phán đốn, ước lượng, so sánh các đại lượng; phát hiện và giải quyết các so sánh hướng đích cần thiết

(iii) Năng lực ngơn ngữ: Lựa chọn và sử dụng kí hiệu, phát biểu bài tốn theo các hình thức khác nhau, trình bày lời giải hợp lí…

(iv) Năng lực sáng tạo: Khái quát kĩ thuật biến đổi, kĩ thuật chứng minh, sáng tạo bài tốn mới (tạo bài tốn mới, làm chặt bài tốn cũ,…)

b- Phát triển năng lực cho học sinh qua phương pháp phân tích tổng bình phương:

Trước hết ta tĩm tắt kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phân tích tổng bình phương mà lí thuyết sẽ được trình bày ở mục 1.2.2 và 1.2.3 như sau:

- Phân tích thành tổng các bình phương phù hợp cho bài tốn

- Phán đốn, ước lượng S S S a, b, c(tìm kiếm tiêu chuẩn)

- Sáng tạo các tiêu chuẩn mới phù hợp cho bài tốn, sáng tạo bài tốn mới từ việc nghiên cứu các tiêu chuẩn đã cĩ

- Mở rộng tri thức phương pháp: dùng kĩ thuật phân tích tổng bình phương ngay cả khi bài tốn ban đầu khơng cĩ tính đối xứng

1.2 Tóm tắt một số kiến thức về bất ñẳng thức, phương pháp phân tích tổng bình phương và các tiêu chuẩn ñã có

1.2.1 – Một số bất ñẳng thức ñại số cơ bản thường dùng:

a Bình phương của số thực là một số không âm: x2 ≥ ∀ ∈ ℝ0, x

c Bất ñẳng thức Cauchy – Schwarz – Bunyakovsky:

* Phát biểu: Cho hai dãy số thực a a1, , ,2 a n và b b1, , ,2 b n Khi ñó:

1.2.2 – Tóm tắt cơ sở lí thuyết của phương pháp phân tích tổng bình phương:

Sơ lược về lịch sử: Xuất phát từ ý tưởng hết sức ñơn giản là: ðể chứng minh

biểu thức chứa biến không âm, ta biến ñổi biểu thức ñó thành tổng (hoặc tích) của các ñại lượng không âm – ñó chính là tổng các bình phương Ý tưởng này ñược những người yêu toán qua trang mạng http://www.artofproblemsolving.com khai thác mạnh

vào những năm 2005 trở ñi, sau ñó tác giả Vasile Cirtoaje gián tiếp trình bày một

cách rời rạc qua một số ví dụ và lời giải trong cuốn “Algebraic Inequalities – Old

and New Methods” – nhà xuất bản GIL năm 2006 Năm 2009, tác giả Phạm Kim

Hùng ñã trình bày lại kĩ thuật này một cách có hệ thống hơn với việc chỉ ra cơ sở lí

thuyết của các biểu diễn và nêu ra 5 tiêu chuẩn S.O.S (sum of square) trong cuốn

“Sáng tạo Bất ñẳng thức” (bản tiếng Việt và bản tiếng Anh) Cho ñến nay phương

pháp này vẫn ñang tiếp tục ñược nghiên cứu và nó ñược coi là một phương pháp chứng minh bất ñẳng thức hiện ñại

Quy ước: Trong báo cáo chỉ xét các biểu thức với ba biến dương (hoặc không âm)

nếu không có giải thích gì thêm

ðịnh nghĩa 1 – Biểu thức ñối xứng ba biến

- Biểu thức F a b c( ; ; ) gọi là biểu thức ñối xứng ba biến nếu

- Biểu thức ñối xứng ba biến F a b c( ; ; ) gọi là biểu thức ñối xứng ba biến

ðịnh nghĩa 2 – Biểu thức nửa ñối xứng ba biến

- Biểu thức G a b c( ; ; ) là biểu thức nửa ñối xứng ba biến nếu

ðịnh lí 1 – Sự tồn tại biểu diễn cơ sở ñối với lớp ña thức ñối xứng chuẩn

Nếu F a b c( ; ; ) là một ña thức ñối xứng ba biến chuẩn thì tồn tại

ña thức nửa ñối xứng ba biến G(a; b; c) sao cho

Việc chứng minh ðịnh lí 1 dựa trên một số kiến thức về không gian vecto và

sự biểu diễn của một phần tử theo hệ vecto ñộc lập tuyến tính Do hạn chế về phạm

vi kiến thức nên lời chứng minh không ñược trình bày ở báo cáo này ðối với dạng phân thức ñối xứng chuẩn, ta có thể hình dung sau khi thực hiện thao tác quy ñồng

thì thu ñược tử thức là một ña thức ñối xứng chuẩn, do vậy ðịnh lí 2 sau ñây là hệ quả của ðịnh lí 1

ðịnh lí 2 – Sự tồn tại biểu diễn cơ sở ñối với lớp phân thức ñối xứng chuẩn

1.2.3 – Những tiêu chuẩn thường dùng:

ðịnh lí 3 sau ñây cho ta một số ñiều kiện ñủ trong việc chứng minh một biểu

thức không âm, nó ñược trình bày trong tài liệu [7] một cách sơ lược và không kèm

theo các chứng minh Mỗi phát biểu trong ðịnh lí 3 ñược coi là một tiêu chuẩn của

phương pháp phân tích tổng bình phương

Chứng minh tiêu chuẩn 1:

b b

b

c a b a

b S

b b

Chứng minh tiêu chuẩn 5: Từ S a+ + ≥S b S c 0 suy ra max{S a+S S b; b+S S c; c+S a}≥0 Giả sử ñó là S a + S b ≥0 Nếu S a +S b =0thì kết hợp giả thiết có S a =S b =S c = nên 00

ñối xứng theo ba biến thì việc phân tích này càng khó khăn hơn

- ðứng trước một bài toán ba biến, người giải cần quyết ñịnh sử dụng tiêu chuẩn nào Tất nhiên, qua quá trình giảng dạy ñã chứng minh, ngay cả những học sinh giỏi toán cũng khó nhớ hết ñược các tiêu chuẩn của phương pháp

- ðối với giáo viên, học sinh chuyên toán và học sinh giỏi, khi làm về bất ñẳng thức, một trong những yêu cầu bắt buộc là phải có những “ñào sâu”, “khai thác” cho bài toán ðây là tiền ñề cho những bài toán “lạ” hơn sau này Công việc này hoàn toàn không có một ñịnh hướng tổng quát nào

Trong mục 2 tiếp theo sau ñây, báo cáo sẽ làm rõ việc khắc phục các hạn chế trên thông qua quá trình rèn luyện và phát triển năng lực chứng minh bất ñẳng thức, năng lực sáng tạo bất ñẳng thức ðây là ñiểm mới của sáng kiến so với các tài liệu ñã

có khi trình bày về phương pháp phân tích tổng bình phương

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

2.1 Phát triển năng lực phân tích tổng bình phương

2.1.1 – Phân tích theo cơ sở:

Nghiên cứu phần chứng minh của ðịnh lí 1– Sự tồn tại biểu diễn cơ sở ñối với lớp hàm ña thức ñối xứng chuẩn trong [7] ta thấy cơ sở của việc phân tích tổng bình phương cho biểu thức ñối xứng ba biến dựa trên kết quả phân tích ñối với từng

2.1.2 – Phân tích theo cách ghép cặp, theo hằng đẳng thức:

Kĩ thuật phân tích này sử dụng trong những bài tốn cĩ biểu thức phức tạp dựa trên khả năng quan sát và phán đốn các nhĩm biểu thức “tương đồng”, các nhĩm biểu thức cĩ quan hệ so sánh “quen thuộc” đã biết, khi đĩ cĩ thể ghép các biểu thức này với nhau để đưa được về dạng S.O.S Ta cùng xem xét kĩ thuật này qua hai ví dụ minh họa sau:

Ví dụ 2. Phân tích tổng bình phương cho 4 4 4 ( )

Rõ ràng việc phân nhĩm trực tiếp các biểu thức chỉ cĩ mặt trong S là rất khĩ

để sớm thu được dạng tiêu chuẩn S.O.S Bằng khả năng phán đốn dựa trên mối liên

hệ (bất đẳng thức, đẳng thức) giữa các đại lượng

Với ý tưởng ghép nhĩm hợp lí, ta cĩ biến đổi như sau:

2.1.3 – Phân tích dựa trên phán đốn về biểu thức đối xứng hai biến:

Phần này trình bày kĩ thuật phân tích S.O.S cho S khi nĩ là biểu thức đối xứng

ba biến dựa vào vai trị “xuất hiện bình đẳng” của các biến a, b, c

Ví dụ 4 [giải lại Ví dụ 2 – mục 2.1.2 theo cách tiếp cận mới]

Do sự bình đẳng của a, b, c trong S nên S a +S b là một biểu thức đối xứng đối

với hai biến a, b, ta phán đốn rằng 2a2 →a2 + và b2 2ac→ac+bc, theo đĩ phán đốn S a +S b =a2 +b2 +ac bc c+ + 2 Tương tự dẫn đến hệ phương trình:

Một điều cần đặc biệt lưu ý là kĩ thuật này chỉ là “phán đốn”, nĩ cĩ hiệu quả cho các

biểu thức S đối xứng ba biến khơng quá phức tạp Khi sử dụng nĩ người làm cần cĩ

thao tác kiểm tra lại kết quả phân tích

2.1.4 – Phân tích dựa trên kĩ thuật tiếp tuyến:

Ta nêu kĩ thuật này qua việc tìm hiểu ví dụ sau:

Ví dụ 5 Xét bài tốn: Cho , , a b c là các số thực dương, chứng minh rằng:

Khi tiếp cận bài tốn, một trong những hướng giải quyết đầu tiên của học sinh

đĩ là: Hoặc sử dụng bất đẳng thức AM-GM, Bunyakovsky, kĩ thuật Cauchy ngược dấu, hoặc sử dụng kĩ thuật tiếp tuyến để tìm kiếm bất đẳng thức phụ Cả hai con đường này đều gặp phải những khĩ khăn khơng nhỏ, chẳng hạn, khi tìm kiếm bất đẳng thức phụ dạng

khơng đúng với mọi x >0

Ở đây ta lưu ý với kĩ thuật tiếp tuyến khi tìm kiếm một bất đẳng thức phụ luơn dẫn tới một kết quả phân tích kiểu như (*), trong đĩ luơn xuất hiện nhân tử với lũy thừa chẵn (nảy sinh nghiệm bội – hồnh độ tiếp điểm) Ta sử dụng chính kết quả phân

a c S

c

b a S

ðể làm rõ hơn cho kiểu phân tích này, ta cùng xét cách chứng minh bất ñẳng thức Nesbitt bằng kĩ thuật phân tích S.O.S:

Ví dụ 6 [Nesbitt] Cho , , a b c là các số thực dương, chứng minh rằng:

32

Như vậy trong mục 2.1 này, báo cáo ñã trình bày 5 kĩ thuật phân tích S.O.S,

ñây là những kinh nghiệm sáng tạo của tác giả qua quá trình dạy và học bất ñẳng thức Việc vận dụng theo kĩ thuật nào là phụ thuộc ở hình thức của từng bài toán cụ thể, ñôi khi phải phối hợp nhiều kĩ thuật phân tích khác nhau Cũng cần nói thêm rằng

sự phân tích S.O.S của một biểu thức là không duy nhất ðối với giáo viên trong quá

trình phân tích bài toán theo kĩ thuật S.O.S có thể tìm hiểu thêm về gói công cụ

SOS-analysic với phần mềm Mapple v.18 sẽ hữu ích ñối với các biểu thức S dạng ña thức

và phân thức hữu tỉ ñối xứng Do hạn chế về mặt thời gian và mục tiêu nên nội dung này tác giả không trình bày chi tiết ở ñây

2.2 Phát triển năng lực vận dụng các tiêu chuẩn

Trước khi vận dụng các tiêu chuẩn S.O.S vào giải bài tập, theo tác giả, có hai vấn ñề quan trọng “cốt lõi” sau cần ñặc biệt lưu ý cho học sinh:

Vấn ñề 1 Về mặt kĩ thuật (giải quyết câu hỏi “dùng tiêu chuẩn nào”)

0

S = S b−c + S c−a +S a−b ≥ có thể ñặc trưng bởi một số thao tác chính sau:

• Sắp thứ tự các biến hoặc là so sánh “khoảng cách” giữa các biến

Vấn ñề 2 Trình bày lời giải: Các tiêu chuẩn S.O.S ñem sử dụng trong bài làm, chỉ

trừ tiêu chuẩn 1, còn lại ñều phải có chứng minh chi tiết

Hai vấn ñề vừa nêu ñược thể hiện qua các ví dụ minh họa tiếp theo Lí thuyết

của phương pháp S.O.S ñã trình bày ở mục 1.1.2 và 1.1.3 xây dựng dựa trên lớp các

biểu thức ñối xứng, tuy nhiên có thể sử dụng phương pháp S.O.S ngay cả khi bài toán không ñối xứng Bởi lẽ ñó, các ví dụ minh họa ñược sắp xếp theo hai nhóm: ñối xứng

và không ñối xứng

2.2.1 – Kĩ năng vận dụng các tiêu chuẩn S.O.S cho bài toán ñối xứng ba biến:

Ví dụ 7 [ Ivan Borsenco] Cho a, b, c là các số thực không âm, chứng minh rằng:

ii) ( 4 4 4) (2 5 5 5) ( )3

x −xy+ y ≥ x − xy + y ≥ x y ≥x y nên ta chỉ cần giải quyết bài

toán trong trường hợp a, b, c là các số thực không âm

3 a −ab b+ b −bc c+ c −ca a+ ≥a b +b c +c a

Vậy bài toán ñược giải quyết

Khai thác bài toán:

Ta lưu ý

( ) ( )( ( ) ( ) ) ( )( ( )( ) )

2 2

bây giờ ta cho ñiều kiện (a+b)(b+c)(c+a)= 4 thu ñược bài toán chặt hơn:

[PBP-01] Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)= 4 Chứng

2 2

Vậy bài toán ñược giải quyết xong

Ví dụ 13. Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 2

Ví dụ 14. Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện không có hai số nào trong ba số ấy ñồng thời bằng 0 Chứng minh rằng

23

(BðT Schur), vậy bài toán ñược giải quyết

Ví dụ 15 (IMO Shortlist 2005). Chứng minh rằng với mọi a i >0 (i=1,n), ta có:

Hướng dẫn:

Ví dụ 17 (thi HSG Quốc gia Việt Nam – 2006) Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của

một tam giác, chứng minh rằng: