Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (Luận án tiến sĩ)

Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)Thác triển phân hình của một số lớp hàm phân hình yếu (LA tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LIÊN VƯƠNG LÂM

THÁC TRIỂN PHÂN HÌNH CỦA

MỘT SỐ LỚP HÀM PHÂN HÌNH YẾU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LIÊN VƯƠNG LÂM

THÁC TRIỂN PHÂN HÌNH CỦA

MỘT SỐ LỚP HÀM PHÂN HÌNH YẾU

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 62.46.01.02

Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Quang Diệu

Phản biện 2: PGS TS Kiều Phương Chi

Phản biện 3: TS Trịnh Đức Tài

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS Thái Thuần Quang

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướngdẫn của PGS TS Thái Thuần Quang Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiêncứu của tôi Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả chophép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó

Tác giả

Liên Vương Lâm

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình và khoa học củaThầy Thái Thuần Quang Thầy là người đã giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốtcác bậc học: Đại học, Cao học và Nghiên cứu sinh Tôi xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến Thầy và gia đình

Tác giả xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn,đây là nơi tôi bắt đầu được học tập, được hướng dẫn và nhận được nhiều sự quantâm, động viên khích lệ Xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy, Côgiáo trong Khoa Toán đã giảng dạy tôi trong những năm tháng tôi được học tập,nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn,Phòng Đào tạo sau đại học đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi chotác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Văn Đại, TS Huỳnh Minh Hiền,

TS Nguyễn Khắc Tín, TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương đã có những góp ý quýbáu trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong Tổ Toán, Trường Đại họcPhạm Văn Đồng đã tạo điều kiện thời gian, gánh vác các công việc cho tôi, để tôiyên tâm học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân và cácngười bạn của tác giả, những người đã luôn mong mỏi, động viên và tiếp sức chotác giả để hoàn thành bản luận án này

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

HpD, Fq : Không gian các hàm chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F

HspT, Fq : Không gian các hàm chỉnh hình tách biến trên T nhận giá trị

trong F

MpD, Fq : Không gian các hàm phân hình trên D nhận giá trị trong F

MspT, Fq : Không gian các hàm phân hình tách biến trên T nhận giá trị

trong F

H8pD, Fq : Không gian con tất cả các hàm bị chặn trong HpD, Fq

HbpE, Fq : Không gian tất cả các hàm chỉnh hình từ E vào F

mà bị chặn trên các tập bị chặn trong E

HLBpD, Fq : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn địa phương trên D

HWpD, Fq : Không gian các hàm pF, Wq-chỉnh hình

HW,8pD, Fq : Không gian các hàm pF, Wq-chỉnh hình bị chặn

HlocWpD, Fq : Không gian các hàm pF, Wq-chỉnh hình địa phương

HlocW,8pD, Fq : Không gian các hàm pF, Wq-chỉnh hình bị chặn địa phương

MWpD, Fq : Không gian các hàm pF, Wq-phân hình

Dfh : Miền tồn tại của hàm chỉnh hình f

Dfm : Miền tồn tại của hàm phân hình f

Hntprq : Miền Hartogs trong Cn

BpEq : Tập tất cả các tập con lồi, cân, đóng, bị chặn trong E

KpEq : Tập tất cả các tập con compact, lồi, cân trong E

Mục lục

Chương 1 Miền tồn tại của hàm phân hình giá trị véctơ 10

1.1 Kiến thức tổng quan về không gian lồi địa phương 10

1.1.1 Một số lớp không gian lồi địa phương 11

1.1.2 Các tập con tách điểm 11

1.2 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình 12

1.2.1 Khái niệm hàm chỉnh hình 12

1.2.2 Khái niệm hàm phân hình 14

1.2.3 Các tập đa cực, đa chính quy, hàm cực trị tương đối 14

1.2.4 Các hàm chỉnh hình, phân hình trên các tập chữ thập 16

1.3 Miền tồn tại của hàm phân hình giá trị véctơ 19

Chương 2 Định lý thác triển Levi đối với hàm phân hình yếu 26 2.1 Các hàm p, Wq-chỉnh hình và các hàm p, Wq-phân hình 26

2.2 Định lý thác triển Levi đối với hàm nhiều biến giá trị véctơ 27

2.2.1 Trường hợp W €F1 xác định tính bị chặn 27

2.2.2 Trường hợp W €F1 là tách điểm 34

2.2.3 Trường hợp W F1 36

2.3 Một số nhận xét và ví dụ 37

2.4 Định lý thác triển Levi đối với hàm giá trị véctơ vô hạn chiều 462.4.1 Bất biến tôpô tuyến tính 462.4.2 Thác triển chỉnh hình của hàm p, Wq-chỉnh hình 482.4.3 Định lý thác triển Levi đối với hàm giá trị véctơ 59

Chương 3 Định lý chữ thập đối với các hàm p, Wq-phân hình 623.1 Định lý Rothstein cho các hàm p, Wq-phân hình 623.2 Tổng quát hóa định lý Kazarian 653.3 Định lý chữ thập cho các hàm p, Wq-phân hình với kỳ dị đa cực 69

Chương 4 Thác triển phân hình các hàm p, Wq-phân hình 764.1 Tính chất (BB)-Zorn và thác triển chỉnh hình 764.2 Thác triển phân hình các hàmp, Wq-phân hình từ các tập gầy 824.3 Miền phân hình của các hàm p, Wq-phân hình 884.4 Thác triển các hàm p, Wq-phân hình qua các tập con giải tích 91

Danh mục công trình của tác giả 95

Mở đầu

Không gian lồi địa phương xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của giải tích toánhọc như lý thuyết độ đo tích phân, giải tích phức, phương trình vi phân, lý thuyếtxấp xỉ Các không gian dãy, không gian các hàm chỉnh hình, không gian các hàm

đo được đều có tôpô lồi địa phương Lý thuyết đối ngẫu trong không gian lồi địaphương đóng vai trò quan trọng vì đã chuyển bài toán trên không gian lồi địaphương về nghiên cứu trên các phiếm hàm tuyến tính liên tục Giải tích phức trênkhông gian lồi địa phương là sự kết hợp giữa Giải tích phức và Giải tích hàm Đầutiên, có thể kể đến các kết quả của các tác giả Nachbin, Noverraz, Colombeau,Mujica, Dineen, Ở Việt Nam, từ những năm 1970 cũng đã có các kết quả banđầu của Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái về lĩnh vực này

Bài toán về tính chỉnh hình của hàm giá trị véctơ được quan tâm bởi các nhàtoán học từ rất sớm Trong thực hành người ta giải quyết thông qua tính chỉnh hìnhyếu Ở đây, một hàm f : D Ñ F, với F là không gian lồi địa phương Hausdorff,được gọi là chỉnh hình yếu nếu u f là chỉnh hình với mọi u P F1, không gianđối ngẫu của F Các kết quả bước đầu có thể kể đến là của Dunford [24] vào năm

1938 và Grothendieck [31] vào năm 1955 Mở rộng bài toán này, người ta đặt ravấn đề “làm nhỏ” không gian chứa các phiếm hàm tuyến tính u mà vẫn đảm bảođược tính chỉnh hình của hàm f Các kết quả được xem xét trong các trường hợp

u P W € F1, với W là các tập con tách điểm, xác định tính bị chặn, được giớithiệu trong các công trình của Grosse-Erdmann [28], Arendt và Nikolski [7] Tronghơn một thập niên gần đây, bài toán thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiêncứu trên thế giới Năm 2003, Hải [32] đã mở rộng kết quả của Arendt và Nikolskitrong trường hợp không gian Fréchet với các bất biến tôpô tuyến tính Năm 2013,Quang, Lâm và Đại [75] đã xem xét bài toán cho trường hợp E, F là các khônggian Fréchet-Schwartz và hàm f xác định trên một tập con mở D trong E mà f

xác định trên một tập con mở, trù mật D0 của một tập mở D trong E, phân hìnhtrên D, nhận giá trị trên F Khi đó, với mỗi z P D tồn tại lân cận Uz trong E vàhàm f có biểu diễn địa phương là f| U z XD 0  hU z

σUz| U z XD 0, trong đó hUz, σUz là cáchàm chỉnh hình nhận giá trị tương ứng trong F và trong C Vấn đề đặt ra là tìmđiều kiện của các không gian E, F để tồn tại các hàm h P HpD, Fq và σ P HpDq

sao cho f  h

σ trên D Khi đó ta nói f có biểu diễn toàn cục Đa tạp phức mà mọihàm phân hình đều có biểu diễn toàn cục được gọi là có dạng Poincaré [46] Tiếptục nghiên cứu vấn đề này với hàm phân hình nhận giá trị lồi địa phương đầy đủtheo dãy, năm 1982, Khuê đã chứng minh rằng mỗi hàm phân hình trên một đatạp Stein nhận giá trị trong không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy thì có biểudiễn toàn cục [48, Theorem 2.1]

Chúng ta biết rằng hàm phân hình yếu nhận giá trị trên CN có thể không phânhình Vì vậy, khi nghiên cứu về tính phân hình của hàm phân hình yếu người tacần chú ý đến tính chất của không gian F Năm 1997, Đông và Hải [23] đã chứngminh được rằng một hàm phân hình yếu f : X Ñ F, trong đó X là tập con mởcủa Cn (tương ứng L-chính quy compact) và F là một không gian Fréchet có nửachuẩn liên tục (tương ứng có tính chất pDNq) là phân hình

Bài toán thác triển chỉnh hình và thác triển phân hình được nghiên cứu bởinhiều nhà toán học như Grosse-Erdmann [28], Arendt và Nikolski [7], Bonet, Frerick

và Jordá [13], Năm 1969, Bogdanowicz [11] đã chứng minh rằng nếu D1 €D2 € C

là các miền và F là một không gian phức lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ theodãy và f : D1 Ñ F là một hàm sao cho uf có thác triển chỉnh hình đến D2 vớimọi u PF1 thì f có một thác triển chỉnh hình đến D2 Năm 2004, Grosse-Erdmann

đã mở rộng kết quả trên đối với các hàm nhận giá trị Fréchet từ một tập con

M € Ω xác định hội tụ đều địa phương trong HpΩq, với Ω là một miền trong C.Trong trường hợp này, hàm f xác định trên M thác triển được đến Ω nếu uf cóthác triển chỉnh hình đến Ω, với mỗi u PW , trong đó W là tập con tách điểm của

F1 và f bị chặn trên M XK với K là tập con compact tùy ý của Ω

Trong [33], Hải, Khuê và Nga đã giới thiệu một phiên bản của định lý danowicz đối với hàm phân hình trong trường hợp hàm f xác định trên một tập

Bog-mở X € G € Cn nhận giá trị trên không gian Banach F Nếu với mỗi u P F1 màhàm uf có một thác triển phân hình đến G thì f được thác triển phân hình đến

G [33, Theorem 1] Ngoài ra, các tác giả này còn chứng tỏ được rằng kết quả trên

vẫn đúng khi F là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy thỏa mãn F1 làkhông gian Baire [33, Remark 1].

Tiếp tục nghiên cứu bài toán này trong trường hợp hàm một biến nhận giá trịlồi địa phương, năm 2005, Jordá [45] chứng minh rằng hàm f : Ω1 Ñ E, trong đó

E là không gian lồi địa phương đầy đủ địa phương với đối ngẫu mạnh siêu thùng,

có thác triển phân hình đến Ω2 nếu mỗi hàm uf có thác triển phân hình đến Ω2với mọi u P E1 [45, Theorem 12] Nhận xét rằng, vì mọi không gian Baire là siêuthùng [16, Observation 9.1.23] nên kết quả của Jordá là mở rộng của [33, Remark1] Sử dụng các kết quả trong [45, Theorem 12], Jordá chứng minh rằng hàm f cóthác triển phân hình đến Ω2 trong các trường hợp E là không gian Fréchet táchbiệt (distinguished) với Eβ2 có chuẩn liên tục hoặc E là không gian Schwartz thùngđầy đủ không chứa CN [45, Theorems 16,17 ]

Bài toán xác định bao chỉnh hình, bao phân hình và các đặc trưng của miềnchỉnh hình, phân hình được quan tâm bởi nhiều nhà toán học như Okuda vàSakai [61], Siciak [83], Zeriahi [93], Năm 1910, Levi [53] chứng minh rằng hàm

fpz, wq phân hình trên D p∆rz∆q, với D là tập mở liên thông trong Cn, ∆r 

tλ P C :|λ|   ru, ∆1  ∆ với r ¡ 1, có thác triển phân hình đến D∆r nếu giảthiết thêm rằng fpz, q có thác triển phân hình đến ∆r với mỗi z P A, với A là tậpcon béo trong D

Định lý Levi được mở rộng bởi Kneser [50] vào năm 1932 và chứng minh đầy

đủ bởi Okuda và Sakai [61] vào năm 1957 Định lý này đóng vai trò quan trọngtrong việc nghiên cứu các đặc trưng của miền phân hình Năm 1963, Fuks [27] đãchứng minh rằng mọi miền phân hình trong Cn là giả lồi theo nghĩa Hartogs Năm

1967, Kajiwara và Sakai [46] đã chứng minh rằng bao phân hình của một miền trênmột đa tạp Stein tương ứng với một họ các hàm phân hình là pτ-lồi theo nghĩaDocquier và Grauert [22], do đó nó là một đa tạp Stein [46, Lemma 5]

Trong trường hợp vô hạn chiều, Harita [35] có được kết quả tương tự nhưtrên đối với tích Descartes một họ đếm được các miền trong mặt phẳng phức.Aurich [8, 9] chứng minh được bao phân hình trên một không gian Banach phức làgiả lồi Cho Ω là không gian tôpô liên thông và ϕ là đồng cấu địa phương từ Ω vào

E Khi đó ta sẽ nói cặp pΩ, ϕq là một miền trên E Trong [36], Harita chứng minhrằng bao phân hình của miền pΩ, ϕqtrên không gian lồi địa phương Hausdorff đầy

đủ theo dãy trên C là miền giả lồi Schottenloher [80,81] đã giải quyết bài toán Leviđối với một miền trên không gian lồi địa phương Lindel¨of với biểu diễn Schauder

hữu hạn Đặc biệt, miền giả lồi trên không gian Fréchet với cơ sở Schauder là miềnchỉnh hình Do đó bao phân hình trên miền pΩ, ϕq trên không gian Fréchet phức

E với cơ sở Schauder là miền chỉnh hình Đặc biệt, miền phân hình trên E trùngvới miền chỉnh hình

Bài toán xác định tính chỉnh hình, miền chỉnh hình, phân hình trên các tập chữthập (cross sets) được quan tâm bởi nhiều nhà toán học Hartogs [37], Siciak [83],Shiffman [86], Kết quả đầu tiên trong vấn đề này là định lý Hartogs cổ điển [37].Các nhà toán học như Siciak [82], Vân và Zeriahi [57], Shiffman [86] nghiên cứutrên các tập con đặc biệt của Cm n Sau đó, Siciak [83], Vân và Zeriahi [58] cóđược các kết quả cho các hàm giải tích thực Mở rộng vấn đề trên, các nhà toánhọc quan tâm đến định lý chữ thập có kỳ dị, đầu tiên là ¨Oktem [62, 63] với kỳ dịgiải tích, sau đó được Jarnicki và Pflug tổng quát vào các năm 2000, 2001 [41, 42].Tiếp theo, người ta quan tâm đến các định lý chữ thập có kỳ dị tổng quát hơnnhư kỳ dị đa cực, kỳ dị giải tích, trong các công trình của Jarnicki, Pflug vàAnh [2–6, 43, 65–69]

Đối với hàm phân hình, năm 1950, Rothstein [77] đã chứng minh định lý dạngHartogs cho hàm phân hình vô hướng, trong đó điều kiện để hàm phân hình xácđịnh trên Ω∆ được thác triển phân hình đến Ω∆r, với r ¡1 được chỉ ra Sau

đó, Kazarian [47] và Shiffman [85] mở rộng kết quả của Rothstein trong trường hợpcác tập đặc biệt trên Cn m Năm 1970, bằng cách sử dụng hàm cực trị tương đối,Siciak [82] đã thiết lập bao phân hình của hàm phân hình tách biến trong trườnghợp tập chữ thập chứa tích các miền trong C Sau đó, Quang và Đại [71] đã mởrộng kết quả của Siciak đối với lớp hàm p, Wq-chỉnh hình Năm 2003, Jarnicki vàPflug [41] chứng minh định lý Rothstein đối với hàm phân hình vô hướng f xácđịnh trên ∆p∆q Sử dụng định lý Rothstein [77] và kết quả của Siu [87], Jarnicki

và Pflug đã đưa ra các điều kiện để hàm phân hình f xác định trên ∆p  ∆qđược thác triển phân hình đến một lân cận mở của tập chữ thập chứa ∆p ∆q.Chúng ta biết rằng bao chỉnh hình của một miền Riemann trên Cn trùng với baophân hình [40, Theorem 3.6.6] Vì vậy, trong [41], Jarnicki và Pflug đã đặt ra câuhỏi rằng vấn đề còn đúng không trong trường hợp hàm phân hình tách biến xácđịnh trên XzM, trong đó X là tập chữ thập và M là kỳ dị đa cực? Trước đó, vấn

đề này được nghiên cứu trong trường hợp M  H bởi Sakai [79] vào năm 1957,Kazarian [47] vào năm 1976 và Shiffman [86] vào năm 1989

Theo dòng nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm đến bài toán thác triển phân

hình của một số lớp hàm phân hình yếu Mục tiêu của luận án là:

• Giải quyết bài toán thác triển phân hình trong một số trường hợp tổngquát, cụ thể là thay việc xem xét D là tập con của Cn bởi D là tập concủa một không gian Fréchet và không gian F là Fréchet, trong đó fz là hàm

pF, Wq-phân hình

• Mở rộng các định lý Hartogs và định lý chữ thập cho các hàm p, Wq-phânhình tách biến trong trường hợp hàm nhận giá trị véctơ

• Nghiên cứu bài toán thác triển phân hình của các hàm p, Wq-phân hình

Luận án, ngoài lời nói đầu, lời cảm ơn và kết luận, gồm có 4 chương và tài liệutham khảo

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày các kiến thức chuẩn bị như các khônggian lồi địa phương và các không gian con tách điểm, các khái niệm về hàm chỉnhhình, hàm phân hình giá trị véctơ Mục đích chính của chương này là nghiên cứu

về miền tồn tại của hàm phân hình giá trị véctơ Ở đây, chúng tôi có được kết quả

là tập

Zfm : tu PF1 : Dfm Dmufu

trù mật trong F1, trong đó Dmf là miền tồn tại của hàm phân hình f Ta nhậnxét rằng kết quả này là tương tự như của Hirschowitz [38] đối với lớp hàm chỉnhhình Để chứng minh kết quả trên, chúng ta cần một số kết quả bổ trợ Bổ đề 1.3.2trình bày về thác triển hàm phân hình giá trị Fréchet qua một tập con S có đốicodim S ¥ 2 Dựa vào Bổ đề 1.3.2, chúng tôi chứng minh mọi hàm phân hình ftrên pDzSq YG nhận giá trị trên không gian Banach F được thác triển phân hìnhđến D với S là tập giải tích trong D với codim S  1 và G là tập con mở của Dsao cho mọi nhánh bất khả quy với S đều có giao với G

Trong Chương 2, dựa vào ý tưởng của Arendt và Nikolski [7], Grosse-Erdmann[28, 29], chúng tôi nghiên cứu về thác triển phân hình cũng như miền phân hìnhcủa lớp các hàm p, Wq-phân hình tách biến Để giải quyết bài toán trên, trước hếtchúng tôi mở rộng định lý thác triển Levi đối với các hàm nhận giá trị véctơ fpz, tq

xác định trên D p∆rz∆q và có thác triển p, Wq-phân hình theo biến phức t vớimọi z P D, một tập con trù mật trong D

Sử dụng các kết quả của Frerick, Jordá và Wengenroth [26] và của Erdmann [29], cải tiến các lập luận trong Siu [87], chúng tôi mở rộng kết quả củađịnh lý thác triển Levi đối với các hàm nhận giá trị trên một không gian lồi địaphương đầy đủ theo dãy (hoặc đầy đủ địa phương) và D là tập con mở của Cn.Chúng tôi khảo sát các mở rộng của định lý thác triển Levi dưới nhiều trườnghợp khác nhau của tập con W Trong trường hợp W là không gian con xác địnhtính bị chặn thì chúng tôi sử dụng kết quả của Frerick, Jordá và Wengenroth [26,Theorem 2.2] đối với các hàm chỉnh hình yếu giá trị véctơ từ một tập con duy nhấtđối với các tử địa phương và mẫu địa phương của hàm fz Điều này chỉ ra tính bịchặn địa phương của các hàm thác triển u{fz với mọi uP W là cần thiết Trong

Grosse-trường hợp W yếu hơn, cụ thể W tách điểm nhưng không xác định tính bị chặnthì chúng tôi cần thêm giả thiết rằng họ t{ufzu uPW thỏa mãn sup ot p{ufzq   8,

ở đây otpgq là số nguyên không âm N sao chopλ
tq Ngpλqcó thác triển chỉnh hìnhđến t

Chú ý rằng, trong các kết quả trên chúng tôi cần giả thiết thêm với mỗi z P Dtồn tại tập Pz € ∆r không có điểm giới hạn trong ∆r sao cho tập cực của uzf

chứa trong Pz với mọi uP W Tuy nhiên, điều kiện này có thể bỏ qua trong trườnghợp W  F1 và F thỏa mãn một trong các điều kiện: đầy đủ theo dãy sao cho

Fβ1 siêu thùng; thùng Schwartz đầy đủ mà không chứa CN; Fréchet tách biệt saocho Fβ2 có chuẩn liên tục (Hệ quả 2.2.9 và Hệ quả 2.2.10) Chúng tôi có được điềunày bởi vì mọi hàm phân hình yếu trên tập con mở khác rỗng trong C nhận giátrị trong không gian lồi địa phương F là phân hình Ta nhắc lại hàm f : D Ñ Fđược gọi là phân hình rất yếu nếu uf là phân hình với mọi u P F1 (xem [45]).Hơn nữa, chúng tôi xây dựng một ví dụ để chứng tỏ rằng tính bị chặn địa phươngtrên D p∆rz∆q không thể bỏ qua trong trường hợp không gian F là đầy đủ địaphương nhưng không đầy đủ theo dãy (Ví dụ 2.3.2) Chúng tôi cũng đưa ra một

ví dụ liên quan đến Định lý 2.2.6 trong trường hợp W là tách điểm nhưng khôngxác định tính bị chặn (Mệnh đề 2.3.4)

Áp dụng các kết quả trong Mục 2.2, chúng tôi nghiên cứu về định lý thác triểnLevi đối với hàm giá trị véctơ vô hạn chiều Một vài kết quả bổ trợ như định lýHartogs cho các hàm p, Wq-chỉnh hình trên các tập chữ thập (Mệnh đề 2.4.6) vàthác triển chỉnh hình từ tập con trù mật trong không gian Fréchet (Mệnh đề 2.4.7)cũng được nghiên cứu ở đây để chuẩn bị cho chứng minh kết quả chính mục này.Các định lý chữ thập đối với các hàm p, Wq-phân hình tách biến là quan tâm

chính của Chương 3 Trong [41], Jarnicki và Pflug đã mở rộng định lý Kazariantrên các tập chữ thập và xét định lý chữ thập đối với kỳ dị đa cực Một trong nhữngbước quan trọng trong chứng minh của định lý mở rộng chữ thập là sử dụng định

lý Rothstein Định lý Rothstein cổ điển nói rằng hàm phân hình f xác định trên

Ω∆, trong đó Ω là một miền trong Cn được thác triển phân hình đến Ω∆r,với r ¡1 nếu với mỗi z PΩ thì fz được thác triển phân hình đến ∆r hoặc tzu ∆được chứa trong tập cực của f Do đó, dựa vào các kết quả trong Chương 2, chúngtôi xây dựng các định lý mở rộng kết quả của Rothstein (Định lý 3.1.1), Kazarian(Định lý 3.2.1) và định lý chữ thập với kỳ dị đa cực cho lớp hàm p, Wq-phân hìnhnhận giá trị trên không gian lồi địa phương đầy đủ địa phương

Sử dụng các kết quả này, chúng tôi mở rộng định lý chữ thập cho các hàmphân hình tách biến với kỳ dị đa cực đối với lớp các hàm p, Wq-phân hình táchbiến Để thực hiện điều đó, trước tiên chúng tôi mở rộng các kết quả về thác triểnchỉnh hình của các hàm p, Wq-chỉnh hình trên các tập chữ thập với kỳ dị đa cực(Định lý 3.3.1 và Định lý 3.3.2) Như trong [41], với sự trợ giúp của các kết quảnày, chúng tôi nhận được định lý chữ thập cho các hàm p, Wq-phân hình với kỳ dị

đa cực (Định lý 3.3.4)

Trong Chương 4, chúng tôi trình bày một số điều kiện yếu để một hàm p, Wqphân hình là phân hình và nghiên cứu bài toán thác triển phân hình cho lớp hàmnày Để chuẩn bị cho kết quả chính trong chương này, chúng tôi cần một số kếtquả tương tự như định lý Zorn (ta sẽ gọi là các định lý kiểu Zorn) Định lý đượcchứng minh vào năm 1945 bởi Max Zorn, người nổi tiếng bởi Bổ đề Zorn Zorn

-đã chứng minh với mọi tập mở D trong không gian Banach E, mọi hàm chỉnhhình Gâteaux mà liên tục tại một điểm trong D thì chỉnh hình trên D (Định lýZorn) Định lý này không được nghiên cứu mở rộng trong thời gian dài, mãi chođến những năm 1960 khi một số nhà toán học người Pháp công bố các kết quả vềvấn đề này trên các không gian lồi địa phương Hơn nữa, nhóm tác giả này còntrình bày một số ví dụ để trả lời câu hỏi liệu các kết quả này còn đúng với mọikhông gian lồi địa phương hay không Không gian lồi địa phương E được gọi là cótính chất Zorn (không gian Zorn) nếu trên không gian đó định lý Zorn thỏa mãn.Trong [18], Dineen đã mở rộng định lý Zorn đối với các lớp không gian khác nhau

và các định nghĩa khác của tính chỉnh hình Bên cạnh đó, Dineen đã giới thiệu cáckhông gian F -Zorn mạnh và F -Zorn yếu mà trên đó các hàm chỉnh hình Gâteauxgiá trị véctơ thỏa mãn và không thỏa mãn định lý Zorn Với kết quả này, Dineen

đã chỉ ra được nhiều ví dụ về không gian thỏa mãn định lý Zorn Dineen cũng đã

mở rộng định lý Zorn đối với tính liên tục tại một điểm bất kỳ, cũng như mở rộngđịnh lý Hartogs cho các hàm chỉnh hình tách biến

Bài toán về tính chất Zorn có tính hấp dẫn riêng, tuy nhiên trong Chương 4chúng tôi chỉ nghiên cứu nó như một công cụ để giải quyết vấn đề đang quan tâmtrong luận án Chúng tôi sẽ khảo sát định lý kiểu Zorn cho lớp hàm chỉnh hìnhGâteaux mà chúng bị chặn trên các tập bị chặn Không gian lồi địa phương E thỏamãn tính chất này được gọi là không gian BB-Zorn hay có tính chất BB-Zorn.Trong Mục 4.1, chúng tôi giới thiệu các không gian (BB)-Zorn trù mật trongmột không gian Fréchet Với không gian Fréchet-Schwartz E có cơ sở Schaudertuyệt đối, chúng tôi chứng minh rằng nếu E P prΩBq với B P KpEq, họ tất cả cáctập lồi, cân, compact trong E thì tồn tại tập không đa cực Br P KpEq với Br  B

sao cho pEBr, τEqcó tính chất (BB)-Zorn (Định lý 4.1.5) Hơn nữa, chúng tôi khẳngđịnh rằng mọi hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn trong Dp rBq được tháctriển chỉnh hình đến D, trong đó D là một miền trong không gian E

Chúng tôi trình bày trong Mục 4.2 các mở rộng kết quả của Bonet, Jordá vàMaestre [14, Theorem 5] và của Grosse-Erdmann [29, Theorem 4] đối với miền trên

C Ở đây, chúng tôi nghiên cứu bài toán đối với lớp các hàm pF, Wq-phân hìnhtrong cả hai trường hợp bị chặn địa phương và không bị chặn địa phương trên Cn,

n ¥ 2, bằng cách xem xét một số điều kiện của không gian F và không gian con

W (Định lý 4.2.6) Dựa vào các kết quả trên và tính chất (BB)-Zorn của pEB, τEq

chúng tôi nghiên cứu bài toán thác triển phân hình lên toàn bộ miền D từ mộttập con trù mật DpBq DXEB cho các hàm pF, Wq-phân hình nhận giá trị trênmột không gian Fréchet F, trong đó E là một không gian Fréchet có chứa một tậpcon compact không đa cực (Định lý 4.2.8 và Định lý 4.2.9) Trong các trường hợpnày, chúng tôi cần thêm vào tính chất “bị chặn trên các tập bị chặn” của các hàm

p, Wq-phân hình

Ở Mục 4.3, bằng cách sử dụng công cụ các bó đính, chúng tôi nghiên cứu miềnphân hình của các hàm p, Wq-phân hình Một số điều kiện của không gian F vàtập con W được chúng tôi đưa ra để mỗi hàm pF, Wq-phân hình có thể được tháctriển phân hình từ một miền Hartogs trong Cn đến bao chỉnh hình (Định lý 4.3.1).Tiếp đó, trên cơ sở định lý này, chúng tôi nhận được một số lớp hàm p, Wq-phânhình giá trị Fréchet trên một miền Riemann trên một không gian Fréchet E cóthể được thác triển phân hình đến bao chỉnh hình D của D trong trường hợp Er

là không gian hạch có tính chất Levi (Định lý 4.3.3) hoặc có cơ sở Schauder tuyệtđối và chứa một tập con compact lồi, cân không đa cực (Định lý 4.3.4).

Trong phần cuối của Chương 4, bằng cách sử dụng các kết quả của Mục 4.3,chúng tôi tổng quát kết quả của Ramis đối với lớp các hàm p, Wq-phân hình giátrị Fréchet Giả sử W €F1 là không gian con tách điểm và không gian Fréchet Echứa một tập con compact lồi cân, không đa cực và thỏa mãn một trong hai điềukiện: hạch hoặc có cơ sở Schauder tuyệt đối Khi đó mỗi hàm pF, Wq-phân hình

bị chặn trên các tập bị chặn trong DpBqzS có một thác triển phân hình đến D,trong đó B là tập con không đa cực của E và S là tập con giải tích của D vớicodim S ¥2 (Định lý 4.4.1 và Định lý 4.4.2)

Luận án được viết dựa trên các công trình [72–74] Các kết quả của luận ánđược báo cáo tại:

• Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn;

• Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên tại Quy Nhơn, 12-14/08/2015;

• Hội nghị Toán học phối hợp Việt-Hàn tại Đà Nẵng, 20-24/02/2017

Chương 1

MIỀN TỒN TẠI CỦA HÀM

PHÂN HÌNH GIÁ TRỊ VÉCTƠ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về miền tồn tại của hàmphân hình giá trị véctơ

Phần đầu của chương này là một số quy ước, ký hiệu và một số kiến thức vềkhông gian lồi địa phương mà chúng sẽ được sử dụng trong luận án, chẳng hạn cáckhông gian đầy đủ địa phương, đầy đủ theo dãy, các tập con tách điểm Tiếp sau

đó, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về hàm chỉnh hình, hàm phân hình giá trịvéctơ Ở phần cuối của chương là các kết quả về miền tồn tại của hàm phân hìnhgiá trị véctơ Một số bổ đề về thác triển phân hình qua các tập con giải tích cũngđược trình bày ở đây

Các kết quả chính của chương này được trích từ hai công trình [72, 73]

1.1 Kiến thức tổng quan về không gian lồi địa

phương

Trong suốt luận án này, nếu không giải thích gì thêm thì ta quy ước không gianlồi địa phương là một không gian véctơ phức với tôpô lồi địa phương Hausdorff.Đối với không gian Fréchet E, ta luôn giả thiết rằng cấu trúc lồi địa phươngcủa nó được sinh bởi dãy tăng các nửa chuẩn t}  } k u Khi đó ta ký hiệu Ek là bổsung đầy đủ của không gian định chuẩn chính tắc E{ker}  } k và ωk : E Ñ Ek làánh xạ chính tắc và Uk  tx P E : }x} k   1u Đôi khi để thuận tiện ta giả thiết

tUku k PN là cơ sở lân cận của 0 và ta ký hiệu UpEq Tập các tập con lồi, cân, đóng, bịchặn trong E được ký hiệu là BpEq và KpEqlà tập tất cả các tập lồi, cân, compacttrong E.

Nếu B là tập con lồi, cân của E ta xác định chuẩn }  }B trên E1, không gianđối ngẫu của E, với giá trị trong r0, 8s như sau

}u}B  supt|upxq|: xP Bu

Thay cho }  }Uk ta viết }  }k Ký hiệu EB là bao tuyến tính của B và nó sẽ trởthành không gian định chuẩn một cách chính tắc nếu B bị chặn

Định nghĩa 1.1.1 ([16]) Không gian lồi địa phương E được gọi là

(i) đầy đủ địa phương nếu không gian EB là Banach với mọi B PBpEq;

(ii) đầy đủ theo dãy nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ;

(iii) thùng nếu mọi thùng trong E là lân cận của 0 trong E;

(iv) siêu thùng nếu với mỗi dãy tăng các không gian con pEnq n của E phủ E thìtồn tại p sao cho Ep là một không gian thùng trù mật trong E

Nhận xét 1.1.2 (i) Mọi không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy thì đầy

đủ địa phương và tồn tại không gian đầy đủ địa phương nhưng không đầy

đủ theo dãy (xem [16, Example 5.1.12])

(ii) Mọi không gian Baire là siêu thùng (xem [16, Definition 9.1.22])

(iii) Mọi không gian có đối ngẫu mạnh siêu thùng thì không chứa không gian cácdãy số phức ω (xem [12, Proposition 4])

Trong phần này, ta nhắc lại các khái niệm về các tập con tách điểm như: xácđịnh tính bị chặn, xác định tôpô trên một không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.3 ([7]) Cho F là không gian lồi địa phương và W €F1 Tập Wđược gọi là

(i) tách điểm nếu upxq 0 với mọi u P W suy ra x 0;

(ii) xác định tính bị chặn nếu mọi tập con B €F là bị chặn khi upBq là bị chặntrong C với mọi uP W ;

(iii) xác định tôpô của F nếu tôpô của F là tôpô hội tụ đều trên các tập bị chặncủa F1 chứa trong W

Nhận xét 1.1.4 (i) Nếu W € F1 xác định tính bị chặn trên F hoặc xác địnhtôpô của F thì W là tách điểm

(ii) W €F1 tách điểm nếu và chỉ nếu spanW trù mật trong F1 theo tôpô yếu.(iii) W € F1 xác định tính bị chặn nếu và chỉ nếu mọi tập bị chặn theo tôpô

Định nghĩa 1.2.1 ([19]) Cho E và F là các không gian lồi địa phương và D €E

là mở, D  H Hàm f : D ÑF được gọi là hàm chỉnh hình nếu f liên tục và uf

là hàm chỉnh hình Gâteaux với mọi u P F1, trong đó F1 là không gian các phiếmhàm tuyến tính liên tục trên F

Định nghĩa 1.2.2 ([19]) Một miền Riemann (hay mặt Riemann) trên một khônggian lồi địa phương E là một cặp pD, pq, trong đó D là không gian tôpô Hausdorff

và p : D ÑE là đồng phôi địa phương

Nếu U là tập con mở trong D và p| U : U ÑE là một đẳng cấu thì ta gọi pU, pq

hoặc U là bản đồ trong D và viết p
1U thay cho ppUq
1 và ký hiệu U ppUq Do đómiền Riemann trên E có dạng là một đa tạp trên E với phép chiếu p xác định tọa

độ địa phương trên toàn bộ D

Định nghĩa 1.2.3 ([19]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương và pD, pq làmột miền Riemann trên E Hàm f : D ÑF được gọi là chỉnh hình tại điểm z PDnếu tồn tại lân cận V của z với V ppVq và hàm chỉnh hình g trên ppVq sao cho

f gp trên V

Định nghĩa 1.2.4 ([25]) Cho X và Y là các đa tạp phức có số chiều tương ứng

là n và m Ánh xạ liên tục f : X Ñ Y được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi p P Xtồn tại bản đồ địa phương pU, φq trên X và pV, ψq trên Y sao cho pPU, fpUq €V

và ánh xạ frψf φ
1: ϕpUq Ñ ψpVq €Cm chỉnh hình trên tập mở ϕpUq €Cn

Ta ký hiệu HpD, Fq là không gian véctơ các hàm chỉnh hình trên D nhận giátrị trên F và trang bị trên đó tôpô compact mở τ0 Trong trường hợp F  C taviết HpDqthay cho HpD, Cq Ký hiệu H8pD, Fq là không gian con tất cả các hàmchỉnh hình bị chặn của HpD, Fq và trong trường hợp F  C, để đơn giản ta viết

H8pDq thay cho H8pD, Cq Không gian các hàm chỉnh hình từ D vào F và bịchặn trên tất cả các tập bị chặn trong D được ký hiệu là HBpD, Fq và khi F  C

ta viết HBpDq thay cho HBpD, Cq

Với mỗi hàm f : D ÑF, ta ký hiệu Ωpfq là tập các điểm z thuộc D sao cho fchỉnh hình tại z Tập hợp Spfq :DzΩpfq được gọi là tập kỳ dị của f

Định nghĩa 1.2.5 ([40]) Cho X là một miền Riemann trên Cn và M là tập conđóng của X sao cho với mọi miền D €X thì DzM là liên thông và trù mật trong

D Cho H  F € HpXzM, Fq Ta nói điểm a PM là không kỳ dị đối với họ F (vàviết a P MnsF) nếu tồn tại một lân cận U của a sao cho mỗi hàm f P F tồn tại

r

f P HpU, Fq sao cho frf trên UzM.

Nếu aP Ms,F :MzMns,F thì ta nói a là kỳ dị đối với họ F

Nếu Mns,F  H hay Ms,F M thì ta nói M là kỳ dị đối với họ F

Đặc biệt, nếu F HpUzM, Fq thì ta nói M là kỳ dị

Ví dụ 1.2.6 Cho f là hàm chỉnh hình khác 0 trên X € Cn và đặt M  f
1p0q.Khi đó M kỳ dị đối với

!

1 f

)

1.2.2 Khái niệm hàm phân hình

Định nghĩa 1.2.7 Cho E, F là các không gian lồi địa phương và D0 là tập con

mở trù mật của tập mở D trong E Ta nói hàm f : D0 Ñ F là phân hình trên

D nếu với mọi z P D tồn tại lân cận Uz của z trong E và các hàm chỉnh hình

σUz được gọi là biểu diễn địa phương của hàm f tại z và các hàm hUz và

σUz tương ứng được gọi là tử và mẫu của biểu diễn địa phương tại z của hàm f.Năm 1982, Khuê [48] đã chứng minh nếu D là một đa tạp Stein, F là không gianlồi địa phương đầy đủ theo dãy thì biểu diễn trên là toàn cục, nghĩa là f  h

σ,trong đó h PHpD, Fq và σ P HpDq

để ký hiệu là tập cực và tập bất định của f Trong [48], Khuê đã chỉ ra rằng Ppfq

và Ipfq là các tập giải tích trong D, hơn nữa codim Ppfq ¥1 và codim Ipfq ¥2

là hàm điều hòa dưới trên một lân cận của 0 PC

Tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω được ký hiệu là P SHpΩq

Ví dụ 1.2.8 Cho E là không gian lồi địa phương, D €E là tập con mở và F làkhông gian véctơ với nửa chuẩn }  } Nếu f : D Ñ F là hàm chỉnh hình thì hàm

z ÞÑlog}fpzq} là đa điều hòa dưới trên D

Định nghĩa 1.2.9 Tập con B €D được gọi là đa cực trong D nếu tồn tại mộthàm đa điều hòa dưới ϕ trên D sao cho ϕ 
8 trên bất kỳ thành phần liên thôngnào của D và ϕ

B 
8

Ta nhận xét rằng hợp hữu hạn các tập đa cực là một tập đa cực Hơn nữa,trong Cn, hợp đếm được các tập đa cực là một tập đa cực Tuy nhiên, điều nàykhông đúng trong trường hợp không gian Fréchet vô hạn chiều (xem [18, Exercise6.35]) Năm 1968, Lelong chứng minh trong không gian HpCnqthì mọi tập bị chặnđều đa cực Trong trường hợp không gian hữu hạn chiều, tập E được gọi là đa cựctoàn cục nếu tồn tại ϕ P P SHpCnq, ϕ 
8 sao cho E € tz P Cn : ϕpzq  8u.Năm 1978, Josefson ( [49, Theorem 4.7.4]) đã chứng tỏ rằng các khái niệm tập đacực và tập đa cực toàn cục là trùng nhau trên Cn

1.2.3.2 Hàm cực trị tương đối và tập đa chính quy

Định nghĩa 1.2.10 ([43]) Cho K € Ω với Ω là tập mở trong không gian phức

ωpz, K, Ωq lim sup

Ω Qz 1 Ñz hK,Ωpz1q, z PΩ

và được gọi là hàm cực trị tương đối của K tương ứng với Ω

Nhận xét 1.2.11 (i) P €Ω €Cn là tập đa cực nếu và chỉ nếu hP,Ω  1.(ii) P  tz P K : hK,Ωpzq  hK,Ωpzqu là tập đa cực

(iii) Nếu K €Cn và K không đa cực thì hK,Cn 0

Định nghĩa 1.2.12 ([93]) Cho K € Ω với Ω là tập mở trong đa tạp phức X và

x0 P Ω

(i) K được gọi là L-chính quy tại x0 nếu ωpx0, K, Ωq  0

(ii) K được gọi là L-chính quy địa phương tại x0 nếu U XK là L-chính quy tại

x0 với mọi lân cận U của x0

(iii) K được gọi là đa chính quy (tương ứng, đa chính quy địa phương) nếu K làL-chính quy (tương ứng, L-chính quy địa phương) tại mọi điểm aP K

Ký hiệu K là tập tất cả các điểm đa chính quy địa phương của K (trong Ω).Nhận xét 1.2.13 (i) Nếu K là tập đa cực thì K  H

(ii) Nếu K không đa cực thì K không đa cực và KzK là tập đa cực

(iii) Nếu K là tập đa chính quy địa phương và P € K là tập đa cực thì KzP làtập đa chính quy địa phương

(iv) Mọi tập mở trong không gian hữu hạn chiều là đa chính quy địa phương

Định nghĩa 1.2.14 ([43]) Cho N P N, N ¥ 2 và ∅  Aj € Dj € Ckj, kj P N,trong đó Dj là các miền, j 1, , N Tập hợp

-.

Định nghĩa 1.2.16 ([43] Tập chữ thập N -lá tổng quát) Cho N P N, N ¥ 2 và

∅ Aj € Dj € Ckj, kj P N, trong đó Dj là các miền Hơn nữa, cho Sj €A1jA2j,

(iv) Nếu D1, D2, , Dn là các tập giả lồi thì X là tập mở giả lồi trong Cp n Ởđây, ta nhắc lại, tập D € Cn là tập giả lồi nếu với mỗi tập con compact Ktrong D thì bao đa điều hòa dưới KpP SHpDq là compact tương đối.

(v) Nếu A1, A2, , An là các tập đa chính quy địa phương thì X € pX và X làp

Định nghĩa 1.2.19 Cho N P N, N ¥ 2 và ∅  Dj € Ckj là các miền, kj P N,

j 1, , N Cho U là tập con mở của D1    DN và M €U là tập đóng tươngđối Với pa1, , aNq P pD1    DNq XU và j 1, , N ta định nghĩa thớ (fiber)của M và thớ của U trên pa1j,, a2jq là

j  1, , N Cho U là tập con mở của D1  DN và M € U là tập đóngtương đối Khi đó Mpa1

Ta nói hàm f : T Ñ F là chỉnh hình tách biến nếu với mỗi j P t1, , Nu và

pa1j, a2jq P pA1jA2jqzSj thì hàm fpa1j,, a2jq chỉnh hình trên Dj Đặt

HspT, Fq  tf : T ÑF chỉnh hình tách biến trên Tu.Định nghĩa 1.2.22 (Hàm chỉnh hình tách biến trên XzM ) Cho N P N, N ¥ 2

và ∅ Aj €Dj €Ckj, kj PN, trong đó Dj là các miền và X :XpA1, , AN; D1, , DNq Hơn nữa, cho U là một lân cận mở của X và cho M €U sao cho với mọi

pa1, aNq P A1     AN và j P t1,   , Nu thì thớ Mpa1

j , ,a 2

j q là tập đóng tương

đối trong Dj, F là một không gian lồi địa phương

Ta nói hàm f : XzM Ñ F là chỉnh hình tách biến (f P HspXzM, Fq) nếu vớimỗi pa1, aNq P A1     AN và j P t1, , Nu thì hàm fpa1j,, a2jq chỉnh hìnhtrên tập mở DjzMpa1

Ta nói hàm f : pTzMqzS ÑF là phân hình tách biến nếu với mỗi pa1, aNq P

Ms pTzM, Fq  tf : TzM ÑF phân hình tách biến trên TzMu

1.3 Miền tồn tại của hàm phân hình giá trị véctơ

Cho D là một miền Riemann trên không gian Banach E và f : D ÑF là hàmchỉnh hình trên D với giá trị trên không gian Banach F Ký hiệu Dhf là miền tồntại của f trên E Hirschowitz [38] đã chứng minh rằng nếu E khả ly thì tập

Như trong [8], bằng cách sử dụng lý thuyết bó ta có thể xây dựng miền Riemann

Dfm trên E (được gọi là miền tồn tại của hàm f ) sao cho nó là miền lớn nhất màtrên đó f được thác triển phân hình đến f p

Định lý 1.3.1 Cho D là một miền Riemann trên không gian Banach khả ly E

và f là một hàm phân hình trên D nhận giá trị trên không gian Banach F Khi đótập

Zfm : tu PF1 : Dfm Dmufu

trù mật trong F1

Để chứng minh Định lý 1.3.1 chúng tôi cần các bổ đề sau

Bổ đề 1.3.2 Cho E, F là các không gian Fréchet, D là tập con mở của E và S làtập con giải tích trong D với codim S ¥ 2 Khi đó mọi hàm f P MpDzS, Fq đượcthác triển phân hình đến D

Chứng minh Cho f : DzS ÑF là một hàm phân hình.

(i) Trường hợp E là Banach và F C

Vì f PMpDzSq nên f  h

σ, với h : DzS ÑC và σ : DzS ÑC là các hàm chỉnhhình Khi đó, theo Dineen [18, Appendix I, (iii), page 386] thì h và σ có các tháctriển chỉnh hình lần lượt là ph và σ tới D Do đó,p fp ph

p

σ là thác triển phân hìnhcủa f tới D

(ii) Trường hợp E, F là không gian Banach tùy ý

Theo (i) với mỗi u P F1, hàm phân hình uf trên DzS được thác triển phân hìnhđến uzf trên D Mặt khác, theo định lý Remmert-Stein-Ramis [76] thì V Ppfq

là tập giải tích trên D Ta có thể giả sử V ∅ và do đó codim V 1

Cố định z0 P S Chọn một lân cận W của z0 trong D sao cho

W XV Zpσq,trong đó Zpσq là tập không điểm của hàm chỉnh hình σ trên W

Với mỗi cặp pk, nq ta đặt

Apk,nq : tuP F1 : σnuzf PHpz0 Ukqu,

trong đó Uk  txP E : }x}   1

k u.Theo tính chất nhân tử của vành địa phương OE,z0 các mầm hàm chỉnh hìnhtại z0 (xem [60]), ta có thể xác định được các hàm g và β trên z0 Uk với số k saocho

đó tσnu{pfu € Hpz0 Ukq và hội tụ đến σnuzf trong Hppz0 UkqzVq Bởi vì

codim V  1, nên theo Nguyên lý maximum, ta có tσnu{pfu hội tụ về σnuzf

trong Hpz0 Ukq Điều này có nghĩa là uP Apk,nq và do đó Apk,nq đóng trong F1

Sử dụng định lý Baire F1 ”pk,nqApk,nq ta có thể xác định được pk, nq sao cho

σnuzf chỉnh hình trên z0 Uk với mọi uP F1 Do đó σnf chỉnh hình tại z0 và do

đó f phân hình tại z0

(iii) Trường hợp E và F là các không gian Fréchet

Cho B P KpEq Khi đó phép nhúng chính tắc EB Ñ E là compact Do đó tồntại K P KpFq sao cho f cảm sinh hàm phân hình fB : DpBqzSpBq ÑFK, trong đó

DpBq  DXEB và SpBq  SXEB Áp dụng (ii) cho fB ta nhận được thác triểnphân hình fpB của fB trên DpBq Cho z P DpBq và

nBpzq inftn : σnfpB chỉnh hình tại zu,

npzq suptnBpzq: z PBu

Rõ ràng, nBpzq   8 với mọi B P KpEq Hơn nữa, vì với mọi dãy tBku k ¥1 € KpEq

tồn tại dãy λk × 0 sao cho bao lồi cân, đóng acx”

Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại một dãy tăng tBku k ¥1 € KpEq và dãy tzk P

DpBkqzSpBkqu k¥1hội tụ đến z0 sao chotσnpz0 qfpB

B chỉnh hình tại z0.Điều này là không thể bởi vì

Bổ đề 1.3.3 Cho D là tập mở trong không gian Banach E và S là tập giải tíchtrong D với codim S  1 Giả sử G là tập con mở của D sao cho mọi nhánh bấtkhả quy với S đều có giao với G Khi đó mọi hàm phân hình f trên pDzSq YGnhận giá trị trên không gian Banach F được thác triển phân hình đến D.

Chứng minh Bước 1: Chứng minh f được thác triển phân hình với mọi z P BGXS.Cho z0 P BGXS Theo Bổ đề 1.3.2 có thể giả sử z0 P RpSq, tập chính quy của

S và z0 0P E Chọn một lân cận U của z0 có dạng ∆V, trong đó ∆ là đĩa đơn

vị mở trong C và V là lân cận liên thông của 0 trong không gian Banach sao cho

RpSq XU 0V Ta xét khai triển Laurent của f trong ∆V tại p0; 0q

Bước 2: Chứng minh f được thác triển phân hình với mọi z P SX pDzGq.Lấy z P SX pDzGq bất kỳ Gọi S là nhánh bất khả quy của S chứa z Tagiả sử z PRpSq và lấy z0 P BGXS Xét hàm liên tục γ :r0; 1s ÑRpSq X pDzGq

sao cho γp0q  z0 và γp1q  z Theo chứng minh của Bước 1, f phân hình tại z0nên tồn tại lân cận Vz0 của z0 sao cho f phân hình trên Vz0

Lặp lại chứng minh như ở Bước 1 nhưng thay BpGYVz0q XS cho BGXS, tanhận được kết luận f phân hình với mọi z P BpGYVz0q XS Do đó, f phân hìnhtại z1 P BVz0 Xγpr0; 1sq Lập luận tương tự như trên ta chứng minh được tồn tạilân cận V1 của z1 sao cho f phân hình tại mọi z P BpGYVz0 XVz1q XS Do đó, fphân hình tại z2 P BVz1 Xγpr0; 1sq

Vì γpr0; 1sqlà compact nên tiếp tục quá trình trên thì tồn tại Vn sao cho z PVn

và f phân hình trên Vn Vậy f phân hình tại z 

Bây giờ ta có thể chứng minh Định lý 1.3.1 như sau

Cho f : D Ñ F là một hàm phân hình, trong đó D là miền Riemann trênkhông gian Banach khả ly E và F là một không gian Banach Đặt

D0 DzPpfq và f0 f

D 0.Theo Hirschowitz [38], ta chỉ cần kiểm tra trong trường hợp tồn tại u0 PZhpf0qzZmpfq.Bởi vì

pD0q h

f 0  pD0q h

u 0 f và Dmf zpD0q h

f 0 Pp pfq,theo tính song chỉnh hình địa phương của ánh xạ chính tắc Dfm Ñ Dum

0 f, ta suy

ra rằng Dmf được chứa trong Dmu

0 f như là một tập mở Ta có được mối liên hệ sau

Dum0fzDfm Pp {u0fqzPp pfq và Pp pfq „Pp {u0fq.Thật vậy, giả sử z P Dum

0 f zDmf và z RPp {u0fqzPp pfq Khi đó

z P pD0q h

u 0 f 0  pD0q h

f 0 „Dmfđiều này là không thể

Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên Mối quan hệ thứ hai có được từ

pD0q h

f0  pD0q u0f 0.Cho z0 P BRpPp pfqq, biên của RpPp pfqq trong RpPp {u0fqq Ta có thể giả sử z0 

0 P E Chọn một lân cận U của z0 có dạng ∆V, trong đó ∆ là đĩa đơn vị mởtrong C và V là lân cận liên thông của 0 trong không gian Banach Như trong Bổ

đề 1.3.3, ta xét khai triển Laurent của f trong ∆p V tại p0; 0q

j¥1

Xj ¤

SpPp {u0fqq,

trong đó Xj là các nhánh bất khả quy và SpPp {u0fqq là tập kỳ dị của Pp {u0fq.

Vì codim Pp {u0fq ¥2 nên theo Bổ đề 1.3.2, ta có

Pp {u0 fqzpPp pfqD

m u0  f

trù mật trong F1 Thật vậy, cho uP F1và ε ¡0, ta chọn u1 P T sao cho}u
u1}  ε

Vì Zu1 trù mật trong C2 nên tồn tại y pa, bq P Zu1 sao cho

3p}u0} }u} 1q

với |b|  1 Cho nên

Kết luận: Trong Chương 1 chúng tôi trình bày một số kiến thức về các lớpkhông gian lồi địa phương, các tập con tách điểm, khái niệm về hàm chỉnh hình,phân hình giá trị véctơ Chúng tôi đã nhận được các kết quả quan trọng về miềntồn tại của hàm phân hình giá trị véctơ dựa trên các kết quả về thác triển phânhình qua các tập con giải tích làm công cụ cho các kết quả ở các chương sau

Chương 2

ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN LEVI

ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH YẾU

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị cho nghiên cứuđịnh lý chữ thập đối với các hàm p, Wq-phân hình Nội dung chính trong chươngnày là trình bày một phiên bản của định lý thác triển Levi đối với lớp các hàmxác định trên D p∆rz∆q nhận giá trị trên không gian Fréchet Đây là một trongnhững kết quả quan trọng để nghiên cứu miền chỉnh hình, miền phân hình Phầnđầu của chương, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về các hàm p, Wq-chỉnh hình,

p, Wq-phân hình Sau đó, chúng tôi nghiên cứu về định lý thác triển Levi đối vớicác hàm phân hình nhiều biến và các hàm phân hình vô hạn chiều giá trị véctơ.Các kết quả của chương này được trích từ công trình [72]

2.1 Các hàm p , W q -chỉnh hình và các hàm p , W q

-phân hình

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử E, F là các không gian lồi địa phương, D là tập con

mở của E, W €F1 Hàm f : D ÑF được gọi là

(i) pF, Wq-chỉnh hình trên D (và viết f P HWpD, Fq) nếu uf là chỉnh hình vớimọi uP W ;

(ii) pF, Wq-chỉnh hình, bị chặn trên D (và viết f P HW,8pD, Fq ) nếu u f làchỉnh hình và bị chặn trên D với mọi uP W ;

(iii) pF, Wq-chỉnh hình địa phương (và viết f P HlocWpD, Fq ) nếu với mỗi z P Dtồn tại một lân cận U của z trong D sao cho f P HWpU, Fq;

(iv) pF, Wq-chỉnh hình bị chặn địa phương (và viết f P HlocW,8pD, Fq) nếu với mỗi

z P D tồn tại một lân cận U của z trong D sao cho f P HlocWpU, Fq và uf

là bị chặn trên U với mọi uP W ;

(v) pF, Wq-phân hình nếu uf P MpDq với mỗi uP W ;

(vi) Nếu mỗi hàm uf có một thác triển phân hình là uzf P MpGq với G D,

với mọi u PW thì ta nói f có pF, Wq-thác triển phân hình đến G Đặt

Định lý 2.2.1 ([87]) Giả sử fpz, tq là hàm phân hình trên D p∆rz∆q, trong đó

D là tập mở liên thông trong Cn và ∆r  tλ P C : |λ|   ru với r ¡1 và ∆ ∆1.Giả sử D là tập không gầy trong D và với mỗi z PD thì hàm fz :fpz, q có tháctriển phân hình đến ∆r

Khi đó f có thác triển phân hình đến D ∆r

Chúng tôi mở rộng định lý Levi cho các hàm f xác định trên D p∆rz∆qnhậngiá trị trên không gian lồi địa phương F Chúng tôi lần lượt xét các trường hợpsau đây của không gian con W €F1: xác định tính bị chặn, tách điểm và W F1

triển phân hình đến ∆r với u{fz bị chặn địa phương trên ∆r và Pp{ufzq € Pz

với mọi uP W

Khi đó f có thác triển phân hình đến D ∆r

Chứng minh

Bước 1: Chứng minh với mỗi zP D thì fz có một thác triển phân hình đến ∆r

Vì f P MpD p∆rz∆q, Fq nên fz P Mp∆rz∆, Fq Hơn nữa, vì F là không gianlồi địa phương đầy đủ theo dãy nên theo Khuê [48, Theorem 2.1] thì fz có biểu diễntoàn cục là hz

là thác triển chỉnh hình của u hz trên ∆rzPz Từ giả thiết, với mỗi t P ∆rzPztồn tại lân cận Vt của t sao chou{hz PH8 pVtzPzq Khi đó, theo Frerick, Jorda vàWengenroth [26, Theorem 2.2] thì hz có duy nhất một thác triểnphz PH8 pVtzPz, Fq

Ta lập luận tương tự đối với hàm σz Do đó fz có một thác triểnfpz P MLBp∆r, Fq.

Bước 2: Trường hợp F là không gian Fréchet

Như trong [87] ta xét các trường hợp sau:

™Trường hợp đặc biệt: f chỉnh hình trên Dp∆rz∆q Ta có khai triển Laurent

trong đó số cực điểm được đếm với bậc của chúng Vì D  ”pDp nên tồn tại psao cho Dp trù mật trong D.

Đặt K là trường các thương của HpFbor1 Dq, với Fbor1 là không gian F1 vớitôpô chặn đóng liên kết với tôpô đối ngẫu mạnh F1 của F Chú ý rằng Fbor1 là mộtkhông gian pDFq chặn đóng

Ta xét không gian con V của K p 1 sinh bởi tVku k ¥1 với

Vk  p pC
k,Cp
k
1, ,Cp
k
pq pk ¥1q,

trong đó Cp
kpu, zq  upC
kpzqq với u P F1

bor và z P D Nhận xét rằng với k ¡
8

thì Cpk P K , bởi vìCpk là hàm chỉnh hình Gâteaux và bị chặn trên các tập có dạng

BK, trong đó B là bị chặn trong Fbor1 và K là bị chặn trong D, do đóCpk là hàm

chỉnh hình (xem [54]) Ta có thể kiểm tra được dimV ¤p, nghĩa là

với 1 ¤ k1        k1 p Thật vậy, với mỗi z P Dp, từ tính phân hình của fpz, tồn

tại a0, , ap P C sao cho

¸ p m0

Đẳng thức này suy ra P là một siêu mặt trên D∆r.

Đặt pz0, λ0q P RpPqvới RpPqtập chính quy của P Khi đó tồn tại lân cận U của

pz0, λ0qtrong D∆r và hàm chỉnh hình σ trên U sao cho σ

P XU 0 và σ1pz, λq 0với pz, λq P U

Do đó tồn tại p¥0 sao cho σpph là hàm chỉnh hình trên F1

bor U Mặt khác, vì

p

h

F1rpD∆ r qzP s là một thác triển chỉnh hình của f được xem như một phiếm hàmp

tuyến tính liên tục theo u P Fbor1 , trong đó pz, λq P D  p∆rz∆q Vì vậy, với mọi

pz, λq P D∆r thì σpph cũng tuyến tính theo u Do đó, σp ph sinh ra hàm chỉnh hình

σph : U Ñ rFbor1 s1 Vì codim SpPq ¥ 2, trong đó SpPq là tập kỳ dị P nên ph được

sinh ra từ hàm phân hình h trên D∆r nhận giá trị trong rFbor1 s1

Hơn nữa, theo tính duy nhất và h  f trên rD p∆rz∆qszP ta suy ra h đượcxem như một hàm phân hình D ∆r nhận giá trị trong F Do đó f được tháctriển phân hình đến D∆r

™ Trường hợp tổng quát: Đặt

D  tz P D : mọi lân cận mở U của z thì U XD là tập béou

Ta kiểm tra được D là tập béo Cố định z0 P D sao cho tz0u  p∆prqz∆q khôngchứa trong tập cực P của f Nhận xét rằng z0 tồn tại, vì nếu không thì P chứa

D p∆prqz∆q là tập béo trong D p∆prqz∆q Khi đó, tồn tại lân cận mở U của

z0 và 1¤α  β ¤r sao cho f chỉnh hình trên U  p∆pβqz∆pαqq Theo trường hợpđặc biệt thì f có thác triển phân hình đến U ∆prq

Đặt D1 là tập hợp tất cả z P D sao cho tồn tại lân cận mở W của z trong D

mà f có thác triển phân hình đến W ∆prq Vì z0 P D1 nên D1  H Bằng cáchđổi tọa độ dạng $

' '

zj1 zj εw (ε¡0q

w w

và lập luận như bước trước ta có được D1 đóng trong D Do đó, D1  D hay fđược thác triển phân hình đến D∆r

Bước 3: Xét trường hợp tổng quát

Giả sử F là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy Như trong Bước 2, đặt

αPpgαq là một hợp hữu hạn địa phương (xem [17, p.57])

Gọi D1 là tập con mở compact tương đối của D và 0 r1  r Với mỗi αP cspFq,gọi nα số các nhánh bất khả quy của Ppgαq X pD1∆r1 q Để kiểm tra tính giải tíchcủa P X pD1∆r1 q ta cần chỉ ra supαnα   8

Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại dãy tαku €cspFq sao cho αk Õ 8 Xét khônggian E  limproj

k

Fαk và phép nhúng chính tắc ω : F ÑE Theo Bước 2 thì ω f

có một thác triển phân hình h : D∆r ÑE Vì Ppgαkq € Pphq với k ¥ 1 nên sốcác nhánh bất khả quy của Pphq X pD1∆rq bằng 8 Điều này là vô lý Mà D1

và r1 là tùy ý nên P là một siêu mặt

Vì uf có một thác triển chỉnh hình đến pD∆rqzP với mọi u P F1 nên fcũng có một thác triển chỉnh hìnhf đếnp pD∆rqzP Ta cần kiểm tra f phân hìnhp

trên pD∆rqzSpPq và do đó cũng phân hình trên D∆r

Với w0 P pD∆rqzSpPq qua phép đổi tọa độ ta có thể biểu diễn f dưới dạngp

trong lân cận ∆n∆ của w0, trong đó ckpzq là hàm chỉnh hình trên ∆n

Nếu f không phân hình tại wp 0 thì tồn tại dãy kj ×
8 sao cho ck

j  0 trên

∆n Với mỗi j ¥1, chọn uj P F1 sao cho uj.ckj 0

Xét g  η f, trong đó η : F Ñ CN là ánh xạ sinh bởi tuju, nghĩa là ηpyq 

tujpyqu j ¥1 Theo Bước 2 thì g có một thác triển phân hình ∆n∆ Điều này chứng

tỏ rằng tồn tại j0 sao cho

uj.ckj 0 với j  j0

Trong Định lý 2.2.2, F được giả thiết là không gian lồi địa phương đầy đủ theodãy Nếu xét F trong lớp không gian rộng hơn, “không gian đầy đủ địa phương”,thì chúng tôi cần thêm giả thiết “f bị chặn địa phương” Cụ thể, chúng tôi có kếtquả sau:

Định lý 2.2.3 Cho F là không gian lồi địa phương đầy đủ địa phương, W là khônggian con xác định tính bị chặn của F1 và f PMLBpD p∆rz∆q, Fq, với r¡ 1 và D

là tập mở trong Cn Giả sử D là tập con trù mật trong D sao cho với mỗi z P Dtồn tại tập Pz € ∆r không có điểm giới hạn trong ∆r và hàm fz có pF, Wq-tháctriển phân hình đến ∆r với u{fz bị chặn địa phương trên ∆r và Pp{ufzq € Pz

với mọi uP W

Khi đó f có duy nhất một thác triển fpP MLBpD∆r, Fq.

Chứng minh

Bước 1: Chứng minh với mỗi z PD thì fz có một thác triển phân hình đến ∆r.Giả sử f P MLBpD  p∆rz∆q, Fq và hz,t

σz,t là biểu diễn địa phương của fz tại

t P ∆rz∆ Với mỗi z P D ta ký hiệu ph z,u,t

pσ z,u,t là biểu diễn địa phương tại t P ∆rcủa u{fz Giả sử rằng phz,u,t và σpz,u,t chỉnh hình trên một lân cận Vt € ∆r của

t Theo giả thiết, với mọi t P ∆rzPz tồn tại lân cận Ut (không mất tổng quát ta

có thể giả sử Ut  Vt) của t sao cho pphz,u,tq Ut bị chặn và pphz,u,tq Ut  uhz,t trên

Ut X p∆rz∆q Theo Frerick, Jordá và Wengenroth [26, Theorem 2.2] hz,t có duynhất một thác triển chỉnh hình phz,t đến ∆rzPz, trong đó phz,t

UtzP z P H8pUtzPz, Fq

với mỗi t P ∆rzPz Kết luận tương tự đối với hàm σpz,u,t

Giả sử t3 P Ut1XUt2 Theo các lập luận trên thì các hàm hz,t3, σz,t3 có các tháctriển chỉnh hình phz,t

hz,tk, σpz,tk, k 1, 2, 3 nên ta kết luận được fz có một thác triển fpz P MLBp∆r, Fq.

Bước 2: Trường hợp F là không gian Fréchet

Một cách tương tự như trong phép chứng minh của Định lý 2.2.2 ta chứng minhđược f có thác triển phân hình đến D∆r với trường hợp F là một không gianFréchet Từ tính duy nhất của các thác triển phz và σpz trên các tập UtzPz ta suy ra

rằng fpP MLBpD∆r, Fq Tính duy nhất của f được suy ra từ tính duy nhất củap

các thác triển phz và pσz.

Bước 3: Trường hợp tổng quát

Ta chỉ cần chứng minh với mọi miền con compact tương đối D của D thì hàm

f :f

Dp∆ r z∆q có thác triển phân hình đến D ∆r

Vì f bị chặn địa phương nên tồn tại đĩa Banach B trong F sao cho fprD 

p∆rz∆qszrPpfqYIpfqsqbị chặn và được chứa trong FB Do đó, với mỗi z P D ta có

fzpr∆rz∆szPzqbị chặn và được chứa trong FB Khi đó, từ tính duy nhất địa phươngcủa fpz trong ∆r (xem Bước 1) theo Frerick, Jordá và Wengenroth [26, Corollary

2.3] ta có được phzp∆rzPzq, và do đó fpzp∆rzPzq bị chặn và được chứa trong FB vớip

hz là tử củafpz Cho nên theo Bước 2 thì hàm f : D  p∆r z∆q ÑFB có duy nhấtmột thác triển phân hình fp  P MLBpD∆r, FBq Vì ánh xạ nhúng j : FB ÑF làliên tục (xem [16, Proposition 3.2.2]) nên fp  P MLBpD∆r, Fq