Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân

18 Chương 2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân 20 2.1.. Phương pháp grad

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG TUẤN DOANH

PHƯƠNG PHÁP GRADIENT TĂNG CƯỜNG

CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT, BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BÀI TOÁN BẤT

ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2017

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Trương Minh Tuyên Tác giảxin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoahọc của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn

và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luậnvăn

Trong quá trình hoàn thiện luận văn, tác giả cũng đã học tập được rất nhiềukiến thức chuyên ngành bổ ích phục vụ cho công tác và nghiên cứu của bản thân.Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham giagiảng dạy lớp Cao học Toán K9Y, Ban giám hiệu, các phòng chức năng và KhoaToán - Tin của trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm vàgiúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trường.Xin chân thành cảm ơn các thành viên lớp cao học K9Y và bạn bè đồngnghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình hoàn thiệnluận văn

Mục lục

Một số ký hiệu và viết tắt iv

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Một số tính chất của không gian Hilbert 3

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 10

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân 11

1.3.1 Phát biểu bài toán 11

1.3.2 Phương pháp gradient 12

1.3.3 Phương pháp gradient tăng cường 13

1.4 Bài toán cân bằng 14

1.4.1 Phát biểu bài toán 14

1.4.2 Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan 14

1.4.3 Bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát 16

1.4.4 Một số phương pháp giải bài toán cân bằng 18

Chương 2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân 20 2.1 Một số bổ đề bổ trợ 20

2.2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân 25

2.3 Một số hệ quả 36

2.4 Ứng dụng 41

2.5 Ví dụ số minh họa 46

Một số ký hiệu và viết tắt

H không gian Hilberth., i tích vô hướng trên Hk.k chuẩn trên H

Mở đầu

Bài toán cân bằng có vị trí quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến, nó

có mối liên hệ mật thiết, qua lại (theo nghĩa bài toán này có thể đưa về bài toánkia và ngược lại) với một số bài toán quan trọng khác như bài toán tối ưu, bàitoán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán minimax, bài toán điểm bấtđộng Việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán điểm bất động, bài toánbất đẳng thức biến phân hay bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) có nhiều

ý nghĩa thực tiễn trong các lĩnh vực kinh tế, tài chính, cơ khí và khoa học kỹthuật

Trong những năm gần đây vấn đề nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệmchung của mô hình bao gồm nhiều bài toán khác nhau đã thu hút được nhiềungười làm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Một trong những bàitoán được quan tâm nhiều là bài toán tìm một nghiệm chung của bài toán cânbằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn

Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết kết quả của các tác giả J

W Peng và J C Yao trong tài liệu [12] về sự kết hợp giữa phương pháp gradienttăng cường, phương pháp lặp Mann và phương pháp lai chiếu cho bài toán tìmmột nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳngthức biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert

Nội dung chính của luận văn được chia làm hai chương, trong đó:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này luận văn tập trung trình bày về một số đặc trưng quantrọng thường xuyên được sử dụng của không gian Hilbert thực H (một số đẳngthức bất đẳng thức cơ bản, sự hội tụ yếu, tính chất Kadec-Klee, phép chiếumêtric, định lý tách tập lồi, tính đóng yếu của một tập con lồi và đóng C), sơlược về bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn cùng với phương pháplai chiếu được đề suất bởi K Nakajo và W Takahashi [9], bài toán bất đẳngthức biến phân cùng với các phương pháp gradient [3, 7], gradient tăng cường[6, 10, 11] và bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) cùng với một số bài toánliên quan

Chương 2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung củabài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bàitoán bất đẳng thức biến phân

Trong chương này trước hết luận văn đề cập đến một số bổ đề bổ trợ nhằmphục vụ cho chứng minh của các định lý chính như: Bổ đề KKM, bổ đề về tínhchất của ánh xạ giải Tr cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát Tiếp theo,luận văn trình bày lại chi tiết các chứng minh về sự hội tụ mạnh của phươngpháp gradient tăng cường cho bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằnghỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất độngtrong tài liệu [12] Cuối cùng của chương này là một ví dụ số đơn giản trên tậpcác số thực R và thử nghiệm số dựa trên phần mềm MATLAB nhằm minh họathêm cho tính đúng đắn của phương pháp lặp

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 4 mục Mục 1.1 trình bày về một số tính chất của khônggian Hilbert Mục 1.2 giới thiệu về bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ khônggiãn Mục 1.3 trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân cùng với hai phươngpháp cơ bản để giải lớp bài toán này (phương pháp gradient và phương phápgradient tăng cường) Mục 1.4 tập trung trình bày về bài toán cân bằng cùngvới các bài toán liên quan (bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toánđiểm bất động, bài toán tối ưu hàm lồi khả vi, bài toán bất đẳng thức biếnphân), bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và một số phương pháp giải bàitoán cân bằng Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu[1] và [2]

1.1 Một số tính chất của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu

là h., i và chuẩn được kí hiệu là k.k

Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau

kx − yk2+ kx − zk2 = ky − zk2+ 2hx − y, x − zi,với mọi x, y, z ∈ H

Chứng minh Thật vậy, ta có

ky − zk2+ 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi

= [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi]

+ [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi]

= kx − yk2+ kx − zk2.Vậy ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi x, y ∈ H

và mọi λ ∈ [0, 1], ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1)Chứng minh Ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λ2kxk2+ 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2kyk2

= λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)(kxk2− 2hx, yi + kyk2)

= λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2

Ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.3 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, nếu với x, y ∈ Hthỏa mãn điều kiện

|hx, yi| = kxk.kyk,tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộctuyến tính

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng x 6= λy với mọi λ ∈ R Khi đó, từ tính chấtcủa tích vô hướng, ta có

0 < kx − λyk2 = λ2kyk2− 2λhx, yi + kxk2,với mọi λ ∈ R Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc tuyếntính Giả sử y 6= 0, khi đó với λ = hx, yi

kyk2 , thì bất đẳng thức trên trở thành

|hx, yi| < kxk.kyk,điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính

với mọi y ∈ H Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì

xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Chẳng hạn xét không gian

|hen, yi|2 < kyk2 < ∞

Suy ra limn→∞hen, yi = 0, tức là en * 0 Tuy nhiên, {en} không hội tụ về 0, vì

Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức

là nếu {xn} ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn * x và

kxnk → kxk, thì xn → x, khi n → ∞

Chứng minh Ta có

kxn − xk2 = kxnk2− 2hxn, xi + kxk2

→ 0, n → ∞

Suy ra xn → x, khi n → ∞ Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.6 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

H Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PCx ∈ C sao cho

kx − PCxk ≤ kx − yk với mọi y ∈ C

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

u∈Ckx − uk Khi đó, tồn tại {un} ⊂ C sao cho

Suy ra u = v Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PCx ∈ C sao cho

kx − PCxk = infu∈Ckx − uk

Định nghĩa 1.1 Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PCx ∈ Cxác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C

Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0 Khi đó

PCx = x + y − hx, ui

kuk2 u.

Ví dụ 1.2 Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tửcho trước và R là một số dương Khi đó, ta có:

hx − PCx, PCx − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C (1.3)Chứng minh Giả sử PC là phép chiếu mêtric Khi đó với mọi x ∈ H, y ∈ C vàmọi t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PCx ∈ C Do đó, từ định nghĩa của phép chiếumêtric, suy ra

kx − PCxk2 ≤ kx − ty − (1 − t)PCxk2,với mọi t ∈ (0, 1)

Bất đẳng thức trên tương đương với

kx − PCxk2 ≤ kx − PCxk2− 2thx − PCx, y − PCxi + t2ky − PCxk2,

với mọi t ∈ (0, 1) Từ đó, ta có

hx − PCx, PCx − yi ≥ −t

2ky − PCxk2,với mọi t ∈ (0, 1) Cho t → 0+, ta nhận được

≤ kx − yk2+ hy − PCx, x − PCx + PCx − yi

= kx − yk2 + hy − PCx, x − PCxi − ky − PCxk2

≤ kx − yk2.Suy ra PC là phép chiếu mêtric từ H lên C

Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:

Hệ quả 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC làphép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, với mọi x, y ∈ H, ta có

kPCx − PCyk2 ≤ hx − y, PCx − PCyi

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.7, ta có

hx − PCx, PCy − PCxi ≤ 0,

hy − PCy, PCx − PCyi ≤ 0

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.8 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC

là phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, với mọi x ∈ H và y ∈ C, ta có

kx − yk2 ≥ kx − PCxk2+ ky − PCxk2.Chứng minh Với mọi x ∈ H và y ∈ C, từ Mệnh đề 1.7, ta có

Mệnh đề 1.9 Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H và

x /∈ C Khi đó, tồn tại một phần tử v ∈ H, v 6= 0 sao cho

sup

y∈C

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2

Chứng minh Vì x /∈ C, nên v = x − PCx 6= 0 Từ Mệnh đề 1.7, ta có

hv, y − PCxi ≤ 0,với mọi y ∈ C Suy ra

hv, y − x + x − PCxi ≤ 0,với mọi y ∈ C Điều này tương đương với

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2,với mọi y ∈ C Do đó

sup

y∈C

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2.Mệnh đề được chứng minh

Chú ý 1.1 Mệnh đề 1.9 còn được gọi là định lý tách tập lồi cho trước với mộtđiểm không thuộc nó

Mệnh đề 1.10 Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H,thì C là tập đóng yếu

Chứng minh Giả sử C không là tập đóng yếu Khi đó, tồn tại dãy {xn} trong Cthỏa mãn xn * x, nhưng x /∈ C Vì C là tập lồi và đóng, nên theo định lý táchcác tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 (chẳng hạn lấy y = v và ε = kvk2/2 trongchứng minh của Mệnh đề 1.9 sao cho

hy, zi < hy, xi − ε,với mọi z ∈ C Đặc biệt

hy, xni < hy, xi − ε,với mọi n Cho n → ∞, ta nhận được

hy, xi ≤ hy, xi − ε,điều này là vô lý Do đó, C là tập đóng yếu

Chú ý 1.2 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng

Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.11 Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert thực H Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếuvới mọi x, y ∈ C, ta có

Chứng minh Giả sử F ix(T ) 6= ∅

Trước hết, ta chỉ ra F ix(T ) là tập đóng Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãnnên T liên tục trên C Giả sử {xn} là một dãy bất kỳ trong F ix(T ) thỏa mãn

xn → x, khi n → ∞ Vì {xn} ⊂ F ix(T ), nên

kT xn − xnk = 0,với mọi n ≥ 1 Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x − xk =

0, tức là x ∈ F ix(T ) Do đó, F ix(T ) là tập đóng

Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F ix(T ) Giả sử x, y ∈ F ix(T ), tức là T x = x

và T y = y Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 và tínhkhông giãn của T ta có

Suy ra T z = z và do đó z ∈ F ix(T ) Vậy F ix(T ) là một tập lồi

Bài toán Cho T : C −→ H là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng

và khác rỗng C của không gian Hilbert H vào H là một ánh xạ không giãn với

F ix(T ) 6= ∅ Tìm phần tử x∗ ∈ F ix(T )

Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, nhưphương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern,phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt Trong luậnvăn chúng tôi chỉ giới thiệu phương pháp lai chiếu được đề xuất bởi K Nakajo

và W Takahashi [9] vào năm 2003 Kết quả này được cho bởi định lý dưới đây:Định lí 1.1 [9] Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi,đóng, khác rỗng của H Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với

F ix(T ) 6= ∅ Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn} như sau

trong đó {αn} là dãy số thực thỏa mãn điều kiện {αn} ⊂ [0, a), với a < 1 Khi

đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về PF ix(T )x1, khi n → ∞

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.3.1 Phát biểu bài toán

Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H và A : C −→ H

là một ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu nhưsau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho

hA(x∗), x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C (1.5)Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.5) được gọi là tập nghiệm của bài toán

và ký hiệu là V I(C, A)

Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H

và A : C −→ H là một ánh xạ từ C vào H

a) Ánh xạ A được gọi là đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C ta có:

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0

b) Ánh xạ A được gọi là giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C ta có:

hA(y), x − yi ≥ 0 suy ra hA(x), x − yi ≥ 0

c) Ánh xạ A được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số

α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

hA(x) − A(y), x − yi ≥ αkx − yk2

d) Ánh xạ A được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng

số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

hA(x) − A(y), x − yi ≥ αkA(x) − A(y)k2

e) Ánh xạ A được gọi là h-liên tục trên C nếu A(x + ty) * A(x) khi t −→ 0+sao cho với mọi x, y ∈ C

f) Ánh xạ A được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C nếu tồn tại một hằng số

L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

kA(x) − A(y)k ≥ Lkx − yk

Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ A là α-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ A làmột ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz Sau đây là một số phương pháp tìmnghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.5) trong không gian Hilbert.1.3.2 Phương pháp gradient

h(x∗− λA(x∗)) − x∗, x − x∗i ≤ 0, ∀x ∈ C

Điều này tương đương với

hA(x∗), x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C,tức là x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.5)

Dựa vào kết quả này, khi F là ánh xạ đơn điệu mạnh và Lipschitz, năm 1967

J L Lions và G Stampacchia [7] đã đề xuất phương pháp gradient, để xác địnhnghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.5) Với phương pháp lặp đượcxác định như sau:

x0 ∈ C, xn+1 = PC(xn − λF (xn)), n = 0, 1, 2 (1.7)Gần đây, A Bnouhachem và các cộng sự [3] cũng đề xuất một kết quả mới đểtìm nghiệm cho bài toán (1.5) Họ xây dựng dãy lặp xác định như sau:

x0 ∈ C, xn+1 = PC(xn − λF (xn+1)), n = 0, 1, 2 (1.8)

và chứng minh được dãy lặp (1.8) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bàitoán (1.5)

1.3.3 Phương pháp gradient tăng cường

Như đã biết, phương pháp gradient chỉ cho sự hội tụ mạnh khi ánh xạ Fđơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz Một số nhà toán học đã áp dụng mở rộngphương pháp gradient tăng cường, được đề xuất bởi G M Korpelevich [6], để tìmnghiệm cho bất đẳng thức biến phân (1.5) và đã chứng minh được các phươngpháp này hội tụ mạnh khi ánh xạ F chỉ có tính chất đơn điệu, thậm chí là giảđơn điệu (xem [10], [11]) Với phương pháp này dãy lặp {xn} được xác định theocông thức sau:

x0 = x ∈ C,

yn = PC(xn− λF (xn)),

xn+1 = PC(xn− λF (yn)), n = 0, 1, 2

(1.9)

trong đó λ ∈ (0, 1/L) với L là hằng số liên tục Lipschitz của ánh xạ F và họ

đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của các dãy lặp {xn} và {yn} xác định bởi(1.9) tới nghiệm x∗ của bài toán (1.5)

1.4 Bài toán cân bằng

1.4.1 Phát biểu bài toán

Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert H và F : C ×C −→ R

là một song hàm thỏa mãn tính chất

F (x, x) = 0, ∀x ∈ C (1.10)Bài toán cân bằng ứng với hàm F ký hiệu là EP (F ) và được phát biểu nhưsau:

Tìm phần tử x ∈ C sao cho

F (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C (EP)Chú ý 1.3 Người ta thường giả thiết C là tập lồi, đóng và song hàm F thỏamãn điều kiện đơn điệu, tức là

F (x, y) + F (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C (1.11)1.4.2 Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan

Dưới đây, luận văn đề cập đến một số bài toán có thể đưa về bài toán cânbằng

Bài toán tối ưu

Cho ϕ : C −→ R là một hàm số Xét bài toán tìm phần tử x ∈ C sao cho:

ϕ(x) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ C (1.12)Đặt F (x, y) = ϕ(y) − ϕ(x) với mọi x, y ∈ C Khi đó, x là nghiệm của bài toán(1.12) khi và chỉ khi x là nghiệm của bài toán cân bằng EP (F )

Chú ý 1.4 Trong trường hợp này song hàm F thỏa mãn điều kiện đơn điệu(1.11), vì

F (x, y) + F (y, x) = 0 với mọi x, y ∈ C

Bài toán điểm yên ngựa

Cho C1 và C2 là các tập con của không gian Hilbert H và cho ϕ : C1×C2 −→

R là một hàm số Khi đó, điểm (x1, x2) ∈ C1× C2 được gọi là điểm yên ngựa của

ϕ nếu và chỉ nếu

ϕ(x1, y2) ≤ ϕ(y1, x2) với mọi (y1, y2) ∈ C1× C2

Nhận xét 1.1 Nếu (x1, x2) ∈ C1× C2 là điểm yên ngựa của hàm ϕ, thì ta có

ϕ(x1, y2) ≤ ϕ(x1, x2) ≤ ϕ(x1, x2) với mọi (y1, y2) ∈ C1× C2

Đặt C = C1 × C2 và F ((x1, x2), (y1, y2)) = ϕ(y1, x2) − ϕ(x1, y2) với mọi(x1, x2), (y1, y2) ∈ C Khi đó, bài toán điểm yên ngựa tương đương với bài toáncân bằng EP (F )

Chú ý 1.5 Dễ nhận thấy rằng với mọi (x1, x2), (y1, y2) ∈ C ta đều có

F ((x1, x2), (y1, y2)) + F ((y1, y2), (x1, x2)) = 0

Do đó song hàm F thỏa mãn điều kiện đơn điệu (1.11)

Bài toán điểm bất động

Cho T : C −→ C là một ánh xạ Xét bài toán tìm một điểm bất động của

T , tức là tìm một phần tử x ∈ C sao cho T x = x

Xét hàm số F : C × C −→ R được xác định bởi

F (x, y) = hx − T x, y − xi,với mọi x, y ∈ C Giả sử x là một điểm bất động của T Khi đó, F (x, y) = 0 vớimọi y ∈ C, tức là x là một nghiệm của bài toán cân bằng EP (F )

Ngược lại, giả sử x là một nghiệm của bài toán cân bằng EP (F ), tức là

F (x, y) = hx − T x, y − xi ≤ 0,

với mọi y ∈ C Vì x, T x ∈ C và C là tập lồi nên y = 1

2(x + T x) ∈ C Do đó từbất đẳng thức trên, ta nhận được

1

2kx − T xk2 ≤ 0hay tương đương với x = T x

Như vậy ta nhận được bài toán điểm bất động tương đương với bài toán cânbằng

Nhận xét 1.2 Song hàm

F (x, y) = hx − T x, y − xi ≤ 0thỏa mãn điều kiện đơn điệu khi và chỉ khi

hT x − T y, x − yi ≤ kx − yk2,

với mọi x, y ∈ C Do đó, từ định nghĩa của ánh xạ không giãn, dễ nhận thấy nếu

T là ánh xạ không giãn thì F là một song hàm đơn điệu

Bài toán tối ưu lồi khả vi

Xét bài toán:

min

x∈C ϕ(x), (1.13)trong đó ϕ : H −→ R là một phiếm hàm lồi khả vi Ta biết rằng phần tử x ∈ C

là nghiệm của bài toán (1.13) khi và chỉ khi x thỏa mãn điều kiện

h5ϕ(x), y − xi ≥ 0 với mọi y ∈ C

Đặt F (x, y) = h5ϕ(x), y − xi với mọi x, y ∈ C Khi đó, dễ thấy x là nghiệmcủa bài toán (1.13) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán EP (F )

Chú ý 1.6 Ta biết rằng toán tử vi phân 5ϕ của hàm lồi ϕ là đơn điệu, tức là

h5ϕ(x) − 5ϕ(y), x − yi ≥ 0 với mọi x, y ∈ C

Từ đó, ta có

F (x, y) + F (y, x) = hϕ(x), y − xi + hϕ(y), x − yi

= −h5ϕ(x) − 5ϕ(y), x − yi ≤ 0,với mọi x, y ∈ C Do đó, trong trường hợp này song hàm F thỏa mãn điều kiệnđơn điệu (1.11)

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho A : C −→ H là một ánh xạ liên tục Xét bài toán bất đẳng thức biếnphân tìm một phần tử x ∈ C sao cho

hAx, y − xi ≥ 0 với mọi y ∈ C

Với mỗi x, y ∈ C, đặt F (x, y) = hAx, y − xi Khi đó, ta nhận được một songhàm F : C × C −→ R Dễ dàng nhận thấy phần tử x là nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân V I(C, A) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán cânbằng EP (F )

1.4.3 Bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát

Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H.Cho B : C −→ H là một ánh xạ phi tuyến, ϕ : C −→ R là một hàm số và

F : C × C −→ R là một song hàm bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát đượcphát biểu như sau:

1.4.4 Một số phương pháp giải bài toán cân bằng

Năm 2007, Y Su, M Shang và X Qin [13], đã xây dựng một phương pháplặp dựa trên phương pháp xấp xỉ mềm cho bài toán tìm một điểm chung củatập nghiệm của bài toán cân bằng ứng với song hàm F , tập điểm bất động củaánh xạ không giãn S và tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân với toán tửα-ngược đơn điệu mạnh A trong không gian Hilbert Cụ thể hơn với x1 ∈ H, họ

đã xác định các dãy {xn} và {un} như sau:

Họ đã chỉ ra rằng với một vài điều kiện thích hợp đặt lên các dãy {λn} và {βn},thì các dãy {xn}, {yn} và {zn} xác định bởi (1.16) cùng hội tụ mạnh về phần tử

z = PF ix(S)∩V I(C,A)x

Năm 2010, L C Ceng, N Hadjisavvas và N C Wong [4] cũng đã nghiêncứu kết phương pháp lai chiếu và phương pháp gradient tăng cường cho bài toántìm một phần tử chung của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn S và tậpnghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu, Lipschitz A

Họ đã đưa ra phương pháp lặp sau:

tử z = PF ix(S)∩V I(C,A)x

Nhận xét 1.4 Nếu γn = 1 và αn = 0 với mọi n ≥ 1, thì phương pháp lặp (1.17)trở về phương pháp lặp (1.16)

Chương 2

Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân

Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại kết quả của J W Peng

và J C Yao trong tài liệu [12] về sự kết hợp giữa phương pháp gradient tăngcường, phương pháp lặp Mann và phương pháp lai chiếu cho bài toán tìm nghiệmchung của các bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động vàbài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

2.1 Một số bổ đề bổ trợ

Cho H là một không gian Hilbert Với mỗi B ⊂ H, ta ký hiệu conv(B) làbao lồi của B Một ánh xạ đa trị G : B −→ 2H được gọi là ánh xạ KKM nếuvới mọi tập con hữu hạn {x1, x2, , xn} ⊂ B, ta đều có

conv({x1, x2, , xn}) ⊆ ∪nk=1G(xk)

Ta có bổ đề dưới đây:

Bổ đề 2.1 [5] Cho B là một tập con khác rỗng của không gian véctơ tôpôHausdorff X và cho G : B −→ 2X là một ánh xạ KKM Nếu G(x) là tập đóngvới mỗi x ∈ B và là tập compact tại ít nhất một điểm x ∈ B, thì ∩x∈BG(x) 6= ∅

Để giải bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát hay bài toán cân bằng hỗn hợp,

ta cần đặt một số giả thiết dưới đây lên các hàm F , ϕ và tập C:

(A1) F (x, x) = 0 với mọi x ∈ C;

(A2) F là đơn điệu, tức là F (x, y) + F (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C;

(A3) Với mỗi y ∈ C, x 7−→ F (x, y) là nửa liên tục trên yếu;

(A4) Với mỗi x ∈ C, y 7−→ F (x, y) là hàm lồi trên C;

(A5) Với mỗi x ∈ C, y 7−→ F (x, y) là nửa liên tục dưới;

(B1) Với mỗi x ∈ H và r > 0, tồn tại một tập bị chặn Dx ⊆ C và một phần tử

yx ∈ C sao cho với mọi z ∈ C \ Dx, ta đều có

F (z, yx) + ϕ(yx) − ϕ(z) + 1

rhyx− z, z − xi < 0;

(B2) C là tập bị chặn;

(B3) Với mỗi x ∈ H và r > 0, tồn tại một tập bị chặn Dx ⊆ C và một phần tử

yx ∈ C sao cho với mọi z ∈ C \ Dx, ta đều có

ϕ(yx) − ϕ(z) + 1

rhyx− z, z − xi < 0;

(B4) Với mỗi x ∈ H và r > 0, tồn tại một tập bị chặn Dx ⊆ C và một phần tử

yx ∈ C sao cho với mọi z ∈ C \ Dx, ta đều có

F (z, yx) + 1

rhyx− z, z − xi < 0;

Dưới đây là bổ đề chìa khóa dùng để chứng minh định lý chính của luận văn

Bổ đề 2.2 Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H.Cho F : C × C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) vàcho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới Với r > 0 xácđịnh ánh xạ Tr : H −→ C như sau:

Tr(x) = {z ∈ C : F (z, y) + ϕ(y) − ϕ(z) + 1

rhy − z, z − xi ≥ 0, ∀y ∈ C}với mọi x ∈ H Giả sử một trong hai điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng Khi đó, ta

có các khẳng định dưới đây:

(1) Tr(x) 6= ∅ với mọi x ∈ H;

(2) Tr là ánh xạ đơn trị;

(3) Tr là ánh xạ không giãn ổn định, tức là với mọi x, y ∈ H, ta có

kTr(x) − Tr(y)k2 ≤ hTr(x) − Tr(y), x − yi;

µi ≥ 0 với mọi i = 1, 2, , n với Pn

i=1µi = 1 sao choˆ

điều này là vô lý Do đó G là ánh xạ KKM

Ta ký hiệu G(y)w là bao đóng yếu của G(y) Khi đó, G(y)w là tập con đóngyếu của C với mỗi y ∈ C Nếu điều kiện (B2) đúng, thì G(y)w là tập compactyếu với mỗi y ∈ C Nếu điều kiện (B1) đúng, thì với mỗi x0 ∈ H, tồn tại mộttập bị chặn Dx0 ⊆ C và yx0 ∈ C sao cho với mọi z ∈ C \ Dx0, ta có

F (z, yx0) + ϕ(x0) − ϕ(z) + 1

rhyx0− z, z − x0i < 0

F (zm, y) + ϕ(y) − ϕ(zm) +1

rhy − zm, zm− x0i ≥ 0,với mọi m ≥ 1

Do k k2 là hàm nửa liên tục dưới, nên ta có

Suy ra z ∈ G(y) Như vậy G(y) là tập đóng yếu Do đó, Tr(x0) = ∩y∈CG(y) =

∩y∈CG(y)w 6= ∅ Do x0 là bất kỳ, nên ta nhận được Tr(x0) 6= ∅ với mọi x ∈ H.(2) Ta chỉ ra Tr là ánh xạ đơn trị Thật vậy, với mọi x ∈ H và r > 0, giả sử

z1, z2 ∈ Tr(x) Khi đó,

F (z1, z2) + ϕ(z2) − ϕ(z1) + 1

rhz2− z1, z1− xi ≥ 0và

F (z2, z1) + ϕ(z1) − ϕ(z2) +1

rhz1− z1, z2 − xi ≥ 0