Ứng dụng qui hoạch tuyến tính trong phân tích gói dữ liệu

Luận văn này đề cập tới một ứng dụng của qui hoạch tuyến tính còn ít được đề cập đến trong vấn đề phân tích gói dữ liệu, nhằm giúp đánh giá hiệu quả tương đối, dựa trên tập hợp dữ liệu t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN LÊ TUÂN

ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH GÓI DỮ LIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN LÊ TUÂN

ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH GÓI DỮ LIỆU

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC i

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 TẬP LỒI ĐA DIỆN 4

1.2 BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 7

1.2.1 Nội dung bài toán 7

1.2.2 Các tính chất cơ bản 8

1.3 BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU 10

1.4 QUAN HỆ ĐỐI NGẪU TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 12

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GÓI DỮ LIỆU 15

2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BẰNG ĐỒ THỊ 15

2.1.1 Đối tượng nghiên cứu 15

2.1.2 Hiệu quả tương đối 16

2.1.3 Trường hợp một đầu vào - một đầu ra 16

2.2 MÔ HÌNH CHARNES-COOPER-RHODES 22

2.3 MÔ HÌNH CHARNES-COOPER-RHODES ĐỐI NGẪU 29

2.4 ĐIỂM MẠNH VÀ YẾU CỦA PHƯƠNG PHÁP DEA 35

KẾT LUẬN 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Tập ràng buộc của bài toán ở Ví dụ 1.2 10

Hình 1.2 Tập ràng buộc của cặp bài toán đối ngẫu ở Ví dụ 1.5 14

Hình 2.1 Biên giới hiệu quả 19

Hình 2.2 Phương pháp đồ thị 21

MỞ ĐẦU

Qui hoạch tuyến tính (LP) có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đặc biệt là trong phân tích định lượng các hoạt động kinh tế Luận văn này đề cập tới một ứng dụng của qui hoạch tuyến tính (còn ít được đề cập đến) trong vấn đề phân tích gói dữ liệu, nhằm giúp đánh giá hiệu quả tương đối, dựa trên tập hợp dữ liệu thu thập được của các đơn vị khác nhau cùng tham gia trong một lĩnh vực hoạt động nào đó, chẳng hạn các chi nhánh ngân hàng trong một thành phố, các đơn vị sản xuất trong một xí nghiệp, các lớp trong một trường học, v.v

Phân tích gói dữ liệu (Data Envelopment Analysis, gọi tắt là DEA) là một phương pháp toán học ngày càng phổ biến trong nghiên cứu kinh tế DEA được dùng để đánh giá hoạt động của các cơ sở sản xuất, các ngân hàng, bệnh viện, trường học, Cách tiếp cận thống kê truyền thống thường có xu hướng đánh giá

so với cơ sở sản xuất đại diện (mẫu) hoặc trung bình Trái lại, DEA so sánh mỗi

cơ sở sản xuất với chỉ một cơ sở sản xuất "tốt nhất" (xu hướng tối ưu hóa)

Với các cơ sở sản xuất, quá trình sản xuất ở mỗi cơ sở sử dụng một tập hợp các vật vào - yếu tố sản xuất (inputs) và sản xuất ra một tập hợp các vật ra - sản phẩm (outputs) Với các ngân hàng, mỗi ngân hàng có một số nhân viên, một số diện tích giao dịch và một số người quản lý nhất định (vật vào) Có một số chỉ tiêu để đánh giá hoạt động của mỗi ngân hàng, ví như lượng tiền gửi, số tiền cho vay, v.v (vật ra) DEA cố gắng xác định xem ngân hàng nào hoạt động hiệu quả nhất và chỉ ra sự hoạt động không hiệu quả cụ thể của các ngân hàng khác Giả thiết cơ bản ẩn sau phương pháp này là nếu cơ sở sản xuất nào đó, chẳng hạn A, có khả năng sản xuất Y(A) đơn vị sản phẩm (vật ra) bằng cách sử dụng X(A) đơn vị vật vào, thì các cơ sở sản xuất khác cũng sẽ làm được như vậy, nếu như họ hoạt động có hiệu quả Khi đó, cơ sở sản xuất A, B và các cơ sở sản xuất khác có thể kết hợp lại tạo nên một cơ sở sản xuất "hợp" với các vật vào hợp

và các vật ra hợp Do cơ sở sản xuất hợp này không nhất thiết tồn tại, nên nó thường được gọi là cơ sở sản xuất ảo

Cốt lõi của phân tích gói dữ liệu chính là tìm ra được cơ sở sản xuất ảo "tốt nhất" cho mỗi cơ sở sản xuất thực Nếu cơ sở ảo này tốt hơn cơ sở ban đầu, do làm được nhiều vật ra hơn với cùng một lượng vật vào, hoặc làm được cùng một lượng vật ra như thế nhưng tốn ít vật vào hơn, thì cơ sở sản xuất ban đầu đó là kém hiệu quả Sự tinh tế của DEA là ở chỗ đưa ra được các cách khác nhau, theo

đó các cơ sở sản xuất A và B có thể mở rộng hay thu hẹp quy mô và kết hợp lại

Để làm được điều này, phân tích gói dữ liệu (DEA) phải sử dụng đến công

cụ toán học mà trước hết là qui hoạch toán học, nói riêng là qui hoạch tuyến tính

Vì thế chúng tôi chọn đề tài luận văn:

"Ứng dụng qui hoạch tuyến tính trong phân tích gói dữ liệu"

nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày ý tưởng, nội dung phương pháp phân tích gói dữ liệu, thông qua phân tích các ví dụ cụ thể từ đơn giản (một vật vào - một hay hai vật ra) đến phức tạp (nhiều vật vào - nhiều vật ra) và tổng quát hóa ở dạng ma trận; đồng thời tìm hiểu mô hình, phương pháp xây dựng hiệu quả tương đối và tìm ra cơ sở sản xuất tốt nhất, theo nghĩa đạt hiệu quả cao nhất Luận văn được viết dựa trên các tài liệu tham khảo [1] - [5], trong đó chủ yếu là [3] và [5] Nội dung luận văn gồm hai chương

• Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại các kiến thức cần thiết về tập lồi

đa diện, bài toán qui hoạch tuyến tính, bài toán đối ngẫu của nó và các quan hệ đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính

• Chương 2 “Phân tích gói dữ liệu” trình bày nội dung phân tích gói dữ liệu

và ví dụ, mô hình Charnes–Cooper–Rhodes và mô hình Charnes–Cooper–Rhodes đối ngẫu, phân tích những điểm mạnh và điểm yếu của phương pháp DEA

Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt

ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong soạn thảo văn bản chắc chắn không tránh khỏi có những sai sót nhất định Tác giả luận văn rất mong nhận

được sự góp ý của các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS của Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên và của Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Lê Tuân

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số kiến thức cần thiết về tập lồi đa diện, về bài toán qui hoạch tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu và về các quan

hệ đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính Nội dung của chương tham khảo chủ yếu

từ các tài liệu [1], [2]và[5]

1.1 TẬP LỒI ĐA DIỆN

Trước hết chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản liên quan tới các tập lồi

Định nghĩa 1.1 Tập C  ℝn được gọi là một tập lồi nếu a + (1 - )b  C với mọi a, b  C và mọi 0 ≤  ≤ 1 Nói cách khác, tập C là lồi nếu nó chứa trọn

đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó Nói riêng, tập , tập gồm duy nhất một phần tử và toàn bộ không gian ℝn

là các tập lồi

Ví dụ 1.1 Các tập sau đây đều là tập lồi:

a) Tập afin là tập chứa trọn đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ thuộc nó b) Siêu phẳng là tập có dạng H = {x  ℝn : aTx = , a  ℝn \{0}, ℝ} c) Nửa không gian đóng H1 = {x  ℝn : aTx ≤ }, H2 = {x  ℝn : aTx ≥ } d) Nửa không gian mở K1 = {x  ℝn : aTx < }, K2 = {x  ℝn : aTx > } e) Hình cầu mở B(a, r) = {x  ℝn : ||x - a|| < r} (a  ℝn, r > 0 cho trước) f) Tập lồi đa diện D = {x  ℝn : Ax ≤ b}, trong đó A  ℝm×n, b  ℝm

g) Nón lồi đa diện K = {x  ℝn : Ax ≤ 0}, trong đó A  ℝm×n, 0  ℝm

• Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi

b) Tổng của hai tập lồi và hiệu của hai tập lồi cũng là các tập lồi

c) Nếu C  ℝm, D  ℝn lồi thì tích C×D = {(x, y) : x  C, y  D} là một tập lồi trong ℝm+n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi)

d) Tập M là một tập afin khi và chỉ khi M = a + L với a  M và L là một

không gian con, gọi là không gian con song song với M, hay tương đương: M là

một tập afin khi và chỉ khi M là tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, tức có biểu diễn M = {x  ℝn : Ax = b, A  ℝm×n, b  ℝm} Giao của một số bất

c) Điểm x  ℝn có dạng x = 1a1 + 2a2 + + kak với ai  ℝn, i ≥ 0, gọi là

một tổ hợp tuyến tính không âm hay tổ hợp nón của các điểm a1

, a2, , ak

Định nghĩa 1.3 Cho tập E bất kỳ trong ℝn a) Giao của tất cả các tập afin

chứa E gọi là bao afin của E, ký hiệu là aff E Đó là tập afin nhỏ nhất chứa E b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi của E, ký hiệu là conv E

Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E

Định nghĩa 1.4.a) Thứ nguyên (haysố chiều) của một tập afin M, ký hiệu

dim M, là số chiều của không gian con song song với nó Qui ước dim  = -1

b) Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập lồi C, ký hiệu dim C, là thứ nguyên hay số chiều của bao afin aff C của nó Một tập lồi C trong ℝn

gọi là có

thứ nguyên đầy đủ (full rank) nếu dim C = n

Định nghĩa 1.5 Một tập con K của ℝn

được gọi là một nón (cone) hay tập

nón (mũi tại 0) nếu với mọi x  K và mọi  > 0 thì x  K Nón K được gọi là

một nón lồi (convex cone) nếu K là tập lồi

Tiếp theo chúng tôi nêu lại các khái niệm có liên quan tới tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.6 Tập lồi đa diện là giao của một số hữu hạn các nửa không

gian đóng Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính:

ai1x1 + ai2x2 + + ainxn ≤ bi, i = 1, 2, , m, (1.1)

nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với A = (aij) ∈ Rm×n, b = (b1, , bm)T

Nhận xét 1.1 Do một phương trình tuyến tính tương đương với hai bất

phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm của một hệ (hữu hạn) phương trình vàbất phương trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện:

Một tập lồi đa diện có thể bi chặn (giới nội) hoặc không bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi Các đa giác lồi

theo nghĩa thông thường trong mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vuông, hình tròn, ) là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi trong ℝ2

Cho D là một tập lồi đa diện xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính (1.1) Sau đây để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đường thẳng nào (tức là ∄a,

b ∈ D sao cho a + (1 - )b ∈ D với mọi  ∈ ℝ)

Hai yếu tố chính cấu tạo nên tập lồi đa diện D là các đỉnh và các cạnh vô

hạn của D Có thể hiểu các khái niệm này như sau

Định nghĩa 1.7 Điểm x0

∈ D được gọi là một đỉnh của D nếu

rank{ai : <ai, x0> = bi} = n (với ai

= (ai1, , ain)T, i = 1, , m)

Định nghĩa tương đương: x0

∈ D là một đỉnh của D nếu x0 không thể là điểm nằm ở bên trong một đoạn thẳng nào đó nối hai điểm thuộc D

rank{ai : <ai, x> = bi,∀x ∈ } = n - 1

Để hiểu rõ hơn về tập lồi đa diện ta cũng cần biết một số khái niệm sau đây

Định nghĩa 1.10 Véctơ d ∈ ℝn, d ≠ 0, được gọi là một hướng lùi xa của D

nếu ∃x0

∈ D sao cho {x0 + d :  ≥ 0} ⊆ D Tập hợp các hướng lùi xa của D

cộng với gốc 0 tạo thành một nón lồi đóng, gọi là nón lùi xa của D, ký hiệu recD

Định nghĩa 1.11 Hướng lùi xa d của D được gọi là một hướng cực biên nếu

không tồn tại hai hướng lùi xa khác d1

, d2 sao cho d = 1d1 + 2d2 với 1,2 > 0

Có thể chứng minh được rằng tập lồi đa diện D không bị chặn khi và chỉ khi recD ≠ {0}, nghĩa là khi và chỉ khi D có ít nhất một hướng lùi xa

Trong các bài toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng

rank({ak : <ak, x> = bk,∀x ∈ } ∪ {ek : xk = 0,∀x ∈ }) = n - 1

1.2 BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.2.1 Nội dung bài toán

Bằng các phép biến đổi đơn giản, một bài toán qui hoạch tuyến tính bất kỳ

có thể đưa được về một trong hai dạng chính sau đây

: Ax = b, x ≥ 0} cũng là một tập lồi đa diện

Có thể dễ dàng chuyển từ dạng chuẩn tắc sang dạng chính tắc và ngược lại

Trong các bài toán trên f(x) được gọi là hàm mục tiêu Mỗi bất phương trình

(Ax)i ≥ bi hay phương trình (Ax)i = bi gọi là một ràng buộc chính, xj ≥ 0, j = 1,

, n, gọi là các ràng buộc không âm hay ràng buộc về dấu Véctơ (điểm) x ∈ D gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phương án Một phương án đạt cực tiểu của hàm mục tiêu f(x) gọi là một phương án tối ưu hay một nghiệm tối ưu

của bài toán

Với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính, chỉ có một trong ba khả năng:

a) Bài toán không có nghiệm chấp nhận được (miền ràng buộc D = ) b) Bài toán có trị tối ưu vô cực (f(x)  - đối với bài toán min)

c) Bài toán có nghiệm tối ưu (min{f(x) : x  D} > -)

1.2.2 Các tính chất cơ bản

Định lý sau nêu điều kiện để một qui hoạch tuyến tính có nghiệm tối ưu

Định lý 1.1 Nếu một qui hoạch tuyến tính có nghiệm chấp nhận được và

nếu hàm mục tiêu bị chặn dưới trên tập ràng buộc (đối với bài toán min) thì qui hoạch đó chắc chắn có nghiệm tối ưu

Định lý 1.2 Nếu x0

là một phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến

tính dạng bất kỳ và nếu x1

, x2 (x1 ≠ x2) là hai phương án thỏa mãn x0 = x1 + (1 

)x2, 0 <  < 1, thì x1, x2 cũng là các phương án tối ưu của bài toán

Định nghĩa 1.12 Một nghiệm chấp nhận được x ∈ D mà đồng thời là một

đỉnh của D được gọi là một nghiệm cơ sở hay một phương án cực biên, nghĩa là x

không thể biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp lồi của bất kỳ hai nghiệm chấp nhận được (phương án) nào khác của bài toán

Định lý sau nêu một tính chất đặc trưng cho phương án cực biên (nghiệm cơ sở) của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc với giả thiêt m≤ n và rank(A)=m

Định lý 1.3 Để một nghiệm chấp nhận được x = {x1, x2, , xn} của qui

hoạch tuyến tính chính tắc là nghiệm cơ sở thì cần và đủ là các véctơ cột Aj của

ma trận A ứng với các thành phần x > 0 là độc lập tuyến tính j

Người ta phân ra hai loại nghiệm cơ sở: không suy biến nếu nghiệm đó có số thành phần dương bằng m và suy biến nếu nó có số thành phần dương nhỏ hơn m

Định lý sau cho thấy qui hoạch tuyến tính chính tắc có phương án cực biên

Định lý 1.4 Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có ít nhất một

phương án thì nó cũng có phương án cực biên, nghĩa là tập ràng buộc D có đỉnh

Định lý sau cho phép tìm phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc trong số các phương án cực biên của bài toán (số này hữu hạn)

Định lý 1.5 Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc có phương án tối

ưu thì nó cũng có phương án cực biên tối ưu

Ví dụ 1.2 Xét bài toán qui hoạch tuyến tính

f(x) =  x1 + x2  min, với các điều kiện: x1 3x2 2, x1 x2 4,

 3x1 + x2 3, x1 0, x2 0

Tập ràng buộc của bài toán vẽ ở Hình 1.1 Bài toán này có nghiệm cực tiểu Theo Định lý 1.5, nghiệm tối ưu của bài toán đạt được tại một trong các đỉnh Tọa độ các đỉnh: O = (0, 0), A = (2, 0), B = (5, 1), C = (0, 3) Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh này, ta được: f(O) = 0, f(A) =  2, f(B) =  4, f(C) = 3 Từ

đó cho thấy cực tiểu của hàm f đạt tại đỉnh B=(5, 1) với giá trị cực tiểu fmin =  4

Hình 1.1 Tập ràng buộc của bài toán ở Ví dụ 1.2

1.3 BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU

Đối ngẫu là phương pháp mà ứng với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính đã

cho (gọi là bài toán gốc), ta có thể thiết lập một bài toán qui hoạch khác (gọi là

bài toán đối ngẫu) sao cho từ nghiệm của bài toán này ta sẽ thu được thông tin về

nghiệm của bài toán kia

Sau đây là hai dạng cặp bài toán đối ngẫu thường gặp

• Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc (qui hoạch gốc)

(P) min{f(x) = cTx : Ax ≥ b, x ≥ 0}

là bài toán qui hoạch tuyến tính (qui hoạch đối ngẫu):

(Q) max{g(y) = bTy : ATy ≤ c, y ≥ 0}

(AT là ma trận chuyển vị của ma trận A)

Ví dụ 1.3 Đối ngẫu của bài toán qui hoạch tuyến tính chuẩn tắc

f(x) = 25x1 + 10x2  min,

x1 + 3x2  20,

x1 + x2  30,

2x1 + x2  40,

x1  0, x2  0,

là bài toán qui hoạch tuyến tính:

g(y) = 20y1 + 30y2 + 40y3  max,

y1 + y2 + 2y3  25, 3y1 + y2 + y3  10,

+ 2x2 + x5 = 300,

x2 + 2x3 + 3x4 = 500,

xj 0, j = 1, 2, 3, 4, 5

là bài toán qui hoạch tuyến tính:

g(y) = 150y1 + 300y2 + 500y3  max, 2y1 0,6

2y2 + y3 0,

y1 + 2y3 0, 3y3 0,2

y1 + y2 0,8

Dễ kiểm tra lại rằng lấy đối ngẫu của bài toán đối ngẫu ta đƣợc lại bài toán gốc Vì thế ta gọi (P) và (Q) là cặp bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu nhau

1.4 QUAN HỆ ĐỐI NGẪU TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

Các kết quả dưới đây đúng cho cặp bài toán đối ngẫu (P),(Q) dạng bất kỳ

Định lý 1.6 (Đối ngẫu yếu) Nếu x là một lời giải chấp nhận được của bài

toán gốc (P) và y là một lời giải chấp nhận được của bài toán đối ngẫu (Q) thì

f(x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn ≥ g(y) = b1y1 + b2y2 + + bmym,

nghĩa là giá trị mục tiêu của một phương án gốc bất kỳ (bài toán min) không nhỏ hơn giá trị mục tiêu của một phương án đối ngẫu bất kỳ (bài toán max)

Định lý 1.7 (Đối ngẫu mạnh) Nếu một qui hoạch có nghiệm tối ưu thì qui

hoạch đối ngẫu của nó cũng có nghiệm tối ưu và hai giá trị tối ưu bằng nhau

Các định lý trên cho thấy quan hệ sau giữa hai qui hoạch gốc và đối ngẫu

Định lý 1.8 (Định lý đối ngẫu cơ bản) Đối với một cặp bài toán qui hoạch

tuyến tính đối ngẫu nhau chỉ có một trong ba khả năng loại trừ nhau sau đây:

a) Cả hai bài toán đều không có nghiệm chấp nhận được

b) Cả hai bài toán đều có nghiệm chấp nhận được Khi đó, cả hai đều có

nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của hai hàm mục tiêu bằng nhau

c) Một bài toán có nghiệm chấp nhận được và bài toán kia không có nghiệm

chấp nhận được Khi đó, bài toán có nghiệm chấp nhận được sẽ có giá trị tối ưu

vô cực (+ ∞ hay - ∞ tùy theo bài toán max hay min)

Các ví dụ sau đây minh hoạ cho các tình huống a) - c) nêu trên

a) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu không có phương án

f(x) = x1  min, g(y) = y1 + y2  max,

x1 + x2  1, y1  y2 = 1,

x1 x2  1, y1  y2 = 0,

x1, x2 tuỳ ý y1 0, y2 0

b) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu có phương án

f(x) = 5x1 + 10x2 min, g(y) = 14y1 + 12y2  max,

c) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu đều không có phương án tối ưu

f(x) = x1  min, g(y) = y1 + y2  max,

x1 + x2  1, y1  y2  1,

x1  x2  1, y1  y2  0,

x1 0, x2 0 y1 0, y2 0

Quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu nhau còn thể hiện ở định lý sau đây

Định lý 1.9 (Định lý độ lệch bù yếu) Một cặp nghiệm chấp nhận được x, y

của hai qui hoạch tuyến tính đối ngẫu nhau (P) và (Q) là cặp nghiệm tối ưu khi

Áp dụng Định lý 1.9 vào cặp bài toán đối ngẫu cho ở Ví dụ 1.5, ta thấy x và

y là nghiệm tối ưu của các bài toán gốc và đối ngẫu tương ứng khi và chỉ khi x, y thỏa mãn hệ điều kiện sau:

là phương án tối ưu của bài toán gốc và y* là phương án tối

ưu của bài toán đối ngẫu tương ứng và ta có hệ thức f(x*

) = g(y*) = 8

Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu

Hình 1.2 Tập ràng buộc của cặp bài toán đối ngẫu ở Ví dụ 1.5.

Tóm tắt chương Chương này đã trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản

cần thiết về tập lồi đa diện, bài toán qui hoạch tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu và các quan hệ đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính Các kiến thức này sẽ được dùng đến ở chương sau

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GÓI DỮ LIỆU

Chương này trình bày nội dung cơ bản của phương pháp phân tích gói dữ liệu, bắt đầu từ phương pháp đồ thị đơn giản, sau đó là mô hình Charnes–Cooper–Rhodes và mô hình Charnes–Cooper–Rhodes đối ngẫu Cuối chương nêu một số lĩnh vực áp dụng và lưu ý các điểm mạnh và điểm yếu của phân tích gói

dữ liệu Nội dung của chương tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3]-[5]

2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BẰNG ĐỒ THỊ

Trước hết ta tìm hiểu một số khái niệm dùng trong phân tích gói dữ liệu

2.1.1 Đối tượng nghiên cứu

Phân tích gói dữ liệu (Data Envelopment Analysis, gọi tắt là DEA), đôi khi

còn được gọi là phân tích biên giới (Frontier Analysis), do Charnes, Cooper và Rhodes (gọi tắt CCR) đề xuất năm 1978 DEA là một kỹ thuật đo hiệu suất, được

sử dụng để đánh giá hiệu quả hoạt động tương đối của các đơn vị (sản xuất, kinh doanh, dịch vụ, nghiên cứu, ), ví dụ như: các cơ sở sản xuất, các ngân hàng, các chi cục thuế, bệnh viện, trường học, cơ sở quốc phòng, cửa hàng, v.v

Để cho gọn, ta sẽ gọi chung tất cả các đối tượng cần nghiên cứu, đánh giá hiệu quả hoạt động là các "đợn vị" (unit) Các đơn vị này có đặc điểm chung là đều sử dụng một tập hợp các vật vào - yếu tố sản xuất (inputs - đầu vào) để tạo ra một tập hợp các vật ra - sản phẩm (outputs - đầu ra) Với ngân hàng, mỗi đơn vị

có một số nhân viên, một số diện tích giao dịch và một số người quản lý nhất định (đầu vào) Có một số chỉ tiêu phản ánh hoạt động của mỗi ngân hàng, ví dụ như số người đến giao dịch, lượng tiền gửi, số tiền cho vay hàng tháng, v.v (đầu ra) Như vậy, "đơn vị" là một thuật ngữ trừu tượng dùng để ám chỉ các đối tượng nghiên cứu nào đó, có thể biến đổi "đầu vào" thành "đầu ra" và DEA là phương pháp phân tích định lượng, chỉ sử dụng dữ liệu liên quan tới đầu vào và đầu ra của các đơn vị được xét mà không sử dụng thêm thông tin nào khác

DEA có thể được áp dụng cho nhiều tình huống đa dạng, với điều kiện là:

1 Các đơn vị được xét có cùng các đầu vào và đầu ra như nhau

2 Các đầu vào và đầu ra của các đơn vị có thể đo được bằng các con số

2.1.2 Hiệu quả tương đối

DEA sẽ nói về hiệu quả tương đối (relative efficiency) của các đơn vị được xét Hiệu quả (efficiency) được xác định theo công thức toán học sau đây:

hiệu quả =

rađâu

ođâu và

2.1.3 Trường hợp một đầu vào - một đầu ra

Ví dụ 2.1 Quan sát 4 chi nhánh ngân hàng ở một vùng X Với mỗi chi

nhánh ta có số liệu về đầu ra duy nhất: số giao dịch cá nhân thực hiện trong một tuần Ta cũng có số liệu về đầu vào duy nhất: số nhân viên của mỗi chi nhánh

Số liệu đã có được ghi lại trong bảng sau:

Chi nhánh Giao dịch

cá nhân

Số nhân viên

Các đơn vị được xét ở đây là các chi nhánh ngân hàng R, A, K và H Làm thế nào có thể so sánh các đơn vị này và đo hiệu suất hoạt động của họ, dựa trên các số liệu đã thu thập được? Cách thông thường là lập các tỉ số, nghĩa là ta sẽ so sánh các hiệu quả hoạt động của các chi nhánh ngân hàng

Với các chi nhánh cho ở trên, có một đầu vào duy nhất: số nhân viên và một đầu ra duy nhất: số giao dịch cá nhân Do đó theo công thức toán học:

hiệu quả =

rađâu

ođâu và

Nhìn vào cột "Giao dịch cá nhân/số nhân viên" ta thấy rằng chi nhánh R có

tỉ số lớn nhất, chi nhánh H có tỉ số nhỏ nhất Như vậy, so sánh các chi nhánh với nhau, thì R khá nhất (hiệu quả cao nhất), H kém nhất (hiệu quả thấp nhất)

Vì R là chi nhánh hiệu quả cao nhất, với tỉ số lớn nhất 6,94, nên việc so sánh các chi nhánh khác với chi nhánh R là có ý nghĩa Muốn vậy, ta tính hiệu quả tương đối của các chi nhánh đối với R: Chia tỉ số ở mỗi chi nhánh cho hiệu quả 6,94 của R, rồi nhân với 100% (tức là 1) để tính theo tỉ lệ % Ta nhận được:

Chi nhánh Hiệu quả tương đối

R 100%(6,94/6,94) = 100%

A 100%(2,75/6,94) = 40%

K 100%(4,71/6,94) = 68%

H 100%(2,09/6,94) = 30%