SKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉ

SKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉ

A Đặt vấn đề

I Mở đầu :

Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con ngời Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng đợc bổ xung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội Vì vậy mỗi ngời giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phơng pháp dạy học để đáp ứng với chủ trơng đổi mới của Đảng và Nhà nớc đặt ra

Trong chơng trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về

ph-ơng trình vô tỷ không nhiều , song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT

Khi giải toán về phơng trình vô tỷ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phơng trình, hệ phơng trình, các phép biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp “Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ” giúp học sinh phát triển t duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh

II thực trạng của vấn đề nghiên cứu

1 Thực trạng :

Phơng trình vô tỷ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại

toán khó, nhiều học sinh không biết giải phơng trình vô tỷ nh thế nào? có những phơng pháp nào?

Các bài toán về phơng trình vô tỷ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc cha hệ thống thành các phơng pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng nh trong công tác tự bồi dỡng của giáo viên

Mặt khác, việc tìm hiểu các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu

*Kết quả của thực trạng.

Sau khi dạy xong chơng I : Căn bậc hai – căn bậc ba trong

ch-ơng trình Đại Số 9 , tôi tiến hành kiểm tra 1 tiết để khảo sát chất lợng của học sinh về kỹ năng giải một số dạng toán về phơng trình vô tỷ với nội dung nh sau :

Giải các phơng trình sau:

a) x x  1 13

b) x   1 3 x 2

c) x 2 x  1 x 2 x  1 2

3x  18x 28  4x  24x 45     5 x 6x

x   x x  x

f) 1 2 1 2

2 x  x



Số HS

bình

Yếu

2 Từ thực trạng trên việc nghiên cứu “ Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ ” là rất thiết thực : Nhằm giúp

giáo viên nắm vững nội dung và xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, giúp học sinh có định hớng đúng cho lời giải một bài toán về phơng trình vô tỷ, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học, đặc biệt là chất lợng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trờng THCS

B Giải quyết vấn đề

I Các giải pháp thực hiện.

1 Đối với giáo viên :

- Đa ra định nghĩa về phơng trình vô tỷ , đờng lối chung

về giải phơng trình vô tỷ

- Chia ra các dạng phơng trình vô tỷ và phơng pháp giải tổng quát cho từng dạng , lấy ví dụ cụ thể minh hoạ cho từng dạng , lu ý cho học sinh những sai lầm có thể mắc phải

2 Đối với học sinh :

- Để giải phơng trình vô tỷ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững: Các phép biến đổi căn thức ; Các phép biến đổi biểu thức đại số; Các kiến thức và phơng pháp giải các phơng trình và hệ phơng trình ; Các kiến thức về bất đẳng thức

- Biết nhận dạng các dạng phơng trình vô tỷ, nắm vững cách giải tổng quát cho từng dạng

II Các biện pháp để tổ chức thực hiện

1- Định nghĩa ph ơng trình vô tỷ

Phơng trình vô tỷ là phơng trình đại số trong đó ít nhất một số hạng là biểu thức vô tỷ đối với ẩn số ( tức là ẩn số nằm trong dấu căn )

Trong chơng trình THCS, ta thờng gặp những phơng trình vô tỷ mà chứa ẩn số trong các biểu thức dới dấu căn bậc hai

2- Đ ờng lối chung

- Tìm miền xác định của phơng trình

- Khử căn đa về phơng trình đại số

- Giải phơng trình đại số

- Nhận định kết quả và trả lời

3- Các ph ơng pháp và ví dụ.

3.1 Các dạng phơng trình vô tỷ giải bằng phơng pháp nâng lên luỹ thừa.

Dạng 1: f x  g x 

Sơ đồ cách giải :

f (x) g(x)

�

�/k : f(x) 0 g(x) 0 2

f (x) [g(x)]

�

�

�



�

Ví dụ : Giải phơng trình x 1  x 1  1

Điều kiện :

1 0 1

1 0

x

x x

 �

�

۳

�  �

� Với điều kiện trên, 2 vế không âm, bình phơng 2 vế của (1) ta đợc phơng trình tơng đơng:

1

x x2   2x 1

� x2 - 3x = 0 � x = 0 hoặc x = 3

Đối chiếu với điều kiện trên ta thấy chỉ có x = 3 thoả mãn Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 3

* Nhận xét: Khi giải phơng trình dạng trên , học sinh thờng

hay mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho ( ) 0g x �

Chẳng hạn, ở ví dụ 1 nếu không đặt điều kiện x �1 0 thì khi giải phơng trình x2 - 3x = 0 học sinh sẽ trả lời là phơng trình có 2 nghiệm là: x1 = 0 ; x2 = 3, nhng thay x= 0 vào phơng trình (1) thì vế phải bằng 1 ; vế trái bằng -1

Sở dĩ có sai lầm trên vì học sinh cha nắm chắc tính chất của luỹ thừa bậc hai :

Dạng 2: f x   g x  h x 

- Tìm điều kiện để phơng trình có nghĩa :

 

 

 

0 0

0

f x

g x

g x

�

�

�

�

�

�

- Biến đổi 2 vế của phơng trình không âm ( với phơng trình chứa căn bậc hai ) ta bình phơng 2 vế để đợc phơng

trình tơng đơng Sau đó đa phơng trình về dạng đã biết cách giải

Ví dụ : Giải phơng trình : x 3   5 x 2

Chuyển vế : x 3  1 2x  5

Điều kiện :

















2 0

2

0 3

x x

x

Hai vế không âm, bình phơng hai vế ta đợc:

x    3 x 2 2 x 3 x 2  25

 2 x2 x 6  24  2x

� x2  x 6  12 x x� 12

Bình phơng 2 vế ta có :

x 2 + x - 6 = 144 - 24 x + x2  25 x 150

x = 6 ( thoả mãn )

Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 6

Dạng 3: f x   g x   h x 

Cách giải tơng tự nh dạng 2

Ví dụ : Giải phơng trình : x  1 x  7 12x

Chuyển vế: x  1 12  x x 7

Điều kiện:





























12 7

0 7

0 12

0 1

x x

x x

Hai vế không âm Bình phơng hai vế ta đợc:

12  7

2 7 12

1       

x

4 84

19

2 2











Do 7� � , 2 vế không âm Bình phơng 2 vế ta đợc:x 12

- 4x2 + 76x-336 = x2 -8x + 16 5x2 -84x + 352 =0

1

44 5

x 

� ; x2 =8 ( Thoả mãn ) Vậy phơng trình có 2 nghiệm

8

; 5

44

2

1  x 

x

Dạng 4: f x   g x   h x   k x 

Cách giải tơng tự dạng 3

Ví dụ : Giải phơng trình x x  1 x  4 x  9 0

Chuyển vế : x x  9 x  1 x 4

Điều kiện :x� 0

Bình phơng 2 vế ta đợc:

4 5 2

4 1

9 2

9  2       2  



x

4 5 2

9 2

4  2   2  

2  x  9x  x  5x 4

�

Bình phơng 2 vế ta đợc:

4 5 9

9 4

4  x2  xx2  xx2  x

2 9

x  x  x

� (x 0 ) Bình phơng 2 vế ta đợc:

x 2 +9x = x2

� 9x = 0 � x=0 ( Thoả mãn )

Vậy phơng trình có một nghiệm x = 0

*Nhận xét : Khi giải phơng trình vô tỷ ta cần chú ý đến

việc tìm miền xác định của phơng trình

Sau khi biến đổi 2 vế của phơng trình không âm ( Với

ph-ơng trình chứa căn bậc 2 ) ta bình phph-ơng 2 vế để đợc phph-ơng trình tơng đơng

Nếu bớc khử căn vừa rồi cha khử hết đợc các căn thức bậc hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế và đặt điều kiện để bình

ph-ơng tiếp

Thực hiện các phép biến đổi tơng đơng để đa phơng trình về dạng phơng trình quen thuộc ( bậc nhất hoặc bậc hai )

Giải phơng trình trung gian rồi nhận định kết quả và trả lời về số nghiệm của phơng trình đầu

Tuy nhiên với những phơng trình chỉ có ẩn số nằm trong dấu căn bậc 2, tức là phơng trình có dạng:

 

a f x  b g x  c ( a,b,c là hệ số ) ngoài cách giải nêu trên ta còn có thể khử căn bằng cách nhân 2

vế của phơng trình với biểu thức liên hợp của vế trái

Ví dụ : Giải phơng trình x2   x 1 x x  1 2 (1)

Ta thấy

2

4 2

� �  x

Vậy miền xác định : x R �

Nhân hai vế của phơng trình với :

x2   x 1 x2   ta đợc phơng trình tơng đơng:x 1

x2   x 1 x2   x 1 2 x2   x 1 x2  x 1

x x   x x  x

Cộng vế theo vế phơng trình (1) và (2) ta có phơng trình tơng đơng :

x x

x   1  2 

2 2







































2

0 3 0

2

2 1

x x

x x

x x

x

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm kép x1 =x2 =0

3.2 Các dạng phơng trình vô tỷ giải bằng phơng pháp

đặt ẩn phụ.

* Với những phơng trình vô tỷ có dạng đặc biệt

 x b f x c 0

af

Dùng phép biến đổi sau:

Đặt f x   �t 0

Ta đa phơng trình về dạng phơng trình bậc 2 :

0

2 btc

at

Ví dụ : Giải phơng trình 2x2 3x 2x2 3x 9 33

0 42 9 3 2 9 3

2 2    2    

Đặt điều kiện : 2 2 3 9

2 3 9 2

2 2

x   x ��x  x ��

2

3 63

4 16

x

 �� � �

� �  x

Đặt : 2x2 3x   ta có9 y 0

y2 +y -42 =0 Giải phơng trình đợc :

y1 = 6 ( thoả mãn)

y2 = -7 ( loại )

2

2

2 3 9 36

2 3 27 0

  

�

  

�

  

� Giải phơng trình đợc :

2

9

;

3 2

1  x  

x

Vậy phơng trình có nghiệm là :

2

9

;

3 2

1  x  

x

* Đối với phơng trình có dạng :

         

f x  h x n f x h x g x

ta dùng phép biến đổi sau :

Đặt t f x   h x 

Ví dụ : Giải phơng trình

   

2

       

       

Đặt điều kiện : 2 13

2

x

� �

    

�

�

2

2

Phơng trình (1) có dạng :

t2 + t- 2x + 1 = 13 -2x � t2 + t - 12 = 0

Giải phơng trình đợc :

t1 = 3 ( thoả mãn )

t2 = -4 ( loại ) Với t = 3 � x 1 x 2 3

Hai vế không âm, bình phơng 2 vế ta đợc :

   

�

2

2

2

2 5 ( 5)

Bình phơng 2 vế ta đợc :

x 2- x- 2 = 25 -10x + x2

� 9x = 27 � x =3 ( thoả mãn ) Vậy phơng trình có một nghiệm x =3

Chú ý : Khi giải phơng trình vô tỷ bằng phơng pháp đặt

ẩn dụ , ta cần hớng dẫn học sinh đặt điều kiện cho ẩn dụ Số nghiệm của phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiêm phơng trình bậc hai trung gian và điều kiện có nghĩa của phơng trình

đầu

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì

ph-ơng trình đầu vô nghiệm

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm nhng nghiệm đó không thuộc miền xác định của phơng trình đầu thì phơng trình đầu vô nghiệm

+ Trái lại, nếu các nghiệm số tìm đợc của phơng trình bậc hai trung gian làm cho các ẩn số của phơng trình đầu thuộc miền xác định của nó thì phơng trình đã cho có nghiệm

3.3 Các dạng phơng trình vô tỷ giải bằng phơng pháp

đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ : Giải phơng trình

x  1 4 4 x 1 x 1 6 x  1 9 1 (1)

Điều kiện :x� 1.

     

�

Nếu 1 �x 5 ta có phơng trình :

2 1 4

1 2

1 4 5

x x x x

     

 

�

 

�

 

�



�

Không thuộc khoảng đang xét

Nếu 5 �x 10 ta có phơng trình :

x 1 2 3 x 1 1 0x 0

     



� Nghiệm của phơng trình là : 5 �x 10

Nếu x� ta có phơng trình :10

2 1 6

1 3

x x

     

 

�

 

�

�x-1 =9

�x=10 ( thoả mãn )

Vậy phơng trình có nghiệm :

10

5 x

3.4 Các dạng phơng trình vô tỷ giải bằng phơng pháp bất đẳng thức :

Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó

phơng trình vô nghiệm

Ví dụ : Giải phơng trình : x  1 5x  1 3x 2

Điều kiện để phơng trình có nghĩa là x� 1 Với điều kiện này thì x 5x do đó x  1 5x 1 suy ra vế trái của phơng trình là

số âm, còn vế phải không âm

Vậy phơng trình vô nghiệm

Dạng 2 : Sử dụng tính đối nghịch ở 2 vế :

Ví dụ : Giải phơng trình :

3x2 6x 7 5x2 10x14 4 2  x x 2

Ta có vế trái  3x12 4 5x129� 4 9 5

Vế phải  5 x22x   1 5 x 12�5

Vậy phơng trình có nghiệm khi 2 vế đều bằng 5

Lúc đó x+1 = 0 � x=-1

Thử lại : VT = 3 6 7    5 10 14 5   

VP = 4+2-1=5 Vậy phơng trình có 1 nghiệm x =-1

Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ : Giải phơng trình 3 x  2 x  1 3

Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình

+ Với x thì 3

3 x  2 1; x  1 2 �VT  3.

+ Với x 3 thì

3 x  2 1; x  1 2 �VT  3.

Vậy x=3 là nghiệm của phơng trình

Dạng 4 Sử dụng điều kiện xảy ra dấu (=) ở bất đẳng

thức không chặt

Ví dụ 4 : Giải phơng trình 4 1 2

4 1

x x



Điều kiện : 1

4

x

Ta có bất đẳng thức a b 2

b a � (a,b  0) Dấu (=) xảy ra � a=b

Do đó (1) � x 4x 1 �x2  4x  1 0 1

4

x

�  �

Giải phơng trình đợc : x � 2 3 ( thoả mãn )

3.5 Các dạng phơng trình vô tỷ giải bằng phơng pháp

đa về hệ phơng trình

Ví dụ : Giải phơng trình : 2

x x  x

Điều kiện : x� 2

Đặt

x  y ( y  1 )

� x-2 = y2 - 2y + 1  Thay x   2 y 1 vào phơng trình đã cho ta đợc:

y - 1 = x2 -2x + 2  Kết hợp  và  ta có hệ:

y2 -2y - x + 3 = 0 

x2 - 2x -y +3 = 0  Trừ hai vế của hệ ta đợc:

y2 - x2 - y + x = 0  ( y - x )( y + x - 1 ) = 0

 ��x + y = 1y = x

�

-Nếu x=y Thay vào  ta có x2 - 3x + 3 = 0 vô nghiệm

-Nếu x + y = 1  y = 1 - x thay vào  ta đợc:

x2 - x + 2 = 0 vô nghiệm Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm

C Kết luận.

I Kết quả nghiên cứu.

Giải phơng trình vô tỷ là một dạng toán khó đối với học sinh

Để giải loại toán này cần phải biến vận dụng nhiều phơng pháp khác nhau một cách linh hoạt Trên đây là một số phơng pháp cơ bản mà trong quá trình giảng dạy thực tế hay đợc sử dụng để giải các phơng trình vô tỷ Với phơng pháp hớng dẫn học sinh từ các bài tập cụ thể khái quát thành dạng tổng quát, từ đó học sinh vận dụng để giải các bài tập

Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng kết hợp các phơng pháp để giải đợc các phơng trình vô tỷ bài toán ở dạng khó hơn Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài toán này nói riêng

và học môn toán nói chung

Sau khi tiến hành bồi dỡng – phụ đạo với thời lợng 3 tiết cho học sinh về

“ Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ ” , tôi dành 1 tiết kiểm tra để khảo sát chất lợng của học sinh về kỹ năng giải một số dạng toán về phơng trình vô tỷ với nội dung nh sau :

Giải các phơng trình sau:

a) 1 2  x2  x 1

b) x  1 5x  1 3x 2

c) 2x 22 2x 3 2x138 2x 3 7

d) 3x2  12x 16  x2  4x 13 5 

e) x  9 x2  4x 7

3 x  2 x 

Kết quả chất lợng cụ thể nh sau:

HS

Kết quả

bình

Yếu

II Bài học kinh nhiệm.

Phơng trình vô tỷ là một dạng toán không thể thiếu đợc trong chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì cha đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thờng xuyên

bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này

Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phơng pháp giải phơng trình vô tỷ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phơng trình vô tỷ: các dạng phơng trình vô tỷ, phân biệt sự khác nhau giữa phơng trình vô tỷ với các dạng phơng

trình khác, đồng thời phải nắm vững các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ

Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dỡng học sinh giỏi có hiệu quả,ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phơng pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình

III Những kiến nghị đề xuất.

Trong năm học 2010 – 2011 , tôi làm nhiệm vụ giảng dạy môn Toán ở khối 9 Căn cứ vào chất lợng thực tế, bằng sự cố gắng của bản thân với sự tiếp thu chuyên đề và thờng xuyên trao đổi với

đồng nghiệp cùng bộ môn tôi thấy việc áp dụng phơng pháp mới

đối với bộ môn toán là một phơng pháp rất tối u phù hợp với thực tiễn hiện đại

Nhân bài viết này tôi cũng xin mạnh dạn có một số kiến nghị sau:

* Với các cơ quan cấp trên

- Hãy tạo điều kiện và quan tâm hơn nữa với bộ môn, thờng xuyên mở các lớp tập huấn chuyên đề để giáo viên chúng tôi có

điều kiện giao lu học hỏi kinh nghiệm từ các đồng nghiệp khác

- Tổ chức dự giờ, đánh giá rút kinh nghiệm giữa các cụm tr-ờng trong khu vực với nhau để giáo viên có điều kiện trao đổi

ph-ơng pháp cũng nh học hỏi rút kinh nghiệm

* Với nhà trờng.