SKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nha

SKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhaSKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhaSKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhaSKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhaSKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhaSKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhaSKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhaSKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhaSKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhaSKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhaSKKN Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nha

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS , môn Toán đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế phát triển của đất nước ta hiện nay Học tốt môn Toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác Xưa nay đây là môn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến, việc học Toán đối với học sinh là một điều khó khăn Chất lượng môn Toán qua các đợt thanh tra, kiểm tra thường là một điều đáng ngại đối với giáo viên Hơn thế nữa, chúng ta đang ra sức để xoá bỏ tình trạng học sinh ngồi nhầm lớp Tất cả những lý do trên có thể xuất phát từ những

lý do khách quan và chủ quan như học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn ôm đồm kiến thức trong giảng dạy, khó khăn về mặt cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn vv… Học Toán đồng nghĩa với giải Toán, trong học tập muốn làm được bài tập ngoài việc có một phương pháp suy luận đúng đắn đòi hỏi học sinh phải có vốn kiến thức sẵn có từ tiếp cận các công thức, các quy tắc, định nghĩa, khái niệm…

Ở trường phổ thông, dạy Toán là một hoạt động Toán học Đối với học sinh, có thể xem giải toán là một hoạt động đóng vai trò chủ yếu của hoạt động Toán học Các bài tập là các phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo Hoạt động giải bài tập là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với việc nâng cao chất lượng dạy và học Toán, đồng thời góp phần rèn luyện và phát triển trí tuệ cho học sinh

Chính vì thế trong khi trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán 7 , kết hợp với việc tham khảo ý kiến của đồng nghiệp Tôi đó đúc kết ra một vài kinh nghiệm

“Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau’’

có hiệu quả cao hơn

Một nhiệm vụ trọng tâm trong công tác giảng daỵ đang được đề cập sôi nổi

và tích cực nghiên cứu là phương pháp “ Lấy học sinh làm trung tâm” mà trọng tâm của nó là tính tích cực hoạt động của học sinh trong quá trình học tập.Vì vậy nếu giáo viên phát huy được tính độc lập, chủ động sánh tạo của học sinh trong giờ học, môn học ở một khâu nào đó trong quá trình dạy học cũng góp phần giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học bằng cách thông qua giải các bài tập

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Khi dạy môn Toán tôi nhận thấy việc phát hiện, tìm tòi, suy luận để tìm ra hướng giải cho một bài toán của các em còn rất yếu, nguyên nhân chủ yếu là do các em chưa biết cách phân loại, hệ thống kiến thức cũng như mức độ khó của từng dạng bài tập và tìm ra cách giải phù hợp nên các em thường rất lúng túng khi gặp một dạng mới, một dạng biến đổi của các bài toán đặc trưng Đối với các bài toán ở lớp 7 là một ví dụ, tuy nhiên hầu hết các em chưa nắm vững kiến thức cơ bản, còn hiểu lơ mơ về định nghĩa ,tính chất, định lý ,dấu hiệu chia hết , chưa xây dựng được đường lối giải toán , phần đa các em chưa biết liên

hệ giữa kiến thức cơ bản với phương pháp giải các bài tập, hơn nữa khả năng tư duy liên hệ lý thuyết vào thực hành của các em còn yếu

Qua giảng dạy và lắng nghe thông tin phản hồi từ các em kết hợp với công tác dự giờ rút kinh nghiệm, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp tôi đã phần nào rút ra được nguyên nhân và cách giải quyết vấn đề giúp các em dễ dàng phân loại dạng bài tập để có hướng giải phù hợp với điều kiện bài cho

2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

a)THỰC TRẠNG

Là giáo viên nhiều năm được phân công đảm nhiệm giảng dạy môn Toán

7, tôi đã đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình tôi thấy:

- Học sinh tiếp thu kiến thức toán học hoàn toàn thụ động, thiếu tính tích cực chủ động, sáng tạo

- Học sinh chỉ biết “ngoan ngoãn” tiếp nhận những kiến thức trong sách giáo khoa một cách hời hợt, không chịu đi sâu tìm tòi để tự mình tìm ra những dạng toán hoặc những kiến thức cho mình

- Việc học ở nhà rất hạn chế bởi lí do không làm được bài, không có sự hướng dẫn, đồng thời vùng nông thôn công việc nhiều , ít có thời gian và điều kiện học tập

- Đối với các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7 là một

ví dụ Ở phần này các em đã được học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tỉ lệ

thức, các tính chất của tỉ lệ thức, tuy nhiên hầu hết các em chưa nắm vững kiến thức cơ bản, còn hiểu lơ mơ về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, chưa xây dựng được đường lối giải bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

- Phần lớn các em chưa biết áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau như thế nào cho đúng vào bài toán cụ thể, vì vậy các em cho rằng đây là dạng toán khó, rắc rối và việc liên hệ giữa kiến thức cơ bản với phương pháp giải các bài tập chưa được hình thành

b)Kết quả của thực trạng

Từ thực tế giảng dạy và qua khảo sát- kiểm tra đánh giá bước đầu

H

“H íng dÉn häc sinh gi¶i to¸n ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng

nhau’’ ở chương trình Toán học lớp 7 tôi thu được kết quả kiểm tra tại

Trường THCS Bình Minh, Huyện Tĩnh Gia,Tỉnh Thanh Hoá:

Năm học 2010 –2011

STT Lớp Sĩ

Số

Kết quả

Năm học 2011 –2012

3 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Vấn đề đặt ra đối với đa phần học sinh và mục đích chính trong sáng kiến này là hướng dẫn học sinh phân loại dạng bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài tập bằng cách áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau hay lập được các tỉ số mới từ các tỉ số đã cho trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán Vì thế tôi

đã phân loại các bài toán sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cụ thể hơn, nhằm giúp các em có một cái nhìn sâu hơn về cách giải các bài tập dạng này

 ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN:

a) Thông qua các giờ học, các giờ luyện tập

b) Thông qua các buổi phù đạo, học thêm

c) Thông qua việc hướng dẫn học sinh giải các bài tập trên lớp

d) Thông qua việc chọn bài tập giao về nhà cho học sinh

e) Thông qua việc giới thiệu tài liệu tham khảo để học sinh tự tìm tòi sáng tạo

 ĐỐI VỚI HỌC SINH :

*) Nghiên cứu và chuẩn bị bài trước khi đến lớp.

*) Trước khi làm bài tập cần phải ôn thật kỹ lý thuyết Nắm vững nội dung các định nghĩa ; công thức, tính chất, khái niệm, quy tắc

*) Hình thành phương pháp tự học mang tính sáng tạo

4) CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.

STT Lớp Sĩ

Số

Kết quả

Từ thực trạng kết quả trên là tôi đã phân loại các bài tập áp dụng tính

chất dãy tỉ số bằng nhau ra các dạng cụ thể và cách giải của từng dạng để qua

đó học sinh có thể đễ dàng tiếp thu và vận dụng vào các bài tập Đó là:

Dạng 1: Áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Dạng 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã lập được các tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho để sử dụng được dữ kiện bài toán.

Dạng 3 : Các bài tập có sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho thêm các biến có dạng luỹ thừa.

Dạng 4: Từ dữ kiện bài cho rút ra được dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Dạng 5: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh sự tồn tại của các dãy tỉ số mới từ các tỉ số ban đầu.

Dạng 6: Dạng bài tập không sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhưng học sinh hay nhầm lẫn.

Từ việc phân loại như trên và giới thiệu cho các em tôi thấy qua các tiết học các em tiếp thu kiến thức và áp dụng vào các bài tập cụ thể tốt hơn, các em

có thể thi đua nhau tìm cách giải cho một bài tập dạng áp dụng tính chất dãy tỉ

số bằng nhau làm cho không khí tiết học sôi nổi, vui vẻ hơn, không còn gò bó nặng nề, các em tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng

* Với học sinh đại trà: Sau khi học xong phần này các em nắm chắc và

biết cách giải các bài toán Dạng1, Dạng 2 , Dạng 4 và Dạng 6

* Với học sinh khá giỏi: Các em nắm được cả 6 dạng và có những cách

giải khác nhau cho những bài toán dạng này

3 /Về kiến thức: Yêu cầu các em cần nhớ:

* Về tỉ lệ thức:

+ Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số

d

c b

a

 hoặc a:bc:d(b 0 ;d  0 )

(a;b;c;d là các số hạng của tỉ lệ thức, a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b

và c là các số hạng trong hay trung tỉ )

+ Các tính chất của tỉ lệ thức:

d

c b

a





 (Tích các ngoại tỉ bằng tích các trung tỉ)

+ Nếu ad  bcvà a,b,c,d  0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

a

b c

d a

c b

d d

b c

a d

c b

a













(Hoán vị các trung tỉ, các ngoại tỉ, cả trung tỉ và ngoại tỉ ta sẽ được một tỉ

lệ thức mới)

* Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

+ Từ dãy tỉ số

d

c b

a

 hoặc b a d c e f Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

*

d b

c a d b

c a d

c b

a







































f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b

a

Lưu ý: Nếu đặt dấu “- ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “-”

trước số hạng dưới của tỉ số đó

4/ Về phương pháp giải bài tập:

Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Dạng này tập trung chủ yếu vào đối tượng học sinh trung bình, yếu để các

em củng cố và khắc sâu hơn kiến thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau

VD1: Tìm x,y biết:

a)

5

2

y

x

 và xy  21; b)

5 2

y x

 và x y  6

Cách giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

a)





























15 5 3

6 2 3 3

7

21 5 2 5

x y

x y x

b)









































10 5 2

4 2 2 2

3

6 5 2 5

x y

x y x

VD2: Tìm x; y; z biết:

a)

4

3

2

z

y

x



 và xyz 18; b)

4 3 2

z y x



 và x y z 15

Cách giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

a)











































8 4 2

6 3 2

4 2 2 2

9

18 4 3 2 4 3 2

z y

x z

y x z y x

b)



























































12 4 3

9 3 3

6 2 3 3

5

15 4 3 2 4 3 2

z y

x z

y x z y x

Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x ; y ; z biết

c

z b

y a

x



 và mxny pz d

Với a,b,c,d là các số cho trước và m  1 ;n  1 ;p  1

Phương pháp giải là: Ta chỉ cần áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải

Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã lập được các tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho để sử dụng được dữ kiện bài toán.

VD1: Tìm x, y biết:

a)

3

2

y

x

 và 5x 3y 38; b)

3 2

y x

 và 2x 3y 10

Ở đây học sinh sẽ băn khoăn vì không biết làm thế nào để áp dụng tính chất dãy

tỉ số bằng nhau

Gợi ý: Vì bài cho điều kiện câu a) 5x 3y 38 như vậy muốn sử dụng dữ kiện

này thì từ dãy tỉ số

3 2

y x

 ta phải biến đổi sao cho xuất hiện tỉ số mới bằng tỉ số

đã cho trong đó các số hạng trên của nó có dạng 5x và 3y

Cách giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

a)

































6 3 2

4 2 2 2

19

38 9 10

3 5 9

3 10

5 3

x y

x y x y x

b)













































6 3 2

4 2 2 2

5

10 9

4

3 2 9

3 4

2 3

x y

x y x y x

VD2: Tìm x, y,z biết:

a)

5

4

3

z

y

x



 và x 2y 4z  93; b)

5 4 3

z y x



 và  2xy 3z 34

Cách giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

a)

























































15 5 3

12 4 3

9 3 3 3

31

93 20

8 3

4 2 20

4 8

2 5 4 3

z y

x z

y x z y z y x

b)



































































10 5 2

8 4 2

6 3 2 2

17

34 15

4 6

3 2

15

3 6

2 5 4 3

z y

x z

y x z

x z y x

Dạng này học sinh rất dễ nhầm lẫn( đôi khi không biết vậy thì khi nào sẽ đặt dấu

“-” trước tử hay mẫu của tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau)

Nhấn mạnh: Dấu “-” đặt trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt trước số

hạng dưới của tỉ số đó

Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x;y;z biết

c

z b

y a

x



 và mxny pz d

Với a,b,c,d là các số cho trước và m  1 ;n  1 ;p  1

Phương pháp giải như sau:

Từ a x b y c z  ma mx nb ny pc pz

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số ma mx nb ny pc pz ta được

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz

nb

ny

ma

mx





















Dạng 3: Dạng bài tập có sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho thêm các biến có dạng luỹ thừa.

VD1: Tìm x,y biết:

a)

3

2

y

x

 và 2 2 2 22



 y

3 2

y x

 và 2 2 3 2 19





 y x

Đến đây học sinh thấy ở phần dữ kiện bài toán có xuất hiện luỹ thừa của các biến Vậy phải biến đổi dãy tỉ số trên như thế nào để sử dụng tính chất dãy tỉ

số bằng nhau?

Gợi ý: Vì ở điều kiện bài cho 2 2 2 44



 y

x có luỹ thừa bậc hai của cả x và y nên để xuất hiện hai luỹ thừa này , từ tỷ lệ thức đã cho ta có thể bình phương hai

vế của tỉ lệ thức này lên Bài toán được giải cụ thể như sau:

Cách giải:

a) Ta có:

9 4 ) 1 ( 3 2

2

2 y x y

x





 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:









































3 9

2 4

1 22

22 18

4

2 18

2 9

2 2

2 2 2

2

y y

x x

y x y y

x

Kết hợp với (1)













3

2

y

x

hoặc













 3

2

y x

b) Ta có:

9 4 ) 1 ( 3 2

2

2 y x y

x





 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:















































3 9

2 4

1 19

19 27

8

3 2 27

3 8

2 9

2 2

2 2

2 2

2

y y

x x

y x y

x y

x

Kết hợp với (1)













3

2

y

x

hoặc













 3

2

y x

VD2: Tìm x; y; z biết:

a)

5

4

3

z

y

x



 và 2 2 2 4 2 141





x

b)

5

4

3

z

y

x



 và 2 2 2 3 2 77









 x y z

Cách giải:

a) Từ

25 16 9 ) 1 ( 5 4 3

2 2

x z

y x











Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:



























































5 25

4 16

3 9

1 141

141 100

32 9

4 2 100

4 32

2 25 16

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

z z

y y

x x

z y x z y z

y x

Kết hợp với (1)



















5 4 3

z y

x

hoặc























5 4 3

z y x

3 4 5 9 16 25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:



































































5 25

4 16

3 9

1 77

77 75

16 18

3 2

75

3 18

2 25 16

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

z z

y y

x x

z y x z

x z y x

Kết hợp với (2)



















5 4 3

z y

x

hoặc























5 4 3

z y x

Tổng quát lên với bài tập dạng:

Tìm x,y,z biết

c

z b

y a

x



 và mx k ny k pz k d







Với a,b,c,d,m,n,p,d,klà các số cho trước và k  N

Phương pháp giải như sau:

k k

k k

k

pc

pz nb

ny ma

mx c

z b

y

a

x











Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số k

k k

k k

k

pc

pz nb

ny ma

mx



k k k k

k k

k k k k

k k

k

k

k

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz nb

ny

ma

mx





















Dạng 4: Từ dữ kiện bài cho rút ra được dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính

chất dãy tỉ số bằng nhau

VD1: Tìm x, y,z biết:

a)

5 4

;

3

2

z y

y

x



 và x 2y 4z   92; b)

5 2

; 3 2

z y y x



 và  2x y 3z   47

Ở dạng này học sinh sẽ thấy bài cho hoàn toàn chưa có dãy tỉ số bằng nhau, vậy làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau từ các tỉ lệ thức trên ?

Gợi ý: Vì ở cả hai tỉ lệ thức đều có y, vậy nên ta sẽ biến đổi hai tỉ lệ thức trên

sao cho chúng sẽ có cùng một tỉ số chứa y bằng cách chia cả hai vế của hai tỉ lệ thức trên cho số nào đó để cả hai tỉ lệ thức thu được đều có tỉ số chứa y như nhau tức là các mẫu của các tỉ số chứa y sẽ là BCNN của các mẫu số ban đầu chứa y

Cụ thể: Biến đổi để các tỉ số chứa y ở câu a) có mẫu là BCNN(3;4) còn ở

câu b) có mẫu là BCNN(3;2)

Cách giải:

a) Từ

15 12 8 15 12 5 4

12 8 3

z y z y

y x y x































Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:















































15 12

8 1

92

92 60

24 8

4 2 15

12

8

z y

x z

y x z y

x

b) Từ

15 6 4 15 6 5 2

6 4 3

z y z y

y x y x































Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:













































15 6

4 1

47

47 45

6 8

3 2

15 6

4

z y

x z

y x z

y

x

VD2: Tìm x, y,z biết: