Ứng dụng đa thức

-2-Lời cảm ơnSau một thời gian hăng say và miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡtận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoá luận của em đã hoàn thành.. -3-Lời nói đầuĐa thứ

Hà nội - 2009

-2-Lời cảm ơn

Sau một thời gian hăng say và miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡtận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoá luận của em đã hoàn

thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Vương

Thông-Tổ trưởng tổ Đại số đã chỉ bảo, giúp đỡ em trong quá trình thực hiện và hoàn

thành khoá luận

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trongkhoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số trực tiếp giảng dạy đã tạo điều kiệnthuận lợi cho em trong quá trình em làm khoá luận

Khoá luận của em đã hoàn thành song cũng không tránh khỏi những thiếuxót, hạn chế Em rất mong nhận được sự đóng góp chân tình, những ý kiếnphản hồi của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận của em đượchoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 05 năm 2009

Sinh viên

Thân Thị Thu Hà

ứng dụng đa thức

-3-Lời nói đầu

Đa thức chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong toán học, không những

là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của đại số mà còn là phương tiện hữu hiệucủa giải tích.Bên cạnh đó lý thuyết đa thức còn phục vụ cho chương trình toánphổ thông, toán cao cấp, toán ứng dụng

Với những ứng dụng đó ngày nay tài liệu về đa thức cũng khá nhiều và đisâu vào nhiều dạng toán, các dạng toán được phân loại rõ ràng và có hệthống.Song những vấn đề về đa thức chưa đưa ra được phương pháp giải mộtcách chi tiết và tường minh

Với những lí do trên em chọn đề tài “ ứng dụng đa thức” để làm khoá

luận tốt nghiệp

Khoá luận bao gồm nội dung:

Chương 1: Những kiến thức liên quan

Chương 2: ứng dụng đa thức một ẩn

Chương 3: ứng dụng đa thức nhiều ẩn

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và khả năng của bản thâncòn nhiều hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu xót Kínhmong các thầy cô giáo và các bạn sinh viên nhận xét và đóng góp ý kiến đểkhoá luận của em được hoàn thiện hơn

Hà nội, tháng 05 năm 2009

Sinh viên Thân Thị Thu Hà

Mục lục

Lời nói đầu: ……… 1

MỤC LỤC ……… 2

Chương 1: Những kiến thức liên quan ……… 3

1.1 Vành đa thức một ẩn ……….……… 3

1.2 Đa thức với hệ số nguyên ……… 10

1.3 Vành đa thức nhiều ẩn ……… 13

Chương 2: ứng dụng đa thức một ẩn ……… 16

2.1 ỨNG DỤNG 1: Một số bài toán chia hết ……… 16

2.2 ỨNG DỤNG 2: GIải toán phương trình bậc hai ……… 19

2.3.ỨNG DỤNG 3: GIải phương trình căn thức ……… …… 22

2.4.ỨNG DỤNG 4: Tâm giá trị của các biểu thức đối xứng đối với các 24 nghiệm của đa thức ………

2.5 ứng dụng 5: Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng 29

2.6.ỨNG DỤNG 6: Tâm điểm cố định của họ đồ thị hàm số… …… 32

Chương 3: Ứng dụng đa thức nhiều ẩn ……… 35

3.1 Ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ……… 35

3.2 ỨNG DỤNG 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình đối xứng 38 3.3 ỨNG DỤNG 3: Giải hệ phương trình … ……… 45

3.4 ỨNG DỤNG 4: CHứng minh hằng đẳng thức….……… 47

3.5 ỨNG DỤNG 5:CHứng minh bất đẳng thức …… ……… 51

3.6 ỨNG DỤNG 6: TRục căn thức ở mẫu ……… ……… 54

KẾT LUẬN ……… 58

TàI LIỆU THAM KHẢO ……… 59

Chương 1 : những kiến thức liên quan

Nếu f (a)

= f (b) ⇔ ⇔ a = (a, 0, ) b = (b, 0, ) +Do f là đơn cấu nên ta thể đồng nhất mỗi phần tử a

n− 1

)(x

−α

-Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên mọi trường số.

-Một đa thức bất khả quy trên C ⇔ là đa thức bậc nhất -Một đa thức bất khả quy trên R ⇔ là đa thức bậc nhất,bậc hai(với

Đ2 đa thức với hệ số nguyên

*Bổ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức nguyên bản.

* Khái niệm nguyên tố cùng nhau

Định

nghĩa: P(x), Q(x) nguyên tố cùng nhau nếu UCLN của chúng là một

đa thức hằng số hay (P(x), Q(x)) = 1

Định lí: Điều kiện cần và đủ để 2 đa thức P(x), Q(x) nguyên tố cùng nhau là

tồn tại cặp đa thức U (x),V (x) sao cho :

sao cho

Và

degV ( x) ≤ deg P( x) 3/ Nếu (P(x), Q(x)) = 1 , (P(x), R(x)) = 1 thì (P(x), Q(x),

R(x)) = 1

Nếu các hạng tử của f (x , x , , x ) có bậc bằng nhau và bằng k thì

f (x , x , , x ) gọi là đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k

vị bất kì của n phần

Định nghĩa 2: Trong vành A[x , x , , x

] các đa thức sau là đa thức

đốixứng gọi là đa thức đối xứng cơ bản hay đa thức đối xứng sơ cấp

đều biểu diễn

như đa thức của những đa thức cơ sở đối xứng và sự biểu diễn là duy nhất Nếu σ1, σ 2

, , σ n là những đa thức cơ sở đối xứng của a n biến, thì

a

1 2

a a

1 n− 1 n 0

Ta có kết quả sau: Nếu mọi nghiệm đơn của g ( x) và nghiệm bội bậc m của

g (x) đều là nghiệm đơn và nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng m

thì f (x) g (x)

+Giả sử c ∈C là một nghiệm đơn

nghiệm đơn của

g(x) đều là nghiệm đơn của f (x)

2.2.2 Cách giải

- Bước 1: Dùng đa thức đối xứng

- Bước 2: Dùng công thức Viét

nguyên và có 2 nghiệm thực khác nhau nằm trong khoảng (0,1).

Tìm giá trị dương nhỏ nhất của a cho tam thức như vậy tồn tại?

Bài 3: CMR nếu x , x là nghiệm của phương trình x2 + px + q

 x2

 x2

5

1

 x2

4 629  x 4 77  x

1

 x2

 x2

Từ hệ suy ra phương trình có nghiệm:

2.3.3 Bài tập tự luyện Bài 1:

2.4 ứng dụng 4: Tìm giá trị của biểu thức đối xứng đối với các

nghiệm của đa thức

− 1 2

+ 2 = 0

 λ2 = 10

Vậy λ = 8, λ = 10 thoả mãn bài toán

Ví dụ 2: Hãy tính diện tích tam giác mà đường cao của nó là nghiệm của

y3 − ay2 + bx − c = 0phương trình:

Biểu diễn thông qua p, q, r những hàm của các

Nhận thấy P(x) là đa thức đối xứng

Nghiệm đầu tiên là x = −1 Ta có

2

y

= x lại+ Khi đó phương trình được viết

x

y2 + 2x −15 = 0

2.6.2 Phương pháp giải





Gọi M (x0 , y0 ) là điểm cố định của họ đồ thị hàm

số

y = f (x, m),

m ∈ A Với A là tập nghiệm của điểm cố định.

M

(x0 , y0 ) là điểm cố định cần tìm thoả mãn phương trình (1) Khi đó

(C m )

CMR họ (C m

)

Lời giải

luôn đi qua một điểm cố định

Giả sử M (x0 , y0 ) là điểm cố định của họ (C m ) Khi đó

Chương 3: ứng dụng đa thức nhiều ẩn

3.1 ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

3.1.1 Cơ sở lí luận

-Dựa vào bài toán biểu diễn đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản

-Đối với đa thức 2 ẩn việc biểu diễn không khó khăn bằng đa thức 3 ẩn,nhưng ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định

3.1.2 phương pháp giải

- Đưa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản

- Phân tích đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản thành nhân tử

3

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

+

2σ2

x, y, z nên không thay đổi khi ta thay x, y, z bởi các giá trị đối của nó.

Khi đó f chia hết cho x − y + z, x + y − z, −x + y

+ z,

⇒ f (x, y, z) = (x − y + z)(x + y − z)(−x

+ y + z).g(x, y, z) (2)

Ta thấy f (x, y, z) có hạng tử cao nhất là bậc 4 So sánh các bậc của 2 vế

của (1) và (2) thấy g(x, y, z) là đa thức bậc không hay g(x, y, z) là một

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Khi đó ta nhận các giá trị nguyên : -2,-1,0,1,2

Thay lần lượt các giá trị của σ 1 và tìm σ 2 ta có

σ 1 nhận các giá trị nguyên: 0,1,2,3,4,5,6,7

Thay lần lượt các giá trị ta tìm được cặp giá trị thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm: (0,0) ; (5,2) và các hoán vị của nó

Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên

(σ1 + 1)(σ1

Thì việc giải phương trình sẽ đơn giản

hơn Sau khi tìm được σ1 , σ 2 ,

 6

=8

− 3σ1σ

2 + 3σ 3

Khi đó x, y, z là nghiệm của phương trình t3

-Đưa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản.-Chứng minh với các biểu thức mới.

1

1 2

= −3

= 2

Ta có f (x, y, z) = 13 + 13 + (−2)3 − 3.1.1.(−2) = 0Hay 0 = β.2 ⇒ β = 0

> 0,σ1 ≥ 0,σ 2 ≥ 0

Vậy giả sử đã cho một đa thức đối xứng f (x, y) ta cần chứng minh với

nhữnggiá trị thực bất kì

x, y (hoặc với những giá trị không âm hoặc

x + y ≥ a , tuỳ điều kiện bài toán) thì

đa thức

f (x, y) lấy những giá trị

σ1 , σ 2 rồi tìm trong đa thức tìm

2 σ=

1 2.(σ − ∆)

và những điều kiện đã cho về

σ 1 thì đa thức chỉ lấy những giá trị không âm

> 44

-Ta đi tìm những biểu thức mà chứa σ 1 như một nhân tử sau đó thực hiệnchia và biểu thức đó không còn căn thức ở mẫu

Ta tổ hợp 2 tổng S2 ,

S4

sao cho σ 1 được đặt thành thừa số khi đó có

đượcbiểu thức không còn chứa căn

a  b  c b

ca )

− (

a + +

2/ a, b, c ∈  *

13/ m, n ∈  *

+

Kết luận

Khoá luận đã trình bày cụ thể và chi tiết về những dạng toán cơ bản của

đa thức.ở mỗi chương đều nêu ra lý thuyết liên quan, phương pháp giải và các

ví dụ điển hình.Các ví dụ đã đưa ra phương pháp giải đặc trưng , cơ bản nhất.Tuy nhiên với vốn kiến thức còn hạn chế nên khoá luận chưa đưa ra đượcnhiều dạng toán về đa thức

Khoá luận được thực hiện với mong muốn đóng góp một phần kinhnghiệm nhỏ bé của bản thân trong việc nghiên cứu và tìm hiểu về đa thức, từ

đó giúp bạn đọc có cái nhìn tổng quát và đi vào nghiên cứu sâu hơn, rộng hơn

về đa thức

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức và ứng dụng, NXBGD,Hà Nội

2 Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số và số học tập 3, NXBGD, Hà Nội

3 Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXBGD

4 Nguyễn Tiến Quang (1987), Bài tập đại số và số học tập 3, NXBGD

5 Tạp chí toán học tập 2,3,NXBGD

6 Jean-Marie Monier (2006), Giáo trình toán tập 5-Đại số 1, NXBGD