Tìm hiểu sự liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận

OATOÁN TRẪNXUÂNDŨNG TÌMHIỂUSỰLIÊNHỆGIỮAĐỒTH ỊVÔHƯỚNGVÀMATRẬN... CÁCKIẾNTHỨCCHUẨNB Ị1.1.2 Bậccủađỉnh Địnhnghĩa1.2.Bậccủav,kíhiệubởidegv,lásốcạnhliênthuộcvớiv,nghĩal àdegv=|Ev|.Đỉnhbậc0đượ

OATOÁN

TRẪNXUÂNDŨNG

TÌMHIỂUSỰLIÊNHỆGIỮAĐỒTH ỊVÔHƯỚNGVÀMATRẬN

Lờiđầutiêncủakhóaluậnnàyemxingửilờicảmơnsâusắctớithầyg i á o hướngdẫnTS.TrầnMinhT ước.Thầyđãg i a o đềtàivàtậntìnhhướngdẫnemtrongquátrìnhhoànthànhkhóaluậnnày.Nhândịpnàye m xingửilờicámơncủamìnhtờitoànbộcácthầycôgiáotrongkhoaToánđãgiảngdạyvàgiúpđỡchúngemtrongsuốtquátrìnhhọctậptạikhoa

Emxinbàytỏlòngb i ế t ơ n s â u s ắ c đ ế n TS.TrầnMinhT ước,ngườiđãtậntìnhgiúpđỡ,chỉbảovàcungcấpchoemnhữngkiếnthứcnềntảngđểemhoànthànhbàikhóaluậnnày.Thầycũnglàngườiđãgiúpe m ngàycàngtiếpcậnvàcóniềmsaymêkhoahọctrongsuốtthờigianđượclàmviệccùngThầy

Emxinbàytỏlòngbiếtơntớicácthầy,cáccôcôngtáctạiKhoaToánTrườngĐ ạ ihọcs ư phạmHàNội2 vàc á c thầy,c ô khácđãtrựcti ế p giảngdạy,truyềnđạtch

Sinhv i ê nTRẦNXUÂNDŨNG

Mởđầu 1

Chương1:Cáckiếnthứcchuẩnbị 3 1.1 Mộtsốkháiniệmcủalíthuyếtđồthị 3

1.1.1 Đồthịvôhướng 3

1.1.2 Bậccủađỉnh 4

1.1.3 Tínhliênthông 4

1.1.4 Sựđẳngcấu 6

1.2 Mộts ố kháin iệ m vềm atrận 7

1.2.1 Matrận 7

Chương2 : Mốiliênh ệ giữađ ồ t h ị vôhướngvàmat r ậ n kề 10 2.1 Cáchb iể u d iễnđồthịvôhướngbằngm a trận 10

2.2 Hànhtrình,đường,chutrình,vết,mạchvàtínhliênthông 12 2.2.1 Hànhtrình,đường,chutrình,vếtvàmạch 12

2.2.2 Tínhl i ê n thôngc ủ a đồthịvôhướng 16

2.3 Sựđẳngc ấ u củacác đồthị 21

2.3.1 Đồthịđẳngcấ u 21

Chương3:ĐồthịEulervàđồthịvòng 24 3.1 ĐồthịEuler 24

3.2 Đồthịvòng 30

Kếtluận 32

Tàiliệuthamkhảo 33

1 Lýdochọnđềtài

Việcsửdụngcácphươngphápđạisốtrongviệckhảosátđồthịđangđượcquantâm.Nhưchúngtađãb iế t cáchbiểudiễnđồthịquam a trậnkềvàm a trậ

nl i ê n thuộc.R i ê n g c á c đặctínhc ủ a đồthịđượcb i ể u d i ễ n nhưthếnàotrênm a trậnkềtươngứngthìc ò n í t ngườinóitới

Từnhậnthứctrênvớit ê n đềtài:"Tìms ự l i ê n hệgiữađồthịvôhướngvàmatrận"emsẽnghiêncứuứngdụngcủađạisốtuyếntínhvàl í thuyếtm a trậnđểkhảos á t đồthịvôhướng

Chươngnàynhắcl ạ i kháin i ệ m vềvếtvàmạchEulervàcáchb i ể u diễnchúngtrênmatrậnkề.ÁpdụngthuậttoánFleurytìmmạchEulertrênmatrậnkềtươngứng.Chươngnàynóiđếncáchb i ể u diễnđồthịvòngtrênmatrạnkề

hc ủ a đồthịvôhướngG.Nếue={a,b}làmộtcạnhcủaGthìavàbđượcg ọ i là

c á c đỉnhđầumútc ủ a c ạ n h e haycácđỉnhliênthuộcvớie.Tacũng thườngkíhiệucạnh{a,b}mộtcáchđơngiảnlàab.

Vídụ1.1.ChoG=(V,E)vớiV={a,b,c,d}vàE={{a,b},{b,d}, {b,c},{c,d}}.KhiđóGlàmộtđồthịvôhướngvàcóthểđượcbiểudiễn

CHƯƠNG1 CÁCKIẾNTHỨCCHUẨNB Ị

1.1.2 Bậccủađỉnh

Địnhnghĩa1.2.Bậccủav,kíhiệubởideg(v),lásốcạnhliênthuộcvớiv,nghĩal àdeg(v)=|E(v)|.Đỉnhbậc0đượcgọilàđỉnhcôlập.

hànhtrìnhvôhướngtrongG vớiđỉnhđầul à v ivà đỉnhc u ố i là v j.Trongtrườnghợp

n g ượcl ạ i đồthịl à khôngl i ê n thông

Đồthịc o n l i ê n thôngc ự c đạiG′= (V ′ ,E′)củam ộ t đồthịvôhướng

KhiđóG∼=G′vàánhxạϕ:V→ V ′với

ϕ(1)=a,ϕ(5)=b,ϕ(2)=c ϕ(6)=d,ϕ(3)=e,ϕ(4)=f làđẳngcấucủaGvàG′

1.2 Mộtsốkháiniệmvềmatrận

1.2.1 Matrận

Địnhnghĩa1.6.Matrậnlàmộttậpcácphầntửtrongmộtbảngchữnhậthayv uông.

đượcgọilàcộtthứjcủamatrận.

Tathườngkíh i ệ u m a trậnbởic á c chữA , B, Matrậntổngquáttrêncó th ểđượckíhi ệu đơngiản:A=(a ij )m×n.TacũngnóiA làma trậncómdòngvànc ột.

Khim=nthìmatrậnA=(a ij)n×n đượcgọilàmatrậnvuôngcấpn vàđược kíhiệuđơngiảnlàA=(a ij)n

Chom a trậnA =(a ij )∈Mat(m×n,K)vàB = (b jk )∈Mat(n×p , K).Tag ọitíchcủahaimatrậnAvàBlàmộtmatrậnC=(c ik )∈Mat(m×p,K)cácphầ

ef y u=dx+ey+fz dt+eu+fv

g h i z v gx+hy+iz gt+hu+iv

Matrậnđườngchéo(diagonalmatrix).Matrậnđườngchéolàmột ma trận vuôngvớia ij = 0,∀iƒ=j.

I= 1 

Matrậnđốixứng(symmetricmatrix).Matrậnđốixứngl à m ộ t m a trậnvuôn gthỏamãn:a ij = a ji , ∀i,j.

ó thểdùngs ơ

đồđỉnh-c ạ n h hayb i ể u d i ễ n dướidạngtậphợpnhưtrongVídụ1.1.Sửdụngm a trậnđồđỉnh-c óthểcũngl à m ộ t cáchb i ể u d i ễ n đồthịcóhiệuquả.Mộtsốđặctínhliênquantớiđồthịcũngsẽthểh i ệ n trênm a trậnb i ể u d iễ n nó

hần tửtrênđườngchéochínhbằng0

Tínhchất2.1

Tổngcácphầntửtheodòngi(cộtj)củamatrậnkềchínhbằngbậcđỉnhi (đỉnhj)

j=1 i=1 j=1 i=1

1 6

i=

1 6

hiêuc ạ n h tađ ề u m ấ t n2đơnvịbộnhớđểlưutrữđồthị

2.2 Hànhtrình,đường,chutrình,vết,mạchvàtínhliênthông2.2.1 Hànhtrình,đường,chutrình,vếtvàmạch

Tabiểudiễnhànhtrình,đường,chutrình,vếtvàmạchcủađồthịvôhướngtrênmatrậnkềtươngứngthôngquavídụsau:

i j

Nhậnxét:Chutrìnhc ủ a đồthịđượcb i ể u d i ễ n quam a trậnkềtươngứngl à m

ộ t dâychuyềnkhépkínxuấtpháttừđỉnhđầuti ê n theom ộ t quyluậthàngc ộ thàngc ộ t chotam ộ t chutrìnhtrênm a trậnkềtươngứnglàmộ ttậphợpgồm2v

ịtrí{i,j}=1trênm ỗ i hàngvàmỗicộ t củam a trậnkề.

Tínhchất2.2[2]Chomộtđồthịvôhướngđượcbiểudiễnbằngmatrậnkềtươngứng

Nếukýhiệua p ,

i,j=1,2, ,nlàcácphầntửcủamatrậnA p=

A.A A(plần)khiđó:

ij ,i,j=1,2, ,n Chotasốđườngđikhácnhautừđỉnhi đếnđỉnhj quap −1đỉnhtrunggian.

Tìms ố đườngđikhácnhauđitừđỉnh1 đ ế n đinh3 c ó độdàil à 3 ?

Đâyl à tínhchấtl i ê n thôngcủam ộ t mạng,n ế u tínhliênthôngkhôngđượcđảmbảothìmạngmáytínhsẽkhôngthểhoạtđộngđược

Chomộ t quanhệR trênđồthịG.Dãya0,a1, ,a k đượcgọilàđườngđitrongRv

àc ó độdàilàk n ế u (a i ,a i+1 )∈ R ,∀i= 1 k−1.N ế u a0 =a kthìđườngđig ọ i l

à chutrình.Nhưvậym ỗ i đỉnhc ủ a đồthịGcó

1

thểxuấth i ệ n nhiềul ầ n trênm ộ t đườngđi

QuanhệliênthôngcủaquanhệR(đượckíhiệulàT)làquanhệchứac á c cặp( i,j)saochocóítnhấtmộtđườngđinốiivàjquaR.Cónghĩal à (i,j)∈Tn ế u cót ồntạisốnguyêndươngksaocho(i,j)∈R k(t ứcc ó đườngđiđộdàiktừiđếnj).

Từđịnhnghĩatrêntacó

∞

T=[R k k=1

• Nếuk ≤ n−1thìtồntại( i,j)∈Sn−1 R kdođóT ⊆Sn−1 R k

• Nếuk >n −1thìtrongdãyđỉnhc ủ a đườngđic ó í t nhấthaiđỉnhtrùngn

hau.Cắtbỏchutrìnhchứa2 đỉnhtrùngnhaunàyvàti ế p tụctacóthểnhận

Taxétmộtbàitoánđườngđi:

ChođồthịG vàhaiđỉnhi , jthuộcG.Cóhaykhôngm ộ t đườngđitừđỉnhiđến đỉnhjtrênđồthịG?

RlàR SR

2S SR

n−1.Dễthấymatrậncủabaođốngbắccầuchínhlàhợpcủacácmatrậntrêntừđótacóthểxâydựngthuậttoánchobàitoántrên.Thamkhảotrong[5]

TrầnXuânDũng-ToánK35-CN

Nhậnxét:VìT[5,j]=T[i,5]=0≤1nênđồthịlàkhôngliênthông.

đồthịG1thìc ạ n h ν(e n−1 )sẽl i ê n kếtvớic ặ p đỉnhϕ (v n−1 ),ϕ(v n)xéttrongđồ

l à : chínhxácđ ế n đẳngc ấ u ) vớim ộ t đơnđồthịvôhướngn đỉnhvìma trậnkề

c ủa đồthịvôhướngl à matrậnđốixứng

A[i,j]=A[j,i];i,j=1,2, n.

MộtvếttrongđồthịvôhướngG=(V,E)đượcg ọ i l à VếtEulern ế u nóchứatấ

tc ả c á c cạ n h củ a G.Đ ồ thịvôhướngG =(V,E)đượcg ọ i l à đồthịnửaEulern ế

u nócómộtvếtEuler

MộtmạchtrongđồthịvôhướngG =(V,E)đượcg ọ i là mạchEulern ế unóc

hứatấtc ả c á c c ạ n h c ủ a đồthịG.Đ ồ thịvôhướngG =(V,E)đượcgọ ilàđồthị Eulern ế u nócómộtmạchEuler.

NếuđồthịvôhướnglàđồthịEulerthìhiểnnhiênnócũnglàđồthịnửaEuler.Vídụ3.1.Chođồthịvôhướng



n ê n tacũngxoávịtrí(B,A).Từvịtrí( A,B)vừaxoáđitheoc ộ t có thểquaC,Gh

oặcH,g iả sử tas ẽ quaCvàxoávịtrí(C,B); (B,C).TươngtựtađiquaFtheohàngvà xoávịtrí(C,F);(F,C).

(G,H).Từvịtrí(H,G)tavềvịtríbanđầuA.Tađược1chutrìnhABCF GBH GAnhưngkhônglà1chutrìnhEulervì khôngđiquatấtcảcáccạnh.

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 0

.

TrầnXuânDũng-ToánK35-CN

Kếtluận

Khóaluậnvớiđềtài:“Tìmsựliênhệgiữađồthịvôhướngvàmatrận”,emđãnghiêncứucácnộidungđượcliênhệquamatrậnkềchủyếulà:

Emxinchânthànhcảmơn!

TrầnXuânDũng-ToánK35-CN

Tàil i ệ u thamk hảo

[1]NormanBiggs(1974),AlgebraicGraphTheoryCambridgeTractsinMath ematics,VOL.6 7

[2]NguyễnHữuViệtHưng(2000),Đạisốtuyếntính,NXBĐHQGHàNội [3]NguyễnĐứcNghĩa,NguyễnTôThành(1997),Toánrờirạc,NXBGiáodục [4]NgôĐ ắ c Tân(2004),Lýthuyếttổ hợpvàđồthị,NXBĐHQGHàNội.[ 5 ] http://

giaoan.violet.vn/present/show?entry/_id=367548