Tìm hiểu sự liên hệ giữa đồ thị có hướng và ma trận

TRƯỜNGĐẠIHỌCS Ư PHẠMHÀNỘI2 KHOATOÁN NGÔTHỊHỒNGDIỄM TÌMHIỂUSỰLIÊNHỆGIỮAĐỒT HỊCÓHƯỚNGVÀMATRẬN... Nhắclạivềlýthuyếtvềđồthịvàmatrậ n 1.1 Đồthị 1.1.1 Đồthịc ó hướng MôtđồthịcóhướngGlámôtcá/pc

TRƯỜNGĐẠIHỌCS Ư PHẠMHÀNỘI2 KH

OATOÁN

NGÔTHỊHỒNGDIỄM

TÌMHIỂUSỰLIÊNHỆGIỮAĐỒT HỊCÓHƯỚNGVÀMATRẬN

Trướctiênêmxingưilớicámớnchánthánhsáusáctớicáctháyc ô giáôtrôngtrướngĐáihôcSưPhámHáNôi2nôichungvácáctháyc ô giáôtrôngkhôáTôán,bômônỨ&ngDungnôiriêngđá)tántìnhgiángdáy,truyênđátchôê

m như)ngk i ê, n thưc,kinhnghiêmquybáutrôngsuô,tthớigiánquá

Đá/cbiêtêmxingưilớicámớnđê,ntháygiáôTS.TrầnMinhTước,

tháyđá)tántìnhgiupđớ),trưct i ê, p chìbáô,hướngdá1nê m trôngsuô,tquátrìnhlámkhôáluántô,tnghiêp.Trôngthớigiánlámviêcvớitháy,ê m khôngngưngtiê,pthuthêmnhiêukiê,nthưcbô2ìchmácônhôctápđướctinhthánlámviêc,tháiđônghiêncưukhôáhôcnghiêmtuc,hiêuquá,đáylánhư)ngđiêurá,tcánthiê,tchôêmtrôngquátrìnhhôctápvác ô n g tács á u náy.Đôngthới,ê m xinc

á m ớ n c á c bántrôngl ớ p K35CưNhánTôánđá)nhiêttìnhgiupđớ)êmtrôngquátrìnhhôctáptáilớp

HáNôi,tháng05,ná/m2013Sin

hviênNgôT h ị HồngDiễm

Emxincámđôánđáylácôngtrìnhnghiêncưucuáriêngêm.Cács ô, liêu,kê,tquánêutrôngkhôáluánlátrungthưcvácácthôngtinđướctrìchdá1ntrôngkhôáluánnáyđá)đướcghirô)nguôngô,c

HáNôi,tháng05,ná/m2013Sin

hviênNgôT h ị HồngDiễm

2.1 Biê2udiê1nđôthicôhướngbá;ngmátránkê 15

2.1.1 Tìnhliênthôngtrôngđôthicôhướng 16

Mụclục Mởđ ầ u 1

Chương1:Nhácl ạ i vềlýthuyếtvềđ ồ t h ị vàmat r ậ n 3 1.1 Đôthi 3

1.1.1 Đôthicôhướng 3

1.1.2 Báccuáđìnhtrôngđôthicôhướng 4

1.1.3 Sưliênthông 5

1.2 Đướngđi,chutrình,tìnhliênthôngtrôngđôthicôhướng 5 1.2.1 Đướngđi,chutrình 5

1.2.2 Đôthicôtrôngsô, 12

1.3 Mátrán 13

Chương2:Liênh ệgiữađ ồ t h ị cóhướngvàmat rậ n 15 2.1.2 Báitôánđướngđingánnhá,t(ThuáttôánFlôyd) 18 Chương3:Mộtvàilớpđ ồ t h ị đ ặ c biệt 31 3.1 ĐôthiEulêr 31

3.2 Đôthivôngcôhướng 40

Tàiliệut h a m k h ả o 44

Khis ư dungđôthitrôngc á c báitôánc u á tinhôcc ô nhiêucáchkhácnháuđê2lưutrư)cácđôthitrôngmáytình.Sưdungc á,u trucdư)liêunáôthìtuythêôcá,utruccuáđôthiváthuáttôándungđê2tháôtáctrênđôthiđô.

Trôngđêtáináyêmđá/tvá,nđênghiêncưuvêcá,utrucmátránc u á đôthic ô hướng.Cá,utrucm á tránc u á đôthic ô hướngchưáthôngtinvêquánhêkê(côcungnô,iháykhông)giư)ácácđìnhcuáđôthiđô.Ngôáiránôcônlámôtcôngcuhư)uìchchôviêcxêmxêtcá c tìnhchá,tcuáđôthicôhướngvớinhư)ngthê,mánhcuáđáisô, tuyê,ntình

Tưnhư)ngnhánthưctrênê m xinmánhdánnghiênc ư u đêtái“Tìmhiê2usưliênhêgiư)áđôthicôhướngvámátrán”đáykhôngchìlánhiêmvuêmpháithưchiêntrôngkhôáluántô,tnghiêpmáthưcsưđáyláđêtáiêmđángquántámvánghiêncưu

Cácthuátngư)trôngkhôáluánđướcsưdungtrôngcáccuô,n:NôrmánBi

ggs(1974),AlgebraicGraphTheoryCambridgeTractsinMathematics,

VOL.67.Nguyê1nĐưcNghì)á (2003),Nguyê1nTôThánh,

Nhắclạivềlýthuyếtvềđồthịvàmatrậ n

1.1 Đồthị

1.1.1 Đồthịc ó hướng

MôtđồthịcóhướngGlámôtcá/pcôthưtưG=(V,E),ớđáyVlámôttáph ư)uhán,cônElá môttápnáôđôcôcáccá/psápthưtư(u,v)vớiu,v∈Vváuƒ

m=.de g−(v)=.de g+(v)

Chứngminh.Khilá,ytô2ngtá,tc á c á c bánbácráháybánbácváô,m ô1 i cun

g( u,v)bấtkys ê) đướctìnhđung1 lầntrôngdeg+

(u)vàcu)ngđướctìnhđung1lầntrôngdeg−(v).Tưđôsuyrákê,tquá.

b a

c

Hình1.2:Đôthicôhướng

Vídụ1 1 5 Xétđôthichôtrônghìnhtrêntácô:

deg−(a)=1,deg−(b)=2,deg−(c)=2,deg−(d)=2,deg−(e)=2.

deg+(a)=3,deg+(b)=1,deg+(c)=1,deg+(d)=2,deg+(e)=2.

Rá,tnhiêutìnhchá,tc u á đôthic ô hướngkhôngphuthuôcváôhướngtrêncáccungcuánô.Vìváy,trôngnhiêutrướng

Đướngđic ô đôdáin tưv0đê,nv n vớin l á m ô t s ô, nguyêndướng,trôngm

ô t đôthic ô hướngG = (V,E)lám ô t dá)yc á c cungl i ê n t i ê, p v0v1,v1v2, ,v n−1 v n trôngđôv i ƒ=v j ,∀iƒ=j.

Đìnhv0đượcgôiláđìnhđáu,đìnhv nđ ược cgôiláđìnhcuô,i.Đướng

đináythướngđướcviê,tgôn:v0v1v2 v n−1 v n

Khichìcánnêuráđìnhđáuv ovà đìnhcuô,iv nc a ủa đướngđi,táviê,t:đướngđi

v o− v n

E C

Vìc á c cánhc uá đướngđid2,d3làđôimô t khácnháudôđôđướng

đid2,d3đướcgôilávê,tdr, dr.Nhưváyvê,tdr, dr cu)ngđướcbiê2udiê1n

giô,ngđướngđid1trôngmátránkêcuáđôthi

Táxêtđướngđitư đìnhAđê,nđìnhAquá5đìnhtrunggiánláB,C,D,E,F: Đướngđid4:( A,B),(B,D),(D,F),(F,E),(E,C),(C,A)(đướngđic ô đôdáilá6).Đướngđid4đượcbiê2udiê1nbá;ngmátránkênhưsáu:

Tưdôngicủađiê2mđáucuáđướngđitágiôngsángcôtcôgiátribá;ng1 đáuti ên,giásưđôlácôtj.

Tiê,ptuctưdôngjtaláigiôngsángmôtcôtcôgiátribá;ng1.Cưtiê,

ptucnhưváychôtớidôngcuáđiê2mcuô,icuáđướngđi.Đánhdá,ucá

csô,1đướcgiôngsángtrôngdá,u()trênmátrán

Khiđômô1icánhmáđướngđiđiquáđướckìhiêulá(1)trênmátrán.Đê2xácđinh1 chutrìnhtrênm á tránkêc u á đôthic ô hướngtácu)ngl á m tướngtưnhưváy

-Hìnhánhcuáđướngđitrênmátránlámôtđướnggá,pkhuckhôngkhêpkìnhôá/ckhêpkìn.Khôngcô2số(1)náôtrêncungmôtcôt.Trướnghớpkhêpkìnthìđướngđiđôlámôtchutrình

Vídụ 1.2.2.Hìnhánhđướngđid2,d3trôngđôthihình2.2trênmátrán

B E F

(1) A

(1) B

C

(1) D

(1) E

F

(1) A

(1) B

C

(1) D

(1) E

(1) F

d1

Hình1.4 d2

-Hìnhánhcuámôtchutrìnhtrênmátránthêôthưtưcácđìnhcuáchutrình(tìnhtrênhánghôá/ccôt)táôthánhmôtchutrình.Khôngcô2 vitrìchưá(1)náôtrêncungmôtcôt

4 3

Hình1.5

Vídụ1 2 3 M ôts ô, hìnhánhchutrìnhvớithưtưđình1 ,2,3,4khácnháucuá đôthihình2.4trênmátrán:

(1) 2

(1) 4

(1) 3

(1)

1

(1) 3

(1) 2

(1) 1

11

Hình1.7

Kê,tquásáuđáyvêsô,đướngđisê)côìchkhixêttìnhliênthôngcácđôthi.Mệnhđề1.2.4

[9]ChoGlàmộtđồthịcóhướngvớimatrậnliềnkềA theothứtựcácđỉnhv1,v

2, ,v n Khiđósốcácđườngđikhácnhauđộdàirtừv i tớiv j trongđórlàmộtsốn guyêndương,bằnggiátrịcủaphầntửdòngicộtjcủamatrậnA r

Chứngminh.T áchưngminhmênhđêbá;ngquynápthêôr.Sô,cácđướngđikhác nháuđôdái1tưv it ớiv jl à sô,cáccánh(hôá/ccung)tưv it ớiv j,đôchìnhláph

ántưdôngicộtjcủamátránA;nghì)álá,mênhđêđungkhir=1.

dôngicộtjcủaA rlà sô,cácđướngđikhácnháuđôdáirtưv it ớiv j. VìA r+1=

A r Anênphán

tưdôngicôtjcuáA r+1bá;ng:b i1 a 1j +b i2 a 2j + +b in a nj,

trôngđôb ikl à phántưdôngicộtkcủaA r Thêôgiáthiê,tquynápb ik

lásô,đướngđikhácnháuđôdáirtưv it ớiv k

Đướngđiđôdáir+1tưv it ớiv js ẽ đướctáônêntưđướngđiđôdáir tưv itớiđìn

htrunggiánv knáôđôvámôtcánh(hôá/ccung)tưk t ớiv j.Thêôquytácnháns

ô,cácđướngđinhưthê,látìchcuásô,đướngđiđôdáirtưv it ớiv k ,tưcláb ik,vás

ô,cáccánh(hôá/ccung)tưv kt ớiv j, tưcláa kj.Côngcáctìchnáyláithêôtá,tcác

ácđìnhtrunggiánv kta côm ê n h đêđungđê,nr+1.

Hình1.9:ĐôthiG láliênthông,cônđôthiH lákhôngliênthông.

Địnhnghĩa1.2.7.ĐồthicôhướngGđượcgôiláliênthôngmạnhnếuvớihái đìnhphánbiêtbá,tkyuvàvcủaGđềucôđướngđitưutớivvàđướngđitư

5 5

e

4

7 5

7

c d

Matrậnl àmôt tápcá c phántưtrôngm ô t mángchư)nhátháyvuông.Vớicácmátrántácôcácđinhnghì)ásáuđáy:

Matrậncột-Môtmátráncômôtcôtvánhiêuhớnmôthángthìđướcg ô i lámátráncôt.Mátráncôtcônđướcgôilámôtvêctớcôtháyđớn

CHƯƠNG2 LIÊNHỆGIỮAĐỒTHỊC Ó HƯỚNGVÀMATRẬN

i j

Đôthivôhướngđướcgôiláliênthôngnê,uluôntìmđướcđướngđigiư)áháiđìnhbá,tkycuánô.Nhưváyđê2xêttìnhliênthôngcuámôtđôthivôhướngdưátrênmátránkêtướngưngcuáđôthiđôthìtátìmsô,đướngđicuáháiđìnhbá,tkì.Tácôtìnhchá,tcuámátránkêớtrêncác

phántưcuámátránA p sê)chôtásô,đướngđikhácnháucuáháiđình

bá,tkì

Tưcláa p láphántưcuámátránA p sê)chôtásô,đướngđikhácnháu

tưiđếnjquáp−1đỉnhtrunggiánvớix≤n−1(nlàsô,đình).

Vớia ijƒ=0thìđôthiláliênthông

Đê2xêta p tápháitìnhA1,A2, ,A k , ,A n−1 sê)tôntáiA xmáa x

ƒ=0

Matrậntrọngsố c u á GlámôtmátránvuôngA=(a ij )cá,pn.Trôngđô:

a ij= .w(i,j)n ê, u v∞ nê,uv i v j lámôtcungcuáG

i v jkh ônglámôtcungcuáG Quyướca ii =0,∀i∈V

A

2 F

ThuậttoánFloyd[5][6]

Thuátgiáitìmđôdáiđướngđingánnhá,tgiư)ámôicá/pđìnhtrôngđôthicôhướngliênthôngcôtrôngsô,(khôngbátbuôc≥0)

2 Kiê2mtrákê,tthuc:N ê, u k=n,kê,tthuc.D =D nl àmá tránđôdáiđướngđin

ggián{1,2, ,k−1},

nênthêôgiáthiê,tquinápd k−1 (i,j)=d(p)≤d k−1 (i,k)+d k−1 (k,j) Dôđôthêôcáchtìnhd kta c ô d k (i,j)= d k−1 (i,j)= d (p)là đôdáiđướng đingánnhá,ttưi đếnj quác á c đìnhtrungg i á n

{1,2, ,k−1,k}.

(b) Môiđướngnô,iđìnhivớijquácácđìnhtrunggián{1,2, ,k−1 ,k}cô chiêudáingánnhá,tđêuquáđìnhk.Gôip=(i, ,k, ,j)l á môtđướngn gánnhá,tnô,iđìnhivớijquácácđìnhtrunggián

{1,2, ,k−1,k}.Khiđôđôán( i, k)vá(k, ,j)cu)ngpháil á c á c đư ớngđingánnhá,tquácácđìnhtrunggián{1,2, ,k−1}.

Tácô

d k−1 (i,k)+d k−1 (k,j)=d(p)<d k−1 (i,j)

(Bá,tđáEngthưccuô,i cungsuyrátưgiáthiê,tmôiđướngđinô,iđìnhiv ớijquácácđìnhtrunggián{1,2, ,k−1,k}cóchiêudáingánnhá, tđêuquáđìnhk).

Dôđôthêôcáchtìnhd k tácô:d k (i,j)=d k−1 (i,k)+d k−1 (k,j)=

d(p)

D0=

Tưm á tránD0,thêôthuáttôán,táxáydưngc á c má tránt i ê, p thêônhưsáu(cácôgáchdướicôgiátritháyđô2i)

Rô)rángnê,uđôthiláliênthôngmánhthìnôcu)ngláliênthôngyê,u,nhưngđiêungướcláilákhôngđung,nhưchìrátrôngvìdudướiđáy.

30

thôngmánh.D ô đôđôthiG là l i ê n thôngmánh,c ô n H l à l i ê n thôngyê,un

hưngkhôngláliênthôngmánh

CHƯƠNG3 M Ộ T VÀIL Ớ P ĐỒTHỊĐẶCBIỆT

– ChutrìnhEulêrc ô hướngl á chutrìnhcôhướngquámôi cungvámôiđìnhcuáđôthi,mô1icungkhôngđiquámôtlán

CHƯƠNG3 M Ộ T VÀIL Ớ P ĐỒTHỊĐẶCBIỆT

tácô:

Địnhlý3.1.2.[10]ĐồthịcóhướngliênthôngGlàđồthịEulerkhivà

chỉkhivớimọiđỉnhvcủaGđềucódeg+(v)=deg−(v).

Hệquả3.1.3

[10]ĐồthịcóhướngliênthôngGcóđườngđiEulercóhướngkhivàchỉkh itrongGcóhaiđỉnha,bthỏamãn:

deg−(a)=deg+(a)−1

deg−(b)=deg+(b)+1

Còncácđỉnhkhácđềucânbằngtức:deg+(x)=deg−(x)vớix∈V,

xƒ=a,xƒ=b

Kiểmtra1đồthịcóhướnglàEulerhaynửaEuler

– Đôthicôhướngliênthông.

(Tádê1dángkiê2mtráđướcđiêunáydưáváôm á tránc u á đôthiquáp

hán" 2.2.2Tìnhl i ê n thông

Tô2ngcácsô,sô,1trênhángb=Tô2ngcácsô,sô,1trêncôtb−1.Tô2ngcá csô,sô,1trênhángc=Tô2ngcácsô,sô,1trêncôtc=2.Tô2ngcácsô,sô,1 trênhángd=Tô2ngcácsô,sô,1trêncôtd−1.NênH3khôngláđôthi

EulêrcôhướngháynưáEulêrcôhướng

• ThuậttoánxâydựngchutrìnhEulercóhướng

Đô,ivớiđôthiliêncôhướngthôngyê,u,môiđìnhđêucôbánbácrábá;ngbánbácváô

Bước4:Tưdông3giôngđướcsángcôt6,tátháygiátri1cuádông3c ô t 6bá;ng0.

Bước5:Tưdông6giôngđướcsángcôt5,tátháygiátri1cuádông6c ô t 5bá;ng0.Đôngthớixôáluôndông6vácôt6vìtá,tcáđêucôgiátribá;ng0

Bước7:Tưdông2giôngđướcsángcôt3,tátháygiátri1cuádông2c ô t 3bá;ng0.Đôngthớixôáluôndông2vácôt2vìtá,tcáđêucôgiátribá;ng0.

Bước8:Cuô,icungtưdông3giôngđướcsángcôt1,tátháygiátri1cuádông3côt1bá;ng0.Đôngthớixôáluôndông1,côt1vádông3,côt3vìtá,tcáđêucôgiátribá;ng0

Nhưváy,trôngvìdutrênđá)tìmđước1chutrìnhEulêr:1 2 4 3 6 5 2 3 1

-3.2 Đồthịvòngc ó hướng

C n (n≥3)lámôtđôthicônđìnhv1,v2, ,v n vácôncánh(v1,v2),

(v2,v3), ,(v n−1 ,v n ),(v n ,v1).Vìdu:

Biê2udiê1nđôthicôhướngC3bằngmátránkêtướngưng:

0 1 0

0

0

.

thớigián4tháng.Bướcđáuđiváôthưctê,,tìmhiê2uvêlì)nhvưcnghiêncưukhôáhôc,kiê,nthưcc u á ê m c ô n hánchê,vác ô n nhiêubớ)ngớ).D ô váy,khôngtránhkhôinhư)ng

thiê,usôtláđiêuchácchán,êmrá,tmôngnhánđướcnhư)ngykiê,nđôngg ô p quybáuc u á quyTháyCôvác á c bánhôccungl ớ p đê2k i ê, n thưccuáêmtrônglì)nhvưcnáyđướchôánthiênhớn

[4]Nguyê1nHư)uViêt Hưng(2001),Đạisốtuyếntính,NXBQuô,cGiáHáNôi [5]PGS.TSKHTránQuô,cChiê,n(2005),Giáot r ì n h líthuyếtđồthị,

NXBĐá i HôcĐ á Ná]ng

6913/

[6]http://dôc.êdu.vn/tái-liêu/giáô-trinh-thiêt-kê-vá-dánh-giá-thuát-tôán-phán-i-967/

[7]http://táiliêu.tv/tái-liêu/giáô-trinh-tin-hôc-tu-cán-bán-dên-náng-cáô-[8]http://www.máth.hcmuns.êdu.vn/nvdông/Tôánrôirác/VII.Dôthi.pdf[9]http://www.sêárch-dôcumênt.côm/pdf/8/4/giái-dô-thi.html

[10]http://vi.scribd.côm/dôc/13817503/3/