Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất phương trình cho học sinh lớp 10

Tuy nhiên trong thực tế, các bài toán giải bất phươngtrình rất phong phú và đa dạng đòi hỏi các em phải vận dụng những kiến thức, kỹ năng một cách tổng hợp.. Trong các đề thi đại học, ca

Khãa luËn tèt Trêng §HSP Hµ Néi 2

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong Toán học nói chung và trong chương trình Toán ở nhà trườngphổ thông nói riêng, chủ đề về bất phương trình có một vị trí rất quan trọng.Theo Ăngghen thì Toán học nghiên cứu mối quan hệ số lượng và hình họckhông gian của thế giới khách quan Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữahai đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản Điều này nói lên vai trò quantrọng của phương trình và bất phương trình trong Toán học Kiến thức và kỹnăng về chủ đề bất phương trình có mặt xuyên suốt trong chương trình môntoán ở nhà trường phổ thông, đặc biệt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng

Trong chương trình Đại số lớp 10, các em học sinh đã được tiếp cậnvới các dạng bất phương trình cơ bản cũng như cách giải những dạng bấtphương trình cơ bản đó Tuy nhiên trong thực tế, các bài toán giải bất phươngtrình rất phong phú và đa dạng đòi hỏi các em phải vận dụng những kiến thức,

kỹ năng một cách tổng hợp Trong các đề thi đại học, cao đẳng các em họcsinh có thể gặp một lớp các bài toán về bất phương trình mà chỉ có một số íthọc sinh biết phương pháp giải nhưng trình bày còn chưa logic, chưa gọngàng sáng sủa, thậm chí còn mắc phải một số sai lầm không đáng có Vì vậy,bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về bất phương trình một cáchđầy đủ theo quy định của chương trình thì việc rèn luyện kỹ năng giải bấtphương trình cho học sinh cũng có một ý nghĩa rất quan trọng trong việc nângcao chất lượng dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông

Với mong muốn giúp các em học sinh có được những kỹ năng, kỹ xảocần thiết khi giải các bài toán về bất phương trình cũng như giúp bản thân cóđược kiến thức, kỹ năng vững vàng hơn về việc dạy học phần bất phương

trình sau khi ra trường, với những lý do trên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất phương trình cho học sinh lớp 10”.

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở tìm hiểu những vấn đề về bài tập toán học và kỹ năng giảibài tập toán học, khóa luận hệ thống lại những kiến thức cơ bản về bấtphương trình, từ đó xây dựng hệ thống bài tập về bất phương trình nhằm rènluyện và phát triển cho học sinh kỹ năng giải bài toán về bất phương trình.Thông qua đó nâng cao chất lượng và hiệu quả việc dạy học môn toán ở nhàtrường phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu kiến thức cơ sở về dạy học giải bài tập toán

Nghiên cứu những kiến thức liên quan đến bất phương trình

Xây dựng hệ thống bài tập về bất phương trình

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận, nghiên cứu tài liệu liên quan

Tổng kết kinh nghiệm

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán về bất phương trình

Phạm vi nghiên cứu: Trong dạy học bất phương trình theo chươngtrình Đại số lớp10 nâng cao

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận gồm

có hai chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận.

Chương 2 Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất phương trình

cho học sinh lớp 10

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bàitoán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó Như vậy bài toán có thể đồngnhất với một số quan điểm khác nhau về bài toán: Đề toán, bài tập…

1.1.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán

Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợpthành của một bài toán đó là: Sự đòi hỏi của bài toán và mục đích của bàitoán

1.1.3 Lời giải của bài toán

Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thựchiện để đạt tới mục đích đã đề ra

Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.Một bài toán có thể có:

Một lời giải

Không có lời giải

Nhiều lời giải

Giải một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lờigiải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải được bàitoán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải

1.2 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông

G.POLYA cho rằng “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quantrọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờmột cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng nhưtrong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh nhữngkiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức

độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? Đó

là biết giải toán”

1.2.1 Mục đích

Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là: Phát triển

ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những trithức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thànhcông cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt độngcũng như trong học tập hiện nay và sau này Làm cho học sinh nắm được mộtcách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toánhọc phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vậndụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào laođộng sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác

1.2.2 Vai trò

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệhiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác,giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Các-Mác nói “Mộtkhoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp củatoán học”

Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trítuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, Rèn luyệnnhững phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: Tính cẩn thận, chínhxác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo,

1.2.3 Ý nghĩa

Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố,

hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiếnthức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, làhình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu vàkhả năng vận dụng kiến thức đã học Việc giải bài tập toán có tác dụng lớntrong việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và gópphần giáo dục, rèn luyện con người cho học sinh về nhiều mặt Việc giải mộtbài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất nào đó mà thườngbao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên

1.3 Vị trí và chức năng của bài tập toán

1.3.1 Vị trí

Ở truờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với họcsinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Cácbài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và khôngthể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tưduy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt độnggiải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ởtrường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học

có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

1.3.2 Các chức năng của bài tập toán học

Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy họcđều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.Các chức năng đó là:

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học.

- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho họcsinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trìnhdạy học

- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thếgiới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niền tin và phẩmchất đạo đức của người lao động mới

- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duycho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê hình thành nhữngphẩm chất của tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy

và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiếnthức và trình độ phát triển của học sinh

Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộcvào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có củacác tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Ngườigiáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằngnăng lực sư phạm của mình

1.4 Phân loại bài toán

Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đượcmục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi

1.4.1 Phân loại theo hình thức bài toán

Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã chohay chưa để phân chia bài toán ra thành 2 loại:

- Bài toán chứng minh: Là bài toán trong đó kết luận của nó đã được

đưa ra một cách rõ ràng trong đề bài toán

- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn

trong đề bài toán

1.4.2 Phân loại theo phương pháp giải bài toán

Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này cóangorit giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại:

- Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó

theo một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó

- Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của

nó không theo một angorit nào hoặc không mang tính chất angorit nào

1.4.3 Phân loại theo nội dung bài toán

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuậtngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thànhcác loại khác nhau như sau:

Bài toán số học

Bài toán đại số

Bài toán hình học.

1.4.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán:Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào

đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy Ta có hai loại bài toán như sau:

- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay

sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kỹ năng nào đó

- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống

các kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tưduy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

1.5 Phương pháp tìm lời giải của một bài toán

Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặckhông có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất

cả các bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài

toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trongviệc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán.

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp chohọc sinh lời giải bài toán Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằnglàm thế nào để giải được bài toán Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh,phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung,phương pháp tìm lời giải cho một bài toán Theo G.POLYA, phương pháp tìmlời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:

1.5.1 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứngthú với việc giải bài toán đó Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ,kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toánmột cách tổng quát Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:

- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện.

- Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần).

- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt

các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?

1.5.2 Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đãcho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải vớimột bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơnhay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng nhũng phương pháp đặc thùvới từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựnghình, toán quỹ tích,

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệthóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giảihợp lí nhất

1.5.3 Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thànhmột chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện cácbước đó

1.5.4 Bước 4: Kiểm tra và Nghiên cứu sâu lời giải

- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải

một loại bài toán nào đó

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

1.6 Những kỹ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài tập toán

1.6.1 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giảicác bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh) Để thực hiện tốt môn toán ởtrong trường trung học phổ thông, một trong những yêu cầu được đặt ra là: Vềtri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức

có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng Chẳng hạn: Tri thức và

kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứngminh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm, Cần chú ý là tùy theo nộidung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm:Kiến thức, kỹ năng, phương pháp

Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổthông, theo lý luận dạy học môn toán cần chú ý: Trong khi dạy học môn toáncần quan tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diệnkhác nhau đó là:

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác

- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống

Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm

vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông

1.6.2 Sự hình thành kỹ năng

Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thốngphức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứađựng trong các bài tập Vì vậy, muốn hình thành kỹ năng cho học sinh, chủyếu là kỹ năng học tập và kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:

- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giảiquyết các đối tượng, các bài tập cùng loại

- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiếnthức tương ứng

Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thựctiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:

i, Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình phổ thông Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau:

ii, Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:

- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán

- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian

- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

iii, Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán, gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ thị 4i, Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính

cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp

CHƯƠNG 2 RÈN LYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP

VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10

2.1 Tầm quan trọng của chủ đề bất phương trình và mục đích yêu cầu dạy học bất phương trình

2.1.1 Tầm quan trọng của chủ đề bất phương trình

Khái niệm phương trình và bất phương trình là một trong những kháinệm quan trọng của toán học Theo Ăngghen thì toán học nghiên cứu mốiquan hệ số lượng và hình học không gian của thế giới khách quan Quan hệbằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất

cơ bản Điều này nói lên vai trò của phương trình và bất phương trình Đặcbiệt trong chương trình toán phổ thông nó là một trong những nội dung cơbản và vô cùng quan trọng, việc trình bày lý thuyết, bài tập phương trình vàbất phương trình một cách hợp lý là yêu cầu của cải cách giáo dục

Ngay từ bậc tiểu học học sinh đã được làm quen một cách ẩn tàng vớinhững phương trình và bất phương trình kể cả việc giải chúng (Chẳng hạn điền

số thích hợp vào ô trống □  3 , tìm số tự nhiên x sao cho

tổng

x  4  10 ).

Khái niệm bất phương trình được định nghĩa chính thức ở lớp 8 vàđược hệ thống lại ở lớp 10 Trong sách giáo khoa Đại số 10 có nêu hai vấn đềchính:

- Bất phương trình bậc nhất

- Bất phương trình bậc hai

Việc trình bày hệ thống đầy đủ hai loại bất phương trình trên có rấtnhiều ích lợi trong việc giải toán lớp 10 nói chung và là công cụ để giải toánchủ đề bất phương trình sau này: Giải bất phương trình bậc cao, bất phươngtrình vô tỷ, bất phương trình lượng giác, bất phương trình mũ, logarit, bất

phương trình quy về bậc nhất, bậc hai và một số loại toán khác như chứngminh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, khảo sát hàm số, …

2.1.2 Mục đích yêu cầu dạy học bất phương trình ở lớp 10.

Chính vì tầm quan trọng của chủ đề bất phương trình nêu trên mà việcdạy học bất phương trình ở lớp 10 cần đạt được mục đích yêu cầu sau đây:Học sinh nắm vững được cách giải bất phương trình bậc nhất, nắm vững định

lý về dấu tam thức bậc hai và áp dụng nó để giải bất phương trình bậc hai, bấtphương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, bất phương trìnhchứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, bất phương trình chứa ẩn trong dấu cănthức bậc hai Cụ thể:

- Về kiến thức: Học sinh nắm được khái niệm các dạng bất phươngtrình và nghiệm của các bất phương trình đó, cách giải mỗi dạng bất phươngtrình đồng thời củng cố đào sâu những kiến thức liên quan như định lý dấutam thức bậc hai, cách biểu diễn tập hợp, cũng như logic toán

- Về kỹ năng: Có kỹ năng giải từng dạng bất phương trình theo thuậtgiải, qui tắc nhất định, đồng thời biết vận dụng linh hoạt vào giải phươngtrình và bất phương trình qui về bậc nhất, phương trình và bất phương trìnhqui và bậc hai

- Về tư duy: Học sinh phát triển tư duy thuật giải khi thực hiện giải bấtphương trình, bên cạnh đó rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo, tínhquy củ, kỷ luật, kế hoạch trong công việc

2.2 Các dạng bất phương trình trong chương trình Đại số lớp 10

2.2.1 Bất phương trình bậc nhất

2.2.1.1 Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là nội dung mà học sinh đã đượclàm quen ở lớp 8 Tuy nhiên học sinh mới được giới thiệu giải những bài toánđơn giản với hệ số bằng số Lên lớp 10 học sinh được tổng kết lại những kiếnthức đã học, và hoàn thiện chúng, đi tới cách phát biểu tổng quát về khái niệm

bất phương trình bậc nhất một ẩn Học sinh được học về các phép biến đổi tương đương bất phương trình một cách cụ thể, sâu sắc.

* Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng :

ax  b  0 (hoặc ax  b  0 ; ax  b  0 ; ax  b  0 ) trong đó x là ẩn a, b là các số đã cho; a  0

* Bất phương trình tương đương

+ Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì

được một bất phương trình tuơng đương

+ Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổichiều của bất phương trình thì được một bất phương đương

Các phép biến đổi tương đương của phương trình, bất phương trìnhnhằm đưa các phương trình và bất phương ban đầu về phương trình và bấtphương trình đã biết cách giải

* Dấu của nhị thức bậc nhất: Nhị thức f (x)  ax  b , với a  0

b

Cùng dấu với a khi x lớn hơn nghiệm

Trái dấu với a khi x nhỏ hơn nghiệm Bảng xét

dấu:

x0  

a

x   b0

a

* Phương pháp giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn:

Giải và biện luận bất phương trình: ax  b  0

Phương trình được viết lại dưới dạng: ax  b (1)

thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  R

thì bất phương trình vô nghiệm

+ Nếu a  0 thì (1)  x   b Vậy tập nghiệm của bất phương trình

Với a  0: Tập nghiệm của bất phương trình là T   ; b 

có nghĩa là số chia phải khác 0 và quy tắc chia hai vế của bất phương trìnhcho một số âm là phải đổi chiều bất phương trình

Vậy giáo viên phải hướng dẫn các em phân chia các trường hợp của

m  1 thì nghiệm của bất phương trình là

m  1 thì nghiệm của bất phương trình là

Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

Nghiệm của các bất phương trình dạng ax + by > c, ax + by ≤ c,

ax + by ≥ c cũng được định nghĩa tương tự.

* Ví dụ: Xét bất phương trình x  2y 1.

Khi thay x  0; y  1 vào vế trái của bất phương trình này thì vế trái

có giá trị nhỏ hơn vế phải của nó, vậy bộ hai số  x; y   0;

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng

* Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by < c được gọi là miền nghiệm của bất phương

trình đó

Người ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng (d): ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by > c, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by < c.

Từ đó, suy ra:

Nếu (x0; y0) là một nghiệm của bất phương trình: ax + by >

c (hay ax + by < c) thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M(x0; y0) chính là miền nghiệm của bất phương trình đó

Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c, ta có

quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm)như sau:

Bước 1 Vẽ đường thẳng (d): ax  by  c .

Bước 2 Xét một điểm M(x0; y0) không nằm trên (d).

Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

Bước 2:Lấy điểm O(0;0).

Bước 3: Thay O(0;0) vào bất phương trình ta có: 0-0<1.

chứa điểm O(0;0)



* Khái niệm về tam thức bậc hai:

Tam thức bậc hai là một biểu thức có dạng: ax2  bx  c với a  0

Ví dụ: 3x2  4x  7

; 2x2  5x 10 ; mx2  x  m là những tam thức bậc hai

* Chú ý: Cần phân biệt rõ hai khái niệm tam thức bậc hai và phương trình bậc

hai: ax2  bx  c; a  0 (tam thức bậc hai)

ax2  bx  c  0; a  0 (phương trình bậc hai)

* Xét dấu tam thức bậc hai:

Xét dấu 1 tam thức bậc hai là đi tìm những giá trị của x sao cho:

+ Nếu   0 ; tam thức f (x) cùng dấu với a hoặc bằng 0 với mọi giá trị

  0 : f (x) cùng dấu với a với mọi x

  0 : f (x)

cùng dấu với a với mọi

* Phương pháp giải bất phương trình bậc hai:

Cách giải:

Theo cách giải đã nêu trong sách giáo khoa: Muốn giải bất phươngtrình bậc hai:

ax2  bx  c  0( 0)(a  0) ta làm như sau:

Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái ax2  bx  c

Chọn những giá trị x làm cho vế trái âm hay dương tùy theo chiều của bất phương trình

Chú ý: Có khi ta phải giải những bất phương trình dạng: ax2

Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh đi xét các khả năng lớn

hơn hay nhỏ hơn giữa hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x) là nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình là:

Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng

có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương Khi sử dụng phép biến đổitương đương cần chú ý :

Tích (thương) của hai số cùng dấu là số dương Tích (thương) của hai số trái dấu là số âm

* Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: ( x3  27)( x3  1)(2 x  3  x2 )

Những sai lầm thường mắc phải:

+ Ngoài những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải khi đi xét dấu của

biểu thức f(x) học sinh có thể sẽ mắc phải sai lầm là biến đổi bất phương trình

(2) bằng cách nhân chéo biểu thức ở 2 vế chẳng hạn như:

2.2.4 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Với dạng toán này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấugiá trị tuyệt đối

5

Ta nhớ lại rằng: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó nếu biểu thức không âm, bằng số đối của nó nếu biểu thức âm.

Các phương pháp để khử dấu giá trị tuyệt đối:

+ Sử dụng phép biến đổi tương đương bằng định nghĩa giá trị tuyệt

+ Sử dụng phép biến đổi tương đương bằng tính chất của giá trị tuyệt

+ Sử dụng phép biến đổi tương đương bình phương hai vế của biểu

Khi thực hiện khử dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức cần xét xemgiá trị của biến làm cho biểu thức âm hay không âm

Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức bậc nhất tacần nhớ định lí sau :

* Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax  b a  0 :

Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.Việc sử dụng dấu nhị thức bậc nhất để giải bất phương trình chứa dấugiá trị tuyệt đối được gọi là phương pháp chia khoảng Ngoài ra, trong một sốtrường hợp , có thể giải nhanh hơn cách dùng phương pháp chia khoảng nóitrên bởi các biến đổi tương đương sau :

* Dạng 1:

Với a là số dương , ta có: f ( x)  a  a  f (x)  a

f (x)  g(x)  g (x)  f (x)  g (x)

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là

Cách 2:( Phương pháp biến đổi tương đương)

2.2.5 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai

* Khái niệm: Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai với các

* Phương pháp biến đổi tương đương:

Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa

và các phép biến đổi tương đương của bất phương trình nhằm đưa các bấtphương ban đầu về bất phương trình đã biết cách giải

Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = 10

f ( x)

x2  2x

* Lưu ý:

i, Với các bất phương trình có chứa tham số ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cần)

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương chuyển bất phương trình về hệ bất phương trình đại số, từ đó xác định nghiệm x.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện cho nghiệm x tìm được

g(x) rồi bình phương 2 vế đưa bất phương trình

Là phương pháp đặt ẩn số phụ cho bài toán để đưa bất phương trình vềdạng đơn giản hơn đã biết cách giải Đối với phương pháp này khi thực hiệnđặt ẩn phụ cho bài toán cần chú ý đến các điều kiện của ẩn

f (x) bậc 2 theo x ta có: