Rèn luyện các kỹ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh lớp 10

đầy đủ nghiệm hoặc tìm cách giải sáng tạo dễ hiểu hoặc cách giải độc đáo.Từ những lí do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài : “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC S

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

MỤC LỤC

Mở đầu……… 1

1 Lí do chọn đề tài ……… 1

2 Mục đích nghiên cứu……… 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu……… 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… 2

5 Phương Pháp nghiên cứu……… 2

Nội dung……… 3

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn……… 3

1.1 Cơ sở lí luận……… 3

1.1.1 Dạy học giải bài tập……… 3

1.1.1.1 Khái niệm….……… 3

1.1.1.2 Vai trò của bài tập toán học……… 3

1.1.1.3 Các yêu cầu đối với lời giải……… 5

1.1.1.4 Dạy học phương pháp chung để giải bài toán……… 6

1.1.1.5 Khai thác bài toán ……… 14

1.1.2 Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh……… 14

1.1.2.1 Khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải toán……… 14

1.1.2.2 Một số kỹ năng thường sử dụng khi giải bài tập toán 16

1.2 Cơ sở thực tiễn……… …… 19

Chương 2 Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh lớp 10 ……… 22

2.1 Mục tiêu, nội dung dạy học giải bài tập về hệ phương trình đại số 10- nâng cao……… 22

2.2 Các phương pháp giải bài tập hệ phương trình……… 23

2.2.1 Phương pháp sử dụng định thức cấp 2……… 23

2.2.2 Phương pháp thế……… 24

2.2.3 Phương pháp cộng đại số……… 25

2.2.4 Phương pháp đặt ẩn phụ……… 27

2.2.5 Phương pháp đưa về dạng tích……… 30

2.2.6 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số……… 32

2.3 Các dạng hệ phương trình……… 33

2.3.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn……… 33

2.3.2 Hệ đối xứng loại (kiểu) I……… 35

2.3.3 Hệ phương trình đối xứng loại II………42

2.3.4 Hệ phương trình đẳng cấp……… 49

2.4 Hệ thống các bài tập vận dụng……….53

Kết luận……… 63

Tài liệu tham khảo……… 65

LỜI CẢM ƠN

Với tấm lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành cảm ơn cô giáo

Th.s Đào Thị Hoa đã hướng dẫn em một cách tận tình, chu đáo trong

suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoaToán đã tạo điều kiện cho em thực hiện tốt luận văn này

Cuối cùng xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn bè đã giúp đỡ, hỗtrợ và động viên giúp tôi hoàn thành tốt luận văn này

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Văn Lễ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng khóa luận này là kết quả nghiên cứu tìm tòicủa riêng tôi và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và thamkhảo các tài liệu Kết quả nghiên cứu này không hoàn toàn trùng với bất

cứ công trình nghiên cứu nào từng được công bố

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Văn Lễ

Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chươngtrình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vàolớp 10, thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng Mặc dù học sinhđược cọ xát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúngtúng trong quá trình tìm ra cách giải Nguyên nhân là vì

Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó,đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiếnthức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện

Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tàiliệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưadựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết,định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về hệ phương trình

Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thóiquen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bàitoán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổimột chút là đã gây khó khăn cho các em

Tình hình chung của học sinh lớp 10 hiện nay khi gặp các bài toán nàythường là thoả mãn ngay sau khi đã tìm được cách giải mà không tìm

đầy đủ nghiệm hoặc tìm cách giải sáng tạo dễ hiểu hoặc cách giải độc đáo.

Từ những lí do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài :

“ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 ”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Hệ thống hóa các dạng toán và các phương pháp giải tương ứng về hệphương trình, xây dựng hệ thống bài tập về hệ phương trình cho lớp 10nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả của công việc dạy học toán ở phổthông

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu cơ sở lí luận về việc hướng dẫn học sinh giải các bài tập toán

- Tìm hiểu mục tiêu và nội dung dạy học hệ phương trình trong sách giáokhoa lớp 10

- Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh:

Hệ thống những kiến thức cơ bản các phương pháp giải bài tập về hệphương trình, xây dựng hệ thống bài tập về hệ phương trình

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng: Hệ phương trình

- Phạm vi nghiên cứu: Đại số 10 nâng cao

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu lí luận

- Quan sát điều tra

- Tổng kết kinh nhiệm

NỘI DUNGCHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Dạy học giải bài tập toán là ngoài việc cung cấp cho học sinh lờigiải bài toán, giáo viên phải dạy học sinh biết làm thế nào để giải đượcbài toán Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy,thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phươngpháp tìm lời giải cho một bài toán

1.1.1.2 Vai trò của bài tập toán học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Điều căn bản

là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bàitập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhậndạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, nhữnghoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trongToán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ (xemmục 5 chương III, [11tr97]) Chương IV đã cho thấy hoạt động của họcsinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vìvậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện cả trên 3 bình diện này:

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường

phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động

đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập thể hiện chứcnăng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học mônToán, cụ thể là:

● Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khácnhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

● Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

● Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành nhữngphẩm chất đạo đức của người lao động mới

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là

giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phươngtiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào

đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá

mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên

cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bàitập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động vàbằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo được thực hiện độlập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ýkhác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợiđộng cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt là

về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy

và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh.Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.

1.1.1.3 Các yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vữngyêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt Nóinhư vậy bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng quá cô đọng Để thuận tiệncho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học vàđánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa yêu cầu, đương nhiên phải chấpnhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:

(i) Kết quả đúng, kể cả ở những bước trung gian

Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức, một hàm

số, một hình vẽ…thỏa mãn các yêu cầu để ra Kết quả các bước trunggian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chưa những sai lầmtính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức…

(ii) Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau :

● Luận đề phải nhất quán

● Luận cứ phải đúng

● Luận chứng phải hợp logic

(iii) Lời giải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không bỏ xót một trường hợp, mộtchi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không được thiếunghiệm, phân chia trường hợp không thiếu một khả năng ……

Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếpcác yếu tố (chữ ,số, hình, kí hiệu…) trong lời giải.

(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.Ngoài các yêu cầu từ (i)-(v), cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiềucách giải cho cùng một bài toán, phân tích so sánh những cách giải khácnhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời giải đã tìmđược

(vii) Nghiên cứu lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lậtngược vấn đề

Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) là các yêu cầu cơ bản (v) là yêu cầu về

mặt trình bày, còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.

1.1.1.4 Dạy học phương pháp chung để giải bài toán

a Phương pháp chung để giải bài toán

Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giảimọi bài toán Đó là điều ảo tưởng Ngay cả đối với những lớp bài toánriêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải Tuynhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi các suy nghĩ tìm tòi, pháthiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết

Dựa trên tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết củaPolya(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thựctiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

● Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bàitoán

● Phân biệt cái đã cho và cái cần tìm, phải chứng minh

● Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả

đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

● Tìm tòi, phát hiện cách giải những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh,liên hệ cái đã cho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên

hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợpriêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán có liên quan,

sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minhphản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích v.v

● Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiên hoặcđặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một sốtri thức có liên quan…

● Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cáchgiải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành mộtchương trình gồm các bược theo một trình tự thích hợp và thực hiện cácbước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

● Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

● Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngượcvấn đề

Sau đây là ví dụ minh họa

Ví dụ Chứng minh rằng các tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì

nằm trong một tam giác đều tới ba cạnh của tam giác đó là một hằng số

Ta có hình minh họa sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bước toán này có thể phát biểu cụ thể như sau :

Cho một tam giác đều ABC Gọi M là một điểm nằm trong tam giác

đó Kí hiệu các hình chiếu của M trên ba cạnh của AB, BC, CA lần lượt

là H, I, K Chứng minh rằng MH +MI +MK không đổi dù cho ta lấy M ở

vị trí nào trong tam giác

Để chứng minh tổng MH+MI+MK = h, người ta thường nghĩ tới sắpđặt ba đoạn thẳng này liên tiếp trên một đường thẳng nào đó để tạo thànhmột đoạn thẳng có độ dài h Nhứng vị trí thay đổi của ba đoạn thẳng nàytren hình vẽ khi M di chuyển trong tam giác ABC cho thấy điều đó khóthực hiện đối với bài toán này

Một hướng khác là có thể biểu thị h qua những đại lượng không đổikhác Cho trước một tam giác đều không chỉ đường cao mà cả diện tích

S, cạnh a…của tam giác đó cũng không đổi Ý nghĩ mối liên hệ giữaMH+MI+MK với diện tích gợi ra sự liên tưởng tới đẳng thức sau đâydt(D MAB) + dt(DMBC) + dt(DMAC)

1 a.MK

=

1 a.h

MK)

=

1 a.h2

Do đó: MH+MI+MK = h

Để kiểm tra lời giải, trước hết ta thử lại hằng số MH+MI+MK ở một

vị trí đặc biệt khác, chẳng hạn lấy M là giao điểm của 3 đường cao, đồngthời là 3 trung tuyến của tam giác đều

Khi đó MH = MI = MK = 1 h , do đó MH+MI+MK = h

3Mặt khác, có thể trả lời bằng cách già soát lại từng mắt xích chứngminh

Bước 3: Trình bày lời giải

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 10

Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác đều ABC, hình chiếu của Mtrên ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là H, I, K Kí hiệu cạnh và đường caocủa tam giác đó lần lượt là a và h, ta có :

1 a.MK

=

1 a.h

1 a.h

Do đó : MH+MI+MK = h

Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ tổng MH+MI+MK không đổi dù cho talấy M ở bất kì vị trí nào trong tam giác

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Từ bài toán trong ví dụ này có thể phát biểu và giải những bài toán kháiquát hoặc mở rộng sau đây:

(i) Mở rộng ra trường hợp tam giác đều: Chứng minh rằng tổng khoảngcách từ một điểm bất kì nằm trong một đa giác đều tới các cạnh của đagiác đó là một hằng số

(ii) Mở rộng ra trường hợp đa giác lồi có các cạnh bằng nhau: Phân tích

kĩ lời giải, ta thấy kết quả trên không đòi hỏi đa giác bắt buộc phải là đagiác đều, và bài toán trên có thể mở rộng cho trường hợp đa giác lồi cạnhbằng nhau

(iii) Mở rộng ra trường hợp tứ diện đều: Chứng minh rằng tổng cáckhoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong một tứ diện đều tới các mặtcủa tứ diện đó là hằng số

b Bản gợi ý áp dụng phương pháp chung giải toán

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C 11

Trong quá trình dạy học phương pháp chung giải toán cần có nhữnggợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lờigiải Sau đây là một bản gợi ý, về căn bản dựa theo Polya (1975), có điều

chỉnh cho phù hợp cới cấu trúc phương pháp chung được trình bày trongmục a:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

● Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thỏa mãn điềukiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay mâuthuẫn?

● Hãy vẽ hình hay sử dụng kí hiệu thích hợp

● Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả cácđiều kiện đó thành công thức hay không ?

sử dụng phương pháp gải bài toán đó Có cần phải dựa thêm một

số yếu tố phụ thì mới áp dụng bài toán đó hay không?

● Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một các khácnữa? Quay về những định nghĩa

● Nếu bạn chưa giải được bài toán đề đã ra thì hãy thử giải một bàitoán có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quáthơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thểgiải một phần bài toán hay không? Hãy giữa lại một phần điềukiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìm được xác định đến

chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ racác điều kiện khác có thể giúp bạn xác định cái cần tìm haykhông? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếucần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gầnnhau hơn không ?

● Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điềukiện hay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toánchưa?

● Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấymỗi bước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giảibài toán hay không ?

● Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trựctiếp ngay kết quả không?

● Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó đểtìm ra lời giải ngắn gọn và hợp lý nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

● Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ởbước 2

● Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoánphát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh nhữngchỗ cần thiết

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toántương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác haykhông ?

c Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán

Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụngđược phương pháp chung để giải bài toán vào việc giải những bài toán

cụ thể mà họ gặp trong chương trình Học phương pháp chung để giảitoán không phải là học một thuật giải mà học là học kinh nghiệm giảitoán mang tính chất tìm tòi, phát hiện Nói chung, cách thức dạy học sinhphương pháp chung để giải bài toán như sau:

● Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để họcsinh nắm được phương pháp chung 4 bước (xem phần a) và có ýthức vận dụng 4 bước này trong quá trình giải toán;

● Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho họcsinh những câu hỏi gợi ý (xem phần b) đúng tình huống để họcsinh dần dần biết sử dụng tìm những câu hỏi này như nhữngphương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện đểthực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán Những câuhỏi này lúc đầu là do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh tựnêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mìnhtrong quá trình giải toán

Như vậy, quá trình học sinh phương pháp chung giải toán là một quátrình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nhiệm giảitoán của bản thân mình thông qua việc giải toán của bản thân mình thôngqua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán

đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏilao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo

” Tìm được cách giải một bài toán là một pháp minh’ (Poolya 1975)

1.1.1.5 Khai thác bài toán

- Mục tiêu :

+ Khai thác bài toán giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán, tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng tạo.

+ Từ việc khai thác và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay

được hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng

phong phú.

- Nội dung :

Một số phương pháp khai thác bài toán:

● Tìm nhiều cách giải cho một bài toán

● Phát triển hệ thống bài toán:

+ Tìm bài toán tương tự bài toán đã biết

+ Xây dựng hệ thống bài toán dự trên việc xét bài toán đảo

1.1.2 Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

1.1.2.1 Khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải toán

- “Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn.

Trong đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thựchiện một việc gì” [3, tr548]

Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả mộthành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện xác định.Nếu tạm thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng từng các tri thứcthuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộcphạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”

Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần

là thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng”

Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ởmỗi người để đạt được mục đích Kỹ năng còn có thể được đặc trưngnhư một thói quen nhất định và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm việc

có phương pháp

“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiệncác chứng minh đã nhận được Kỹ năng trong toán học quan trọng hơnnhiều so với kiến thức thuần túy, so vói thông tin trơn” [14, tr.99]

Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thưòng gặp khó khăn khivận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinhkhông nắm vừng kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trởthành cơ sở của kỹ năng Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹnăng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho họcsinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sángtạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vậndụng vào thực tiễn Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổthông là: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất,nhà trường gắn liền với xã hội”

- “Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học đểgiải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)” [4, tr.12]

- Để thực hiện tốt môn toán ở trong trường trung học phổ thông, mộttrong những yêu cầu được đặt ra là:

“Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặcbiệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng.Chẳng hạn: tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình,tri thức và kỹ năng chúng minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duyhàm ” [11, tr.41]

Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có nhừng yêu

cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau.

1.1.2.2 Một số kĩ năng thường sử dụng khi giải bài tập toán

Môn toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạtđộng trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quáthóa Do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệnày Và đó chính là những kĩ năng cần thiết cho việc rèn luyện kĩ nănggiải bài tập toán, cụ thể :

- Phân tích là tách (trong tư tưởng) một số hệ thống thành những

vật,tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ

- Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một

vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống Phân tích và tổng hợp là haihoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trìnhthống nhất Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy.Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích vàtổng hợp

- Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặcđiểm không bản chất Đương nhiên, sự phân biệt bản chất với không bảnchất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phục thuộc mục đích hành động

- Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tậphợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểmchung của các phần tử trong tập hợp xuất phát Như vậy, ta thấy ngayrằng trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa

Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trongmôn Toán, học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa ,

so sánh do đó có điều kiện rèn luyện cho họ những hoạt động trí tuệnày

Những kỹ năng trên có thể được minh họa qua ví dụ sau:

Ví dụ Tìm công thức tính sin3x theo những hàm số lượng giác của

đối số x

Giải

Đầu tiên, hoạt động phân tích làm biến đổi sin3x thành sin(2x+x).Sựphân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin3x vớicông thức sin(a+b)= sina.cosb + sinb.cosa

Việc khớp trường hợp riêng sin(2x+x) vào biểu thức tổng quát sin(a+b)

là một sự khái quát hóa; việc này thể hiện nhờ trừu tượng hóa, nêu bậtcác đặc điểm bản chất “hàm số sin”, “đối số có dạng tổng hai số” vàtách chúng những đặc điểm không bản chất như “ một số hạng của tổnggấp đôi số hạng kia” Tiếp theo khái quát hóa là việc đặc biệt hóa côngthức sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa cho trường hợp: a= 2x, b= x, để điđến công thức: sin(2x+x)= sin2x.cosx+ sinx.cos2x Hoạt động phân tíchlại diễn ra khi tách riêng sin2x và cos2x trong công thức biến đổi thành:sin2x = 2sinx.cosx; cos2x = cos2x-sin2x Từ đó dẫn tới biến đổi vế phảithành 3sinx.cos2x- sin3x

Cuối cùng việc liên kết biểu thức xuất phát sin3x với kết quả biến đổi3sinx.cos2x - sin3x là một sự tổng hợp dẫn tới:

sin3x = 3sinx.cos2x – sin3x

Quá trình tư duy vừa trình bày có thể minh họa bằng sơ đồ (hình 1)

Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới có ở dạng tiềm năng.Nếu người thầy giáo có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho họcsinh thì ở những lúc thích hợp có thể kích thích việc thực hiện nhữnghoạt động này bằng những câu gợi ý như:

● Hãy viết sin3x dưới dạng thích hợp với một số công thức biến đổilượng giác nào đó? (kích thích phân tích , khái quát hóa)

● Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thứcsin(2x+x)(khuyến khích đặc biệt hóa )

Hình 1

1.2 Cơ sở thức tiễn

Thực trạng của việc dạy học giải hệ phương trình hiện nay:

* Thuận lợi:

- Ngay từ cấp 2 học sinh đã được làm quen với hệ phương trình

vì vậy mà học sinh cũng đã nắm được một lượng kiến thức nhất định về

hệ phương trình nên khi bước vào học các em không bị bỡ ngỡ

- Ngày nay công nghệ thông tin ngày càng phát triển vì vậy mànguồn tài liệu về hệ phương trình khá phong phú và đa dạng vậy nên họcsinh có thể tự sưu tầm và tự học về hệ phương trình một cách chủ động

- Do tài liệu về hệ phương trình khá phong phú và từ nhiềunguồn nên các em cũng gặp khó khăn có thể phân loại lựa chọn nhữngkiến thức nào cần thiết và kiến thức nào không cần thiết

Vì vậy cần có những cách giúp các em hệ thống hóa kiến thức mộtcách khoa học hợp lí và để các em rèn luyện thành thục về hệ phươngtrình giúp các em hình thành kĩ năng và biến nó trở thành mảng kiếnthức bền vững của các em để phục vụ cho sau này khi cần dùng là cóngay

Phân tích Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia

hai vế phương trình thứ nhất cho

Thông thường sau khi tìm ra nghiệm của hệ phương trình các em sẽcảm thấy thỏa mãn, mà không chủ động tìm xem bài toán có còn phươngpháp giải khác nào không hay liệu có bài toán tổng quát cho dạng bàinày không và chuyển sang bài toán mới Cụ thể như trong ví dụ trên thìchúng ta có bài toán tổng quát và cách giải cho dạng bài trên cụ thể:

 m  dy

Dấu hiệu nhận ra dạng bài thông qua hệ số a, b dựa vào (2)

+ Xét điều kiện của x, y ta sẽ chỉ ra x>0 , y>0.

+ Ta chuyển bài toán về dạng tổng quát Chia các vế của 2 phươngtrình của hệ phương trình cho các căn thức để chuyển về dạng tổng quát.Tiếp theo đó ta thực hiện cộng và trừ 2 vế của 2 phương trình của hệ đểhình thành hệ mới Rồi nhân vế với vế của 2 phương trình mới ta sẽ lậpđược phương trình đẳng cấp bậc 2 từ đấy ta suy ra được mối quan hệgiữa x, y

+ Cuối cùng thay y theo x vào 1 trong những phương trình trong hệmới tìm được ta sẽ tìm được x, y

Để học sinh có thể chủ động trong việc tìm ra những lời giải hay chocác bài toán về hệ phương trình bằng các phương pháp khác nhau thì đòihỏi các em phải nắm vững kiến thức và hệ thống các bài tập về hệphương trình Vì vậy đây là vấn đề mà đề tài sẽ đề cập tới



CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN

VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10

2.1 Mục tiêu, nội dung dạy học giải hệ phương trình đại số 10 nâng cao

- Mục tiêu:

● Kiến thức :

+ Cung cấp các kiến thức về tập hợp logic

+ Nắm vững kiến thức khái niệm các dạng hệ phương trình,tập nghiệm và ý nghĩa hình học của chúng

+ Hiểu rõ phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, phương

pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số trongviệc giải hệ phương trình

+ Nắm vững công thức giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩnbằng định thức cấp 2

● Kĩ năng:

+ Giải thành thạo hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, hệ phươngtrình bậc nhất 3 ẩn, hệ phương trình đối xứng loại I, hệ phương trình đốixứng loại 2, hệ phương trình vế trái đẳng cấp bậc 2

+ Biết cách giải và biện luận hệ phương trình có tham số.+ Rèn luyện tư duy cho học sinh, bồi dưỡng tính linh hoạtsáng tạo

+ Bồi dưỡng phẩm chất đạo đức tính cần cù, thói quen tự học

- Nội dung :

+ Hệ thống hóa các khái niệm và các phương pháp về các hệphương trình cơ bản

+ Hệ thống các bài tập về hệ phương trình, cách giải các bài tập

về hệ phương trình và nghiên cứu 1 hệ phương trình có bao nhiêu cáchgiải, một phương pháp giải có thể dùng giải những dạng hệ phương trìnhnào

2.2 Các phương pháp giải bài tập hệ phương trình

2.2.1 Phương pháp sử dụng định thức cấp 2

* Cơ sở phương pháp: Sử dụng định thức về hệ số của các phương

trình trong hệ phương trình để tìm ra nghiệm của hệ phương trình

* Nhận dạng: Trong phạm vi lớp 10 phương pháp này thường hay

sử dụng để giải các bài hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

- Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn theo định thức có các bước

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x,y)=(1,1).

2.2.2 Phương pháp thế

* Cơ sở phương pháp: Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một

phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại

* Nhận dạng: Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ

có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó

   

* Cơ sở phương pháp: Kết hợp các phương trình trong hệ bằng các

phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việcgiải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau

* Nhận dạng: Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng

loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k





3x3  x2  2  0  x 1

2  1y

2  1x

3xy  x  y  0 Do đó trường hợp 2 không xảy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)

t  1

,

t

0

x

này vô nghiệm do điều kiện)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1)

2.2.4 Phương pháp đặt ẩn phụ

* Cơ sở phương pháp: Tùy thuộc vào dạng phương trình của bài

toán và các đặc điểm đặc biệt của bài toán thì ta mới có thể đặt ẩn phụnhằm đưa bài toán về dạng đơn giản không chứa những thành phần cồngkềnh

Chú ý

+ Nếu hệ phương trình có nghiệm là (x, y) thì do tính đối xứng,

hệ cũng có nghiệm là (y,x) Do vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều

a   , b  

1;  ;  3 5

; 3 25

Điều kiện :