Phương pháp hình học tổng hợp và phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình toán ở TH

Trongchươngtrìnhtoántrunghọcphổthông,việcđưamộtsốyếut ốhình họcgiảitíchvàotrongchươngtrìnhTHPTlàmộttrongnhữngđiềuphùhợpvớ iquanđiểmsửdụngrộngrãiphươngphápđạisốđểnghiêncứuhìnhhọc.Nóđãt ạo

KhoaToán Luậnvăntốtnghiệpđạihọc

Trang1PhạmVănGia

Cuốicùng,emxingửiđếngiađình,bạnbè,nhữngngườithânđãdànhchoemnhữ ngtìnhcảmtốtđẹp,đãgiúpđỡ,độngviênemtrongsuốtkhóahọclòngbiếtơnchânthànhnh ất!

Mặcdùđãcốgắnghoànthànhluậnvănvớitấtcảnhữngnỗlựccủabảnthân,nhưngl uậnvănc h ắcchắnkhôngthểtránhkhỏinhữnghạnchế,nhữngthiếusót.Kínhmongnhận đượcnhữngýkiếnđónggópcủaquýThầy,Côgiáo,c á c bạnsinhviênvànhữngaiquantâ mđếnnộidungđềcậptrongluậnvănnày.

Xinchânthànhcảmơn!

HàNội,ngày20/05/2007

Ngườithựchiện

PhạmVăn Gia

Phầnmởđầu

1 Lờicảmơn 01

2 Mụclục 02

3 Lờinóiđầu 04

Phần nộidung Chương1:mộtsốkiếnthứcchuẩn bị 1 Phươngphápđạisố 06

1.1.ĐườngElip 06

1.2.ĐườngHypebol 07

1.3.ĐườngParabol 09

2 Phươngpháphìnhhọctổnghợp 10

2.1.ĐườngElip 10

2.2.ĐườngHypebol 12

2.3.ĐườngParabol 13

Chương2 phươngphápđạisốvàphươngpháphìnhhọctổnghợpvớim ộtsốbài toán vềcácđườngconic 1.Phươngphápđạisố 15

1.1 Tiếptuyếncủa3đườngconic 15

1.2 Cácbàitoánthiếtlậpcácđườngconic 20

1.3 Mộtsốbàitoángiảitíchkhác 23

2.Phươngpháphìnhhọctổnghợp 25

2.1 Tiếptuyếncủa3đườngconic 26

2.2 Đườngthẳngtiếpxúcvới1coniccốđịnh 33

PHụLụC :tổchứcngoại khóachohọcsinh vềxây dựngđịnhnghĩacácđườngcônic

1 Mụcđích 40

2 Nộidung 40

3 Chuẩnbị 40

4 Cácbướctiếnhành 41

5 Tổngkết 43

Phầnkếtluận 1.Kếtluận 44

2.Tàiliệuthamkhảo 46

Hìnhh ọclàm ộtp h ầnr ấtquantrọngcủatoánhọc.Tronghìnhh ọc,phư ơngphápđạisốđượcnghiêncứuvàsửdụngrộngrãi,nótỏrađ ặ cbiệtcóhiệuq uảkhiđãđạisốhóahìnhhọc,đemcácyếutốcủah ì n h họcchuyểnsangđạisố Đâycũnglàmộtxuthếpháttriểngiáod ụctrêntoànthếgiới.

Trongchươngtrìnhtoántrunghọcphổthông,việcđưamộtsốyếut ốhình họcgiảitíchvàotrongchươngtrìnhTHPTlàmộttrongnhữngđiềuphùhợpvớ iquanđiểmsửdụngrộngrãiphươngphápđạisốđểnghiêncứuhìnhhọc.Nóđãt ạocơhộitốtđểhọcsinhcóthêmcôngcụmớiđểdiễnđạt,suyluận,đểlàmtoán,t hoátlyđượcnhữngảnhhưởngkhôngcólợichotrựcgiác.

ởtrunghọcphổthông,cácđườngconicđãđượcnghiêncứubởiphươn gpháptọađộquenthuộc.Tuynhiên,nếutachỉnghiêncứucácđườngconicdư ớigócđộhìnhhọcgiảitíchthìhọcsinhsẽgặpnhiềukhiếmkhuyếtvềh ì n h ản htrựcquanc ủacácđườngconicv ốnl à m ô h ì n h thườnggặptronghìnhhọctổ nghợp.

Dovậy,đểbổkhuyếtchonhữngnhượcđiểmởhọcsinhTHPT,thìm ặtngô nngữtrừutượngc ủaphươngphápđạis ốvàhìnhảnhtrựcquanthườnggặptr

o ng hìnhhọctổnghợpcầnđượcđặtram ộtcáchđầyđủhơn.Giảiquyếtđư ợcvấnđề nàysẽcónhiềuýnghĩatronglíluậnvàthựctiễndạyhọcởcáctrường THPThiệnnay.Vớinhữnglídoấy,emquyếtđịnhchọnđềtàinghiêncứulà:” P hươngpháphìnhhọc

Toánởtrunghọcphổthông”.

Khóaluậnnàytrìnhbàyvềviệcsửdụng2phươngpháp:đạisốvàh ì n h họ ctổnghợpđểnghiêncứuvềđịnhnghĩavàcáctínhchấtcủabađườngconic.Nội dungcủakhóaluậnbaogồm2chươngvà1phụlục:

Chương1 :Phầnm ộtsốkiếnthứcchuẩnbịvềconicđượct r ì n h bày

bằngphươngphápđạisốvàđượcbổsungchocácđịnhnghĩa,tínhchấtbằ ngphươngpháphìnhhọctổnghợp.

HàNội,tháng5năm2007

Sinhviênthựchiện

PhạmVănGia

ChohaiđiểmcốđịnhF1v àF2,vớiF1F2= 2 c(c>0).

ĐườngeliplàtậphợpcácđiểmMsaochoMF1+MF2=2atrongđóalà1sốchotrướclớnhơnc

 1

a2 b2

ĐiểmFgọilàtiêuđiểmc ủ a Parabol.

Đườngthẳnggọilàđườngchuẩncủaparabol

KhoảngcáchtừFđếnđượcgọilàthamsốtiêucủaparabol

1 2

I M

2 1

1 2 2

M H

phângiáctrongcủagóc HMF

Chứngminh

p

y

MH

(d):y0.y=p(x0+x).GọiE=dOx.SuyraE(-x0;0),

là 1 tiếp tuyến di động của (E), ( At và

Giả sử cắt At và A’t’ tương ứng tại M và M’ 1/CMR:Khi di động thì AM.A’M’=const2/CMR:Tích các khoảng cách tử F và F’ tới cũng là hằng số

Chương2phươngphápđạisốvàphươngpháphìnhhọctổnghợpvớimộtsốbàitoánv ề

c á c đườngconic

1 Phươngphápđạisốvớimộtsốbàitoánvềcácđườngconic

Nhữnglờigiảibằngphươngphápđạisốthuầntúythểhiệnsứcmạnhnộit ạ i củamônHìnhhọcgiảitíchvàphươngpháptưduykiểuhìnhhọcgiảitích

Trongphầnnày,tasẽxétcácdạngbàitoánmàsửdụngnhiềuđếncáctínhchấtgiảitíchcủa3đườngconic.Cụthểlàsửdụngđếncácphươngtrìnhchínhtắc,cũngnhưcácdạn

ggiảitíchcủacáctiếptuyếncủachúng,nómangnặng“màusắc”hìnhhọcgiảitíchtheođ

úngnghĩacủanó.Sauđâylà 1sốdạngtoán:

1.1.Tiếptuyếncủacácđườngconic

Nhậnx é t :Nhữngb à i toánđượcgiảib ằ n g phươngphápđ ạ i s ố t h ể hiệnl

ố i t ư duytheop h ư ơ n g pháphìnhh ọ c giảitích.Nếuc h ú n g đượcgiảitheoph

ợcchứngmi nh.

2/Điềukiệncần FMF'.Dovậy '.T

heo

1 2

Dođó c2=

c2 ,mà c >0, c > 0 nên c=c.Nghĩalà(E)và(H)cócùnghai

Choparabol Mộtsốbàitậpđềnghị:

y 2=2px (p>0),M,N,Plà3điểmnằmtrênparabolcótungđộ tươngứnglà

tạiA,B,C.

m,n,p CáctiếptuyếnvớiparaboltạiM,N,Pđôimộtcắtnhau

Bài giải

(1)DoHAHnên(x H ; y H )thỏamãn(1),

tứclà:(a0+a)xH +y0yH -a( a0+a)=0 (2)

VìHMAA’nên

Thay(3)và(2)tacó(a0+a)

x H = x0

x0+y0yH a( a0+a)=0 y0y H =a - x0

cắtcácđườngthẳngOCvàODởIvàJ.K hiMdiđộng,tìmquỹtíchcủaIvàJ .

2 2

ac.cos(

) ac.cos

ChotamgiácABC,Hlàtrực

tâmcủatamgiác.Tìmquỹtíchtâmcáchypebolvuônggócđiqua3trong4điểm A,B,C,H.

2 PhươngpháphìnhhọctổnghợpĐốivớicácđườngconic

Nếunhưphươngphápđạisốthuầntúythểhiệnsứcmạnhnộitạicủamônhìnhhọcgiảitíchvàlốitưduykiểuhìnhhọcgiảitíchthìnhữnglờigiảibằngphươngpháphìnhhọctổng

hợp(cókếthợpvớiphươngphápđạisô)giúptacómộtphươngphápkhácđểhiểuthêmbả

nchấthìnhhọccủabàitoán

Trongphầnnày,tasẽxétcácdạngbàitoánmàsửdụngnhiềuđếncáctínhchấthìnhhọccủa3 đườngconic.Cụthểl à s ử dụngđếncácđịnhnghĩacủađườngconic,haysửdụn

gtínhchấthìnhhọccủacáctiếptuyếncủachúng,nómangnặng“màusắc”hìnhhọcphẳn ghơnlàhìnhhọcgiảitích.Sauđâylà1s ố dạngtoán:

Bài1:Choelip(E)với2tiêuđiểmFvàF’.Mlà1điểmdiđộngtrên(E).Gọilàti ếptuyếncủa(E)tạiM.Olàtâmcủaelip.

Bài giải

x



y M

LuậnvăntốtnghiệpđạihọcKhoaToán

Bài giải

1/Dovaitròbìnhđẳngnêntrongsuốtphầnnàyta

cóthểluônchorằngMn ằm trênnhánhchứaF’củahypebol(H).NếuMnằmtrênnhán

hkiathìlíluậnhoàntoàntươngtự.(hình1)

VậyHchínhlàđiểmđốixứngcủaFqua ,tứclàHF1.

1thẳnghàng)&

F1,J,Fthẳnghàng) vàFF1 =F’F1 =2a. (1)

DotínhchấtđốixứngtacóM F = MF1 vàMF '=MF’ (2)

1 1

M

F ' 1

nh họa:

2.2.Đườngthẳngtiếpxúcvới1coniccốđịnh

Nhậ n x é t :Đểs ử d ụ n g p h ư ơ n g pháph ì n h họctổnghợpđ ố i vớin

hững bàitoándạngnàythìtrướctiêntaphảichỉrađượccómôtconic

O H

B

C M

Bài giải

Đpcm.

1

1 1

1

1

1 1

O F’

M’



Bài

2 :Cho đườngtròntâmO,bánkínhr.Flà1điểmcốđịnhngoàihìnhtròn,Nlà1đi ểmdiđộngtrênđườngtròn.làđườngthẳngvuônggócvớiFNtạiN.

CMR:KhiNdiđộngthìluôntiếpxúcvới1hypebolcốđịnh.

F

Bài giải

-GiảsửF ’ F ' kéodài(vềphíaF’)cắttạiM

Tacũngcó MF-MF’=2r

(**).Từ(1) và(2)tacó MF-MF'= 2 r

MnằmtrênhypebolnhậnFvàF’làm2tiêuđiểm,vàtrụcthựclà2r.TagọiđólàHypebol(H).Rõràng(H)cốđịnh

Bàigiải

CMR :PQ luôn tiếp xúc với 1 parabol cố định.

VìMF(d)nênMcáchđều(d)vàFsuyraMởtrên1parabolnhậnFl à m tiêuđiể

mvànhận(d)làmđườngchuẩn.ĐỉnhOlàtrungđiểmcủaKF

DođóM P l à tiếptuyếnc ủ a parabolnóitrên.HayP Q luôntiếpx ú c với1 parabolcốđịnh

Qlàđiểmtrêntrụcthựccủa(H)saochotừQk ẻ đ ư ợ c QNvà

QN’làcáctiếptuyến(NvàN’làcáctiếpđiểm)

a/

ChứngminhrằngkhiPdiđộng,đườngtrònngoạitiếpcáctamgiácPMM’luônđiqua2đi ểmcốđịnh.

Chứngminhrằng2đườngtrònngoạitiếpcáct a m giácPMM’v à QNN’trựcgiaovớin hau

r ê n trênc ơ s ở đ ả m b ả o tínhbiệnchứngg i ữ a 2 mặtđ ố i lập.Đólàcácbiểut ượnghìnhh ọ c ( thểhiệnb ả n chất)v à s ự chặtc h ẽ logicc ủ a cácb i ể u thức

GọiM(x0;y0),khi đótacó Ax 0 +By0+C=

h á p đ ề u c ó nhữngthếmạnhr i ê n g Điềuq u a n trọngl à t a phảibiếttrongnhữ ngtrườnghợpnàonênsửdụngphươngphápđạisố,trongn h ữ n g trườngh ợ

p n à o n ê n s ử d ụ n g p h ư ơ n g p h á p h ì n h h ọ c tổnghợp Nhưthếmới pháthuy tíchcựcđượctoàndiệnvềnănglựctoánhọc.

1.Mụcđích

Phụlục

tổchứcngoạikhóachohọcsinh vềxâydựngđịnh nghĩacácđườngcônic

- Giúphọcsinhlàmquenvớiviệcxâydựngđịnhnghĩacácđườngconic

- Giúphọcsinhhiểurõýnghĩahìnhhọccủacácđườngconic

- Tạorasựhứngthútrongviệchọctoánnóichungvàviệchọcđốivớicácđườngconicnóiriêng.

2.Nộidung

Thiếtkếđồdùnghọctậpđểhọccácbàigiảngvềcácđườngconic

Bước1:Chiahọcsinhthamgiangoạikhóathành3nhóm Bước2:Mỗinhómcósựchuẩnbịriêng:

-Nhóm1:(Vẽ elip)

+1bảngfoocmica+2chiếcđinhvít+1vòngdâykínkhôngđànhồi+1bútdạmàu

+Khoanvít

-Nhóm2:(Vẽđườnghypebol)

+1bảngfoocmica+2chiếcđinhvít+1thướcthẳng+1sợidâykhôngđànhồi

+1bútdạmàu+Khoanvít

-Nhóm3:(VẽđườngParabol)

+1bảngfoocmica+1chiếcđinhvít+1thướcekevuông+1sợidâykhôngđànhồi+1bútdạmàu

+Khoanvít

4 Cácbướctiếnhành

(5phút):Chocácnhómmangđồdùngđãđượcchuẩnbịtrướcđểchuẩnbịchocôngviệcvẽcácđườngconic

DâyM

trùngvớiF1vàlấyđầubútchìtìsátsợidâyvàothướcsaochosợidâyluôncăngrồichothướcquayquanhF1,mépthướcluônsátmặtgỗ.

AC

-Khiđóđầubútchìsẽvạchra1phầncủađườngParabol

DâyM

Phươngpháphìnhhọctổnghợpđốivớicácđườngconiclàmộtmảngmớiv à tươ ngđốikhósovớimặtbằngchungcủahọcsinhTHPTh i ệ n nay.Nhưngđốivớinhữnghọc sinhyêutoánthìnólạicó1ýnghĩatolớn.Dovậy,cầnphảiđưarađểgiáodụctoàndiện,bồ idưỡngpháthiệnnhữnghọcsinhcónănglực,nhằmđàotạonhântàivềmặttoánhọccho đấtnước.Chínhvìvậy,saukhinghiêncứuvàhoànthiệnluậnvănnày,emxinđưaramộtv àisuynghĩvề việcdạyvàhọccácđườngconicởtrườngTHPTnhưsau:

1 Cầntạođiềukiệnchohọcsinhtiếpcậnvớinhiềutàiliệuthamkhảohơnvềphươ ngpháphìnhhọctổnghợpđốivớicácđườngconic.Cácbàitậptừmứcđộdễđếnmứcđộk hó.

2.VềchươngtrìnhhọcSGKphổthông:Cầnphảikhaitháctiềmnăngsáchgiáokh oa,đồngthờibổsungnhữnghìnhthứcdạyhọcvànhữngnộidungkiếnthứccótínhvừasứ c,tạorasựhứngthúhọctập,giúphọcsinhkhẳngđịnhrõ hơnvaitròcủatoánhọctrongt ự nhiênvàđờisốngđồngthờibồidưỡngphẩm chấtđộclậpsángtạochohọcsinh.

3 Đốivớinhữngtrườngchuyên,cóthểtiếnhànhgiảngdạybằngcáchtăngcườn gmộtsốtiếttoán(sovớisốtiếtđượcquyđịnhtrongchươngtrình);hoặccóthểtổchứcgiả ngdạytheokiểungoạikhóa,báocáochuyênđề…

đồngthờinângcaotầmhiểubiếtchohọcsinh.

Vớinhữngmụctiêuvàcáchthứcnhưthế,đểhoànthiệnđượcviệcdạyhọchình họcgiảitíchhiệnnay,cầnphảixáclậpmốiquanhệtươnghỗgiữa

ngônngữtrừutượngtrongHìnhhọcgiảitích,thôngquaviệcbổsungkhảosátc á c đườn gconicbằngphươngpháphìnhhọctổnghợp(màchúngchỉđượckhảosátchủyếubằngp hươngphápđạisốtrongsáchgiáokhoa)

Đểgópphầnhoànthiệnphươngphápđạisốđốivớicácđườngconictrongtrongc hươngtrìnhtoántrunghọcphổthông,emđãđưaranhữngđịnhnghĩavàcáctínhchấtm ớicủacácđườngconic

dướigócđộhìnhhọctổnghợp.Ngoàira,emcònđưara1sốlớpbàitậpvềconicđượcgiải bằngphươngphápđạisốvàbằngphươngpháphìnhhọctổnghợp.

Dobư ớc đầul àm quenvớinghiêncứukhoahọc,chắcchắnkhóaluậnnàyvẫncò nnhiềuthiếusót.Emrấtmongđượccácthầycôgiáo,cácbạnsinhviên…

đónggópýkiếnđểkhóaluậncủaemđượcchoànchỉnhhơn.

HàNội,tháng5năm2007

Sinhviênthựchiện

PhạmVănGia

Bảntómtắtluậnántiếnsĩgiáodục–ĐạihọcVinh2001.