Phương pháp chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần trong toán phổ thông

Trong khoá luận này tôi xin đề cập đến hai phương pháp chứngminh rất hữu ích hay dùng trong lập luận Toán học với những bài toán mà việc sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp đôi khi

Khóa luận tốt nghiệp

A.MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các môn học thì Toán học có vị trí nổi bật, nó có nguồn gốc từthực tiễn, có mặt ở khắp mọi nơi và là chìa khoá trong hầu hết hoạt độngcủa con người, môn học này giúp chúng ta mở rộng kiến thức để bướcvào cuộc sống Đặc biệt trong chương trình phổ thông, Toán là môn khoahọc công cụ giúp học sinh rèn luyện trí thông minh Và để giúp học sinhnắm vững “chìa khoá” là tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo để ứng dụngToán học vào cuộc sống thì các bài toán trong trường phổ thông chính làmột phương tiện hiệu quả và không thể thay thế Việc giải quyết các bàitoán có thể coi là mục tiêu ban đầu của cấu trúc Toán học và là phầnkhông thể chia tách được của các hoạt động Toán học Giải toán giúp họcsinh rèn luyện kĩ năng suy luận tư duy logic, khả năng sáng tạo, rèn luyệntính kiên trì đồng thời giúp học sinh củng cố, tổng hợp được các kiếnthức

Trong chương trình phổ thông học sinh gặp rất nhiều bài toán chứngminh và cũng có nhiều phương pháp chứng minh để giải quyết các bàitoán này Mỗi phương pháp đều có cái hay và thế mạnh riêng với mỗidạng bài Trong khoá luận này tôi xin đề cập đến hai phương pháp chứngminh rất hữu ích hay dùng trong lập luận Toán học với những bài toán

mà việc sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp đôi khi khó giảiquyết

Với mong muốn giúp cho bản thân cũng như các bạn sinh viên cóđược hệ thống một cách khoa học về hai phương pháp chứng minh hay

Khóa luận tốt nghiệp

sử dụng của chứng minh gián tiếp qua đó giúp cho việc đào sâu, mở rộngkiến thức có ích Từ đó có thể vận dụng hai phương pháp chứng minhnày phổ biến hơn khi giảng dạy các bài toán trong trường phổ thông Đó

là lí do tôi chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀ CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG TOÁN PHỔ THÔNG”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu phương pháp chứng minh phản chứng và chứng minh loạidần trong toán phổ thông thông qua một số bài toán Nhận dạng một sốbài toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng và bài toán sửdụng phương pháp chứng minh loại dần, từ đó góp phần nâng cao kỹnăng giải toán và phát triển năng lực chứng minh toán học, nâng cao chấtlượng dạy và học

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp chứng minh phản chứng vàchứng minh loại dần

- Nghiên cứu một số bài toán sử dụng phương pháp chứng minh phảnchứng và phương pháp chứng minh loại dần

- Vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng và loại dần vào giảiquyết một số bài toán

4 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán sử dụng phương pháp chứng minhphản chứng và phương pháp chứng minh loại dần

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sử dụng phương pháp chứng minhphản chứng và loại dần trong chương trình toán phổ thông

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 CẤU TRÚC KHOÁ LUẬN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khoáluận còn có hai chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Phương pháp chứng minh phản chứng và phương phápchứng minh loại dần trong toán phổ thông

B.NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 CHỨNG MINH TOÁN HỌC VÀ CÁC YÊU CẦU CỦA CHỨNG MINH TOÁN HỌC

1.1.1 Thế nào là chứng minh

Định nghĩa: Giả sử G là tập hợp những mệnh đề toán học và  là mộtmệnh đề toán học nào đó Ta nói rằng  được chứng minh từ giả thiết G,nếu tồn tại một dãy hữu hạn các mệnh đề toán học A1, A2,…, An (1) saocho các yêu cầu sau được thoả mãn

a) An là 

b) Với mọi i, i=1, 2,…, n, A hoặc là một tiên đề hoặc là một định nghĩahoặc là một định lý hoặc là một phần tử của tập G được suy ra từ mộtmệnh đề đứng trước nó trong dãy (1) nhờ vào một quy tắc hay một suyluận logic

Nói cách khác, quá trình suy diễn xác nhận tính chất thực hoặc bác bỏmệnh đề nào đó nhờ vào các mệnh đề đúng đã biết gọi là chứng minh

1.1.2 Cấu trúc của một chứng minh

1.1.3 Yêu cầu của chứng minh

a) Yêu cầu logic của luận đề

Mệnh đề đứng sau của một chứng minh nhất thiết là mệnh đề cần chứngminh An ≡  Nghĩa là luận đề không được tráo đổi, không được thay thếbằng mệnh đề không tương đương logic

b) Yêu cầu logic của luận chứng

Việc rút ra một mệnh đề mới từ các mệnh đề trước đó trong quá trìnhchứng minh phải theo các quy tắc suy diễn logic

c) Yêu cầu logic của luận cứ

Mỗi mệnh đề trong chứng minh đều phải là một tiên đề, hoặc một địnhnghĩa, hoặc một định lý, hoặc một mệnh đề trong giả thiết, hoặc một hệquả logic của mệnh đề đứng trước nó trong quá trình chứng minh đượcrút ra nhờ một quy tắc suy luận logic, nghĩa là luận cứ phải là một mệnh

là phép chứng minh mệnh đề A ⇒ B

Mục tiêu

Mục tiêu của phép chứng minh phản chứng là bác bỏ mệnh đề phủ địnhcủa mệnh đề cần chứng minh

1.2.2 Sơ đồ của phép chứng minh phản chứng

((A¯¯ ¯ ⇒¯¯ ¯ ¯B¯)

⇒ X ) ¯X A ⇒ BVới X là A¯, B¯, CC¯, D¯

Trong đó C là một mệnh đề nào đó, D là một mệnh đề đúng đã biết

1.2.3 Cơ sở của phép chứng minh phản chứng

Cơ sở của phép chứng minh phản chứng là luật bài trung: hai mệnh đề

X và X¯ không cùng sai Khi bác bỏ mệnh đề X¯ nghĩa là tính chânthực của X vì mệnh đề X chỉ có thể xảy ra hai khả năng hoặc đúnghoặc sai còn X¯ tương ứng là hoặc sai hoặc đúng

Các hình thức của chứng minh phản chứng

Việc bác bỏ mệnh đề phủ định của mệnh đề cần chứng minh A ⇒ B sau

đó dựa vào luật bài trung khẳng định A ⇒ B là đúng dựa vào chứng minhmệnh đề sau đó coi là các hình thức của chứng minh phản chứng, đó làcác dạng của chứng minh phản chứng

4 mệnh đề trên tương đương logic với nhau và tương đương với mệnh

đề A ⇒ B Do đó để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh xảy ra 1trong 4 mệnh đề trên

Các bước của phép chứng minh phản chứng mệnh đề A ⇒ B

- Bước 1: (Giả sử) Phủ định mệnh đề A ⇒ B hay AB¯

- Bước 2: (Tìm mâu thuẫn) Xuất phát từ giả thiết có: AB¯ qua quá trình suy luận chứng minh rút ra điều mâu thuẫn (tìm mâu thuẫn):Hoặc là trái với giả thiết A (dạng 1)

Hoặc là suy ra 2 điều trái ngược nhau (dạng 2)

Hoặc là suy ra điều mâu thuẫn với điều đúng đã biết (dạng 3)

Hoặc là suy ra chính kết luận (dạng 4)

- Bước 3: (Kết luận) Tìm mâu thuẫn khẳng định giả thiết AB¯ không

chính xác, sử dụng luật bài trung khẳng định tính chân thực của A ⇒ B

 0.

Giả sử AC và BD không chéo nhau

+Bước 2: Tìm mâu thuẫn:

Vậy AC và BD chéo nhau

Ví dụ 2 này thuộc dạng 1: AB¯ ⇒ A¯

Với A: Cho d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau Trên d1 lấy hai điểmphân biệt A, B Trên d2 lấy hai điểm phân biệt C và D

A¯: hai đường thẳng d1, d2 đồng phẳng

B: AC và BD chéo nhau

B¯: AC và BD không chéo nhau

1.3 CHỨNG MINH LOẠI DẦN

1.3.1 Định nghĩa

Nếu mệnh đề X chỉ có k khả năng xảy ra, phép chứng minh mệnh đề Xxảy ra với k khả năng thứ i thông qua bác bỏ k-1 khả năng còn lại đượcgọi là phép chứng minh loại dần

1.3.2 Sơ đồ của phép chứng minh loại dần

Nếu mệnh đề X có k khả năng xảy ra là: X1, X2,…, Xk

Mệnh đề X không xảy ra với khả năng thứ j: X¯j.

Sơ đồ của phép chứng minh loại dần:

(X1 ⊻ X2 ⊻ … ⊻ Xk) X¯1 ¯X2 … X¯i–1

X¯i+1 … X¯k XiNhư vậy có 3 bước tiến hành chứng minh loại dần

- Bước 1: Khẳng định chỉ có k khả năng xảy ra

- Bước 2: Bác bỏ k-1 khả năng còn lại

- Bước 3: Khẳng định X xảy ra ở khả năng thứ k

1.3.3 Cơ sở logic của phép chứng minh loại dần

Cơ sở logic của phép chứng minh loại dần là tam đoạn luận lựa chọn,tuân theo quy tắc ba bước phù hợp với các bước của phép chứng minh

- Bước 3: Kết luận có B (B¯).

Bùi Thị Thu Hiền 10

Như vậy khi sử dụng phương pháp chứng minh loại dần phải chỉ ra mệnh

đề đó có đúng k khả năng xảy ra

x  R , do đó x hữu tỉ hoặc vô tỉ

+ Bước 2: Bác bỏ khả năng x là số hữu tỉ:

Từ x  3

2 

3 4 suy ra x là nghiệm của phương trình x 3  6 x  6  0

Nếu x là số hữu tỉ thì x phải nguyên là là ước của 6, khi đó x có thể là

±1, ±2, ±3, ±6 Nhưng ±1, ±2, ±3, ±6 không là nghiệm của phươngtrình

x3  6x  6  0 Vậy x không phải là số hữu tỉ

Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng I

chỉ có thể biến thành A, B, C hay D

C D

+ Bước 2:

Bùi Thị Thu Hiền 11

 Nếu đỉnh A biến thành chính nó thì A ≡ I Khi đó tứ giác có hai đỉnh đối xứng qua A Điều này vô lí

 Nếu A biến thành B hoặc D thì tâm đối xứng thuộc cạnh AB hoặc

AD của tứ giác nên cũng suy ra điều vô lí

+ Bước 3: Vậy A chỉ có thể biến thành đỉnh C

Lí luận tương tự đỉnh B chỉ có thể biến thành đỉnh D Khi đó tâm đốixứng I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên tứ giác ABCDphải là hình bình hành

KẾT LUẬN CHƯƠNG

Ở chương 1 tôi đã trình bày về cơ sở lí luận của hai phương phápchứng minh trong các phương pháp thuộc hệ thống các phương pháp chứngminh gián tiếp là phương pháp chứng minh phản chứng và phương phápchứng minh loại dần Đồng thời trong chương này để tiện cho việc giải mộtbài toán có sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, phương phápchứng minh loại dần tôi cũng đã trình bày các bước tiến hành từ đó nângcao hiệu quả giải toán

Có thể nhận thấy trong phương pháp chứng minh loại dần, ở bước 2 làbác bỏ k – 1 khả năng có thể xảy ra, nghĩa là ta giả sử có thể xảy ra k – 1khả năng rồi dùng suy luận để chứng minh không thể xảy ra k – 1 khả năng

đó Trong bước này có sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, do

đó cần kéo léo lựa chọn và kết hợp hai phương pháp trên để có cách giải tốiưu

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG

mà không rõ là có tồn tại hay không

Những bài toán về khẳng định một hệ thức đúng, khẳng định nghiệm củaphương trình, hệ phương trình hoặc chứng minh một bất đẳng thức …trong các phân môn đại số, hình học, số học người ta hay dùng phươngpháp chứng minh phản chứng

* Tìm mệnh đề phủ định của điều cần chứng minh:

Trong các bài toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng ở bướcmột là muốn phủ định lại kết luận như vậy phải tạo ra mệnh đề phủ địnhcủa điều cần chứng minh Đây cũng là vấn đề mang tính logic của cácmệnh đề Trong các phát biểu toán học thường tồn tại những dạng mệnh

đề sau:

- Mệnh đề tồn tại: Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X Nếu

ta đặt cụm từ “Tồn tại x ∈ X sao cho…” vào trược mệnh đề T(x) tađược mệnh đề

“Tồn tại x ∈ X sao cho T(x)”

Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tồn tại

Kí hiệu ∃ ∈ X: T(x) hoặc ∃x: T(x), x ∈ X Kí hiệu ∃ được gọi làxlượng tử tồn tại

- Mệnh đề tổng quát: Cho T(x)là mệnh đề xác định trên miền X, nếu

ta đặt cụm từ “Nếu mọi x ∈ X ta có …” vào trước mệnh đề T(x) tađược mệnh đề

“Với mọi x ∈ X ta có T(x)”

Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tổng quát (mệnh đề mọi)

Kí hiệu là ∀ ∈ X: T(x) hoặc ∀x: T(x), x ∈ X Kí hiệu ∀ gọi là lượngx

tử tổng quát

Phủ định của mệnh đề tổng quát và mệnh đề tồn tại là dấu gạch ngang kíhiệu phủ định logic cũng như trong toán học Phủ định của các mệnh đềtồn tại và tổng quát theo nguyên tắc sau:

∀¯¯ y¯¯ ¯∈¯¯ ¯Y¯¯,¯∃¯¯x¯¯ ∈¯¯ ¯X¯¯ :¯¯T¯¯(¯x¯¯, ¯y¯¯) ≡ y∃ ∈ Y, ∀x

∈ X: T¯¯ (¯¯x¯¯, ¯y¯¯)

∃¯¯ y¯¯ ¯∈¯¯ ¯Y¯¯,¯∀¯¯x¯¯ ∈¯¯ ¯X¯¯ :¯¯T¯¯(¯x¯¯, ¯y¯¯) ≡ ∀y ∈ Y, x∃

∈ X: T¯¯ (¯¯x¯¯ ,¯¯y¯)¯

Phương pháp chứng minh phản chứng đưa ta đến việc tạo ta mệnh đề phủđịnh đã cho Vì vậy cần thận trọng phát bieeut mệnh đề phủ định khi sửdụng phương pháp này.

2.1.1 Dạng 1: Phủ định kết luận rồi suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết

hai số nguyên khác 1 Để chứng minh n  2 k

ta đi giả sử có thể giả sử

n có ước nguyên tố rồi chứng minh 2

n

Chứng minh:

 1 là hợp số, trái với giả thiết

Giả sử n có ước nguyên tố d  2.

 1 không nguyên tố, trái với giả thiết

Do đó n không thể có một ước nguyên tố nào khác 2 hay n 

 0

a

Chứng minh:

Giả sử trong 3 số a , b , c có ít nhất 1 số không dương, vì a , b , c có vai

trò như nhau nên ta có thể xem a  0 .

0 thỏa mãn:  1

 1  1  0Chứng minh rằng: a,b,c  0  ab bc ca

Ví dụ 3: Cho x1 , x2 , ,x99 , x100 là 100 số tự nhiên sao cho:

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

Chứng minh.

Giả sử trong 100 số đã cho không có số nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát ta giả sử x1  x2   x99  x100. (1)

Vì xi là số tự nhiên nên tương ứng (1) có x1 1,i 1,2, ,100.

Điều này trái với giả thiết, suy ra giả sử là sai.

Vậy tồn tại ít nhất hai số bằng nhau thoả mãn điều kiện đề bài

Chứng minh:

a0 , a1, ,a n1 không dương

Ta giả sử ngược lại, nghĩa là giữa những số

Theo điều kiện đề bài: a k1  2a k  a k1  0  a k1  a k  a k  a k1 (1)

Bắt đầu từ k  p , từ đẳng thức (1) và từ a p  a p1  0 ta nhận được dãybất đẳng thức sau:

a p1  a p  0, a p2  a p1  0, ,a n1  a n2  0, a n  a n1  0

 0  a p  a p1  a p2   a n1  a n

Nhưng điều kiện đó trái với giả thiết an  0

Suy ra tất cả những số a k (k  1,n  1,n N) là không dương

Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau Chứng minh rằng có duy nhất

một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với mặt phẳng kia

Hướng dẫn:

Đầu tiên cần xác định được mặt phẳng (P) thoả mãn yêu cầu Để chứngminh mặt phẳng (P) là duy nhất ta hãy giả sử ngoài (P) còn có mặtphẳng (Q)khác thoả mãn yêu cầu đề bài và chứng minh nếu tồn tại (Q)thì hai đường thẳng đó không chéo nhau.

Bùi Thị Thu Hiền 20

bM

aP

Chứng minh:

Giả sử ta có hai đường thẳng chéo nhau a và b.

+ Lấy điểm M bất kì thuộc a.

BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1: Nếu a  3,b  3,a2

không phải là một số nguyên tố

a  b  c 17 Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm:

Bùi Thị Thu Hiền 21biệt A, B Trên b lấy hai điểm phân biệt C, D.

a) Chứng minh rằng AC, BD chéo nhau.

b) Gọi M là một điểm trên AC, N là điểm thuộc BD Chứng minh rằng

MN song song với AB hoặc CD

c) Gọi M là điểm thuộc MN Chứng minh rằng AO cắt CN, BO cắt DM

Bài 6: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và d // d’ nằm

4a.abc  (20a  b)2  k 2  (20a  b  k)(20a  b  k)  20a

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 4: Giả thiết phản chứng hệ vô nghiệm, tức là:

ax 2

Chứng minh MN và CD không song song tương tự.

c) Có AO và CN đồng phẳng Giả sử AO // CN thì O nằm ngoài MN (mâu thuẫn giả thiết) nên AO cắt CN

Chứng minh tương tự được BO cắt DM

2.1.2 Dạng 2: Phủ định kết luận rồi suy ra hai điều trái ngược nhau

(AB¯  CC¯ )Bài toán kinh điển nhất về phép chứng minh phản chứng dạng này được

đề cập ở ví dụ sau:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố

Hướng dẫn:

Để chứng minh có vô số số nguyên tố ta giả sử có hữu hạn số nguyên tố

để thấy được rằng nếu có hữu hạn số nguyên tố thì sẽ có hai điều tráingược nhau trong quá trình chứng minh

Chứng minh:

Giả sử có hữu hạn số nguyên tố là

lớn nhất trong các số nguyên tố

p1, p2, ,p n

( n  N ) trong

1,2, ,n) (Mâu thuẫn với (1)).

Suy ra giả sử sai Vậy có vô số số nguyên tố

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu số tự nhiên a không phải là số chính

Vậy a phải là số vô tỉ.

Ví dụ 3: Cho a,b,c(0,1) Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong các bất

Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều đúng, tức là:

Vậy suy ra điều phải chứng minh

Bài

tập tương tự:

Cho ba bất đẳng thức:

a(2  b) 1, b(2 c) 1, c(2  a) 1.