Tra loi ban nho thay co giai giup bai tim GTNN logarit

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 3

x y   

thức T = 1x 2

y



Giải

* Ta có: 3

x y   

   log3(2xy1) log3(xy)x2y

1 3 3 ) ( log 1 2

) 1 2

(

) 3 3 ( ) 3 3 ( log 1 2

) 1 2

( log3 xy  xy  3 x y  x y

* Xét hàm số f(t)log3tt, t1 (vì x, y > 0 nên 2x + y + 1 > 1 => t > 1)

1 0

3 ln

1 )

(

t t

f , suy ra f(t) đồng biến trên ( 1; )

Nên (1)  2xy13x3y x1 2y (2)

* Từ (2)  1 2y0 0 y1/2

* Lúc này ta có: T = 1x 2

y



y y

2 2 1

1







Đặt t =

2

1 0

2 1

1

t t





* Xét hàm

t t t

2 1

1 )















2

1

; 0

t

) 1 2 (

4 )

( '

t t

t t





2

1 0

1 4 2 4 0 )

(

























t

g

















) 3 ( 0

2 4 4

2 / 1

3 t t

t













2

1

; 0

t  4t3 4t 20 => (3) vô nghiệm

* Lập BBT => ming(t)g(1/2)6 khi t = 1/2.

Vậy min T 6 khi x = 1/2 và y = 1/4