Ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bài toán và sáng tạo một số dạng toán đại số sơ cấp

kỳ thi học sinh giỏi và các kì thi đại học, cao đẳng.Để giải quyết nó đòi hỏi người học Toán và làm toán phải linh hoạt và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán.. Với những lý do

kỳ thi học sinh giỏi và các kì thi đại học, cao đẳng.

Để giải quyết nó đòi hỏi người học Toán và làm toán phải linh hoạt và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán Tất nhiên đứng trước một bài toán về bất đẳng thức thì mỗi người đều có một xu hướng phát triển riêng cuả mình Nóinhư vậy có nghĩa là có rất nhiều cách để đi dến kết quả cuối cùng của bài toán này Điều quan trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưucủa bài toán Thật là khó nhưng thật thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn

để giải quyết nó

Với những lý do trên cùng với sự đam mê của bản thân và cùng với sự

hướng dẫn tận tình của thầy giáo - Thạc sỹ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn

thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình với đề tài: “ Ứng dụng của bất đẳng

thức vào giải một số bài toán và sáng tạo một số dạng toán đại số sơ cấp ”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bất đẳng thức

và sáng tạo bất đẳng thức

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, nghiên cứu tài liệu

So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức

Tổng hợp, sắp xếp, giải bài tập

Đẳng thức (3) xảy ra khi và chỉ khi a1

 a2   a n

3 1  y 1 z 1  y  z 

Lấy tùy ý  x; y; z  D Khi đó ta có: 0  x  1, 0  y  1, 0  z  1 Do

vai trò như nhau nên ta có thể giả sử x  y  z

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

 1  y    1  z    1  y  z  

3

x; y; z giữ

Đặt X  1

,Y  1 , Z  1 Khi đó:

1 x 2 3

1 y  2 3

1 z  2 3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ở các bất đẳng thức (27), (28), (29) xảy rakhi và chỉ khi x  y  z  1

3

Dương Thị 1

 f  x; y; z   x2  y2  z2 2

(30)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Dương Thị 1

Bài 1.1.10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

sao cho f  x; y; z; t   1)

Bài 1.1.11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

x2  2xy  3xz y2  2zy  3xy z2  2xz  3yz

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai dãy số:

Dương Thị 2

Lời giải:

  1 t anx tan y   1 tan z t anx 

Do  2  t anx tan y  tan y tan z  tan z t anx  1

Áp dụng bổ đề này với a  sin2 x, b  cos2 x ta có:

sin 1004 x  cos1004 x  sin 2 x502

sin 1004 x cos1004 x

 cos2 y

 

 sin2 y

 

f  x; y; z;t  x  y  2z  3t   y  z  2t  3x  z t  2x  3y  t  x  2 y  3z    x  y  z  t 2

Dương Thị 2

Tính chất 3: Nếu a  b  a  c  b  c

1.2.2.2 Giải phương trình, bất phương trình và hệ

Với phương trình ta sử dụng các tính chất sau:

Dương Thị 2

Với bất phương trình ta sử dụng các tính chất:

Vậy phương trình có nghiệm là 0;13; 4

Bài 1.2.2: Giải phương trình.

Dương Thị 2

Từ tính chất 4 suy ra:

 x 1 1.2  0

 x  2

Vậy phương trình có nghiệm là x  2

Bài 1.2.3: giải phương trình sau:

Vậy phương trình có 2 nghiệm là:

Bài 1.2.4: Giải phương trình:

x  2; x  4

Lời giải:

2x4  1 2x4

 127

Biến đổi vế trái của phương trình:

10 sin 2 y x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Bài 1.2.5: giải phương trình:

 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Bài 1.2.7: Giải phương trình: x  0 và x  1 .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái ta được:

2 7x  4 x2  x  3  7x  4  x2  x  3  x2  6x 1 =VP

Vậy phương trình có nghiệm

Bài 1.2.8: Giải phương trình :x  1 hoặc

Dấu đẳng thức xảy ra khi vầ chỉ khi x  1

Vậy phương trình có nghiệm khi

Bài 1.2.9: Giải phương trình sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 1.2.10: Giải phương trình sau:

 1

Lời giải:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  x; y    x0 ; 1, x0 1;3

Bài 1.2.12: Giải bất phương trình sau:

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với x  a

Bài 1.2.14 : giải bất phương trình:

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 1.2.15: Giải bất phương trình sau:

Vậy phương trình có nghiệm là S  3;5

Bài 1.2.16: Giải hệ phương trình:

Dương Thị 3

7

7 7

Vậy hệ đã cho có nghiệm là: 0;1, 1; 0, 0; 1

Bài 1.2.17: Giải hệ phương trình sau:

Vậy nghiệm của hệ là x  2 .

Bài 1.2.18: Giải hệ phương trình sau:

Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm.

Bài 1.2.19: giải hệ phương trình sau:

Vậy phương trình có 3 cặp nghiệm  x; y  là 1;1,  1; 1  , 1; 2

 2 2 

1.3 Ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức

1.3.1 Bất đẳng thức Chebyshev

1.3.1.1 Bất đẳng thức Chebyshev trên 2 dãy đơn điệu ngược chiều

Cho 2 dãy hữu hạn các số thực a1 , a2 , ,

1.3.1.2.Bất đẳng thức Chebyshev trên 2 dãy đơn điệu ngược chiều

Cho 2 dãy số hữu hạn các số thực a1 , a2 , ,

3 a  b  c  d 3 4 a2  b2  c2  d 2  3

Bài 1.3.5: Cho a, b, c sao cho 1 , 1 , 1

a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng: ab  ac  2 bc

 ab  bc  2 ac  ca  cb  2 ab  6

Lời giải:

b2  b  3

c  1  c 

Bài 1.3.7: cho a,b, c  0

a  b  c  1 Chứng minh rằng :

 1 x2  3x  1 y 2  3y   1 z 2  3z 

Lời giải:

Dương Thị 5

Bài 1.3.12: Cho

   

Bài 1.4.2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC , chứng minh bấtđẳng thức sau: 3  a  b  c  2

Dương Thị 5

 b  c c  a a  b 

Dương Thị 5

nên bc  c2  ac

 bc

Bài 1.4.4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

pa2  qb2  pqc2 với mọi p, q thỏa

Dương Thị 5

Do đó ta có:   0

Dương Thị 5

(2) đúng  (1) đúng

Vậy (1) đã được chứng minh.

b) Gọi x là độ dài đường phân giác trong AD của tam giác ABC

Áp dụng định lí hàm sin vào các tam giác ABD và ABC ta có:

Dương Thị 5

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dương Thị 6

(1)

Bài 1.4.8: Cho ABC có độ dài các đường trung tuyến lần lượt là m a , m b , m c

và độ dài các đường phân giác trong là l a , l b , l c Tìm giá trị nhỏ nhất của

Dương Thị 6

3

f 1;1;1  3 ,1;1;1 D nên Min f  x; y; z   3 .

Dương Thị 6

Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Vậy nghiệm của phương trình là 5  x  10

Bài 12: Giải phương trình:

Dương Thị 6

Vậy nghiệm của (1) là x  1

Bài 13: Giải phương trình:

Vậy phương trình có 2 nghiệm x  1; x  3 .

Bài 14: Giải bất phương trình sau:

Hướng dẫn:

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm

Bài 18: Giải hệ bất phương trình:

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán cùng với sự đóng góp của các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Dương Thị 7

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán

học, NXB Tri thức.

2 Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức 2006.

3 Phan Huy Khải, 500 bài toán bất đẳng thức, NXB Hà Nội

1994

4 Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục.

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình

của thầy giáo, thạc sĩ Phạm Lương Bằng, khóa luận của em đến nay đã hoàn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Dương Thị Phúc

MỞ ĐẦU 1

Dương Thị 7

CHƯƠNG 1 3

BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 3

1.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong bài toán cực trị của hàm số 3

1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki 3

1.1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 4

1.1.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 13

1.2 Ứng dụng bất đẳng thức trong giải phương trình, bất phương trình và hệ 19

1.2.1 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 19

1.2.2 Bất đẳng thức liên quan đến trị tuyệt đối 20

1.2.Bài tập rèn luyện 21

1.3 Ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức 35

1.3.1 bất đẳng thức Chebyshev 35

1.3.2 Bất đẳng thức Bernoulli 36

1.3.3 Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev 36

1.3.4 Áp dụng bất đẳng thức bernoulli 43

1.4 Ứng dụng bất đẳng thức trong hình học 49

CHƯƠNG 2: SÁNG TẠO RA MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP 58

KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 s

Dương Thị 7