Tam thức bậc hai - ứng dụng trong giải bài toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương BằngLỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu đề tài: “Tam thức bậc hai-ứng dụng trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp” tôi đã nhận được

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu đề tài: “Tam thức bậc hai-ứng dụng trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp” tôi đã nhận được rất

nhiều sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo, gia đình và bạn bè

Trước hết, với lòng kính trọng và biết ơn chân thành, em xin gửilời cảm ơn tới ThS Phạm Lương Bằng đã tận tình quan tâm giúp đỡ,hướng dẫn, chỉ bảo em trong suôt quá trình nghiên cứu đề tài

Em xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo trường Đại hoc Sư Phạm HàNội 2, đặc biệt là tập thể giảng viên khoa toán, đã hết sức quan tâm giúp

đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Tôi cũng xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động viên tôi, tạođiều kiện cho tôi có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Trong quá trình nghiên cứu đề tài này mặc dù đã rất cố gắng,nhưng không tránh khỏi được những thiếu sót Tôi rất mong nhận được

sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiệnhơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đinh Thị Minh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “Tam thức bậc hai-ứng dụng trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp” dưới sự hướng dẫn của ThS.

Phạm Lương Bằng là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quảkhông trùng với các kết quả đã được công bố

Nếu có gì không trung thực tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Đinh Thị Minh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT PHƯƠNG

TRÌNH BẬC HAI 21.1 Kiến thức cơ bản 2

1.2 Bất phương trình bậc hai 51.3

Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai 7

1.4 Dấu của tam thức bậc hai trên một miền 16

1.5 Định lý Vi - ét 2 0

1.6 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 2 31.7.Ứng dụng tìm GTLN-GTNN của hàm số 2 6

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH

QUY VỀ BẬC HAI 312.1 Phương trình bậc 3 3 1

2.2 Phương trình bậc 4 3 4

2.3 Phương trình - bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 44

2.4 Phương trình - bất phương trình vô tỷ 47

2.6

Phương trình - bất phương trình lượng giác 54

CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG

TRÌNH BẬC HAI 57

3.1 Hệ phương trình bậc hai 57

3.2 Một số hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc hai 6 1

CHƯƠNG 4: SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP 7 6

KẾT LUẬN 9 2

TÀI LIỆU THAM KHẢO 9 3

Với những lý do trên cùng với lòng say mê tìm tòi nghiên cứu vàđược sự giúp đỡ nhiệt tình của ThS Phạm Lương Bằng tôi đã chọn đề

tài: “Tam thức bậc hai- ứng dụng trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp”,để là đề tài khóa luận tốt nghiệp Với mong muốn giúp học

sinh có cái nhìn toàn diện hơn về phương pháp giải cho từng bài toán

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và thấyđược vị trí quan trọng của tam thức bậc 2 trong chương trình toán sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Ứng dụng của tam thức bậc 2 trong giải toán và sáng tạo các bàitoán sơ cấp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

 Đối tượng nghiên cứu

- Phương trình bậc 2, phương trình bậc cao, phương trình mũ,phương trình logarit, phương trình lượng giác, …

- Bất phương trình bậc 2, bất phương trình mũ, logarit, …

- Hệ phương trình bậc hai

 Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán trong chương trình toán sơ cấp

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, so sánh phân tích tổng hợp

CHƯƠNG 1 TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 2 Tìm m để biểu thức sau luôn dương với mọi x

Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có dạng f  x  0

hoặc f  x  0 hoặc f  x  0 hoặc f  x  0 Trong

a) Giải bất phương trình với m = 1

b) Với giá trị nào của m thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Giải





a) với m=1  BPT trở thành:

x2  2x  2  0

Ví dụ 2 Giải và biện luận BPT sau:

f  x



● Nếu   0 thì f  x  0 vô nghiệm.

Ví dụ 1: Xác định a để phương trình:

Xét phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc 2; 2

+) (1) vô nghiệm khi và chỉ khi

hoặc vô nghiệm

4) f  x  0 có nghiệm x     x1  x2  

    x

 x1    x2  

5) f  x  0 có nghiệm

 x    x   ) 

Xét bài toán ngược:

có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a  0 ).

Bài 1: Cho phương trình: m  2 x2  2m  8 x  5m  10  0 để

Bài 4: Cho phương trình: m  2 x2  3x  m  1  0 Xác định m để:

a) Phương trình có đúng một nghiệm thuôc 0;1

b) Phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;1

Bài 2: So sánh các nghiệm của phương trình sau với -2

S 2+  2

+ 0-

+

115

1.4 Dấu của tam thức bậc hai trên một miền

1.4.1 Cho tam thức bậc hai: f  x  ax2  bx  c , a  0

5) Tương tự với các trường hợp f  x  0 , x  D

- Nếu f  x có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a  0

f  x  m  2

x2  3m  6 x  m

 1  0

(1)







Gợi ý:

b) BPT có đúng 1 nghiệm  '

c) Để BPT có nghiệm là 1 đoạn có độ dài bằng 1 thì tam thức ở

VT của BPT phải có 2 nghiệm phân biệt

X 2  SX  P  0

Ví dụ 1: Cho phương trinh: m  1 x2  2m  1 x  m  2  0

a) Hãy lập phương trình bậc hai đó.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trài dấu nhau.

Giải

S  P  0



Khi đó:

2



là nghiệm của phương trình:

X n  S X n1  S2 X n2   1n S n  0

1.6 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức.

1.6.1 Phương pháp:

trưng cho (1) là f  x f  x cần thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:

● f  x hoặc  f phải thỏa mãn C  D mà từ các phương pháp khác ta chứng minh được A  B

Tương tự chứng minh các bất đẳng thức sau:

 2 2 2   

1 a1  a2   a n

 □

 4 a1  a 2   a n , ai  0,1 , i  1, n

 2sin2 C

 2cos A  B  sin C  1  0

(2)

là các góc trong tam giác

Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau:

Nếu y là 1 giá trị của hàm số thì phương trình

Với a  0 ta đi xét tương tự.

m2  4m  32

Bài 2: Cho x, y  □ thỏa mãn: x2

 2xy  3 x  y   2 y2

 4  0 (1).Tìm GTLN - GTNN của biểu thức

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

- Bước 3: giải và biện luận phương trình ax2  b x  c  0

 Chú ý: Nếu không nhẩm được nghiệm x0

phương pháp Cacnado để giải phương trình:

Lưu ý: Giải theo phương pháp này có lúc ra được cả nghiệm phức.

* Dựa vào các kết quả sau để dự đoán nghiệm x0

+ Nếu a  b  c  d  0 thì (1) có nghiệm



+ Nếu a  b  c  d  0 thì (1) có

x0  1

+ Nếu a,b, c, d □ , và (1) có nghiệm hữu

* Nếu phương trình có chứa tham số thì có thể coi tham số là ẩn

để thực hiện việc phân tích đa thức

2

x  2

;3

x  3 .2

Ví dụ 2: Xác đinh giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm dương

+ Nếu m  0  x  0 (loại)

Bài 2: Cho phương trình: mx3

 3m  4 x2  3m  7 x  m  3  0 a) Giải phương trình với m  3

b) Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt không dương.

 2x2

 12x  3 

0

(1)(2)

2

66

g t   at 2  bt  c  0

(2)

t2

t2

 (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm t  0

Chú ý: Bài toán tìm điều kiện của tham số để (1) có 4 nghiệm phân biệt

Bước 2: Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm

phân biệt dương:

 10a  9a (5)

Bước 4: kết hợp (5) và (3) ta được điều kiện của tham số.

2



  5 

 6t 2

 0





x2  4x  5  1  x2

+) Với t  9 , suy ra

x2  4x  5  9  x2

2.2.5 Phương trình hồi quy và phản hồi quy

2.2.5a Phương trình hồi quy.

2

 x  2  0 (vô nghiệm) b

2

33

Do x  0 không là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả 2

x  3  1  8  2 3

;

2

( 3  1)  8  2 3

2

2.3 Phương trình - bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

● Giải và biện luận (1):

+) Với m  1  (1) trở thành: 0 = 1 (vô nghiệm)

2

+) Nếu m  0 thì (2)  0  0 ( đúng)

+) Nếu m  0 thì (2) 

x 1  x x  m  0  m  x  0  x  1

a) Giải phương trình với m  1.

b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn:

1  m   16 19 thỏa mãn điều kiên đầu bài.

2.4 Phương trình - bất phương trình vô tỷ

khi phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: x  m

Ta thấy rằng (2) luôn có 2 nghiệm trái dấu x1  x2

 Xét bài toán ngược: phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi

hệ (I) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn:

x1  x2  m



Ví dụ 2: Cho bất phương trình: x  m x  3  m 

a) Giải bất phương trình với m  1

2b) Với giá trị nào của m thì bất phương trình có nghiệm

Vậy (1) vô nghiệm

Xét bài toán ngược: Tìm m để f t   0 không có nghiệm t  0

b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng x  2; 2  3

a) Giải phương trình khi m  1.

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Giải

(1)  23



mx3 2 x2 3x2  22

mx2  x2

 2x  1  0  x  1

3b) Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phươngtrình (2) có 2 nghiệm phân biệt

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  1; \ 0 .

Ví dụ 3: Cho phương trình: log2 5  1  log4 2  5  2 

khi và chỉ khi 3 phải cónghiệm đúng t  1.

Bài 3: Giải và biện luận bất phương trình: log 32  2mlog 3  1  0

2.6 Phương trình - bất phương trình lượng giác

 k , k □  .

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình: cos2x  3cos x  2  m 

Có nghiệm x  0;  

(1) 

2cos2 x  3cos x  1  m  0 Đặt t  cos x

2 

2t 2  3t  1  m 

0

(2)

Và yêu cầu bài toán  (2) có nghiệm đúng t 0;1

Cách 1: Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai trên một miền:



cos2 x  2m cos x  m  5  0

phương trình bậc nhất rồi thế vào phương trình còn lại ta được 1 phươngtrình bậc hai của y ( hoặc x).

a,b,c, d , a1 ,b1 , c1 , d1 là các số cho trước.

Bước 1: Khử số hạng tự do để dẫn tới phương trình:

Ax2  Bxy  cy2

13

vào hệ ta được phương trình 1 ẩn y

Bước 1: Khử số hạng x2 (hoặc y2 ) để dẫn tới phương trình dạng:

Thay (3) vào (1) ta được:

3.2 Một số hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc hai

3.2.1 Hệ phương trình đối xứng loại 1

 4

 xy; x  y là nghiệm của phương trình:

m  1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất.

y2   x2  y2   110

 f  x2  y2    x2  y2 2   x2  y2   182  0 (3)Xét (3) là tam thức bậc hai với biến là x2  y2  , ta có

(3)  

x2

 y2

 x2

 y2  13Suy ra, hệ (I)  

Bài 3: Chứng tỏ rằng hệ phương trình sau luôn có nghiệm với m :

x  y  xy  2m  1



 xy  x  y   m2

 m

Và xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

3.2.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2

3.2.2a Định nghĩa:

Hệ phương trình đối xứng loại 2 đối với 2 ẩn x và y là hệ phươngtrình nếu thay x bởi y ( y bởi x) thì phương trình này trở thành phươngtrình kia của hệ:

3.2.2b Cách

giải:

 f  x, y   0

 f  y, x  0

(I)

Bước 1: kiểm tra hệ là hệ phương trình đối xứng loại 2

Bước 2: Trừ - cộng vế với vế của 2 phương trình đã cho, ta được:

● Nếu  x0 , y0  là nghiệm của hệ thì

3.2.2c Thí dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: x3

 3x  8 y



 y3  3y  8x

Hệ (I) là hệ phương trình đối xứng loại 2

Ta có: x2

 y2

 0(I)  

 x  y  2 x  y  0

 x  y   x  y   0

 x2  y2   2 x  y   0

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là: 0;0 ; 2; 2 .

Ví dụ 3: Giải và biện luân hệ phương trình:

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

a2  3a  3  0

a) Giải hệ phương trình với a  b  2

b) CMR nếu a  1 thì hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi b.

a  1 g 0  0  (I) luôn có nghiệm với mọi b

f t  đơn điệu trên I , giả sử là đồng

biến trên I ta đi chứng minh

● Tương tự nếu f  x  x  f  f  f  x    x ( mâu thuẫn với hệ).

  x  13  0  x  1.

Vậy, nghiệm của hệ là:

CHƯƠNG 4: SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP

Bài toán 1: Cho

  ' f  0   16

 y   z

Vậy dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi

Bài toán 3: Chứng minh rằng:

a  cos x  cos y  cos x  y 

 2cos x  y  cos x  y  2cos2 x  y  1

 y  1 là 1 điểm của tập giá trị.

a  1.

22

 u  1 ( thỏa mãn)

u2  6u  7  0   u  7 ( loại)

7

Bài toán 9: Cho bất phương trình: x2

 2sin y  cos y  x  2sin2

(I)



Để hệ (I) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:  2;0

Bài toán 11:Chứng minh rằng hệ phương trình sau luôn có nghiệm với

x  0 thay vào (1) ta được: b2  1y  1  y  0 ,  b.

 1  1  x  0 , b.

Vậy hệ (I) luôn có nghiệm là:  x; y   0;0

Bài toán 12: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

2x2

 2xy  y2

 6





 y  y t   y  1  

 2 

80514

 S  0

 2

t2

Bài toán 15: Cho phương trình:

x4  2m  1 x2  m2 1  0tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

tức là f t   t 2

 2mt  m2

 3  0

t  0

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn

Bài toán 17: Tìm m để phương trình:

từ đó suy ra giá trị của m.

Bài toán 19: Tìm m để phương trình:

để (1) có nghiệm x  2 khi và chỉ khi (3) có nghiệm t  0

KẾT LUẬN

Với đề tài “Tam thức bậc hai - ứng dụng trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp” trong phạm vi giới hạn, em đã đưa ra:

- Một phương pháp giải cho các bài toán sơ cấp

- Sáng tạo một số bài toán sơ cấp dung phương pháp tam thứcbậc hai để giải

- Các bài toán từ dễ tới khó phù hợp với từng đối tượng học sinh

- Nâng cao tư duy toán học, có ý nghĩa thiết thực với việc học tậpcủa học sinh luyện thi vào đại học, cao đẳng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

phương trình, NXB Giáo dục, Hà Nội.

(2005), Các phương pháp giải tam thức bậc hai và các ứng dụng,

NXB Hà Nôi

chuyên đề tam thức bâc 2 các ứng dụng đặc sắc, NXB trẻ.

phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp- tập 3, NXB

ĐHQG Hà Nội

(2001), Các bài giảng luyện thi môn toán - tập 1, NXB Giáo dục,

Hà Nội