Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Khoá luận tốt nghiệp2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN *****&***** VŨ THỊ THANH HUYỀN PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán ứng

Khoá luận tốt nghiệp

1

Khoá luận tốt nghiệp

2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

*****&*****

VŨ THỊ THANH HUYỀN

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội, 2009

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

*****&*****

VŨ THỊ THANH HUYỀN

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học Th.s Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội, 2009

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

LỜI CAM ĐOAN 4

LỜI NÓI ĐẦ U 5

C hương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 H àm phân phối xác suất 6

1.1.1 Một số định nghĩa 6

1.1.2 Hàm phân phối xác suất của một số b.n.n độc lập 6

1.2 Hàm sinh mômen 8

1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen 8

1.2.2 Hàm sinh mômen của một số b.n.n độc lập 10

C hương 2 Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên 13

2.1 Kĩ thuật dựa trên hàm phân phối xác suất đồng thời 13

2.1.1 Mô tả phương pháp 13

2.1.2 P hân phối xác suất của Max và Min 14

2.1.3 Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên 18

2.1.4 Phân phối của tích và thương 21

2.2 Kĩ thuật dựa trên hàm sinh mômen 24

2.2.1 Mô tả phương pháp 24

2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập 27

2.3 Kĩ thuật dựa trên phép biến đổi Y g X  32

2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối rời rạc 32

2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục 34

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biếy ơn sâu sắcđến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và các thầy, cô giáo trong tổToán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khoáluận

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáoNguyễn Trung Dũng- người đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị vàhoàn thành khoá luận

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo, Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng

Trong quá trình làm khoá luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu

ở mục tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan khoá luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng

em và nó không trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác

Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2009

Sinh viên

Vũ Thị Thanh Huyền

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay, “ Lý thuyết xác suất” đã không còn là một lĩnh vực toán học

mới mẻ mà nó đã trở thành một ngành Toán học lớn trong nền toán học thế giới.Người ta biết đến lý thuyết xác suất không chỉ vì nó là một ngành toán học chặtchẽ về lý thuyết mà nó còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩthuật, khoa học xã hội và nhân văn Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê,một khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu,thông tin định lượng

Với đề tài : “ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN” luận văn trình bày một số phương pháp tìm phân phối xác suất của

hàm các biến ngẫu nhiên Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số biến ngẫu nhiên thường gặp và hàm sinh mômen của nó

Chương 2 Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Trong chương này trình bày một số phương pháp để tìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Với khóa luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho những aiquan tâm đến vấn đề này

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1.1.1 Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Hàm

số F X xP : X   x,

x  được gọi là hàm

phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên

phối xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên X.

Từ phân phối xác suất đồng thời của X1, X 2 ta có thể tìm ra phân phối của X1hoặc X 2 Khi đó phân phối

của

X1 và X 2 của được gọi là phân phối biên duyên

1.1.2 Phân phối của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

Đặc biệt

nếu n 1 thì ta nói X có phân phối Becnuli.

b Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.4 B.n.n X được gọi là có phân phối Poisson với tham số

c Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)

Định nghĩa 1.5 B.n.n X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số( ,2

e Phân phối đều

Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên đoạn 1

f Phân phối Gamma

Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma với các

1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen

Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X Hàm sinh mômen của X kí hiệu là

X

2 2



2

1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

a Biến ngẫu nhiên có phân phôi nhị thức

Nếu X tuân theo phân phối nhị thức B(n,p) thì

, 1

X t  p e q q  p

b Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson

Nếu X tuân theo phân phối Poisson Poi( ) thì

c Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0,1) thì

Chứng minh

Ta có

t2

d Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ

Nếu X tuân theo phân phối mũ

Chương 2: PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN

là các hàm đo được trên

biến ngẫu nhiên Y1,,Y k

□ Khi đó hàm phân phối xác suất đồng thời của cácđược xác định bởi

đồng thời của biến ngẫu nhiên Y g X X 2 .

Giải Theo định nghĩa ta có

Sau đây là một số ứng dụng của phương pháp này.

2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min

diễn được qua hàm phân phối biên duyên của X1,, X n .

Định lý 2.1 Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có các hàm phânphối xác suất tương ứng là

X1,, X n có cùng hàm phân phối xác suất là F X thì

X

X

i

i

Ví dụ 2.2 Giả sử tuổi thọ của một bóng đèn thắp sáng là một biến ngẫu nhiên có

phân phối mũ với trung bình là 100 giờ Thắp sáng đồng thời 10 bóng Tìm phânphối xác suất của bóng đèn tắt đầu tiên và tính kì vọng của nó

Giải

Giả sử

X i là tuổi thọ của bóng đèn thứ i, i=1, 2,…, n thì Y1 MinX1,, X n

 làbóng đèn có tuổi thọ ngắn nhất(hay là bóng đèn tắt đầu tiên)

Giả sử X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập

2.1.3.Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên

Định lý 2.3 Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác

d

Chú ý: Công thức được cho trong phương trình (3) thường được gọi là công thức

chập Trong giải tích toán, hàm f Z

 được gọi là tích chập của các hàm f X 

2.1.4 Phân phối của tích và thương

Định lý 2.4 Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác

0

 



I0,1u 0ydy I1,u  ydy 

2.2 KĨ THUẬT DỰA TRÊN HÀM SINH MÔMEN

Đặc biệt, với k=1 thì hàm sinh mômen là hàm của một biến số nên ta cóthể đoán nhận được hàm phân phối tương ứng với nó là gì còn trong trường hợpk>1 thì kĩ thuật nay sẽ bị hạn chế vì ta chỉ có thể đoán nhận được một vài hàmphân phối tương ứng với hàm sinh mômen tìm được

Ví dụ 2.5 Giả sử biến ngẫu nhiên ngẫu nhiên Y X 2

.1

là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc.

Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu

i1 i1

là hàm sinh mômen của

biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Do đó

Đây là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình

là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với phân

phối chuẩn với trung bình là  và phương sai là

Định lý 2.6 ( Định lý giới hạn trung tâm) Nếu với mỗi số nguyên dương n,

X1 ,, X n

2

 KĨ THUẬT DỰA TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI Y g X 

2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất rời rạc

biến ngẫu nhiên Y g X X 22

là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác

suất được cho trong bảng sau :

Tìm phân phối xác suất của

(i)

y g xlà phép biến đổi 1-1 từ A vào B

(ii) Đạo hàm cấp một của

x g 1 y theo y là liên tục và khác không với

Theo định lý 2.6, biến ngẫu nhiên Y

Ví dụ 2.17 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên khoảng (0, 1) và

Y g X X 2 Tìm hàm phân phối xác suất của Y

Ví dụ 2.18 Giả sử X có phân phối Pareto với hàm mật độ f Y yx

I1,

x.Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y ln X

Đặc biệt, giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F X .

Trong phép biến đổi Y g

có phân phối đều trên khoảng 0,1 Ngược lại, nếu Y có phân

phối đều trên khoảng

1

Do là lấn đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn nữa

do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏinhững thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô vàcác bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] M., Graybill F.A., Boes D.C., (1974), “ Introduction to the theory of

Statistics”, MC Graw- Hill.

[2] William C Rinaman, (1994), “ Foundations of Probability and Statistics”,

Sounders College

[3] George G Roussas, (1998), “ A course in Mathematical Statistics”,

Academic Press