Định lý Minimax khôg lồi đối với đa thức thuần nhất tách được

Li công bố bài báo “A Note on Nonconvex Minimax Theorem with Separable Homogenous Polynomials” đã cho chúng ta một cách nhìn định lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất tách đượ

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 4

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Khái niệm không gian định chuẩn 6

1.2 Không gian Hillbert 8

1.2.1 Tích vô hướng 8

1.2.2 Bất đẳng thức Schwarz 9

1.2.3 Định nghĩa không gian Hilbert và ví dụ 9

1.3 Tập lồi 10

1.3.1 Định nghĩa và tính chất 10

1.3.2 Bao lồi và bao lồi đóng 11

1.3.3 Các định lý tách 12

1.4 Hàm lồi 13

1.4.1 Hàm lồi 13

1.4.2 Các phép toán về hàm lồi 16

1.4.3 Tính liên tục của hàm lồi 18

1.5 Tập mở và tập đóng 18

1.6 Tập compact 18

Chương 2 Định lý minimax không lồi 20

2.1 Đa thức thuần nhất tách được; Tính lồi của miền giá trị ghép 20

2.2 Định lý minimax không lồi 23

2.3 Ứng dụng của định lý minimax không lồi 28

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

LỜI MỞ ĐẦU

Định lý minimax cho hàm tách được lồi - lõm là định lý cơ bản trong lýthuyết tối ưu và giải tích lồi, nó có rất nhiều ứng dụng trong nền kinh tế Mởrộng của định lý minimax cổ điển cho trường hợp không lồi đã được nghiên cứutrong suốt hai thập kỉ qua (xem trong [4,5,7]), bằng cách thêm các giả thiết lồi

tổng quát Tháng 7 năm 2011, G Y Li công bố bài báo “A Note on Nonconvex

Minimax Theorem with Separable Homogenous Polynomials” đã cho chúng ta

một cách nhìn định lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất tách đượcmột cách đầy đủ và chính xác nhất Đặc biệt, áp dụng tính lồi ẩn (tính lồi củamiền giá trị ghép) của đa thức thuần nhất tách được, ông đã chứng minh đượcđịnh lý minimax không lồi áp dụng cho đa thức thuần nhất tách được Với ýtưởng tương tự, đã có một số công trình được công bố với hệ toàn phương khônglồi, xem trong [8,9] Các kết quả thu được trong bài báo [12] cung cấp cho chúng

ta thêm một cách nghiên cứu về định lý minimax không lồi, bằng cách lấy một

số điều kiện có thể kiểm tra dễ dàng hơn

Là một sinh viên Sư phạm, chuyên ngành Sư phạm Toán, tôi mong muốnđược tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết tối ưu và giải tích lồi nói chung cũng nhưđịnh lý minimax nói riêng Đặc biệt, dưới sự gợi mở, hướng dẫn, chỉ bảo tận tìnhcủa thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn tôi đã chọn đề tài

“Định lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất tách được”

Khoá luận tập trung làm rõ một số nội dung liên quan đến định lý minimaxkhông lồi đối với đa thức thuần nhất tách được, một số bổ đề và hệ quả có liên

4

quan Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khoá luận gồm haichương:

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tác giả hệ thông lại một số kiến thức chuẩn bị cho định

lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất tách được

Chương 2 Định lý minimax không lồi

Chương này trình bày khái niệm đa thức thuần nhất tách được; Tính lồi củamiền giá trị ghép Phát biểu, làm rõ chứng minh định lý minimax không lồi vàứng dụng của nó

Do thời gian nghiên cứu có hạn và khả năng của bản thân còn hạn chế nênkhoá luận này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, trình bày các nội dung chínhtheo chủ đề đã đặt ra Trong quá trình viết khoá luận cũng như trong quá trình xử

lý văn bản, khoá luận không tránh được những thiếu sót nhất định Vì vậy, tôi rấtmong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn đọc để khoá luận đượchoàn thiện hơn

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định

chuẩn) là không gian tuyến tính X trên □ cùng với một ánh xạ từ X vào tập số

thực □ , ký hiệu là  và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1) x  0 ; x = 0  x  0 , x  X ;

2)  x   x , x  X ,  □ , (tính thuần nhất);

3) x  y  x  y , x, y  X (bất đẳng thức tam giác).

Số x gọi là chuẩn của vector x Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X

Các tiên đề 1) 2) 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn

Ví dụ 1.1 Đối với số thực bất kỳ x □ , ta đặt

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.1) cho mộtchuẩn trên □

Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là

1

 x 2 j1

,   là không gian Banach

Ví dụ 1.3 Cho không gian vector l  

Ta dễ thấy (1.3) xác định một chuẩn trên không gian l2 Hơn nữa, l2 ,

không gian Banach

Ta dễ thấy (1.4) xác định một chuẩn trên không gian □a, b Hơn nữa,

□ a, b,   là không gian Banach

Nhận xét 1.1 Các chuẩn thỏa mãn (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) là các chuẩn Euclide.

1.2 Không gian Hillbert

1.2.1 Tích vô hướng

Định nghĩa 1.2 Cho X là không gian tuyến tính trên □ Ta gọi là tích vô

hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X  X

Các phần tử của x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, các tiên đề 1), 2),

3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

,x, y  X ,  □ ;

3) x, y  z  x, z  y,

z

,x, y, z  X

, là một hàm liên tục theo hai biến đối với chuẩn

Định nghĩa 1.4 Không gian tuyến tính trên trường số thực □ cùng với một tích

vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert

1.2.3 Định nghĩa không gian Hilbert và ví dụ

Định nghĩa 1.5 Không gian tiền Hillbert H

H là không gian Banach.

Ta gọi một không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

Dễ dàng thấy hệ thức (1.7) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng Chuẩn sinh bởitích vô hướng (1.7)

trùng với chuẩn (1.2) đã biết trên không gian

□ cùng với tích vô hướng (1.7) là một không gian Hilbert

1.3 Tập lồi

1.3.1 Định nghĩa và tính chất

Giả sử X là không gian tuyến tính, □ là tập các số thực

Định nghĩa 1.6 Tập A  X được gọi là tập lồi, nếu mọi x1, x2  A , mọi  □ ,

Ví dụ 1.6 Các nửa không gian là tập lồi; các tam giác và các hình tròn trong mặt

phẳng là các tập lồi; hình cầu đơn vị trong không gian Banach là các tập lồi; …

Mệnh đề 1.1 Giả sử A  X (  I ) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ.

Khi đó, tập A   A

I cũng là tập lồi

Từ định nghĩa 1.7 ta nhận được các mệnh đề 1.2, 1.3, 1.4

k

1.3.2 Bao lồi và bao lồi đóng

Định nghĩa 1.9 Giả sử A là tập lồi, A  X Giao của tất cả các tập lồi chứa A

được gọi là bao lồi của tập A , ký hiệu là conv A

Định lý 1.3 Tập convA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A.

Hệ quả 1.2 Tập A là lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A Định nghĩa 1.10 Giả sử A là tập lồi, A  X Khi đó, giao của tất cả các tập lồi

đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A , ký hiệu là conv A

Mệnh đề 1.5 Giả sử A là tập lồi, A  X Khi đó

1) Phần trong int A và bao đóng A của A là các tập lồi.

Định nghĩa 1.11 Không gian vector tôpô có một cơ sở gồm những lân cận lồi của

điểm gốc được gọi là không gian vector lồi địa phương (không gian lồi địa

phương) Định nghĩa 1.12 Cho các tập A và B nằm trong không gian lồi địa

lồi địa phương X , A  B   , int A   Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính

x  X 

, x  0 , tách hai tập A và B

Hệ quả 1.3 Giả sử A, B là các tập lồi trong không gian lồi địa phương X ,

int A   Khi đó, hai tập A và B tách được khi và chỉ khi int A B  

Định lý 1.6 (Định lý tách thứ hai) Giả sử A là không gian con lồi đóng

trong

không gian lồi địa phương X

ngặt (hoặc tách chặt) tập A

Hệ quả 1.4 Giả sử X là không gian lồi địa phương Hausdorff, A  X Khi đó,

coA trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A

f :D  □ .

Định nghĩa 1.13 Trên đồ thị của hàm f , kí hiệu là epi f , được định nghĩa bởi

Định nghĩa 1.15 Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f   và

với mọi x thuộc D

f  x  

Định nghĩa 1.16 Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong X  □

Hàm f được gọi là lõm trên D nếu  f là hàm lồi trên D

Nhận xét 1.6 Hàm f là hàm lồi thì dom f cũng lồi.

f là hàm lồi trên X ,

 □   I , I là tập

chỉ số bất kỳ Khi đó, tập

A  x  X : f  x   ,   I là tập lồi

Định nghĩa 1.17 Giả sử hàm f xác định trên X được gọi là thuần nhất dương

nếu với mọi x  X

Hệ quả 1.6 Giả sử hàm f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương Khi đó,

với mọi xi X

Nhận xét 1.7 Tính chất lồi của hàm không giống tính chất đóng Cụ thể, nếu

hàm f hàm lồi thì tất cả các tập mức của hàm f là tập lồi Nhưng điều ngược

lại không đúng

Định nghĩa 1.19 Cho bài toán tối ưu (P): f  min

(P) được kí hiệu là argmin (P).

hàm f1, , f m là các hàm lồi chính thường trên X thì

f1   f m là hàm lồi, nhưng có thể không chính thường

Định lý 1.13 Giả sử F là tập lồi trong X  □ và

f  x  inf  : x,   F. (1.12)

Khi đó, hàm f là hàm lồi trên X

Định nghĩa 1.20 Giả sử  f I là một họ tuỳ ý các hàm

a) Cận trên của các hàm f , kí hiệu là I f , được xác định bởi

Mệnh đề 1.7 Giả sử f   I  là các hàm lồi trên X Khi đó,

a) Hàm I f là hàm lồi,

b) Hàm conv I f là hàm lồi.

Nhận xét 1.9 Nếu f   I  là các hàm lồi chính thường thì các hàm cận trên

và bao lồi cận dưới là lồi nhưng có thể không chính thường

Định nghĩa 1.21 Giả sử X là không gian lồi địa phương, hàm f là một hàm lồi,

ta có các định nghĩa sau

a) Bao đóng của hàm f , kí hiệu là f , được xác định bởi

epi f  epi f ;

b) Bao lồi và bao lồi đóng của hàm f , kí hiệu lần lượt là conv f và conv f ,

được xác định tương ứng bởi:

epiconv f   convepi f  ;epiconv f   convepi f 

Nhận xét 1.10.

a) Hàm f đóng khi và chỉ khi f  f ;

b) Bao đóng của một hàm lồi là một hàm lồi;

c) Bao đóng của một hàm chính thường có thể không chính thường;

d) Tổng hữu hạn các hàm đóng là một hàm đóng;

e) Cận trên của họ tuỳ ý các hàm đóng là một hàm đóng

1.4.3 liên tục của hàm lồi

Định lý 1.14 Giả sử hàm f là hàm lồi chính thường trên X Khi đó, các khẳng

định sau tương đương:

(i) Hàm f bị chặn trên trong một lân cận của x ;

(ii) Hàm f liên tục tại x ;

int epi f     x,   X  □ :x intdom f , f  x  

1.5 Tập mở và tập đóng

Định nghĩa 1.22 Cho không gian định chuẩn  X ,

  Ta gọi lân cận của điểm

x trong không gian X là mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r dương nào đấy.

Định nghĩa 1.23 Cho không gian định chuẩn  X

,

  và tập A  X

tại một lân cận của x bao hàm trong A

tập compact trong không gian X nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K Tập K được gọi là tập compact

tương đối trong không gian X nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X).

Ví dụ 1.8 Trong không gian metric □ (tập số thực □ với metric tự nhiên) đoạn

bất kỳ là tập compact, khoảng bất kỳ là tập compact tương đối Trong khônggian Euclide □

n tập bất kỳ đóng và bị chặn là tập compact, tập bất kỳ bị chặn làtập compact tương đối

1

Chương 2

Định lý minimax không lồi

2.1 Đa thức thuần nhất tách được; Tính lồi của miền giá trị ghép

1

21chỉ ra rằng miền giá trị ghép

R  f1, , f p  luôn là tập lồi

Bổ đề 2.1 Cho  là một hộp compact trong □ m và f i i  1, , p là đa thức

thuần nhất tách được bậc q trên □

đó, R)  ( f1, , f p là một tập lồitrong □

Vì vậy u1, ,u p     f 1 j (x j ), , f pj (x j ): x j  j 

j1

nên

m

Vì tổng của những tập lồi là một tập lồi Từ (2.2), với j cố định, j 1, , m, nếu

 j là một tập lồi compact trong □ , giả sử  j =  j ,  j  thì

Định nghĩa 2.4 Tập hợp gồm tất cả các đa thức thuần nhất tách được (hoặc một

hằng số), kí hiệu là

Vì phép tịnh tiến bảo toàn tính lồi nên hệ quả 2.1 được suy ra trực tiếp từ bổ đề 2.1.

Hệ quả 2.1 Nếu  là một hộp compact trong □ , q □ và f i  S q , i  1, , p

thì

R  f1, , f p  là một tập lồi trong □p

2.2 Định lý minimax không lồi

Bằng cách sử dụng tính lồi của miền ghép giá trị của đa thức thuần nhất táchđược chúng ta có định lý minimax không lồi và việc chứng minh nó dựa theo cácchứng minh cổ điển của định lý minimax cho hàm tách được lồi - lõm đã đượctrình bày trong [16]

Định lý 2.1 Cho  là một hộp compact trong □ , q □ và A là một tập lồi,

Chứng minh Để chứng minh được định lý 2.1, ta chỉ cần chứng minh

inf max f (x, y)  max

f (u, y x )   , với mọi u Vx (2.3)

Do  là hộp compact và    xV x nên tồn tại các số x1, , x p  sao cho

 f (x j , y1 ), f (x j , y2 ), , f (x j , y p )   f1 (x j ), f2 (x j ), , f p (x j ) R ( f1, , f p )

là lồi với

mọi x

 nên

Ba hệ quả sau được chứng minh dễ dàng nhờ định lý minimax Đặc biệt, hệquả 2.4 chính là định lý von-Neumann nổi tiếng.

Hệ quả 2.2 Cho  là một hộp compact trong □ , q □ và A là một tập lồi, tập A  □ n

Cho hàm

f ( , y) là đa thức thuần nhất tách được bậc q

và với mỗi x cố định, x □ m , f (x,) là hàm afin Do đó, từ định lý 2.1 ta có

Hệ quả 2.3 Cho  là một hộp compact trong □ , q □ và A là một tập lồi,

và hàm f2 : □  □ là hàm lồi Khi đó, ta có

1

inf max f1 (x) f2 ( y)  max

f ( , y) là đa thức thuần nhất tách được bậc

,

và f2 là hàm lồi) Do đó, từ định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh. 

Hệ quả 2.4 Cho hai số m, n □ ,   x  (x1 , , x m ) □ :

f (x, y)  x,U y ;

với mỗi y cố định, y □ , f (, y) là một hàm số tuyến tính và với mỗi x cố định, f (x,) cũng là một hàm tuyến tính Do đó, từ định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh, vì mọi hàm tuyến tính là lồi và thuộc tập S1 Tiếp theo, ta trình bày ví dụ minh hoạ cho hệ quả 2.2

Ví dụ 2.1 Cho m  2 và n  1,   1,1 1,1 và A  □ Xét hàm tách được

m n

m

2.3 Ứng dụng của định lý minimax không lồi

Xét bài toán (P) với đa thức thuần nhất tách được không lồi với hộp ràng

này hướng vào ứng dụng của định lý minimax thu được khoảng không đối ngẫucho bài toán  P (Với phép tính gần đúng xác minh được kết quả khoảngkhông đối ngẫu, tham khảo tài liệu [6,10,11,13,14,15]).

Không giảm tính tổng quát ta có thể viết lại như sau

Định lý 2.2 Cho cặp đối ngẫu  P và  DP , khi đó khoảng không đối ngẫu

inf max f (x, y)  max

KẾT LUẬN

Khoá luận được hoàn thành chủ yếu dựa theo [12] và một số tài liệu khác.Trong khoá luận này, tác giả đã trình bày, làm rõ một số nội dung liên quan đếnđịnh lý minimax không lồi, đa thức thức thuần nhất tách được (tính lồi của miềngiá trị ghép), định lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất tách được(định lý 2.1), ứng dụng của định lý minimax không lồi Cụ thể, khoá luận đã:

● Hệ thống lại một số kiến thức chuẩn bị cho định lý minimax không lồivới đa thức thuần nhất tách được;

● Đưa ra ví dụ làm rõ thêm các kết quả;

● Làm rõ hơn nội dung đa thức thuần nhất tách được; tính lồi của miền giátrị ghép), nội dung chứng minh định lý minimax đối với đa thức thuần nhất tách được (định lý 2.1) theo [12], ứng dụng của định lý minimax không lồi

Đề tài “Định lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất tách được” là

đề tài có tính thời sự và đang được nghiên cứu rất nhiều trong những năm gầnđây Tôi hi vọng rằng trong tương lai sẽ có thể có những đóng góp có ý nghĩacho hướng nghiên cứu này

TÀI LIỆU THAM KHẢO[A] Tài liệu tiếng Việt

[1] PGS TS Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật

Hà Nội

[2] PGS TS Đỗ Đăng Lưu - PGS TS Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi,

NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội

[3] Hoàng Tuỵ (2003), Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học, Viện Khoa học và

Công nghệ Việt Nam

[B] Tài liệu tiếng Anh

[4] Craven, B D., Jeyakumar, V (1986), Equivalence of Ky Fan type

minimax theorem and a Gordan type alternative, Oper Res Lett.,5, 99 -

102

[5] Frenk, J B., Kassay, G, (2007), Lagrangian duality and cone convex-like

functions, J Optim Theory Appl., 134, 207 - 222.

[6] Giannessi, F., Mastroeni, G (2008), Separation of sets and Wolfe duality,

J Global Optim.,42, 401 - 412

[7] Jeyakumar, V (1986), A generalization of a minimax theorem of Fan via a

theorem of the alternative, J Optim Theory Appl., 48, 525 - 533.

[8] Jeyakumar, V., Huy, N q., Li, G (2009), Necessary and sufficient conditions

for S-lemma and nonconvex quadratic, Optim Eng., 10, 491 - 503.