PHƢƠNG PHÁP LIÊN HỢP TRONG CÁC BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Phương pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 1 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP TRONG CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Vấn đề 1: Liên hợp trực tiếp giữa các căn thức: Lời giải chi tiết: Biến

Trang 1

Phương pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 1

PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP TRONG CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Vấn đề 1: Liên hợp trực tiếp giữa các căn thức:

Lời giải chi tiết:

Biến đổi phương trình ta có:

Trang 2

Ta sẽ tiến hành giải bài toán theo 2 hướng sau:

Biến đối phương trình ta có:

Cách 1:

x - 3 3 - x10x + 1 - 9x + 4 = 2x - 2 - 3x - 5 =

Trang 3

Do phép nhân liên hợp ban đầu là phép biến đổi hệ quả nên ta phải thử lại nghiệm

Thử lại ta thấy x=3 là nghiệm của phương trình

KL: Phương trình đã cho có 1 nghiệm x=3

Nhận xét, rút kinh nghiệm:

 Rõ ràng, trong 2 cách giải thì cách 1 đơn giản hơn so với cách thứ 2 Nhưng vấn đề khi các bạn làm bài thường sẽ nhanh chóng nhìn thấy cách 2 hơn Thế nên, nói chung là giải theo cách 1 hay cách 2 cũng chỉ là may mắn thôi

 Nếu các bạn làm theo cách thứ 2: Ở đây tôi xin giới thiệu tới các bạn một phương pháp xử lý

phương trình sau khi liên hợp đó là kết hợp với phương trình ban đầu tạo hệ phương trình

Từ đó, ta sẽ thu được một phương trình mới đơn giản hơn Thực hiện phép bình phương với phương trình mới, các bạn sẽ giải được phương trình một cách đơn giản

 Nhưng không phải lúc nào cũng có thể dễ dàng kết hợp với phương trình ban đầu tạo ra

phương trình đơn giản hơn ( Mỡ đấy mà húp-Trích từ các cụ) Thế nên, mới phải ngồi mà suy nghĩ ra các phương pháp đằng sau chứ

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3x - 5x2 1 - x - 22 3 x - x - 1 - x - 3x2 2 4

Có (x-2) là nhân tử chung, thực hiện phép biến đổi liên hợp theo dạng 2

Trang 4

Xét một ví dụ về căn bậc ba (Làm nhiều căn bậc hai cũng chán rồi Thay đổi không khí tí Hè hè)

Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 3 2 2 3

Trang 5

KL: Phương trình đã cho có 2 nghiệm x=1; x=2

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

Trang 6

Trong các bài toán giải phương trình có chứa căn đều có thể áp dụng được phương pháp này

Phương pháp liên hợp thường sử dụng một số biểu thức liên hợp sau:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Trang 7

Nguyên tắc của phương pháp:

 Bước 1: Dùng máy tính cầm tay với chức năng SLOVE để giải phương trình Từ đó nhẩm được các

nghiệm x=x0 của phương trình

 Bước 2: Tính toán các biểu thức liên hợp Trong các bài toán này ta thường sử dụng biểu thức liên

hợp số (2) và số (5)

Chú ý B= a (a là hằng số) nếu phương trình ban đầu có 1 nghiệm B=ax+b ( biểu thức bậc nhất của x) nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt

 Bước 3: Tách phương trình, ghép các phần là biểu thức liên hợp của nhau lại Tiến hành nhân liên

hợp  Nhân tử chung nghiệm của phương trình

 Bước 4: Chứng minh phần còn lại của phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất x0: Trong bước này thường phải chú ý điều kiện của phương trình + sử dụng linh hoạt các bất đẳng thức,

phương pháp đánh giá

Để hiểu rõ phương pháp hơn, Ta tiến hành giải một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2x 3 x 2x6

ĐK: 3

2

x

Bước 1: Bấm máy tính suy ra phương trình có nghiệm: x= 3

Bước 2: Do phương trình có 1 nghiệm nên ta xét

 Do x=3 thay vào ta có a=b= 3

Bước 3: Tách phương trình tạo các biểu thức liên hợp:

Trang 8

Từ đó suy ra phương trình (1) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm x=3

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x29x202 3x10

3 10 1

x x

Trang 9

x x

KL: Phương trình ban đầu có duy nhất một nghiệm x = -3

Chú ý: Trong bài toán này phương trình (1) không vô nghiệm Nên chỉ có thể là trường hợp có nghiệm x=x0

như ban đầu ta tách Nên công việc trong bài toán này ta đi thực hiên phương pháp liên hợp 2 lần

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3x 1 5x 4 2x3

ĐK: 1

3

x 

Trong bài toán này: nhẩm nghiệm ta thấy x=0;x=1

Phương trình có 2 nghiệm nên tính toán biểu thức liên hợp như sau:

Trang 10

 2 2

KL: Phương trình ban đầu có nghiệm x=0; x=1

Ví dụ 4: Giải phương trình sau: 34x23x 8 2 3x 2 2x1

Nhẩm nghiệm phương trình có 2 nghiệm x=1; x=9

Tính toán biểu thức liên hợp

3x 2 ax b với x=1; x=9 thay vào thu được hệ phương trình:

3

2 3

2 3 2 ( 1)(4 3 8) (x 2) 4 3 8 2

Trang 11

2

2 3

Bước 2: Tính toán biểu thức liên hợp: 3 x  5 x 7; 3 5 11 x  9 3x

Lời giải chi tiết:

Trang 12

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=1; x=3

 Trong một số bài toán việc chứng minh phần phương trình vô nghiệm rất khó khăn Ở đây tôi xin giới thiệu một kỹ thuật để tạo ra biểu thức luôn dương hoặc luôn âm Kỹ thuật này như các thầy thì nó được gọi là kỹ thuật TRUY NGƯỢC DẤU

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x 2 4 x 2x 5 2x25x

Trang 13

Trang 14

 Trong cách giải thứ 1 ta có thể dễ dàng thêm bớt tạo các biểu thức liên hợp Nhưng vấn đề ở chỗ khi đánh giá biểu thức A luôn <0 thì không hẳn ai cũng có thể tách được các số 1, 2 để ghép với các phân

thức >0 trong biểu thức A đó

 Thế nên, với kỹ thuật truy ngược dấu ở cách làm thứ 2 nó đã khắc phục được vấn đề này Nhưng, quan trọng là việc thêm bớt các biểu thức liên hợp như thế nào Dưới đây tôi sẽ phân tích đầy đủ về

kỹ thuật truy ngược dấu trọng ví dụ trên

Phân tích kỹ thuật truy ngược dấu:

Bước 1: Các bạn cần chuyển phương trình về dạng mà biểu thức bên ngoài (2x2

5x không bị đổi thành 2x2+5x) tức là hệ số của x mũ cao nhât phải dương như bên dưới đây nhé:

Bước 2 Xét các căn cần thực hiện truy ngược dấu:

Những căn thực hiện truy ngược dấu các bạn chỉ cẩn quan tâm tới hệ số của x Nếu <0 thì phải truy ngược dấu, còn >0 thì không phải truy ngược dấu

  có 1 dấu “-“ trước x nên được coi là hệ số của x<0 nên phải truy ngược dấu

Bước 3: Nhân thêm hệ số vào phương trình

Theo phương pháp thông thường với x2 ta tính được hệ số liên hợp cần thêm bớt vào là 1

Với 2x5 hệ số liên hợp cần thêm bớt vào là 1

Nên ta sẽ tiến hành nhân phương trình ban đầu với tích của 2 hệ số liên hợp tính toán là (1.1=1) Tức là bài này sẽ nhân 1 vào 2 vế của phương trình

Trang 15

Do bài này đặc biệt nên chỗ này đọc sẽ thấy Mắc Cưới Nhưng các bạn cần chú ý nhé Tổng quát: nếu

2

x mà hệ số tính toán cần thêm bớt là m; 2x5 mà hệ số tính toán cần thêm bớt là n Thì phải nhân tích của (m.n) vào 2 về của phương trình nhé

Nhưng nếu m=n hoặc m là bội của n thì ta chỉ cần nhân thêm m thôi

Bước 4 Đưa các căn cần truy ngược dấu về dạng: f x( ).( f x( )-m)

Ví dụ: x2 x 2 1; 2x5 2x 5 1

Sau khi tiến hành 4 bước trên các bạn tiến hành làm như thông thường thì bài toán sẽ giải quyết một cách đơn giản thôi

Tôi xin trình bày thêm một số ví dụ về phần này nữa

Ví dụ 7: Giải phương trình sau: x 2 x2  3x  2 x 2

Trang 16

Kỹ thuật truy ngược dấu với việc đưa phương trình về dạng f x( ).( f x( )-m) chỉ áp dụng với

những bài trước căn là một hằng số Còn nếu trước các căn là một biểu thức thì các bạn không nên làm như thế Lúc đấy, kỹ thuật truy ngược dấu sẽ được làm như một số ví dụ sau

Ví dụ 9: Giải phương trình sau:    2

Trang 17

x  thì các biểu thức trước các căn gồm có

o (x+5) luôn mang dấu dương nên nó được coi như phần có hằng số trước căn, làm giống phần hằng số trước căn như các ví dụ trên

o (x+1) có dấu không xác định nên ta sẽ thức hiện kỹ thuật truy ngược dấu với biểu thức không

có dấu xác định trước căn

 Cách truy ngược dấu như sau:

o Trước dấu căn có dấu “-“ nên ta thêm bớt biểu thức theo dạng sau: 4x 5 mx n  Còn nếu trước căn là dấu “+” các bạn cần thêm bớt biểu thức ngược lại mx n  4x5

o Cần chon (m,n > 0; k) và thỏa mãn điều kiện  2   

4x 5 mxn k x1 x1 Ở đây tại sao có biểu thức sau Thứ nhất (x-1) là nghiệm của phương trình (x+1) là phần sau khi liên hợp mình sẽ tạo để nhân với (x+1) có sẵn, từ đó tạo được biểu thức (x+1)2 Lúc đó ta sẽ được

một phân thức luôn dương

Trang 18

o Cách tìm k,m,n các bạn đồng nhất thức sẽ làm được nhé Có thể có nhiều giá trị Nhưng chọn

giá trị nào mà m,n>0 nhé

 Trường hợp các nghiệm lẻ

Phương pháp:

Bước 1: Bấm máy tính thu được nghiệm lẻ của phương trình

Bước 2: Dự đoán biểu thức liên hợp (Thường có dạng Ax+B)

Bước 3: Biến đổi đặt nhân tử chung và giải bình thường

Trong phân này để dự đoán được các biểu thức liên hợp ta cần sử dụng máy tính để mò (Mò có cơ sở)

Bước 1: Sử dụng máy tính dễ dàng nhẩm được nghiệm của phương trình là: x0, 618033989

Bước 2: Dự đoán biểu thức liên hợp:

Thực hiện bấm máy tính ta có:

3x 5 2, 618033989 3x  5 x 2

1 x 0, 618033989 1 x x

Trang 19

1 52

Bước 1: Tìm nghiệm: Phương trình có nghiệm x=1,618033989

Bước 2: Tính toán biểu thức liên hợp x 1 1, 618033989 x 1 x

Lời giải chi tiết:

Trang 20

1 52

KL: Phương pháp liên hợp nếu sử dụng linh hoạt máy tính cầm tay, các bạn có thể nhẩm được tất cả các

nghiệm của phương trình Từ đó bài toán sẽ được giải quyết Với phương pháp này sẽ giải quyết được rất nhiều phương trình chứa căn Chúc các bạn thành công

trong các bài toán này

Trang 21

Trang 22

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	579,81 KB