SLIDE bài giảng toán cao cấp đại số tuyến tính

Các phép biến ñổi trên ma trậnTương tự các phép biến ñổi sơ cấp trên các dòng 1-ñổi chỗ hai dòng,2-nhân dòng với một số khác không, 3-cộng vào một dòng bội dòng khác, tacũng có các phép

LOGO ĐạI HọC KINH Tế QUốC DÂN

B

Bà à àI GI I GI I GIả ả ảNG NG NG Đ Đ ĐIIIIệ ệ ệN N N T T Tử ử

Giảng viên: Đoàn Trọng Tuyến

Mobile: 0989-355-056

Email: doantrongtuyen@gmail.com

TOáN CAO CấP 1 - đại số tuyến tính

ðề kiểm tra: http://doantrongtuyen.wordpress.com

Tài liệu học tập:

• Toán Cao Cấp (Tập 1 – ðại số tuyến tính), Bộ môn Toán Cơ Bản

Néi dung ch−¬ng tr×nh

to¸n cao cÊp 1

Ch−¬ng 1 Ma trËn - §Þnh thøc

Ma trận và các phép toán ðịnh thức

Ch−¬ng 3 Kh«ng gian vect¬

Vectơ n chiều và không gian vectơ

Cơ sở của không gian vectơ Các mối liên hệ tuyến tính trong KGVT

1

2

3

Chương 1

Ma trận - định thức

Bài 1 Các khái niệm cơ bản về ma trận

I Các khái niệm cơ bản về ma trận

I Các khái niệm cơ bản về ma trận

Một câu hỏi ñặt ra là:

TRONG THỐNG KÊ KINH TẾ

Ví dụ: Thông tin về lợi nhuận trong 4 quý của hệ thống 3 cửa hàng (A, B, C)

ñược cho thành một bảng như sau:

ABC

43

- 2417

I Các khái niệm cơ bản về ma trận

ðN: Hai ma trận ñược coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp

và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng ñôi một bằng nhau

ðN: Ma trận ñối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử

của nó là số ñối của các phần tử tương ứng của ma trận A

I Các khái niệm cơ bản về ma trận

II Các dạng ma trận

ðN: Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía

của ñường chéo chính bằng 0

11 12 1n

21 22 2n n1 n 2 nn

ðN: Ma trận ñường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm

ngoài ñường chéo chính bằng 0 Ma trận ñường chéo cấp n có dạng:

ðN: Ma trận ñơn vị là ma trận ñường chéo có tất cả các phần tử trên

ñường chéo chính bằng 1 Ma trận ñơn vị cấp n ký hiệu là En

III Các phép biến ñổi trên ma trận

ðN: Các phép biến ñổi sau ñây trên các dòng của ma trận ñược gọi là

các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng

III Các phép biến ñổi trên ma trận

Tương tự các phép biến ñổi sơ cấp trên các dòng (1-ñổi chỗ hai dòng,2-nhân dòng với một số khác không, 3-cộng vào một dòng bội dòng khác), tacũng có các phép biến ñổi sơ cấp trên các cột của ma trận:

ðN: Các phép biến ñổi sau ñây trên các cột của ma trận ñược gọi là

các phép biến ñổi sơ cấp trên cột

Phép 1: ðổi chỗ hai cột của ma trận;

Phép 2: Nhân một cột với số α ≠ 0;Phép 3: Biến ñổi một cột bằng cách cộng vào nó bội của cột khác;

11 12 1n

21 22 2n m1 m 2 mn

ðN: Ma trận A' ñược gọi ma trận chuyển vị của ma trận A, phép biến ñổi

biến ma trận A thành ma trận A' ñược gọi phép chuyển vị ma trận

a a

a

⋯

21 22 2n

a a

a

⋯

m1

m 2 mn

a a

III Các phép biến ñổi trên ma trận

− 3

5 2

−

1 5 5

−

7 9 1

Bài 2 Các phép toán trên ma trận

MHSiêu thị

ABC

12233

- 23112

131447

272229

I Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số

Ví dụ: Thông tin về lợi nhuận của 3 siêu thị (A, B, C) kinh doanh 4 mặt

hàng (1, 2, 3, 4) trong 6 tháng ñầu năm ñược cho thành một bảngnhư sau:

Lợi nhuận trong 6 tháng cuối năm có sự thay ñổi, cụ thể như sau:

MHSiêu thị

ABC

302013

1723

- 9

- 11637

11519

- 23112

131447

272229

1723

- 9

- 11637

11519

15543

123084

382748

I Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số

Ví dụ: Thông tin về doanh thu của 2 doanh nghiệp (A, B) kinh doanh 3

mặt hàng (1, 2, 3) trong ñược cho thành một bảng như sau:

MHSiêu thị

AB

1223

3231

1314

Nếu ñánh thuế 10% số doanh thu thu ñượcthì doanh thu sau thuế của các doanh nghiệp sẽ là:

MHSiêu thị

AB

10,820,7

28,827,9

11,712,6

12 32 13 A

20, 7 27,9 12, 6

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp ký hiệu là A + B

và ñược xác ñịnh như sau:

Tích của ma trận A với một số là một ma trận cấp ký hiệu

là và ñược xác ñịnh như sau:

α A

α

m n, ×

Chú ý:

+) Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp;

+) Việc thực hiện phép cộng hai ma trận cùng cấp và nhân ma trận với

số ñược thực hiện “theo từng vị trí”:

II Phép nhân ma trận với ma trận

Ở phổ thông ñã xét tích vô hướng 2 vectơ trong R3:

Tương tự, ta cũng có phép tích vô hướng 2 vectơ với số phần tử lớn hơn:

( ) ( )

u = 2, 1,3 ; − v = 3,6, 5 − u.v = 2.3 ( 1).6 3.( 5) + − + − = − 15

II Phép nhân ma trận với ma trận

j

nj

b b B

II Phép nhân ma trận với ma trận

(1) Tích AB có nghĩa (thực hiện ñược) khi và chỉ khi số cột của ma

trận ñứng trước (A) bằng số dòng của ma trận ñứng sau (B);

(2) Cấp của ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng

bằng số dòng của ma trận ñứng trước và số cột bằng số cột của

ma trận ñứng sau;

3 7 7 2

A × × B × = AB3 2×

(3) Các phần tử của AB ñược tính theo quy tắc: Phần tử cij (nằm ở

dòng i, cột j của AB) là tích vô hướng của dòng i của ma trận ñứngtrước và cột j của ma trận ñứng sau

II Phép nhân ma trận với ma trận

II Phép nhân ma trận với ma trận

II Phép nhân ma trận với ma trận

TC3: Với A, B là ma trận sao cho tích AB tồn tại, là một số bất kỳ thìα

TC4: Mọi ma trận ñều không thay ñổi khi nhân với ma trận ñơn vị

Bài 3 ðịnh thức

C: 63

II Các tính chất cơ bản của ñịnh thức

det A = det A′

Từ tính chất 1 cho thấy các dòng và các cột trong ñịnh thức có vai trò nhưnhau, do ñó tất cả các tính chất ñúng với các dòng ñều ñúng với các cột

II Các tính chất cơ bản của ñịnh thức

II Các tính chất cơ bản của ñịnh thức

Tính chất 4:

11 12 1n i1 i 2 in n1 n 2 nn

NX: Ta có thể ñưa bội của một dòng ra ngoài dấu ñịnh thức

Hệ quả:

ðịnh thức bằng 0 nếu có hai dòng tỷ lệ.

=

11 12 1n i1 i 2 in n1 n 2 nn

II Các tính chất cơ bản của ñịnh thức

Tính chất 5:

11 12 1n i1 i1 i 2 i 2 in in n1 n 2 nn

I Các tính chất cơ bản của ñịnh thức

Tính chất 6:

Nếu ta cộng vào một dòng của ñịnh thức tích của một dòng khác với một

số k tùy ý thì ñịnh thức không thay ñổi.

1 i j n

IV Các tính chất cơ bản của ñịnh thức

II Các tính chất cơ bản của ñịnh thức

Bài 4 Phương pháp tính ñịnh thức

1 Khái niệm phần bù ñại số

2 Quy tắc khai triển ñịnh thức

1 Khái niệm phần bù ñại số

Xét ñịnh thức cấp n:

Xóa ñi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử aij) của ñịnh thức d,

ta ñược ñịnh thức cấp n – 1, ký hiệu là Mij

11 1j 1n i1 ij in n1 nj nn

ðN: ðịnh thức Mij ñược gọi là phần bù và Aij = (-1)i+j Mij ñược gọi là

phần bù ñại số của phần tử aij của ñịnh thức d

2 Quy tắc khai triển ñịnh thức

Quy tắc khai triển ñịnh thức cấp n:

NX: ðịnh thức cấp n bằng tổng các tích số của mỗi phần tử của một dòng

(hoặc cột) bất kỳ với phần bù ñại số của phần tử ñó

Quy tắc trên cho phép ta thay vì tính một ñịnh thức cấp n bởi tính

cùng lắm là n ñịnh thức cấp n – 1 (không phải lúc nào cũng tính nhiều ñến thế).

Chú ý: Theo QUY TẮC KHAI TRIỂN, ta có thể chọn dòng hay cột bất kỳ ñể

khai triển, nhưng nên chọn dòng hay cột nào mà số lượng tính toán

(Một gợi ý là dòng có nhiều số 0)

NX: Trong trường hợp này, chọn dòng hay cột nào khai triển thì cũng

Xem xét các tác ñộng của phép biến ñổi sơ cấp lên giá trị của ñịnh thức:

Phép 1: ðổi chỗ hai dòng (cột) của ñịnh thức;

Phép 2: Nhân một dòng (cột) của d với số k;

Phép 3: Cộng vào một dòng (cột) bội của

dòng (cột) khác trong ñịnh thức

ðịnh thức ñổi dấuðịnh thức bằng k.dðịnh thức không ñổi

2 Quy tắc khai triển ñịnh thức

×

B: 5

C: - 85

Bài 5 Ma trận nghịch ñảo

1 Khái niệm ma trận nghịch ñảo

2 Các tính chất cơ bản của ma trận nghịch ñảo

1 Ma trận phụ hợp của ma trận vuông

2 ðiều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch ñảo

I Ma trận nghịch ñảo

ðN: Ma trận nghịch ñảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X

(cùng cấp với A) thỏa mãn ñiều kiện:

AX = XA = E

Ký hiệu: Ma trận nghịch ñảo của A là A-1

Chú ý:

Khái niệm ma trận nghịch ñảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông;

Ma trận nghịch ñảo (nếu có) của một ma trận vuông sẽ là duy nhất

II ðiều kiện tồn tại ma trận nghịch ñảo

Aij là phần bù ñại sốcủa aij trong det(A)

Ma trận A* ñược gọi là MA TRẬN PHỤ HỢP của ma trận A

Chú ý: Việc lập ma trận A* ñược thực hiện như sau

Các phần bù ñại số trên dòng 1 của A ñược viết trên cột 1 trên A*;Các phần bù ñại số trên dòng 2 của A ñược viết trên cột 2 trên A*;

Các phần bù ñại số trên dòng n của A ñược viết trên cột n trên A*;

Ma trận phụ hợp của ma trận

2 5 A

II ðiều kiện tồn tại ma trận nghịch ñảo

25

− 14 9

−

18

− 16

− 13

−

II ðiều kiện tồn tại ma trận nghịch ñảo

ðịnh lý: ðiều kiện cần và ñủ ñể một ma trận vuông A có ma trận nghịch ñảo là:

Ma trận có ma trận nghịch ñảo còn ñược gọi là ma trận khả nghịch.

NX: Ma trận A có ma trận nghịch ñảo khi và chỉ khi nó không suy biến

II ðiều kiện tồn tại ma trận nghịch ñảo

Ví dụ: Xét ma trận

2 5 A

II ðiều kiện tồn tại ma trận nghịch ñảo

II ðiều kiện tồn tại ma trận nghịch ñảo

9 A

Ch−¬ng 2

HÖ ph−¬ng tr×nh

TuyÕn tÝnh

Bài 1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

2 Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

3 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

5 Các phép biến ñổi sơ cấp

4 Hệ tương ñương và phép biến ñổi tương ñương

1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

3 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

ðN: Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn số

là bộ gồm n số thực có thứ tự sao cho khi gán

vào các phương trình thì ta ñược m ñẳng thức ñúng (m là số phương trình của hệ)

1 1

2 2

n n

x x

4 Hệ tương ñương và phép biến ñổi tương ñương

ðN: Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau ñược gọi

là tương ñương nếu chúng có cùng tập nghiệm

?: Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau và ñều vô

nghiệm có tương ñương với nhau không?

Có tương ñương, vì tập nghiệm bằng nhau (là tập rỗng)

Trả lời:

ðN: Một phép biến ñổi biến một hệ phương trình thành một hệ khác

tương ñương với nó ñược gọi là phép biến ñổi tương ñương

5 Các phép biến ñổi sơ cấp

ðN: Các phép biến ñổi sau ñây ñối với một hệ phương trình tuyến

tính ñược gọi là các phép biến ñổi sơ cấp:

ðổi chỗ hai phương trình của hệ;

Các phép biến ñổi sơ cấp là các phép biến ñổi tương ñương

Biến ñổi một phương trình của hệ bằng cách “cộng vào

nó bội của một phương trình khác”

NX: Các phép biến ñổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính cũng

tương tự như các phép biến ñổi sơ cấp trên các dòng của ma trận

5y − 4z = 9

Bài 2 Phương pháp khử ẩn liên tiếp (Khử Gauss)

I Hai loại hệ phương trình tuyến tính ñơn giản

Cách giải: Thế từ dưới lên trên, ta tìm ñược nghiệm duy nhất

NX: Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác có nghiệm duy nhất

ðặc ñiểm của hệ tam giác:

• Số phương trình bằng số ẩn;

• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;

• Phương trình cuối cùng có 1 ẩn (Rút ra từ 2 ñặc ñiểm trên)

Từ phương trình cuối cùng tính ñược: z = 3

Thế z = 3 vào phương trình thứ 2 ta ñược: y 1 =

Thế y 1, z = = 2 vào phương trình thứ 2 ta ñược: x = − 2

Vậy nghiệm của hệ là: ( x = − 2, y 1, z = = 3 )

I Hai loại hệ phương trình tuyến tính ñơn giản

ðặc ñiểm của hệ hình thang:

• Số phương trình nhỏ hơn số ẩn (m < n);

• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;

• Phương trình cuối cùng có nhiều hơn 1 ẩn

Các ẩn xm 1+ , xm 2+ , … , xn ñược gọi là các ẩn tự do

Bước 1: Gán cho ẩn tự do giá trị thực bất kỳ;

Bước 2: Chuyển hệ thành hệ tam giác với các ẩn chính, giải hệ

tam giác này

Trong hệ hình thang trên:

I Hai loại hệ phương trình tuyến tính ñơn giản

NX: Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang có vô số nghiệm.

I Hai loại hệ phương trình tuyến tính ñơn giản

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m 2 2 mn n m

II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)

Quá trình cứ tiếp tục…, ta có 1 trong 3 khả năng sau sẽ xảy ra:

• Hệ nhận ñược vô nghiệm (ứng với b ≠ 0 ở trên);

• Hệ nhận ñược có dạng tam giác;

• Hệ nhận ñược có dạng hình thang

Một hệ phương trình tuyến tính bất kỳ có khả năng có mấy nghiệm?

01

∞

NX: Một hệ phương trình tuyến tính hoặc vô nghiệm, hoặc có 1 nghiệm,

hoặc vô số nghiệm

Chú ý: Thay vì thực hiện khử Gauss trực tiếp trên hệ, ta sẽ làm việc ñó trên

ma trận mở rộng của hệ ñó Việc thực hiện các phép biến ñổi sơ cấptrên hệ sẽ ñược thay bằng thực hiện các phép biến ñổi sơ cấp tươngứng trên ma trận mở rộng tương ứng của nó Cụ thể:

ðổi chỗ 2 phương trình của hệ; ðổi chỗ 2 dòng tương ứng của ma

trận;

Nhân một phương trình với số

α ≠ 0;

Nhân dòng tương ứng với số α;

Cộng vào phương trình (i) bội k lần phương trình (j);

Cộng vào dòng (i) bội k lần dòng (j);

II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)

×

1 5

( x = 1, y = 2, z = 3 )

( 1)

× − 1

Giải hệ HT ñượcnghiệm là:

Bài 3 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Chú ý: Khi giải hệ thuần nhất bằng khử Gauss ta chú ý các ñặc ñiểm sau:

Hệ có duy nhất nghiệm tầm thường (quá trình khử ẩn kết thúc ở

dạng tam giác)

Hệ có vô số nghiệm (quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang)

• Mọi hệ tuyến tính thuần nhất với số phương trình nhỏ hơn số ẩn ñều có vô

số nghiệm;

• Khi khử Gauss ñể giải hệ thuần nhất ta chỉ cần thực hiện trên ma trận hệ số

• Hệ luôn có nghiệm , gọi là nghiệm không (nghiệmtầm thường), vậy:

( x1 = 0, x2 = 0, … , xn = 0 )

11 1 12 2 1n n

21 1 22 2 2n n m1 1 m 2 2 mn n

2 3 1 2

3 2 3 1 A

Bài 4 Hệ Cramer

I Hệ Cramer và phương pháp ma trận nghịch ñảo

ðN: Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính với số phương

trình bằng số ẩn và ma trận hệ số không suy biến

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2 n1 1 n 2 2 nn n n

I Hệ Cramer và phương pháp ma trận nghịch ñảo

Ví dụ: Giải hệ Cramer sau ñây bằng phương pháp ma trận nghịch ñảo

1 2 11

−  − 

=  

 

47 1

10 11

I Hệ Cramer và phương pháp ma trận nghịch ñảo

Ví dụ: Giải hệ Cramer sau ñây bằng phương pháp ma trận nghịch ñảo

II Quy tắc Cramer

ðLý: Hệ phương trình Cramer

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2 n1 1 n 2 2 nn n n

II Quy tắc Cramer

Ví dụ: Giải hệ Cramer sau ñây bằng quy tắc Cramer

1

=

−

4 7

II Quy tắc Cramer

Ví dụ: Giải hệ Cramer sau ñây bằng quy tắc Cramer

Nghiệm của hệ tính theo quy tắc Cramer là:

Ch−¬ng 3 Kh«ng gian vect¬

Bài 1 Vectơ n chiều và không gian vectơ

1 ðịnh nghĩa phép cộng và phép nhân với số

2 Các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân vectơ với số

3 Phép trừ vectơ

I Khái niệm vectơ n chiều

ðN: Vectơ n chiều là một bộ gồm n số thực có thứ tự ( x , x ,1 2 … , xn )

( 1 2 n )

X x , x , … , x

Trong ñó xi là thành phần tọa ñộ thứ i của vectơ

Ký hiệu: Vectơ thường ñược ký hiệu bởi những chữ cái IN HOA

Cách biểu diễn:

( 1 2 n)

X = x , x , … , x

1 2 n

x x X

I Khái niệm vectơ n chiều

I Khái niệm vectơ n chiều

II Các phép toán vectơ

ðN: Tổng của hai vectơ n chiều:

là một vectơ n chiều, ký hiệu là X + Y và ñược xác ñịnh như sau:

II Các phép toán vectơ

TC1: Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán

X + Y = Y + X

Với X, Y, Z là các vectơ n chiều, là các số bất kỳα β ,

TC2: Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp

( X + Y ) + = Z X + ( Y + Z )

TC3: Với mọi vectơ X: X + 0n = 0n + X

TC4: Với mọi vectơ X: X + − ( ) X = 0n

TC5: Với mọi vectơ X: 1.X = X

II Các phép toán vectơ

ðN: Hiệu của hai vectơ n chiều X và Y là một vectơ n chiều, ký hiệu là

X – Y và ñược xác ñịnh như sau:

Chú ý: Từ các tính chất suy ra: Ta có thể thực hiện các phép tính toán trên

vectơ như ñối với biểu thức ñại số (chuyển vế thì ñổi dấu)…

III Không gian vectơ số học n chiều

ðN: Không gian vectơ số học n chiều là tập hợp tất cả các vectơ n chiều,

trong ñó phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số ñược và thỏamãn 8 tính chất ñặc trưng ở trên

n

ℝ

Ký hiệu: Không gian vectơ số học n chiều ñược ký hiệu là

Bài 2 Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ

1 Tổ hợp tuyến tính

2 Phép biểu diễn tuyến tính

1 Khái niệm sự phụ thuộc – ñộc lập tuyến tính

2 Xét sự phụ thuộc – ñộc lập tuyến tính của một hệ vectơ

3 Một số ví dụ

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

ðN: Mỗi tổng , trong ñó là các số thực cho trước

ñược gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơCác số ñược gọi là hệ số của tổ hợp tuyến tính ñó

ðịnh lý: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ n chiều

cho trước là một không gian con của không gian

1 2 m