SKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

SKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Ở trường Trung học cơ sở, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho họcsinh; trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Để rèn luyện kĩ năng giải toán chohọc sinh, ngoài việc trang bị thật tốt kiến thức cơ bản, người thầy giáo cũng cầngiúp các em hệ thống hoá các dạng bài tập để các em dễ nhớ dễ vận dụng

Đầu chương trình Trung học cơ sở, học sinh đã được làm quen với kháiniệm giá trị tuyệt đôí Và các bài toán liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối khôngchỉ có trong các kì kiểm tra thông thường mà còn gặp trong các kì thi chọn họcsinh giỏi toán các cấp, thi vào trường chuyên trường năng khiếu Tuy nhiênhọc sinh vẫn lo sợ khi gặp bài toán liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối Với

những lí do nêu trên tôi đã quyết định đi sâu nghiên cứu đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” Nhằm giúp các em tự tin

hơn khi đứng trước các bài toán có chứa giá trị tuyệt đối

II.MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI.

Đề tài nêu một số dạng bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối, cơ sở lý luận

và phương pháp giải các bài tập nêu trên Giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ Từ đócác em có thể vận dụng linh hoạt kiến thức vào việc giải các bài tập thực tế

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

1 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp giải một số bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối

2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tình hình giải các bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối của họcsinh lớp 8 và lớp 9

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Đọc tài liệu tham khảo liên quan đến việc giải bài toán có chứa dấu giátrị tuyệt đối;

- Trắc nghiệm khách quan, trao đổi ý kiến;

- Kiểm tra thực tế;

- Thống kê tổng hợp;

V THỜI GIAN NGHIÊN CỨU:

- Từ tháng 11 năm 2014 đến tháng 10 năm 2015, nghiên cứu tài liệu cóliên quan đến đề tài, thu thập số liệu đánh giá thực tế việc giải toán có chứa dấugiá trị tuyệt đối của học sinh, tìm hiểu nguyên nhân sai lầm và những khó khăncủa học sinh khi giải các bài toán dạng này.

- Từ 25 tháng 1 năm 2015 đến25 tháng 2 năm 2015 viết bản thảo

- Từ 06 tháng 3 năm 2015 đến tháng 9 năm 2015 viết bản chính

VI DỰ KIẾN KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:

Khi chưa thực hiện được đề tài này, học sinh chỉ giải được một số bài tập

có chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản, hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn vềđịnh hướng giải, lúng túng và hay bối rối khi lựa chọn cách trình bày lời giải Nếu thực hiện được đề tài này sẽ gây được hứng thú học tập, giúp họcsinh học tập tích cực hơn, đạt được kết quả cao hơn trong học tập, tự giải quyếtđược các bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng tương tự Hạn chế và khắcphục được rất nhiều các sai lầm khi học sinh giải các bài toán có chứa dấu giá trịtuyệt đối

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

CHƯƠNG I: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

- Với mọi số thực ta luôn biễu diễn thành tổng các số thực không âm và sốthực dương, tức là:

A(x) nếu A(x)  0

A (x) 

-A(x) nếu A(x) < 0

- Với mọi x  R, f(x), g(x) là biểu thức tuỳ ý, ta có:

Max(f(x); g(x)) =

2

1

[ f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)| ] Min (f(x); g(x)) =

Vậy x  y x + y dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x.y=0

II PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA GIÁ

1 Mục đích biến đổi

Biến đổi các biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm thay đổi chúngbằng các biểu thức tương đương không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối khỏi cácbiểu thức để có thể tiến hành các phép tính đại số quen biết Thông thường ta sẽđược các biểu thức khác nhau(không chứa dấu giá trị tuyệt đối) trong nhữngkhoảng khác nhau của biến

2 Phương pháp biến đổi

Muốn biến đổi các biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm loại bỏcác dấu giá trị tuyệt đối thì phải nhất thiết căn cứ vào:

Định nghĩa của giá trị tuyệt đối và hệ quả đã nêu ở trên;

Quy tắc về dấu của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai như sau:

* Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a khi x>

a

b x a

b ax

ax + b cùng dấu với a

- Nếu x < x0 thì x- x0 < 0 ax b

a

b ax









 0 trái dấu với a

* Tam thức bậc hai ax2+ bx +c (a 0) trái dấu với a trong khoảng giữa hainghiệm( nếu có) cùng dấu với a trong mọi trường hợp khác

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:

A=

3 2

4 4

2 1

3 2

4 4

x

x x x

+) Nếu x 1ta có : A= 1

3 2

2 3 3

2

2 1

x x

1 3

2

2 1

x x

+) Nếu x 2 ta có: A= 1

3 2

3 2 3

2

2 1

x x

Tóm lại:

-1 nếu x 1

A=

3 2

Để giải phương trình bậc nhất tuỳ ý có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta tìmcách biến đổi nó thành một phương trình tương đương không còn chứa giá trịtuyệt đối.

Đối với phương trình bậc nhất A  Btrong đó A, B là các nhị thức bậcnhất thì ta tiến hành giải theo cách sau:

a/ Nếu B < 0 thì kết luận phương trình vô nghiệm

b/ Nếu B  0 thì đưa về phương trình A=B hoặc A=-B

c/ Nếu chưa biết rõ dấu của B thì biến đổi như sau:

0 2 2

2 2 1 2

0 2 2

x x

x

x x

4 1

) ( 2 1 1

x x

x

voli x

Vậy nghiệm của phương trình (1) là

x=-4 1

0

x x

0

x x

2 0

) ( 1 1 0

x x

x

voli x

* Nếu x< 0 thì phương trình đã cho tương đương với:

 x 1 x 1  x 1 x 1

Ta có: A  A dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi A 0 Do đó x 1 x 1  x 1  0

 x  1 Kết hợp với x< 0 ta có  1 x 0

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là  1 x 0

Bài 2: Giải và biện luận phương trình theo tham số m:

2 3 1

0 2 3

2 3 1

0 2 3

m x

m x

m x

m x

m x x

m x

m x x

m x

Rõ ràng, để phương trình có nghiệm thì ta phải có:

3

2 2

2 8 6

m m

mx

4 3

4 0

4 0

m mx

m

7

4 0

m

1

4 0

m

4 3

0

m mx

m

7 0

Tóm lại:

- Nếu m < 0 thì phương trình có nghiệm là:

x x

4 3 2 1 5

4 3 2 1 5

x x

4 5 1 5

1 4 1 5

) ( 0 4 1

4 1 1 5

0 1 4

1 4 1 5

0 1 4

loai x

x

loai x

x

x x

x

x x

4 4 5 3 2 4 5

5 4 1 5

4 5 1 5

0 4 5

x x

x x x x

x x

x x

Đối với loại phương trình bậc nhất dạng A B C trong đó A, B, C lànhững nhị thức bậc nhất thì nên dùng phương pháp lập bảng để biến đổi.

2 2

Bài 2: Giải phương trình x 1  x 2  2x 3  2005 (2)

Giải: Lập bảng xét dấu vế trái của (2) ta được:

4 2005 5

- Nếu x 3 do 7  2005 nên phương trình (2) vô nghiệm

Tóm lại phương trình (2) vô nghiệm

Bài 3: Giải phương trình: m 1 x  x 2 3m 4

2 2

6 5

x đúng với mọi x 1; m< 1 hoặc m > 2

D PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Bài 1: Giải phương trình:

1 4

3 4

1 2

1 2 1

2 2

1 1 3

1 1 3

1 1 3

2 2 2 2

x

x x x

x

x x x

x

x x x

x

* Nếu x  3, phương trình(1) tương đương với phương trình:

2 2

2 3

2 )

3 (

2 2

x x x

x

 x 1 (thoã mãn điều kiện đang xét)

* Nếu x < - 3 thì phương trình (1) tương đương với phương trình: x(-x-3)= x2+ x +2

1

0 ) 1 (

0 1 2

0 2 4 2

2 3

2 2 2

2 2

x x

x x

x x x x

(không thoã mãn điều kiện đang xét)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x=1

b) Đặt t = x với t 0, khi đó phương trình x3  3x  2  0 trở thành:

 

0 ) 2 ( ) 1 (

0 ) 2 ( 2 ) 1 (

0 ) 2 2

)(

1 (

0 ) 2 )(

1 (

0 ) 1 ( 2 ) 1 )(

1 (

) 1 ( 2 ) 1 (

0 ) 1 ( 2 ) (

0 2 2

2

2 2

2 3 3

t t

t t

t t t t

t t t

t t

t t

t t

t

t t t

t t t

t (thoã mãn điều kiện t 0)

* Nếu t 2  0  t   2 (không thoã mãn điều kiện t > 0).

Với t=1, ta có x   1 x 1

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S  1 ; 1.

Bài 2: Giải phương trình: 3 100 2 100

0 1

0 100

0 1 100

0 100 )

100 (

2

2 2

x x x x

x x

x x

x

Cách 2: (1)

100 100 1 100

0 ) 100 )(

1 (

0 ) 100 )(

1 (

0 ) 10 ( ) 100 (

0 ) 100 (

) 100 (

100 100

100 100

2 2 2 2

2 3

2 3

x x

x x

x x

x

x x

x

x x x

x x x

Hoặc x  1

Bài 2: Giải phương trình:

x 5  4 x 1  x 10  6 x 1  1

Giải:

Điều kiện xác định của phương trình: x  1

Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:

   

(*) 1 3 1 2

1

1 3 1 2

1

1 1 6 9 1 1

4 4 1

2 2

x x

x x

x x

Cách 1: Ta thấy:

1 1 3

2 1 1

3 2 1

3 1 2

x x

x x

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi:

8 3

1

3 1 2

0 1 3

2 1

x x

Vậy phương trình có mọi nghiệm x3 ; 8.

Cách 2: Từ phương trình (*) ta có:

1

2 1

x

Ta có: (*)

3

2 1

1 1 2 5

1 1 3

1 2

x x

(loại vì không thoã mãn  1 x 3 )

* Nếu 3 8

1

3 1 2

6 1 2

1 3 1 2

x x

(loại vì không thoã mãn điều kiện x > 8 )

E PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ

Bài 1: Giải và biện luận phương trình với tham số m:

) 1 ( 2

y x m

m y x

Giải:

Từ phương trình (1) 2yx m thay vào phương trình (2) ta có:

1 2 2

1 ) ( 2

m x x m

m x mx

* Khi m=-2, phương trình(3)  0x  3 (vô lí) Do đó hệ vô nghiệm.

* Khi

2

1 2 2

m Để giá trị này là nghiệm của phương trình cầncó:

2

1 0

2

1 2

m

hoặc m <-2b) Nếu x < 0, ta có:

) 4 ( 1 2 ) 2

(

1 2 2

m x mx

* Khi

m

m x m

2 Để giá trị này là nghiệm của phương trình cần có

2 0

2

1 2

m x y m

m x

m x y

m

m x

2

m

m

thì hệ phương trình vô nghiệm

Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

(

0 ) 1 (

y x m y x

y x m y x

2

1 3

1) Giải phương trình đã cho

2) Phải cho m giá trị nào để có x = 36

3) tìm những giá trị nguyên của m để có nghiệm x thuộc khoảng (0;8)

Bài 3: Giải phương trình:

1) x3 x2 x x

2)

4

15 1

4

1 4 3

2 3

6 0 1

1 1

y x

y x

y x y x

5 3

y x m

y mx

y x

2 1

CHƯƠNG III: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CÓ CHỨA GIÁ TRỊ

TUYỆT ĐỐI

Phương pháp chung để giải một bất phương trình bậc nhất có chứa A

trong đó A là bậc nhất đối với ẩn số là chuyển tất cả vế trái, vế phải là số không

có dấu giá trị tuyệt đối, theo quy tắc:

Trong một số trường hợp, có thể giải nhanh hơn phương pháp chung nóitrên bởi các biến đổi tương đương sau:

A.Bất phương trình có dạng A  B (Tương tự A  B).

Bài 1: Giải bất phương trình 3x 2  4

Giải:

Cách 1: Bất phương trình đã cho tương đương với:

2 3

2

6 3 2

4 2 3 4

Cách 2: Vì hai vế của bất phương trình đều dương nên ta bình phương hai

vế của bất phương trình ta được:

 

3 63 2 0

0 4 2 3

4 2 3

4 2 3

2 2

2 2

x x x

0 6 3

0 6 3

x x

Cách 3: (Theo phương pháp chung)

Bất phương trình đã cho tương đương với 3x 2  4  0

L p b ng bi n ập bảng biến đổi ta có: ảng biến đổi ta có: ến đổi ta có: đổi ta có: i ta có:

2

4 3

3 1

2 3

0 3

3 1

x x x

x

x x

Cách 2: Bất phương trình dã cho tương đương với bất phương trình sau:

2x 1  x 3  0

L p b ng bi n thiên ta có:ập bảng biến đổi ta có: ảng biến đổi ta có: ến đổi ta có:

3 1

0 3 1

2

1 3

Bài 1: Giải bất phương trình: x 1  x 2  5

Giải: Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:

2

4 2 2

x

x x

0 2 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x 3 hoặc x 5

C BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN SỐ Ở MẪU THỨC:

Ví dụ: Giải bất phương trình: 2

1

1 2

1 2 1 2

1

2 1

1 2

x x

x

x x

x x

0 1

2

m

m m

m x

m x m

+ Nếu m  1  m 1  0, khi đó:

(2)  

 1

1 1

m m

m x

Bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình sau:

 

) 2 ( 1

4 3

4 3 1

4 3

m

m x

m x m

m x m x

4 3 1

4 3

m m

m x

+ Nếu m < 0 (2)

m

m x

m m

m x

1

4 3 1

4 3

- Khi m = 1, tính theo trường hợp m > 0 ta có nghiệm:

2

7 2

Rồi giải theo từng trường hợp và tổng hợp các kết quả lại

Bài 1: Giải phương trình: x2  3x 1  2x 1  0

; 0 2

; 1

2

1 0

5

2

1 0

2

2

1 0

2 1 1 3

2

1 0

1 2 1 3

2 2 2 2

x

x

x

x x

x

x x

Neux x

Neux x

x

Neux x

x x

Neux x

x x

) ( 0 2 8 ) 2 ( 3 0

2 8 ) 3 ( 2 0

2 8 ) 3 ( 2 0

(*) 0 2

8 ) 3 ( 2

0 2

) 1 ( 4 ) 1 ( 2 4 4

0 2

2 ) 1 ( 2 2

2 2 2

2 2 2

b m t

m t

II t

a m t

m t

I t

mt m t

m t

t

mt m m

t

t m m t

m t

t m m m

t m t

t

t m

t m m

t m

) 4 )(

2 (

m t

t m

t t

Rõ ràng t=- 2< 0 là nghiệm của phương trình(*) nên phương trình (*) có

nghiệm duy nhất thì cần phải có: 

4

2 4

m

m m

m

*) Nếu m = 2 thì phương trình (a) trở thành t 2 +4 = 0, phương trình này vô

nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất và m

= 2 là một giá trị cần tìm>

*) Nếu m=4 thì phương trình (a) có một nghiệm không âm vì có tích hai

nghiệm P = 8- 2m  0 nên hệ (I) có một nghiệm t 0 mà hệ (II) vẫn có nghiệm t

= - 2 Từ đó suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nên các giá trị m

Bài 1: Giải phương trình:

0 3 2 1 1 3

2 2

x x

x x

0 3 2 1

3

2 2

x x x

Hoặc x = 4.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4}

CHƯƠNG V: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG

THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cách giải: áp dụng công thức

Cho 2 số a, b ta có:

- Theo bài toán 5 có a b  2  a  2

- Mặt khác, xét hàm số y = g(x) = 2ax+b có đồ thị là một dường thẳng nên với x 1 ; 1 thì hoặc max g(x) g( 1 ) hoặc max g(x) g(  1 )

áp dụng (*) ta có:

2a b  (a b ) a  a b a  a b  a    2 2 4 đẳng thức xẩy ra chẳng hạn với a = -2, b = 0; c = 1

Bài 52 Cho f(x) ax2 bxc trong đó a, b 0và f(x)  1 với x 1 ; 1

Chứng minh rằng: 2 2 4



b a

 nên có ngay điều phải chứng minh

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị x, y thỏa mãn các điều kiện:

; 0

; 36 97

(*)

1 6

13 6

13 1

2

x

x x y

x x

y

Giải

Giả sử (x0, y0) là nghiệm của hệ, khi đó:

) 1 (

1 6

13 6

13 1

0 0 0

0 0

0

x x y

x x

1

y x b

x y

0 0

13 6

2 0

2

; 3

2

; 2

3 )

, (x0 y0

và vận dụng tốt kiến thức vào giải toán.

Xây dựng cho các em niềm ham mê hứng thú học tập, trân trọng những suynghĩ, những ý kiến phát biểu, những sáng tạo cho dù nhỏ nhất của các em, độngviên, khích lệ và kích thích khả năng tự nghiên cứu, tìm tòi của các em

Giáo viên phải thường xuyên đánh giá kết quả học tập của các em qua kìthi Bổ sung những thiếu sót, sai lầm lệch lạc về kiến thức để các em rút kinhnghiệm Phải có kế hoạch phân chia thành những chuyên đề cụ thể, kết hợp sựnhuần nhuyễn, lô gíc giữa các dạng bài khác nhau

Nghiên cứu và thể hiện đề tài “Phương pháp giải một số bài toán có chứadấu giá trị tuyệt đối”, chúng tôi hi vọng rằng nó là cơ sở và động lực giúp chobản thân có thểm những hiểu biết mới Đồng thời với bạn bè đồng nghiệp, vớicác em học sinh sẽ yêu thích và tự tin hơn khi gặp những bài toán có liên quanđến giá trị tuyệt đối

Trên đây là những ý tưởng và việc làm nhỏ bé của chúng tôi qua việcnghiên cứu đề tài khoa học Trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏinhững thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả những kiến thức khoa học Vìvậy, chúng tôi rất mong các thầy giáo cô giáo và các bạn có những ý kiến đónggóp chân thành để giúp chúng tôi hoàn thành xuất sắc đề tài của mình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số – Nguyễn Đức Tấn

2 23 Chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp 1- Nguyễn Văn Vĩnh, NguyễnĐức Đồng

3 Một số vấn đề phát biểu Đại số 8-Vũ Hữu Bình

4 Một số vấn đề phát triển Đại số 9- Vũ Hữu Bình

5 255 Bài toán Đại số chọn lọc- Vũ Dương Thuỵ, Trương Công Thành,Nguyễn Ngọc Đạm

6 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS-Đại số – Nguyễn VũThanh

8 Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8-Vũ Dương Thụy, NguyễnNgọc Đạm

9 Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9-Vũ Dương Thụy, NguyễnNgọc Đạm

10 Những bài toán cực trị – Lê Mộng Ngọc

11 Bất đẳng thức và bất phương trình Đại số- Nguyễn Thế Hùng

MỤC LỤC

A.Phần mở đầu

I Lý do chọn đề tài

II.Mục đích và nhiệm vụ của đề tài

III.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1.Đối tượng nghiên cứu

2.Phạm vi nghiờn cứu

IV.Phương pháp nghiên cứu

V.Thời gian nghiờn cứu

VI.Dự kiến kết quả của đề tài