SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9

SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9SKKN Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toán trong chương I của Đại Số 9

Môc lôc

A BẢN CAM KẾT

B: MỞ ĐẦU

I Bối cảnh đề tài

II Lí do chọn đề tài

III Phạm vi nghiên cứu

IV Mục đích nghiên cứu

V Điểm mới trong kết quả nghiên cứu

C: NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

II Thực trạng vấn đề

III Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

IV Hiệu quả của sáng kiến

V Khả năng ứng dụng và triển khai

VI Ý nghĩa của sáng kiến

D: KẾT LUẬN

I Những bài học kinh nghiệm

II Những kiến nghị

A: BẢN CAM KẾT

Tụi xin cam kết sỏng kiến kinh nghiệm này tụi đó ỏp dụng thành cụng

trong việc giảng dạy tại trường THCS Lưu – Vĩnh - Bắc Sơn Trong

trường hợp cú xóy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với sỏng kiến kinh

nghiệm này mà tụi là người vi phạm, tụi hoàn toàn chiệu trỏch nhiệm

trước lónh đạo đơn vị

B: MỞ ĐẦU

I Bối cảnh của đề tài

Trong hệ thống cỏc mụn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS, mụn toỏn đúng vai trũ quan trọng, bởi lẽ học toỏn học sinh sẽ được phỏt triển tư duy sỏng tạo, linh hoạt………

Học tốt mụn toỏn sẽ giỳp học sinh học tốt cỏc mụn học khỏc Việc học toỏn đối với một số học sinh là một điều khú khăn, tuy cú những phần tưởng chừng như đơn giản nhưng thực chất học sinh thường mắc sai lầm do học sinh chủ quan chưa nắm được phương phỏp học tập, giỏo viờn cũn ụm đồm trong kiến thức giảng dạy, khú khăn về một cơ sở lớ luận trong việc dạy học bộ mụn…

II Lý do chọn đề tài

Ở trường THCS dạy toỏn là dạy hoạt động toỏn cho học sinh, trong đú giải toỏn là hỡnh thức chủ yếu Do vậy, giải toỏn cú một vị trớ quan trọng nhằm củng cố, rốn luyện kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh Qua đú học sinh hiểu sõu hơn và biết vận dụng kiến thức đó học vào việc giải quyết cỏc tỡnh huống cụ thể

Trong việc dạy học toỏn thỡ việc tỡm ra phương phỏp dạy học và giải bài tập toỏn đũi hỏi người giỏo viờn phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đỳng phương phỏp

dạy học gúp phần hỡnh thành và phỏt triển tư duy của học sinh Đồng thời, thụng qua việc học toỏn học sinh được bồi dưỡng và rốn luyện về phẩm chất đạo đức, cỏc thao tỏc tư duy để giải bài tập toỏn

Trong chương trỡnh toỏn ở THCS với lượng kiến thức lớn và chặt chẽ, yờu cầu học sinh cần phải ghi nhớ, thỡ mụn đại số 9 học sinh khi giải toỏn cần phải nắm chắc kiến thức cơ bản, biết vận dụng hợp lớ đối với từng dạng bài tập, từ đú hỡnh thành kĩ năng và là cơ sở nắm bắt được cỏc kiến thức nõng cao hơn

Trong những năm dạy mụn toỏn 9, tụi nhận thấy việc “khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải một số dạng toỏn trong chương I đại số 9 “là rất quan trọng Vỡ đú

là những cụng việc thường xuyờn diễn ra khi người giỏo viờn lờn lớp, chớnh vỡ vậy

tụi quyết định chọn đề tài:“ Kinh nghiệm khắc phục những lỗi sai cho học sinh khi giải mụ̣t số dạng toỏn trong chương I của Đại Số 9”.

III Phạm vi nghiờn cứu và đối tợng nghiên cứu

- Trong sỏng kiến này tụi chỉ đưa ra một số nhúm lỗi sai mà học sinh thường mắc phải trong quỏ trỡnh làm bài tập về căn bậc hai ( chương I - đại số 9)

- Phõn tớch sai lầm trong một số bài toỏn cụ thể để học sinh thấy được lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dõ̃n đến giải sai

Từ đó định hớng cho học sinh phơng pháp giải bài toán về căn bậc hai

- Nh tôi đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai

nhóm đối tợng cụ thể sau :

- Giáo viên dạy toán 9

- Học sinh lớp 9

IV Mục đích nghiên cứu và phơng pháp nghiên cứu

- Giỳp giỏo viờn toỏn THCS quan tõm đến việc đụ̉i mới phương phỏp dạy học nhằm nõng cao chất lượng mụn toỏn

-Giỳp giỏo viờn toỏn núi chung và bản thõn tụi cú thờm thụng tin về phương phỏp dạy học tớch cực, luụn luụn tự tỡm ra phương phỏp mới để phù hợp với từng đối tượng học sinh

-Giỳp giỏo viờn dạy toỏn khỏc xõy dựng sỏng kiến kinh nghiệm khỏc cú phạm vi và quy mụ xuyờn suốt hơn

- Qua sỏng kiến này tụi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quỏ trỡnh lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đú cú thể giỳp học sinh khắc phục cỏc lỗi mà cỏc em hay mắc phải trong quỏ trỡnh làm bài tập, trong kiểm tra

- Đọc sỏch giáo khoa toỏn 9, sỏch nõng cao và phỏt triển toỏn 9 và một số tài liệu khỏc

- Thảo luận các đồng chớ dạy toỏn 9 và cỏc đồng chớ trong tụ̉ toỏn lý

- Rỳt ra kinh nghiệm từ cỏc tiết dạy trờn lớp

V Điểm mới trong kết quả nghiờn cứu: Qua quỏ trỡnh giảng dạy tụi thấy phần lớn

cỏc em thường mắc sai lầm trong việc giải một số bài toỏn cơ bản Cỏc em mắc sai lầm thường xuyờn, vỡ vậy tụi thấy cần phải cú một giải phỏp là ỏp dụng SKKN này vào ngay từng bài học cụ thể và kết quả rất khả quan, học sinh dễ hiểu, dễ làm và nhiều em rất hứng thỳ

C: NỘI DUNG

I Cơ sở lý luọ̃n:

Qua giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy: trong quá trình hớng dẫn học sinh giải toán đại số

về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất

đẳng thức, các công thức toán học Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh cha linh hoạt Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự

t duy thì học sinh không xác định đợc phơng hớng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm đợc bài

Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chơng I- đại số 9 thì giáo viên phải nắm đợc các khuyết điểm mà học sinh thờng mắc phải, từ đó có phơng án Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai

II Thực trạng vấn đề

Qua nhiều năm tụi được nhà trường phõn cụng giảng dạy bộ mụn toỏn lớp 9 ngay

từ đầu năm học Sau khi dạy xong cỏc dạng toỏn :

- Tỡm căn bậc hai của một số

- So sỏnh căn bậc hai số học

- Sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = | A| vào giải toỏn

- Rỳt gọn biểu thức, tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

-Tỡm gia trị của một biểu thức

Mỗi dạng tụi đó cho cỏc em làm bài kiểm tra với mục tiờu kiểm tra mức độ nắm

kiến thức vận dụng lý thuyết vào giải toỏn thỡ thấy hầu hết cỏc em cũn sai sút những vấn đề cơ bản nờn bài giải sai dõ̃n đến kết quả kiểm tra thấp

Kết quả khảo sỏt của hai lớp 9 như sau:

Số HS

được KT

Xếp loại TB trở lờn

0 12 = 39 00 18 =55 00 14=4500

0 16=530

0 14 = 470

0

III Cỏc biện phỏp tiến hành giải quyết vấn đ ề

Nh đã trình bày ở trên thì học sinh sẽ mắc vào hai hớng sai lầm chủ yếu sau :

1 Sai lầm về thuật ngữ toán học :

a) Sai lầm từ thuật ngữ căn bậc hai và căn bậc hai số học

Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 9

Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra đợc số 9 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là

3 và - 3

Ví dụ 2 : Tính 9 ?

Học sinh đến đây sẽ giải sai nh sau :

9 = 3 và - 3 có nghĩa là 9= 3

Nh vậy học sinh đã tính ra đợc số 9 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :

9 = 3 và 9 = - 3

Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau

Lời giải đúng : 9 = 3 ( có thể giải thích thêm vì 3 > 0 và 32 = 9)

Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích

b) So sánh các căn bậc hai số học :

Với hai số a và b không âm, ta có a < b  a  b

Ví dụ 3 : So sánh 9 và 80

Học sinh sẽ không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số

80 chính là căn bậc hai số học của 80 do đó nếu đem so sánh với số 9 thì số 9

có hai căn bậc hai số học là 3 và -3 cho nên với suy nghĩ đó

Học sinh sẽ đa ra lời giải sai nh sau :

9 < 80 (vì trong cả hai căn bậc hai của 9 đều nhỏ hơn 80).

Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học xong bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa

Lời giải đúng : 81 > 80 nên 81> 80 Vậy 9 = 81> 80 ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học

c) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học : với a ≥ 0, ta có :

- Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a;

- Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = a

Ví dụ 4 : Tìm số x, không âm biết : x = 13

Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai nh sau :

Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a; vì phơng trình x2 = a có 2 nghiệm là x = a và x =

- a học sinh đã đợc giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên nh sau :

Do x ≥ 0 nên x2 = 132 hay x = 169 và x = - 169

Vậy tìm đợc hai nghiệm là x1 =169 và x2 = - 169

Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 132 Vậy x = 169 d) Sai trong thuật ngữ khai phơng :

Ví dụ 5 : Tính: - 16= ?

- Học sinh hiểu ngay đợc rằng phép toán khai phơng chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ : - 16 là một căn bậc hai âm của

số dơng 16,

cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai nh sau : - 16 = 4 và - 4

Lời giải đúng là : - 16 = - 4

e) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = | A| căn thức bậc hai :

Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn

A xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm

* Hằng đẳng thức : A2 = | A|

Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phơng và phép bình phơng

Ví dụ 6 : Hãy bình phơng số - 7 rồi khai phơng kết quả vừa tìm đợc

Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai).

(- 7)2 = 49 , nên khai phơng số 49 lại bằng : - 7

Lời giải đúng : (- 7)2 = 49 và 49 = 7

Mối liên hệ a2 = | a| cho thấy : Bình phơng một số, rồi khai phơng kết quả đó, cha chắc sẽ đợc số ban đầu

Ví dụ 7 : Với a2 = A thì A cha chắc đã bằng a

Cụ thể ta có (-3)2 = 9 nhng 9= 3; rất nhiều ví dụ tơng tự đã khảng định đợc kết quả nh ở trên

2 Sai lầm trong các kỹ năng tính toán :

a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :

Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = a + a

Lời giải sai : A = a + a = (a+ a+

4

1

) -

4

1

= ( a+

2

1

)2 ≥

-4 1

Vậy Min A =

-4

1

Phân tích sai lầm :

Sau khi chứng minh: f(a) ≥ -14 , cha chỉ ra trờng hợp xảy ra f(a) = -14

Xảy ra khi và chỉ khi a=

-2

1

(vô lý)

Lời giải đúng :

Để tồn tại a thì a ≥0 Do đó A = a + a ≥ 0 hay Min A = 0 khi và chỉ khi x = 0

Ví dụ 9 : Tìm a, biết : 4 ( 1  a) 2 - 6 = 0

Lời giải sai :

2

)

1

(

4  a - 6 = 0 2 ( 1 ) 2 6





 a  2(1 - a) = 6  1 - a = 3  a = - 2

Phân tích sai lầm : Học sinh có thể cha nắm vững đợc chú ý sau :

Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A2 = | A|, có nghĩa là :

2

A = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );

2

A = - A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm )

Nh thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm

Lời giải đúng: 4 ( 1  a) 2 - 6 = 0  2 ( 1  a) 2  6  | 1- a | = 3 Ta phải đi giải hai phơng trình sau :

1) 1- a = 3  a = -2

2) 1- a = -3  a = 4 Vậy ta tìm đợc hai giá trị của a là : a1 = -2 và a2 = 4

Ví dụ 10 : Tìm a sao cho B có giá trị là 25

B = 25 a 25 - 9 a 9+ 4 a 4 + a 1 với a ≥ -1

Lời giải sai : B = 5 a 1-3 a 1+ 2 a 1+ a 1

B = 5 a 1

25 = 5 a 1  5 = a 1  52 = ( a 1)2 , hay 25 = ( a 1 ) 2  25 = | a+ 1|

Nên ta phải đi giải hai phơng trình sau : 1) 25 = a + 1  a = 24

2) 25 = - (a + 1)  a = - 26

Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta đợc hai giá trị của a là : a1 = 24 và a2 = -26, nhng chỉ có giá trị a1 = 24 là thoả mãn, còn giá trị a2 = -26 không đúng

Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với a ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa

Lời giải đúng :

B = 5 a 1-3 a 1+ 2 a 1+ a 1

B = 5 a 1

25 = 5 a 1  5 = a 1 (do a ≥ -1)  25 = a + 1 Suy ra a= 24

b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :

Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai

Ví dụ 11 : Tìm a, biết :

(4 - 17 ) 2a 3 ( 4  17 )

Lời giải sai :

(4 - 17 ) 2a 3 ( 4  17 )  2a < 3 ( chia cả hai vế cho 4 - 17)  a <

2

3

Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì.

Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không

để ý đến dấu của bất đẳng thức : Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều

Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và 17 cho nên mới bỏ qua biểu thức : 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải sai

Lời giải đúng :

Vì 4 = 16 < 17, nên 4 - 17 < 0, do đó ta có :

(4 - 17 ) 2a 3 ( 4  17 )  2a> 3  a >

2

3

Ví dụ 12 : Rút gọn biểu thức :

5

5

2





a a

Lời giải sai :

5

5

2





a

a

=

5

) 5 )(

5 (







a

a a

= a - 5

Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu a = - 5 thì a + 5 = 0,

khi đó biểu thức

5

5

2





a a

sẽ không tồn tại

Mặc dù kết quả giải đợc của học sinh đó không sai, nhng sai trong lúc giải vì không

có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả đợc

Lời giải đúng: Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có

a + 5≠ 0 hay a ≠ - 5 Khi đó ta có :

5

5

2





a

a

=

5

) 5 )(

5 (







a

a a

= a - 5 (với a ≠ - 5)

Ví dụ 13 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M

M =

1 2

1 :

1

1 1























a a

a

Lời giải sai :

M =

1 2

1 :

1

1 1























a a

a

) 1 (

1

















a a

a

2

) 1 (

1





a a













 ) 1 (

1

a a

a

1

) 1





a a

M =

a

a  1

Ta có : M =

a

a  1 =

a

a -

a

1

= 1-

a

1

, khi đó ta nhận thấy M < 1 ; vì a > 0

Do đó: Min M = 0 khi và chỉ khi : a = 1

Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhng sai ở

chỗ học sinh lập luận và đa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai

Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì a = 1 do đó a - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức

Lời giải đúng :

M =

1 2

1 :

1

1 1























a a

a

a có a > 0 và a- 1 ≠ 0 hay a >0 và a ≠ 1

Với điều kiện trên, ta có :















) 1 (

1

a

a

a

1

) 1





a

a => M =

a

a  1

khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a > 0 Nếu Min M = 0, khi và chỉ khi : a = 1

(mâu thuẫn với điều kiện) Vậy 0 < Min M < 1, khi và chỉ khi : 0 < a <1

Ví dụ 14 : Cho biểu thức :

Q =

1

3 1





















a a

a a

a

với a ≠ 1, a > 0

a) Rút gọn Q

b) Tìm a để Q > -1

Giải :

1

















a a

a a

a





















) 1 )(

1

(

) 1 ( ) 1

(

a a

a a a a

-

a

a



 1 3

Q =  









a a a a

a

a



 1 3

 a

a

1

2

a

a



 1

a

a a





 1

) 3 ( 2

Q =

a

a





1

3

a



 1 3

Q = -

a



1

3

b) Lời giải sai :

Q > -1 nên ta có :-

a

 1

3

> -1  3 > 1+ a  2 > a  4 > a , hay a < 4 Vậy: với a < 4 thì Q < -1

Phân tích sai lầm: HS đã bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức vì thế có luôn

đ-ợc bất đẳng thức mới với hai vế đều dơng nên kết quả của bài toán dẫn đến sai

Lời giải đúng : Q > -1 , nên ta có :

-

a



1

3

> -1 

a

 1

3

< 1  1+ a > 3  a > 2  a > 4

Vậy: với a > 4 thì Q > - 1

Ví dụ 15: Giải phơng trình: x + x 1  13

* Lời giải sai:

x + x 1  13

<=> x 1  13- x (1)

ĐK: x - 1 > 0 <-> x > 1

Bình phơng hai vế của (1) ta đợc: x - 1 = (13 - x) 2 <-> x2 - 27x + 170 = 0

Phơng trình này có nghiệm x1 = 10 (tm) và x2 = 17 (tm)

Nhận xét: Với các phơng trình dạng này học sinh thờng mắc sai lầm trong khi giải chỉ tìm điều kiện xác định là x - 1 > 0 mà quên rằng khi bình phơng hai vế của một phơng trình để đợc một phơng trình tơng đơng thì hai vế của phơng trình đầu phải không âm Do đó học sinh thờng giải phơng trình này đợc 2 nghiệm là x = 10 và x =

17 Vì vậy khi hớng dẫn học sinh giải cần nhấn mạnh cho học sinh khi bình phơng hoặc nâng lên lũy thừa (bậc chẵn) 2 vế của một phơng trình thì cần tìm điều kiện