SKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toán

SKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toánSKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toánSKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toánSKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toánSKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toánSKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toánSKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toánSKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toánSKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toánSKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toánSKKN Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toán

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy, để đạt được kết quả tốt thì việc đổi mới phương pháp dạy học có tầm quan trọng đặc biệt

Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn toán ở trường THCS Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập môn toán

Giải toán hình học là hình thức tốt để rèn luyện các kỹ năng tư duy, kỹ năng suy luận, kỹ năng khai thác bài toán, tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện cho học sinh tăng cường luyện tập thực hành, rèn luyện kỹ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống vào các môn khoa học khác

Việc tìm tòi lời giải, khai thác bài toán giúp học sinh rèn luyện phương pháp tư duy trong suy nghĩ, trong lập luận, trong việc giải quyết vấn đề qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, nhanh nhạy trong cuộc sống và các phẩm chất trí tuệ khác

Hiện nay, trong yêu cầu đổi mới của dạy học, nhiều giáo viên đã rất quan tâm tới việc củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh nhưng họ không biết bắt đầu từ đâu và giải quyết nó như thế nào? Chính vì thế mà tôi mạnh dạn

đề xuất một vài kinh nghiệm giảng dạy thông qua việc " Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc mở rộng và khai thác bài toán”

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu:

- Các em học sinh lớp 8A, 8B của trường THCS Long Sơn

- Các tiết học môn Hình học 8

b Phạm vi nghiên cứu:

Áp dụng giảng dạy cho học sinh khối 8, bồi dưỡng hoc sinh khá giỏi ở trường THCS

3 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

Qua kinh nghiệm này tôi muốn trao đổi thêm về phương pháp giảng dạy hình học 8 để có hiệu quả giảng dạy cao nhất Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải cho một bài toán chứng minh hình học, nhằm củng cố kiến thức và hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức để từ đó giúp phát triển

tư duy và rèn khả năng tự học cho HS, đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giáo dục

Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán đó là nhiệm vụ cấp thiết hiện nay

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Tổng kết qua kinh nghiệm công tác và giảng dạy

- Điều tra, so sánh, phân tích, tổng hợp

- Nghiên cứu bảng biểu

5 Giả thiết khoa học

Nếu đề tài này được áp dụng rộng rải vào giảng dạy một cách khoa học, đồng bộ thì kết quả học tập môn Toán của học sinh khối 8 nói riêng và học sinh toàn trường nói chung sẽ đạt kết quả cao hơn

6 Những đóng góp của đề tài

- Giúp học sinh lớp 8 yêu thích và học tốt môn Hình học hơn.

- Giúp giáo viên dạy môn Toán giảng dạy tốt hơn

- Giúp học sinh tự nắm vững kiến thức lý thuyết và tăng khả năng tư duy, nhanh nhạy trong học tập cũng như trong cuộc sống

- Nhiều học sinh tham gia phát biểu, bày tỏ ý kiến trong các tiết học làm cho không khí tiết học thoải mái, sinh động và tích cực hơn

- Tạo cho học sinh tính độc lập, sáng tạo, có kỹ năng khai thác bài toán

và trình bày lời giải

- Nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán 8

B NỘI DUNG

I Cơ sở khoa học

1 Cơ sở lí luận

Dạy học toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu, tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học toán là không thể thiếu được Trong đó việc tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên biết xây dựng kiến thức một cách logic, lựa chọn bài tập hợp lý giúp học sinh nắm được kiến thức một cách có hệ thống, dẫn dắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết, từ bài toán dễ đến bài toán khó Bên cạnh đó, việc củng

cố và khắc sâu kiến thức bằng cách khai thác, mở rộng bài toán không những giúp học sinh nắm vững kiến thức lý thuyết mà còn giúp học sinh say mê học toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường THCS tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế dạy học tôi thấy: Trong chương trình Toán THCS "Các bài toán về hình học" rất đa dạng, phong phú và trừu tượng Học sinh khi học toán đã khó, đối với hình học lại càng khó hơn bởi vì: Để giải bài toán hình học thì học sinh phải vận dụng tất cả các định nghĩa, tính chất, định lý,…, mà mình đã được học một cách linh hoạt Bên cạnh đó để giải một bài toán hình học lớp trên thì học sinh phải nắm vững tất cả kiến thức,

2

các bài toán cơ bản ở lớp dưới Trong các bài toán cơ bản (bài toán gốc) có rất nhiều bài toán có thể vận dụng để giải các bài toán khác liên quan, qua đó giáo viên củng cố cho học sinh rất nhiều kiến thức mới và kỹ năng mới Nhưng trong thực tế giảng dạy tôi thấy, khi giải toán hình học rất ít học sinh biết sử dụng bài toán gốc để giải (Học sinh không biết bài toán này có liên quan đến bài toán nào

và vận dụng lý thuyết nào để giải) Do đó việc tìm ra lời giải bài toán vô cùng khó khăn Chính vì thế mà việc củng cố lý thuyết thông qua từng bài toán, từng cách giải là điều hết sức cần thết

2 Cơ sở thực tiễn

Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào để học sinh nắm vững kiến thức lý thuyết, biết cách sử dụng các bài toán gốc” để giải toán hình học một cách linh hoạt, sáng tạo Với trách nhiệm của người giáo viên tôi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn phần này

Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, qua sự tìm tòi thử nghiệm, nghiên cứu thực tế giảng dạy của bản thân và của một số đồng nghiệp Tôi mạnh dạn đưa ra

một vài kinh nghiệm: "Củng cố kiến thức và rèn luyện tư duy cho học sinh

thông qua việc mở rộng và khai thác bài toán"

Với đề kinh nghiệm này tôi mong muốn sẽ giúp học sinh biết cách sử dụng bài toán gốc để giải các bài toán liên quan và từ đó tự củng cố kiến và nâng cao kến thức của mình Đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất, tốt nhất

II Thực trạng

Trong quá trình giảng dạy và qua tìm hiểu ở học sinh và ở đồng nghiệp tôi nhận thấy

Về học sinh: Nhiều học sinh chưa hình thành cho mình phương pháp học tập hợp lý và khoa học nếu không nói là chỉ có phương pháp học vẹt, gần như các

em chưa có thói quen tìm tòi, phân tích, mổ xẻ hay khai thác kết quả của những bài toán đã được giải để có thêm những tính chất mới hay những bài toán mới Nhiều học sinh chưa thấy được sự tương tự giữa các mệnh đề toán học, chưa hình thành cho mình năng lực tư duy linh hoạt, sáng tạo và đặc biệt là chưa thấy được cấu trúc của một bài toán Chính các điều này làm cho các em luôn bị động trong quá trình chiếm lĩnh kiến thức

Về giáo viên: Một số giáo viên trong quá trình công tác chưa thường xuyên hoặc rất ít rèn luyện, hình thành cho học sinh các thói quen, các kỷ năng hay tư duy linh hoạt sáng tạo trong quá trình học môn toán dẫn đến găp nhiều khó khăn trong học tâp và mất dần niềm yêu thích môn toán

Khảo sát tình hình thực tế

Tôi đã đưa bài toán 1 trong tiết luyện tập ở lớp 8A, 8B như sau: Cho tam

giác ABC đều có cạnh a, P là điểm nằm trong tam giác Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ P đến ba cạnh BC, CA và AB Tìm tất cả các điểm P trong tam giác sao cho x + y = z Thì có kết quả như sau:

A'

C'

B'

C B

A

Để giúp học sinh giải quyết bài toán trên một cách đơn giản tạo được hứng thú trong tiết học và hơn nữa khắc sâu được phần lý thuyết của bài học trước tôi đưa ra một số giải pháp như sau:

III Các giải pháp thực hiện

Bài toán 1.1: (Bài tập 51 - Trang 166 SBT toán 8 tập 1.Nhà xuất bản GD)

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H Chứng minh: HA'' HB'' HC'' 1

AA  BB CC 

- Phân tích tìm lời giải.

ABC AHB BHC CHA

ABC ABC ABC

S

Ta có:

'

'

1

1 2

CHB CHA AHB

S  CC ABCC S AA S BB

Từ đó ta sẽ có lời giải

- Giải tóm tắt:

Ta có S ABC S AHBS BHCS CHA

1

CHB AHC

AHB

ABC ABC ABC

S

S S S  

HC BA HB AC HA BC

CC AB BB AC AA BC

 HC'' HB'' HA'' 1

CC  BB  AA 

Nhận xét 1: Nếu tam giác ABC là tam

giác tù thì HA HB HC''; ''; ''

AA BB CC có quan hệ như thế nào? Giả sử tam giác ABC có góc A tù thì ta

có:

1

CHB AHB AHC ABC CHB BHA CHA

ABC ABC ABC



HA HC HB

AA  CC  BB 

Từ đó ta có bài toán sau:

4

H

B' C'

A' A

z y x

A

M

Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC, các đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H Tìm mối quan hệ giữa các tỉ số: HA HB HC''; ''; ''

AA BB CC Gợi ý giải

Nếu tam giác ABC nhọn thì ta có kết quả như bài toán 1

Nếu tam giác ABC tù thì ta có kết quả HA'' HC'' HB'' 1

AA  CC  BB  với góc A tù

Nhận xét 2: Ở bài toán 1.1, nếu tam giác ABC đều thì ta có AA ' = BB ' = CC '

và nếu ta lấy điểm M nằm trong tam giác ABC và có x, y, z là khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác thì ta tìm được mối quan hệ của x, y, z và AA ' Qua

đó ta có bài toán 1.3:

Bài toán 1.3:

Cho tam giác ABC đều có cạnh a, M là điểm nằm trong tam giác Gọi x,

y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến ba cạnh AB, BC và CA

Chứng minh: x + y + z không đổi.

Giải tóm tắt.

Gọi h là độ dài đường cao của ABC

Ta có:S AMB S BMCS CMA S ABC

suy ra . . . .

a x a y a z a h

    a x y z    a h.

Từ đó ta có: x + y + z = h (1)

Mặt khác ta có: ABC đều có cạnh là a nên đường cao h = 3

2

a không đổi (2)

Từ (1) và (2) ta có : x + y + z = h = 3

2

a không đổi

Nhận xét 3: Ở bài toán 1.3 Nếu biết x, y, z thì ta tìm được độ dài đường

cao AH và diện tích của ABC và ngược lại Thì việc giải bài toán 1 không còn khó khăn nữa vì ta đã biết x+y+z=h nên để x+y=z thì

2

h

z  thì P sẽ nằm trên đường trung bình của ABC và cũng từ tính chất trên ta sẽ dễ dàng giải bài toán sau 1.4 như sau:

Bài toán 1.4:

Cho tam giác ABC đều có cạnh a, P là điểm nằm trong tam giác Gọi x, y,

z lần lượt là khoảng cách từ P đến ba cạnh BC, CA và AB

a, Biết x = 1, y = 2, z = 3 Tính diện tích ABC

b, Tìm tất cả các điểm P trong tam giác sao cho

x + y = z

c, Tìm tất cả các điểm P trong tam giác sao cho

x, y, z lập thành một tam giác

(Đề thi vào lớp 10 - ĐHQG TP Hồ Chí Minh)

5

h z y x A

P

Lời giải tóm tắt.

a Đặt h là đường cao tam giác đều ABC

Ta có: S APB S BPC S CPAS ABC .

a x a y a z a h

x y z h  

Mà x = 1, y = 2 và z = 3 nên ta có h = 6 (1)

Mặt khác ta có ABC đều có cạnh a nên đường cao

h = 2 1 2 3

.

a  a  a (2)

Từ (1) và (2) ta có 6 = 3.

Vậy diện tích của ABC bằng 12 3 (đvdt)

b Ta có x y z h   , mà x y z  nên

2

h

z  Suy ra

P nằm trên đường trung bình MN của ABC (với

M là trung điểm của AC và N là trung điểm của

BC, P khác M, N)

c Ta có x y z h   (3) Để x, y, z lập thành một

tam giác thì x + y > z, y + z > x và z + x > y (4)

Từ (3) và (4) ta có:

P

P

 



 



 

thuéc miÒn trong tø gi¸c BEMC

thuéc miÒn trong tø gi¸c CNEA

thuéc miÒn trong tø gi¸c BNMA

Suy ra P

thuộc miền trong của tam giác EMN

( Với M, N, E lần lượt là trung điểm AC, BC và AB và P khác M, N, E)

Nhận xét 4: Ở bài toán 1.3 Với ABC đều thì ta có x y z h   không đổi nếu ta kết hợp với bất đẳng thức 3 x 2 y2 z2x y z  2 dấu " = " xảy

ra khi x = y = z Khi đó ta tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2  y2 z2 qua tính chất đó ta có thêm bài toán sau:

Bài toán 1.5: Cho tam giác ABC đều có cạnh 6 3 cm, P là điểm nằm trong tam giác, Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ P đến ba cạnh BC, CA và AB Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2  y2 z2

Lời giải tóm tắt.

6

P A

C B

x

y

N E

P A

H

z y x

Vẽ đường cao AH của ABC Do ABC đều có cạnh là 6 3 nên AH =

3

.

2 a = 9

Mà ta có x y z  AH suy ra x y z   9

Ta có: 3 x 2 y2 z2 x y z  2

2

27 3

x y z

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của 2 2 2

x y z là 27 khi và chỉ khi x = y = z hay P là giao của ba đường cao

Nhận xét 5: Với ABC nhọn có AB = c, BC = a,, CA = c và x, y, z lần lượt là khoảng cách từ P đến ba cạnh BC, CA và AB thì ta luôn có x.a + y.b + c.z = 2 S ABC (1 ) nếu ta nhân hai vế của (1) với a b c x yz thì ta có:

x y z

a b c ab bc ca

      Từ đó ta có bài toán mới sau:

Bài toán 1.6:

Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh lần lượt là a, b, c, M là điểm nằm trong tam giác Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến a, b, c Xác định vị trí của M trong tam giác ABC để P = a b c x y z đạt giá trị nhỏ nhất

Giải tóm tắt

Ta có S AMBS BMC S CMA S ABC

 a.x + b.y + c.z = 2.S ABC

Xét P.2.S ABC a x b y c z .  a b c

x y z

a b c ab bc ac

a b c2

( vì x, y > 0 nên x y 2; y z 2; x z 2

2

a b c P

S

 

 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z

Vậy giá trị nhỏ nhất của P khi và chỉ khi x = y = z hay M là giao của ba đường phân giác của tam giác ABC

a x y z

A

M

Nhận xét 6: Ở bài toán 1.6 Nếu M trùng với A thì ta có x y z x ha   

(Với ha là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A) Từ đó ta có: Nếu a lớn nhất trong 3 đoạn a, b, c thì ha sẽ nhỏ nhất trong ba đường cao của tam giác ABC Qua đó ta có thêm bài toán mới sau:

Bài toán 1.7:

Cho ABC nhọn có ba cạnh là a,b,c Gọi khoảng cách từ điểm M nằm trong

ABC

 đến các cạnh a, b, c lần lượt là x, y, z Tìm điểm M để x + y + z nhỏ nhất

Giải toám tắt:

Gọi ha, hb, hc lần lượt là đường cao kẻ từ a, b và c của ABC

Giả sử a b c   ha hb hc 

Ta có S AMBS BMCS CMA S ABC  2.S ABC = a.x + b.y + c.z

a x y z x y z ha

a

Vậy giá trị nhỏ nhất của x + y + z là ha khi và

chỉ khi M trùng với A (với a b c  )

Giá trị nhỏ nhất của x + y + z là ha khi và chỉ

khi M trùng với B ( với b c a , )

Giá trị nhỏ nhất của x + y + z là ha khi và chỉ

khi M trùng với C ( với c b a , )

Nhận xét 7: Ở bài toán 1.7 ta còn có các tính

chất sau:

AF MF AE ME

BF MF BD MD

CD MD CE ME

Từ đó ta có AF +BD +CE =AE +CD +BF2 2 2 2 2 2

Nếu đặt P = AF +BD +CE2 2 2thì ta có:

2 P = AF +BD +CE +AE +CD +BF Nếu ta2 2 2 2 2 2

kết hợp với bất đẳng thức

2

2

a b

a b   

  ta có :

AF BF    

Khi đó 2 P = AF +BD +CE +AE +CD +BF không đổi.2 2 2 2 2 2

Nhận xét: Nhờ mối liên hệ nên ta tiếp tục có bài toán sau:

Bài toán 1.8:

Cho ABC nhọn, M là một điểm nằm trong tam giác Kẻ MD, ME, MF thứ tự vuông góc với các cạnh BC, AC, AB Tìm vị trí của M để biểu thức

P=AE +BD +CE đạt giá trị nhỏ nhất

Giải tóm tắt.

8

a x y z A

M

D

F

x y z A

M E

Do P=AE +BD +CE mà 2 2 2 AF +BD +CE =AE +CD +BF2 2 2 2 2 2

nên ta có 2P = AF +BD +CE +AE +CD +BF Áp dụng bất đẳng thức2 2 2 2 2 2

2

2

a b

a b   

  ta có: 2P = AF +BD +CE +AE +CD +BF2 2 2 2 2 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 2 2 2

2 AB BC  AC khi và chỉ khi M là giao của 3 đường trung trực tam giác ABC

Nhận xét 8: Ở bài toán 1.5 với ABC đều ta đã có x + y + z = h không đổi và nếu ta kết hợp với bất đẳng thức a b c 1 1 1 9

a b c

     

  thì ta lại có thêm bài toán mới sau:

Bài toán 1.9:

Cho ABC đều có cạnh bằng a, M là điểm nằm trong tam giác Gọi khoảng cách từ M đến ba cạnh BC, AC, AB lần lượt là x, y, z Xác định vị trí của M để: a, 1 1 1

x y  y z  z x đạt giá trị nhỏ nhất

x  yz  y  xz  z  xz đạt giá trị nhỏ nhất

Giải tóm tắt.

a, Gọi h là độ dài đường cao tam giác đều ABC

Ta có: S AMB S BMCS CMA S ABC .

a x a y a z a h

    x y z h  

Mặt khác ta có: 1 1 1 x y y z z x 9

1 1 1 2.x y z 9

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 1 1

x y  y z  z x là 9

2h Dấu "=" xảy ra khi và khi

M là giao của 3 đường phân giác

b, Ta có:  2 2 2 



 

Vậy giá trị nhỏ nhất của 2 1 2 1 2 1

x  yz  y  xz  z  xz là 92

h Dấu "=" xảy ra

khi và chỉ khi M là giao của 3 đường phân giác

Nhận xét 9: Với ABC đều có cạnh a và x, y, z lần lượt là khoảng cách

từ M đến ba cạnh của tam giác Qua M kẻ các đường thẳng song song ba cạnh của tam giác đó thì ta có ba đoạn thẳng MA, MB, MC tạo thành một tam giác.

Và ta chứng minh được diện tích của tam giác được tạo bởi ba đoạn MA, MB,

MC nhỏ hơn hoặc bằng 1

3 diện tích ABC Qua đó ta tiếp tục có bài toán mới

sau:

Bài toán 1.10:

Cho ABC đều có cạnh bằng a M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến cạnh BC, AC, BC Chứng minh diện tích của tam giác được tạo bởi ba đoạn MA, MB, MC không lớn hơn 1

3 diện tích ABC

Giải tóm tắt:

- Qua M kẻ đường thẳng a song song với BC cắt

AB, AC lần lượt tại E và F

- Qua M kẻ đường thẳng b song song với AC cắt

AB, BC lần lượt tại I và K

- Qua M kẻ đường thẳng c song song với AB cắt

AC, BC lần lượt tại G và H

Ta dễ dàng chứng minh được GMF HMK,  , EIM

là những tam giác đều Và các tứ giác AIMF,

FMHC, HMIB là các hình thang cân Từ đó ta có MA = IF, FH = MC và MB =

HI Từ đó ta luôn có tồn tại một tam giác có ba cạnh là ba đoạn thẳng MA, MB,

MC và đó là IFH

2

IFH IMH HMF FMI

S S S S  z MH x MF y MI 

2 z 3x x 3 y y 3z 3 xz xy yz

10

K

I

H

G F

C B

x

y z

A

M

E