LaTeX kỹ năng toán trắc nghiệm 12

Phương pháp: Để chọn hàm số bậc 3 nói riêng và các hàm số khác ta phải dựa vào đặc điểm hình dáng của đồ thị, toạ độ giao điểm với các trục rồi suy ra các hệ số và chọn hàm cho đúng... N

Mục lục

1.1 Kiến thức cơ bản 4

1.2 Các dạng toán 5

1.2.1 Xác định dấu của các hệ số a, b, c, d dựa vào đồ thị: 5

1.2.2 Chọn hàm số phù hợp với đồ thị hàm số 5

1.2.3 Bài toán về sự biến thiên của hàm bậc 3: 6

1.2.4 Bài toán về cực trị 6

1.2.5 Bài toán về biện luận số giao điểm 7

1.3 Bài tập tự luyện 8

2 Dạng xét tính đơn điệu và cực trị của hàm bậc 4 cụ thể 12 2.1 Lý thuyết 12

2.2 Bài tập tự luyện 15

3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trùng phương trên đoạn, khoảng 2

3.1 Nhắc lại kiến thức 2

3.2 Phương Pháp giải 2

3.3 Bài tập tự luyện 5

4 Tìm m để hàm số y= ax4+ bx2+ c có 0,1,3 cực trị 2 4.1 Bài tập tự luyện 3

5 Tìm m để cực trị hàm trùng phương thỏa mãn tam giác cân vuông đều, 2

5.1 Lý thuyết 2

5.2 Bài tập tự luyện 5

6 Đồ thị hàm số bậc 4 và các dạng toán liên quan 2 6.1 Lý thuyết 2

6.2 Bài tập tự luyện 4

1

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

7 Biện luận nghiệm của phương trình trùng phương chứa m 2

7.1 Bài tập tự luyện 2

8 Tương giao đồ thị, hai đồ thị cắt nhau 2 8.1 Kiến thức cần nhớ 2

8.2 Bài tập tự luyện 2

9 Phương Trình Bất Phương Trình Mũ Và Logarit 2 9.1 Kiến Thức Cơ Bản 2

9.1.1 Phương trình mũ cơ bản 2

9.1.2 Phương trình logarit cơ bản 2

9.1.3 Bất phương trình mũ cơ bản 2

9.1.4 Bất phương trình logarit cơ bản 3

9.2 Các Dạng Toán 3

9.2.1 Phương Trình Mũ 3

9.2.2 Phương trình logarit 4

9.2.3 Bất phương trình mũ 5

9.2.4 Bất phương trình logarit 5

9.3 Bài Tập Tự Luyện 5

10 Thể tích khối nón 9 11 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 18 11.1 Kiến thức cơ bản 18

11.1.1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 18

11.1.2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng 18

11.1.3 Các trường hợp riêng 19

11.1.4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 19

11.1.5 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 20

11.1.6 Vị trí tương đối của giữa mặt phẳng và đường thẳng 20

11.1.7 Vị trí tương đối của giữa mặt phẳng và mặt cầu 20

11.2 Các dạng toán 21

11.2.1 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) 21

11.2.2 Xét vị trí tương đối của (α) với đường thẳng d 21

11.2.3 Xét vị trí tương đối của (α) với mặt cầu (S ) 21

11.2.4 Tìm điểm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên mặt phẳng (α) 21

11.2.5 Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng (α) 21

11.3 Bài tập tự luyện 24

2 Các thành viên trong nhóm sẽ được chia sẻ miễn phí bản pdf các chuyên đề của nhóm.

3 Các thành viên trong nhóm có đóng góp trong các dự án Chẳng hạn như đóng góp 1,2, đềbằng LATEX trong mỗi dự án sẽ nhận được file tổng hợp bằng LATEX các đề từ các thành viênkhác

4 Hướng đến việc chia sẻ chuyên đề, viết sách, bằng LATEX,

1 Tại địa chỉ https://www.facebook.com/groups/toanvalatex/

3

+ Đồ thị hàm số luôn nhận điểm uốn U(xu; y(xu)) làm tâm đối xứng, với xulà nghiệm của y00.

+ Hàm số có cực trị khi và chỉ khi b2− 3ac > 0, hàm số bậc 3 chỉ có 2 cực trị hoặc không có cực trị.+ Hoành độ của hai điểm cực trị là nghiệm của y0

Chú ý: Khi giải nhiều bài toán về hàm số bậc 3 cần nhớ 4 dạng của hàm số được minh hoạ bởi đồ

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

thị trong bảng trên.

1.2.1 Xác định dấu của các hệ số a, b, c, d dựa vào đồ thị:

+ Nếu đồ thị thuộc dạng (I) và (II) thì a > 0

+ Hệ số d chính bằng tung độ giao điểm của đồ thị với trục Oy, nếu tung độ giao điểm dương thì b > 0

+ Ta thấy đồ thị thuộc dạng (I) nên a > 0

+ Giao điểm với Oy có tung độ dương nên d > 0;

+ Tiếp tuyến tại giao điểm với Oy là đường màu đỏ có

hướng đi lên suy ra c > 0

Phương pháp: Để chọn hàm số bậc 3 nói riêng và các hàm số khác ta phải dựa vào đặc điểm hình

dáng của đồ thị, toạ độ giao điểm với các trục rồi suy ra các hệ số và chọn hàm cho đúng

Ví dụ 1.2.2.

5

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

Hình vẽ bên là của là đồ thị hàm số nào trong các

Hướng dẫn:

+ Từ hình dáng đồ thị thấy a > 0 nên loại phương án D

+ Ta thấy đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nên b2− 3ac > 0 suy ra loại phương án C

+ Còn lại phương án A, B ta thấy điểm uốn nằm trên trục tung nên b= 0 suy ra phương án đúng là A.( Hoặc có thể dựa vào số giao điểm của đồ thị với trục hoành cũng kết suy ra lựa chọn tương tự.)

1.2.3 Bài toán về sự biến thiên của hàm bậc 3:

Khi gặp bài toán trắc nghiệm liên quan tới sự biến thiên của hàm số bậc 3 thì cần hình dung ra hàm số

đề cập đến thuộc dạng nào trong 4 dạng của hàm số, từ đó xét các điều kiện rồi chọn phương án đúngphù hợp Bên cạnh đó ta có thể sử dụng máy tính để tính đạo hàm tại một số điểm rồi kết luận về sựbiến thiên

Ví dụ 1.2.3 Hàm số y= x3− 3x − 4 đồng biến trên miền nào dưới đây:

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

+ Với a > 0 thì hàm số đạt cực đại tại nghiệm nhỏ, cực tiểu tại nghiệm lớn của y0

+ Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 ta dùng thuật toánsau: ta có y= y0.(1

3x+ b9a)+ mx + n, vậy đường thẳng đi qua hai cực trị có phương trình y = mx + n

Ta tính m, n bằng máy tính Casio như sau:

Lập hàm y − y0(1

3x+ b9a), rồi CALC tại x= 0 thu được nTính tiếp y − y0

(1

3x+ b9a) − n, rồi CALC tại x= 1 thu được m, từ đó suy ra đường thẳng cần tìm

Hướng dẫn: Ta dùng máy tính tính b2− 3ac= −27

4 < 0 nên hàm số không có cực trị, chọn phương

Hướng dẫn: Dùng thuật toán trên máy tính Casio như phần hướng dẫn trên suy ra phương trình

đường thẳng qua hai điểm cực trị là y= −2x + 2, nên chọn phương án B

1.2.5 Bài toán về biện luận số giao điểm

+ Bài toán biện luận về giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với đường thẳng thường có hai hướng giảiquyết: bằng đồ thị hoặc bằng biện luận phương trình

+ Đường thẳng y= m cắt đồ thị hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d tại 3 điểm phân biệt ⇔ yCT < m < yCĐ.+ Với nhiều bài toán có thể dùng máy tính giải phương trình bậc 3 để suy ra phương án đúng

Ví dụ 1.2.9 Cho hàm số y= x3− 3x+ 2 − m Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi

A.0 < m < 4 B.0 ≤ m ≤ 4 C.m> 4 D.m< 0

Hướng dẫn: Với bài này ta nhìn thấy chỉ có phương án A là đúng vì đáp án có dạng yCT < m < yCĐ

7

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

Ví dụ 1.2.10 Đồ thị hàm số y= x3− 6x2+ 9x − 1 cắt đường thẳng y = 3 tại mấy điểm?

Hướng dẫn: Bài toán này có thể làm theo phương pháp tự luận, nhưng như thế mất nhiều thời gian và

khó Ta biết rằng nếu điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi đồthị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt, do đó ta dùng máy tính kiểm tra nghiệm của phương trình bậc 3rồi loại trừ như sau: Thay m= 2 vào và giải phương trình bậc 3: y = 0 thấy có 3 nghiệm, vậy phương

án A bị loại, thay m= 3 thấy không thoả mãn nên loại phương án B, thay m = 2, 5 thấy thoả mãn nênchọn phương án C

Bài 3: Giá trị cực đại của hàm số y= x3− 3x+ 4 là

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

Bài 6: Đồ thị sau đây là của hàm số y= x3− 3x+ 1 Với giá trị nào của m thì phương trình x3− 3x −

m −1= 0 có ba nghiệm phân biệt?

Bài 12: Giá trị cực đại của hàm số y= x3− 3x+ 4 là

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

Bài 15: Tìm tung độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y= −3x + 4 và y = x3+ 2x + 4

Bài 16: Cho hàm số y= −x3+ 3mx2+ x − 3 có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) nhận điểm I(1; 0)

Bài 18: Hàm số y = x3+ 6x2+ 3(m + 2)x − m − 6 có cực đại, cực tiểu tại x1, x2sao cho x1 < −1 < x2

khi và chỉ khi m thoả mãn

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

Nhận xét 1 Dựa vào bốn đồ thị trên, ta thấy rằng không có đồ thị nào mà hàm số đồng biến hay

nghịch biến trên R cả Do đó bài toán chỉ có thể yêu cầu tìm điều kiện tham số để hàm số đồng biếnhay nghịch biến trên khoảng hay một đoạn nào đó nằm trong R Dựa vào đồ thị bên trên, ta chỉ cầnbiện luận theo hai trường hợp sau:

a) Trường hợp 1 Phương trình y0= 0 có ba nghiệm phân biệt Từ (*) suy ra y0 = 0 có ba nghiệm phânbiệt khi và chỉ khi − b

Từ đó lập bảng biến thiên của hàm số, xét xem khoảng đồng biến hay nghịch biến bài toán cho phùhợp với khoảng nào của nghiệm

Nếu a > 0, hàm số đồng biến trên







13

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

b) Trường hợp 2 Phương trình y0 = 0 có một nghiệm Từ (*) suy ra y0 = 0 có một nghiệm phân khi

Ví dụ 1 Cho hàm số y= x4− 2mx2− 3m+ 1 Tìm m đề hàm số đồng biến trên (1; 2)

Giải Nếu −2m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0, hàm số luôn đồng biến trên (0;+∞) nên cũng đồng biến trên (1; 2).Nếu −2m < 0 ⇔ m > 0, hàm số đồng biến trên







r2m

Vậy m ∈ (−∞; 1] thì hàm số đã cho đồng biến trên (1; 2)

Ví dụ 2 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số y= −x4− x2

Giải y0 = −4x3− 2x2, y0 = 0 ⇔ x = 0 Ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0;+∞)

Nhận xét 2 Dựa vào đồ thị hàm số bên trên, ta nhận thấy hàm số trùng phương bậc 4 luôn có cực

trị; hoặc là 1 cực trị (nếu phương trình y0 = 0 có một nghiệm) hoặc là 3 cực trị (nếu phương trình

y0 = 0 có 3 nghiệm phân biệt) Từ đó, ta có thể khái quát thành các trường hợp sau:

a) Trường hợp 1 Hàm số có ba điểm cực trị

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y0 = 0 có ba nghiệm phân biệt Cụ thể

Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại ⇔

4ac − b24a

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

b) Trường hợp 2 Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi y0 = 0 có một nghiệm Cụ thể

Hàm số có một cực đại và không có cực tiểu ⇔

Nhận xét 3 Trường hợp hàm số có ba điểm cực trị thì ba điểm đó luôn tại thành một tam giác cân

có đỉnh nằm trên trục tung và có tọa độ (0; c)

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

A.Hàm số (1) nghịch biến trên (0;+∞) và đồng biến trên (−∞; 0)

B. Hàm số (1) nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1), đồng biến trên (−1; 0) và (1;+∞)

C.Hàm số (1) đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1), nghịch biến trên (−1; 0) và (1;+∞)

D.Hàm số (1) đồng biến trên (0;+∞) và nghịch biến trên (−∞; 0)

Bài 6: Biết rằng hàm số y = ax4 + bx2+ c (a , 0) đồng biến trên (0; +∞), khẳng định nào sau đâyđúng?

A.ab ≥0 B.a> 0; b ≥ 0 C.a< 0; b ≤ 0 D.ab ≤0

Bài 7: Hàm số y= x4− 2016x2− 2017 có mấy cực trị?

Bài 8: Đồ thị của hàm số nào có một điểm cực tiểu (0; −2) và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành

độ x= ±1 trong các hàm số dưới đây:

A.Một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại B.Một điểm cực tiểu duy nhất

C. Một điểm cực đại và không có điểm cực

tiểu

D.Một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

Bài 13: Cho hàm số y= −x4+ 2x2+ 3 có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu lần lượt là y1, y2 Khi đó:

A.2y1− y2 = 5 B.y1+ 3y2= 15 C.y2− y1 = 2√3 D.y1+ y2 = 12

Bài 14: Cho hàm số y= 3x4− 6x2+ 1 có đồ thị là (E) Chọn khẳng định đúng trong bốn khẳng địnhsau:

Nhóm Facebook "Toán và LATEX"

A.Hàm số đã cho liên tục trên R và (E) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 1) và (E) nhận Oy làm trục đối xứng

C.Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và (E) nhận trục tung làm trục đối xứng

D.Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng 1 và (E) không có trục đối xứng

Bài 15: Cho hàm số y= −1

4x

4+ 1

2x

2− 3 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.Hàm số đạt cực tiểu tại x= 0 B.Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

C.Hàm số đạt cực đại tại x= 0 D.Hàm số đạt cực tiểu tại x = −3

17

• Nếu f (xi) < f (a) hoặc f (b) thì không có giá trị lớn nhất.

• Nếu f (xi) > f (a) hoặc f (b) thì không có giá trị nhỏ nhất

• Nếu f (xi) > f (a) và f (xi) > f (b) thì M = max( f (xi))

• Nếu f (xi) < f (a) và f (xi) < f (b) thì m= min( f (xi))

• Nếu f (b) là số lớn nhất thì không có giá trị lớn nhất

• Nếu f (b) là số nhỏ nhất thì không có giá trị nhỏ nhất

• Nếu f (b) không phải là số lớn nhất thì chọn số lớn nhất M làm giá trị lớn nhất

• Nếu f (b) không phải là số nhỏ nhất thì chọn số nhỏ nhất m làm giá trị nhỏ nhất

[−1;2] f(x)= 0 tại điểm x = √2

−1.5−1−0.5 0.5 1 1.5 2 0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Bài 17: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = −x4+ 8x2− 2 trên đoạn[−3; 1] Khi đó M+ m là:

Bài 18: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2x4− 4x2− 1 trên đoạn [−2; 0] là:

ĐÁP ÁN

16 B 17 B 18 C 19 C 20 B 21 22

Chương 4

cực trị

Ta xét các trường hợp sau:

1 Nếu a= 0 thì hàm suy biến là y = bx2+ c

• Nếu b= 0 thì hàm còn lại là y = c là hàm hằng nên không có cực trị

• Nếu b , 0 thì hàm số y = bx2+ c là hàm bậc 2, có cực đại khi b < 0 và cực tiểu khi b > 0

2 Nếu a , 0 Ta có đạo hàm y0 = 4ax3+ 2bx Xét phương trình y0 = 0 ⇔

Bài 8: Cho hàm số y= x4+ 4x3− m Khẳng định nào sau đây là sai:

A.Số cực trị của hàm số không phụ thuộc vào tham số m

B. Số cực trị của hàm số phụ thuộc vào tham số m

C.Hàm số có đúng một cực trị

D.Hàm số có đúng một cực tiểu

Bài 9: Cho hàm số y= (1 − m)x4− mx2+ 2m − 1 Tìm m để đồ thị hàm số có đúng ba điểm cực trị?

A.0 ≤ m ≤ 1 B.m ≤0 ∨ m ≥ 1 C.0 < m < 1 D.m< 0 ∨ m > 1

Bài 10: Tìm m để hàm số y= (m − 1)x4− (m2− 2)x2+ 2016 đạt cực tiểu tại x = −1.

Bài 11: Cho hàm số y= ax4+ bx2+ c(a , 0) Khẳng định nào sau đây là sai?

A.Hàm số luôn có cực trị

B. Hàm số luôn có một cực trị thuộc trục tung

C.Đồ thị hàm số luôn có 1 điểm cực trị thuộc trục tung

D.Hàm số có 1 hoặc 3 cực trị

Trang 4/??

Chương 5

Tìm m để cực trị hàm trùng phương thỏa

mãn tam giác cân vuông đều,

1 Hàm trùng phương bậc 4 là một hàm chẵn nên nhận trục Oy làm trục đối xứng

2 Hàm trùng phương bậc 4 hoặc có một điểm cực trị, hoặc có ba điểm cực trị Trường hợp có bađiểm cực trị, ta xét:

• Nếu a > 0 thì hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu, trong đó cực đại có tọa độ (0; c) và cựctiểu có tọa độ ±

Nhận xét Chính vì ba điểm cực trị luôn tạo thành tam giác cân nên đề toán sẽ không yêu cầu tìm điều

kiện tham số để ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân, mà kèm theo đó là ba điểm cực trị tạo thànhtam giác cân với góc ở đỉnh (hoặc góc ở đáy) một góc bao nhiêu độ hay một điều kiện nào khác

Ví dụ 1 Cho hàm số y = mx4−(2m+ 1) x2+ 1 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có một điểmcực đại

Giải Với m= 0 ta có y = −x2+ 1, hàm số có một điểm cực đại

2

Với m , 0, hàm số có một điểm cực đại khi và chỉ khi

Cách 1 M (0; −2m − 1) là trung điểm BC Khi đó:

Ví dụ 3 Cho hàm số y= x4− 2mx2+ m − 1 (2), với m là tham số thực Tìm điều kiện của tham số m

để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Giải Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi −2m < 0 ⇔ m > 0 Khi đó, tọa độ ba điểm cực trị là:

A(0; m − 1) , B−√m; −m2+ m − 1 , C √m; −m2+ m − 1 Đến đây ta có thể giải quyết bài toán theo hai cách sau:

Cách 2 Do đồ thị hàm số (2) nhận Oy làm trục đối xứng và A ∈ Oy nên tâm I của đường tròn ngoại

tiếp∆ABC nằm trên Oy Suy ra I(0; a), a ∈ R Khi đó

b) Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 32.

Giải Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi −2m < 0 ⇔ m > 0 Khi đó tọa độ ba điểm cực trị sẽ là

A(0; m+ 1) , B

−√m; −m2+ m + 1 , C √m; −m2+ m + 1 Nhận xét,∆ABC cân tại A

a) ∆ABC đều khi và chỉ khi

Dấu ”= ” xảy ra khi và chỉ khi m = 0

Vậy m= 0 thỏa yêu cầu đề bài

Ví dụ 6 Cho hàm số y = x4− 2mx2+ m (5) với m là tham số thực Hãy tìm điều kiện của m để hàm

số (5) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1

Giải Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi −2m < 0 ⇔ m > 0 Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là

A(0; m) , B−√m; m − m2 , C √m; m − m2

Trang 4/??

Bài 12 (ĐỀ MH 2017 Lần 1): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

y= x4+ 2mx2+ 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

3

√3

2 .

Bài 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x4+ 2mx2+ m2 + m có đúngmột điểm cực trị.

ĐÁP ÁN

12 B 13 C 14 B 15 D 16 D 17 B 18 A 19 D 20 D 21 A

Chương 6

Đồ thị hàm số bậc 4 và các dạng toán liên

quan

Đồ thị của hàm số: Cho hàm số y= f (x) xác định trên tập D, tập hợp các điểm có tọa độ (x; f (x)) với

x ∈ Dtrong mặt phẳng tọa độ Oxy được gọi là đồ thị hàm số f

Qua đồ thị hàm số, ta có thể nhận biết được nhiều tính chất của hàm số

• Một điểm có tung độ dương khi c > 0

• Một điểm có tung độ âm khi c < 0

• Okhi c= 0

Bài 22: Hình ảnh bên giống với đồ thị hàm số nào nhất?

2

−2 −1 1

−1

1 2 3

Bài 25: Đồ thị của đường cong bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương

án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?