+ Giao của mặt cầu và mặt phẳng + Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu.. + Học sinh rèn luyện kĩ năng xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình
Trang 1§2 MẶT CẦU
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức:
+ Nắm được định nghĩa mặt cầu
+ Giao của mặt cầu và mặt phẳng
+ Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu
+ Nắm được định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện
+ Nắm được công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
2 Về kĩ năng:
+ Biết cách vẽ hình biểu diễn giao của mặt cầu và mặt phẳng, giữa mặt cầu và đường thẳng
+ Học sinh rèn luyện kĩ năng xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện
+ Kĩ năng tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
3 Về tư duy và thái độ:
+ Biết qui lạ về quen
+ Học sinh cần có thái độ cẩn thận, nghiêm túc, chủ động, tích cực hoạt động chiếm lĩnh tri thức mới
II Chuẩn bị:
+ Giáo viên: Giáo án, computer + projector hoặc bảng phụ; phiếu học tập
+ Học sinh: SGK, các dụng cụ học tập
III Phương pháp dạy học:
Gợi mở, nêu vấn đề, giải quyết vấn đề đen xen hoạt động nhóm
IV Tiến trình bài dạy:
1 Ổn định tổ chức: (1’)
2 Bài mới:
* Tiết 1:
a) Hoạt động 1: Chiếm lĩnh khái niệm mặt cầu và các khái niệm có liên quan đến mặt cầu
* Hoạt động 1-a: Tiếp cận và hình thành khái niệm mặt cầu
20’ +GV cho HS xem qua các
hình ảnh bề mặt quả bóng
chuyền, của mô hình quả địa
cầu qua máy chiếu
+?GV: Nêu khái niệm đường
tròn trong mặt phẳng ?
-> GV dẫn dắt đến khái niệm
mặt cầu trong không gian
*GV: dùng máy chiếu trình
bày các hình vẽ Làn lượt
+HS: Cho O: cố định
r : không đổi (r > 0) Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng cách điểm O cố định một khoảng r không đổi
là đường tròn C (O, r)
I/ Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu:
1) Mặt cầu:
a- Định nghĩa: (SGK)
Trang 2cho HS nhận xét và kết luận.
+? Nếu C, D ∈ (S)
-> Đoạn CD gọi là gì ?
+? Nếu A,B ∈ (S) và AB đi
qua tâm O của mặt cầu thì
điều gì xảy ra ?
+? Như vậy, một mặt cầu
được hoàn toàn xác định khi
nào ?
VD: Tìm tâm và bán kính
mặt cầu có đươờn kính MN =
7 ?
+? Có nhận xét gì về đoạn
OA và r ?
+? Qua đó, cho biết thế nào
là khối cầu ?
+? Để biểu diễn mặt cầu, ta
vẽ như thế nào ?
*Lưu ý:
Hình biểu diễn của mặt cầu
qua:
- Phép chiếu vuông góc ->
là một đường tròn
- Phép chiếu song song -> là
một hình elíp (trong trường
hợp tổng quát)
+? Muốn cho hình biểu diễn
của mặt cầu được trực quan,
người ta thường vẽ thêm
đường nào ?
+ Đoạn CD là dây cung của mặt cầu
+ Khi đó, AB là đường kính của mặt cầu và AB = 2r
+ Một mặt cầu được xác định nếu biết:
Tâm và bán kính của nó Hoặc đường kính của nó + Tâm O: Trung điểm đoạn MN
+ Bán kính: r = MN
2 = 3,5
- OA= r -> A nằm trên (S)
- OA<r-> A nằm trong (S)
- OA>r-> A nằm ngoài (S) + HS nhắc khái niệm trong SGK
+ HS dựa vào SGK và hướng dẫn của GV mà trả lời
+ Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
b- Kí hiệu:
S(O; r) hay (S) O : tâm của (S) r : bán kính + S(O; r )= {M/OM = r}
(r > 0)
(Hình 2.14/41) (Hình 2.15a/42) (Hình 2.15b/42)
2) Điểm nằm trong
và nằm ngoài mặt cầu, khối cầu: Trong KG, cho mặt cầu:
S(O; r) và A: bất
kì
* Định nghĩa khối cầu:
(SGK)
3) Biểu diễn mặt cầu: (SGK)
(Hình 2.16/42)
4) đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu:
Trang 3(SGK) (Hình 2.17/43)
* Hoạt động 1-c: Củng cố khái niệm mặt cầu
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng,
trình chiếu +? Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn
luôn đi qua 2 điểm cố định A và B
cho trước ?
HD:Hãy nhắc lại khái niệm mặt
phẳng trung trực của đoạn AB ?
+ Gọi O: tâm của mặt cầu, ta luôn có: OA = OB
Do đó, O nằm trong mặt phẳng trung trực của đoạn AB
Vậy, tập hợp tâm của mặt cầu
là mặt phẳng trung trực của đoạn AB
HĐ1:
(SGK) Trang 43
b) Hoạt động 2: Giao của mặt cầu và mặt phẳng
* Hoạt động 2a: Tiếp cận và hình thành giao của mặt cầu và mặt phẳng
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động
của học sinh
Ghi bảng, trình chiếu
25
’
+ Cho S(O ; r) và mp (P)
Gọi H: Hình chiếu của O lên
(P)
Khi đó, d( O; P) = OH
đặt OH = h
+? Hãy nhận xét giữa h và r ?
+ Lấy bất kỳ M, M ∈ (P)
->? Ta nhận thấy OM và OH
như thế nào ?
+ OH = r => H ∈ (S)
+ ∀M , M ≠ H, ta có điều gì ?
Vì sao ?
- h > r
- h = r
- h < r
+ OM ≥ OH
> r -> OM > r
=> ∀m ∈
(P), M ∉ (S)
=> (P) ∩ (S)
= ∅
OM > OH
=> OM > r
II/ Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
1) Trường hợp h > r:
(P) ∩ (S) = ∅
(Hình 2.18/43)
2) Trường hợp h = r : (P) ∩ (S) = {H}
- (P) tiếp xúc với (S) tại H
- H: Tiếp điểm của (S)
- (P): Tiếp diện của (S)
(Hình 2.19/44) (P) tiếp xúc với S(O; r) tại H
<=> (P) ⊥ OH = H
Trang 4+ Nếu gọi M = (P)∩(S).
Xét ∆OMH vuông tại H có:
MH = r’ = 2 2
r −h (GV gợi ý)
* Lưu ý:
Nếu (P) O thì (P) gọi là mặt
phẳng kính của mặt cầu (S)
-> (P) ∩ (S)
= {H}
+ Học sinh trả lời
3) Trường hợp h < r:
+ (P)∩ (S) = (C) Với (C) là đường tròn có tâm H, bán kính r’ = r2−h2
(Hình 2.20/44)
* Khi h = 0 <=> H ≡ O -> (C) -> C(O; r) là đường tròn lớn của mặt cầu (S)
* Hoạt động 2b: Củng cố cách xác định giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (α)
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng,
trình chiếu VD: Xác định đường tròn giao tuyến của
mặt cầu (S) và mặt phẳng (α), biết S(O;
r) và d(O; (α)) = r
2? + GV hướng dẫn sơ qua
+ HĐ2b: 45 (SGK)
(HS về nhà làm vào vở)
+ HS: Gọi H là hình chiếu của O trên (α) -> OH = h = r
2. + (α) ∩ (S) = C(H; r’) Với r’ = 2 r2 r 3
r
Vậy C(H; r 3
2 )
45(SGK) HĐ2a:
Trang 5* Tiết 2:
c) Hoạt động 3: Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu
25’ +? Nêu vị trí tương đối của đường
thẳng và đường tròn; tiếp tuyến
đường tròn ?
+ GV: Chốt lại vấn đề, gợi mở bài
mới
Cho S(O; r) và đường thẳng ∆
Gọi H: Hình chiếu của O lên A
-> d(O;∆) = OH = d
GV: Vẽ hình
+? Nếu d > r thì ∆ có cắt mặt cầu
S(O; r) không ?
-> Khi đó, ∆∩ (S) = ?
Và điểm H có thuộc (S) không?
+? nếu d = r thì H có thuộc (S)
không ?
Khi đó ∆∩ (S) = ?
Từ đó, nêu tên gọi của ∆ và H ?
+? Nếu d < r thì ∆∩(S) =?
+? Đặc biệt khi d = 0 thì ∆ ∩ (S)
= ?
+? Đoạn thẳng AB khi đó gọi là gì
?
+GV: Khắc sâu những kiến thức
cơ bản cho học sinh về: tiếp tuyến
của mặt cầu; mặt cầu nội tiếp,
(ngoại tiếp) hình đa diện
+ GV cho HS nêu nhận xét trong
SGK (Trang 47)
+ HS: nhắc lại kiến thức cũ
+ HS: ôn lại kiến thức, áp dụng cho bài học
HS : Quan sát hiìn
vẽ, tìm hiểu SGK và trả lời các câu hỏi
+HS: dựa vào hình
vẽ và hướng dẫn của GV mà trả lời
+ HS theo dõi trả lời
+ HS quan sát hình
vẽ, theo dõi câu hỏi gợi mở của GV và trả lời
+ HS theo dõi SGK, quan sát trên bảng
để nêu nhận xét
+ HS : Tiếp thu và khắc sâu kiến thức bài học
III/ Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu
+ d > r ->∆∩ (S) = ∅
(Hình 2.22/46)
+ d = r ->∆∩ (S) = {H} ∆ tiếp xúc với (S) tại H H:tiếp điểm của ∆ và(S) ∆: Tiếp tuyến của (S)
* ∆ tiếp xúc với S(O; r) tại điểm H <=> ∆ ⊥ OH
= H (Hình 2.23/46)
+ d < r ->∆∩(S) = M, N
* Khi d = 0 -> ∆ O
Và ∆∩(S) = A, B -> AB là đường kính của mặt cầu (S)
(Hình 2.24/47)
* Nhận xét: (SGK)
(Trang 47) (Hình 2.25 và 2.26/47)
Trang 6d) Hoạt động 4: Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
13’ + Hướng dẫn HS tiếp thu kiến
thức bài học thông qua SGK
+ Cho HS nêu công thức diện
tích mặt cầu và thể tích khối
cầu
+HĐ4: 48(SGK)
+ Cho HS nêu chú ý trong
SGK
+ Tiếp nhận tri thức từ SGK
+ HS nêu công thức
+HS: tiếp thu tri thức, vận dụng giải HĐ4/48 (SGK)
-> Lớp nhận xét + HS nêu chú ý (SGK)
IV/ Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu:
+ Diện tích mặt cầu:
S = 4π.r2 + Thể tích khối cầu:
(r:bán kính của mặt cầu)
* Chú ý: (SGK) trang 48
+ HĐ4/48 (SGK)
3 Củng cố toàn bài: (5’) Làm bài trắc nghiệm thông qua trình chiếu
(Giáo viên tự ra đề phù hợp với năng lực học sinh đang dạy)
4 Hướng dẫn học sinh học bài ở nhà và ra bài tập về nhà: (1’)
+ Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức toàn bài
+ Khắc sâu các công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
+ Làm các bài tập: 5,6,7 trang 49 SGK
+ Đọc tham khảo các bài tập còn lại trong SGK
V = 4 3
.r
3π
Trang 7Ngày dạy : ……….
Tiết ppct : ……
Tuần : ……….
BÀI TẬP MẶT CẦU
(Chương trình chuẩn)
I Mục tiêu:
1 Kiến thức:
Hs phải nắm kĩ các kiến thức định nghĩa mặt cầu, sự tương giao của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng và công thức diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
2 Kĩ năng:
Vận dụng kiến thức đã học để xác định mặt cầu, tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu đã xác định đó
II Chuẩn bị :
Giáo viên: Sách giáo viên, sách giáo khoa, giáo án, thước kẻ và compa
Học sinh: Ôn lại kiến thức đã học và làm trước các bài tập đã cho về nhà trong sách giáo khoa
III Phương pháp dạy học:
Gợi mở, vấn đáp, giải quyết vấn đề
IV Tiến trình bài học:
1 Ổn định tổ chức: (2’) điểm danh, chia nhóm
2 Kiểm tra bài cũ: (8’)
Câu hỏi 1: Nêu định nghĩa mặt cầu ? Nêu một vài cách xác định một mặt cầu đã biết
?
Câu hỏi 2: Các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu ? Từ đó suy ra điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với mặt cầu ?
Câu hỏi 3: Nêu định nghĩa đường trung trực, mặt trung trực của đoạn thẳng
3 Bài mới:
Hoạt động 1: Giải bài tập 1 trang 49 SGK
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của
học sinh
Ghi bảng, trình chiếu
10’
- Cho HS nhắc lại kết quả
tập hợp điểm M nhìn đoạn
AB dưới 1 góc vuông (hình
học phẳng) ?
- Dự đoán cho kết quả này
trong không gian ?
- Nhận xét: đường tròn
đường kính AB với mặt cầu
đường kính AB => giải
quyết chiều thuận
- Vấn đề M ∈ mặt cầu
Trả lời: Là đường tròn đường kính AB
đường tròn đường kính AB nằm trên mặt cầu đường kính
Hình vẽ
(=>) vì ·AMB 1V= => M∈ đường
Trang 8đường kính AB =>
·AMB 1V?= AB. tròn dường kính AB => Mcầu đường kính AB ∈ mặt
(<=)Nếu M∈ mặt cầu đường kính
AB => M∈ đường tròn đường kính AB là giao của mặt cầu đường kính AB với (ABM)
=> AMB∧ =900
Kết luận: Tập hợp các điểm M nhìn đoạn AB dưới góc vuông là mặt cầu đường kính AB
Hoạt động 2: Bài tập 2 trang 49 SGK
TG Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của học
sinh
Ghi bảng, trình chiếu
12’
Giả sử I là tâm mặt
cầu ngoại tiếp
S.ABCD, ta có điều
gì ?
=> Vấn đề đặt ra ta
phải tìm 1 điểm mà
cách đều 5 đỉnh S, A,
B, C, D
- Nhận xét 2 tam giác
ABD và SBD
- Gọi O là tâm hình
vuông ABCD => kết
quả nào ?
- Vậy điểm nào là tâm
cần tìm, bán kính mặt
cầu?
Trả lời IA = IB = IC =
ID = IS
Bằng nhau theo trường hợp C-C-C
OA = OB = OC = OD
= OS
- Điểm O Bán kính r = OA=
a 2 2
O
D
C
B A
S
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
=> ABCD là hình vuông và SA =
SB = SC = SD
Gọi O là tâm hình vuông, ta có 2 tam giác ABD, SBD bằng nhau
=> OS = OA
Mà OA = OB= OC= OD
=> Mặt cầu tâm O, bán kính r =
OA = a 2
2 Hoạt động 3: Bài tập 3 trang 49 SGK
TG Hoạt động của
giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng, trình chiếu
Trang 9Gọi (C) là đường
tròn cố định cho
trước, có tâm I
Gọi O là tâm của
một mặt cầu chứa
đường tròn, nhận
xét đường OI đối
với đường tròn (C)
=> Dự đoán quĩ
tích tâm các mặt
cầu chứa đường
tròn O
Trên (C) chọn 3
điểm A,B,C gọi O
là tâm mặt cầu
chứa (C) ta có kết
quả nào ?
Ta suy ra điều gì ?
=> O ∈ trục đường
tròn (C)
Ngược lại: Ta sẽ
chọn (C) là 1
đường tròn chứa
trên 1mặt cầu có
tâm trên (∆)?
=> O’M’ = ?
HS trả lời: OI là trục của đường tròn (C)
HS: là trục của đường tròn (C)
HS trả lời OA = OB = OC
HS: O nằm trên trục đường tròn (C) ngoại tiếp ∆ABC
O’M = O'I2+r2 không đổi
=> M ∈ mặt cầu tâm O’
=> (C) chứa trong mặt cầu tâm O’
O
A
C
B
=> Gọi A,B,C là 3 điểm trên (C)
O là tâm của một mặt cầu nào đó chứa (C)
Ta có OA = OB = OC => O ∈∆
trục của (C) (<=)∀O’∈(∆) trục của (C) với mọi điểm M∈(C) ta có O’M
= O'I2 +IM2
O'I +r không đổi
=> M thuộc mặt cầu tâm O’ bán
O'I +r
=> Kết luận: bài toán : Tập hợp cần tìm là trục đường tròn (C)
Hoạt động 4: Bài tập 5 tráng 49 SGK
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học
sinh
Ghi bảng, trình chiếu
8’
Nhận xét: Mặt phẳng
(ABCD) có :
- Cắt mặt cầu S(O, r)
không ? giao tuyến là gì ?
- Nhận xét MA.MB với
MC.MD nhờ kết quả nào?
Trả lời: cắt
- Giao tuyến là đường tròn (C) qua 4 điểm A,B,C,D
- Bằng nhau: Theo kết quả phương tích
a)Gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi (AB,CD)
=> (P) cắt S(O, r) theo giao tuyến là đường tròn (C) qua
4 điểm A,B,C,D
=> MA.MB = MC.MD
Trang 10- Nhận xét: Mặt phẳng
(OAB) cắt mặt cầu S(O,r)
theo giao tuyến là đường
tròn nào?
- Phương tích của M đối với
(C1) bằng các kết quả nào ?
- Là đường tròn (C1) tâm O bán kính r có MAB là cát tuyến
- MA.MB hoặc MO2 –
r2
b)Gọi (C1) là giao tuyến của S(O,r) với mp(OAB) => C1
có tâm O bán kính r
Ta có MA.MB = MO2-r2
= d2 – r2
Hoạt động 5: Giải bài tập 6 trang 49 SGK
TG Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của học sinh Ghi bảng, trình chiếu
7’
- Nhận xét: đường
tròn giao tuyến của
S(O,r) với mặt phẳng
(AMI) có các tiếp
tuyến nào?
- Nhận xét về AM và
AI
Tương tự ta có kết
quả nào ?
- Nhận xét 2 tam
giác MAB và IAB
- Ta có kết quả gì ?
AM và AI
Trả lời:
AM = AI
BM = BI
∆MAB = ∆IAB (C-C-C) - Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (AMI) và
mặt cầu S(O,r) Vì AM và AI là 2 tiếp tuyến với (C) nên AM = AI Tương tự: BM = BI
Suy ra ∆ABM = ∆ABI
(C-C-C)
=> AMB∧ = AIB∧
Hoạt động 6: bài tập 7 trang 49 SGK
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học
sinh Ghi bảng, trình chiếu a)
7’
Nhắc lại tính chất : Các
đường chéo của hình hộp
chữ nhật độ dài đường
chéo của hình hộp chữ
nhật có 3 kích thước
a,b,c
=> Tâm của mặt cầu qua
A,B,C,D,A’,B’,C’,D’ của
hình hộp chữ nhật
Bán kính của mặt cầu
Trả lời: Đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
a +b +c
Vẽ hình:
Trang 11I
O B'
C'
A'
A
B
C
D
D'
Gọi O là giao điểm của các đường chéo hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
Ta có OA = OB = OC
=OD=OA’=OB’=OC’=OD’
=> O là tâm mặt cầu qua 8 dỉnh
ABCD.A’B’C’D’ và bán kính r =
AC' 1
b)
3’
Giao tuyến của mặt
phẳng (ABCD) với mặt
cầu trên là ?
- Tâm và bán kính của
đường tròn giao tuyến
này ?
Trả lời: Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD
Trả lời: Trung điểm I của AC và bán kính r =
+
=
Giao của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD
Đường tròn này có tâm I là giao điểm của AC và BD
Bán kính r = AC b2 c2
+
=
Hoạt động 7: Bài tập 10