Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1

Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1

- Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có

 A B  0 An Bn 0, với n là số thực dương  A B  An Bn, với n là số tự nhiên lẻ

 A B  An Bn 0, với n là số tự nhiên chẵn

 m n 0; A   1 Am An

 m n 0; 0 A   1 Am An

+ Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo

- Với các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có A B 1 1

III Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ

Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Nội dung cơ bản của chương I gồm:

 Giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

 Nêu một số tính chất liên quan, một số lưu ý của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trên

 Giới thiệu các bài tập mẫu cùng quá trình phân tích, suy luận để tìm ra các lời giải và các lời giải được trình bày cụ thể

 Giới thiệu một số bài tập tự luyện

Chủ đề 1 MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1 Kiến thức cần nhớ

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A B Tư tưởng của phương pháp

là biến đổi tương đương bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức đúng mà phổbiến là các dạng sau:

+ Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A B  A B 0

+ Dạng tổng bình phương: A B  mX2nY2kZ2  , với các số m, n, k0dương

+ Dạng tích hai thừa số cùng dấu:

A B  X.Y 0 hoặc A B  X Y2n 0

+ Xây dựng các bất đẳng thức từ các điều kiện ban đầu: Nếu x, y, z [a,b] thì

ta nghĩ ngay tới một trong các bất đẳng thức đúng sau đây

Một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương

+ Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức

      Phân tích: Các bất đẳng thức trên khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét

hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Phân tích: Đây là một bất đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét

hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

Nhận xét: Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy khi biến đổi tương đương bất đẳng thức

bậc hai thường xuất hiện các đại lượng a b  2; b c  2; c a với điều kiện dấu 2

đẳng thức xẩy ra tại a b c  Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra để từ đó có hướng đi hợp lí.

Ví dụ 3 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh rẳng:

a b c d e a b c d e  

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng

thức trên, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thànhtổng các bình phương Để được các tích ab, ac, ad, ae vào trong bình phương ta cầnghép a với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên ta có thể nghĩ đến việcbiến đổi như sau

Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể

dùng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh

Ví dụ 4 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c 1 Chứng minh rẳng:

Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu của các biểu thức xuất hiệt các bình phương, ý tưởng

chứng minh bất đẳng thức trên là xét hiệu và phân tích làm xuất hiện các bìnhphương Chú ý đến giả thiết a, b 1  ab 1 0 

b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

1 abc

1 a 1 b 1 c  Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Ví dụ 5 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a3b3  a b Chứng minh rẳng:

2 2

a b ab 1

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức a2b2ab Trong khi đó giả thiết lại xuất hiện biểu thức a b Vậy mối liên hệ của hai biểuthức này như thế nào? Dễ thấy được hằng đẳng thức a b a   2b2ab a3 b3 Do

đó một cách rất tự nhiên ta nhân hai vế của giả thiết với biểu thức a2b2ab đểlàm xuất hiện a3 b3 và a2b2ab, khi đó ta được 2 2 3 3

Do b 0 hiển nhiên đúng Nên bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 6 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b Chứng minh rằng:

a  b  2ab b a

Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và các biểu thức trong căn có chứa

các bình phương, lại có thêm điều kiện a b 0  , nên ta bình phương hai vế để biếnđổi bất đẳng thức

Vì a b 0  nên b a b   0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 7 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

a b c abc a b c 

Phân tích: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức cơ bản có vế trái là các lũy

thừa bậc chẵn Để ý ta thấy abc a b c    ab.bc bc.ca ca.ab  , do đó rất tự nhiên tanghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng của các bình phương

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ 8 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rẳng:

Bất đẳng thức cuối đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 9 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 0   Chứng minh rằng:

ab 2bc 3ca 0  

Phân tích: Từ giả thiết a b c 0   ta có thể rút một biến theo các biến còn lại,chẳng hạn ca b , thay vào biểu thức của bất đẳng thức ta được 3a24ab 2b 2 làbiểu thức chỉ chứa hai biến và xuất hiện các bình phương Đến đây ta tìm cách phântích thành tổng các bình phương để chứng minh bất đẳng thức

Từ đó ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 0  

Ví dụ 10 Chứng minh với các số thực a dương, ta có:  2 

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa một biến a, nên thông thường

ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh Để ý thêm nữa tathấy, bất đẳng thức chứa các đại lượng a2 và 1 2a làm ta liên tưởng đến hằng đẳng

thức a 1 2, lại thấy đẳng thức xẩy ra khi a 1 nên suy nghĩ rất tự nhiên là biến đổitương đương bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng a 1 2 xem có thể chứng minh

bài toán được không Với a 1 khi đó ta có  2 

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1

Ví dụ 11 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. 

Ví dụ 12 Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có

2x 1 x  2 x 1 2x 1 x  2x 1

Phân tích: Bất đẳng thức chỉ chứa một biến và có chứa căn bậc hai Trước hết ta

kiểm tra điều kiện xác định của các căn thức

Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x.

Quan sát bất đẳng thức ta thấy nếu thay x bằng x thì vế trái của bất đẳngthức trở là 2x 1 x  2x 1 và vế phải của bất đẳng thức là 2x 1 x  2 x 1 , khi

đó nếu nhân hai vế với  1 thì được 2x 1 x  2x 1 2x 1 x  2 x 1 , tức là bấtđẳng thức không thay đổi gì cả Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp x không âm làđược

Với 0 x 1

2

  , ta thấy vế trái luôn dương và vế phải nhỏ hơn hoặc bằng

không nên ta có thể chia nhỏ các trường hợp 0 x 1

2

  và x 1

2

 để chứng minh bấtđẳng thức

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 13 Cho các số thực a,b,c [0, 1] Chứng minh rằng:

a4b3c2 ab bc ac 1  

Phân tích: Từ giả thiết a,b,c [0, 1] ta được 0 a,b,c 1  , khi đó theo tính chất củalũy thừa ta được a a ; b b ; c c 4  3  2 Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức đượcthay bằng đại lượng a b c ab bc ca     Cũng từ giả thiết a,b,c [0, 1] và biểu thức

bên làm ta liên tưởng đến tích 1 a 1 b 1 c        0 Do đó ta sử dụng phép biến đổitương đương để chứng minh bất đẳng thức trên.

Đến đây ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức trên

+ Hướng 1: Biến đổi tương đương tiếp ta được bất đẳng thức

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành t 1 t 2     0

- Nếu t 2 , suy ra t 2 0  nên t 1 t 2     0

- Nếu t2, suy ra t 1 0; t 2 0    nên t 1 t 2      0

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b

Ví dụ 15 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:

ab a 2 b 6      12a2 24a 3b 218b 36 0 

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái của có sự xuất hiện các đại

lượng a a 2 ; b b 6      và chú ý thêm các đại lượng bên ta nhận thấy

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 16 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh rằng:

1019a 18b 1007c 30ab 6b c 2008ca

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế trái xuất hiện các lũy

thừa bậc chẵn và vế phải xuất hiện tích của hai trong ba biến nên ta nghĩ đến việcbiến đổi bất đẳng thức thành tổng các bình phương Tuy nhiên vì hệ số khác nhaunên ta cần phải tinh ý khi phân tích

Sau khi chuyển vế ta phân tích thành m a b  22n b 2 c2k c a  2 và cầntìm m, n, k sao cho m k 1019; n k 18; k m 1007      Giải hệ điều kiện trên ta tìmđược m 15; n 3; k 1004   Đến đây ta chứng minh được bất đẳng thức

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vật bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 2  c

Ví dụ 17 Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 1; b 1  Chứng minh rằng:

a b 1 b a 1 ab   

Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và đẳng thức xẩy ra tại a b 2  , do

đó ta có các ý tưởng chứng minh bất đẳng thức sau đây:

+ Thứ nhất là đặt biến phụ x a 1; y  b 1 để làm mất căn bậc hai và phân tíchthành các bình phương

+ Thứ hai là khử căn bậc hai bằng một đánh giá quen thuộc x2y22xy Để ý đếnchiều bất đẳng thức và điều kiện dấu bằng xẩy ra tại a b 2  ta đánh giá được

Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1  hay a b 2 

Cách 2: Áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 2 

Ví dụ 18 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 2 a 4b4 ab3a b 2a b3  2 2

Phân tích: Để ý ta thấy, với a b thì dấu đẳng thức xẩy ra nên ta tách các hạng tử

để tạo ra nhân tử chung a b 2

Ví dụ 19 Cho a, b là hai số thực khác không Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

Cách 2: Bất đẳng thức được viết lại thành

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

Ví dụ 20 Cho các số thực dương a, b, m, n m n   Chứng minh rằng:

na mb mb na   m n

Phân tích: Nhận thấy bất đẳng thức xẩy ra dấu bằng tại a b, do đó một cách tựnhiên ta nghĩ đến biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện a b 2, chú ý đến điều kiện

Vì a,b 0 và m n nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi a b hoặc m n

Ví dụ 21 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra với a b , khi

đó rất tự nhiên ta nghĩ đến biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng a b 2.Mặt khác với a b ta lại có 3a b2 3 1 a; 22 2ab2 1

Vật bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b

Ví dụ 22 Cho các số thực a , b không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:

ta biến đổi bất đẳng thức thành 2 22ab 2 1 2b2 2 0

5 a 4b  5 3a 2b  Tới đây ta quy đồnghai vế và phân tích thành các bình phương

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b hoặc 3a 2b

Ví dụ 23 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

           

a) a a b a c b b c b a c c a c b 0b) a b c a b b c c a

Phân tích:

a) Quan sát bất đẳng thức thứ nhất ta nhận thấy a c a b   b c  do đó bấtđẳng thức lúc này tương đương với a a b  2c a c b c       Đến đây chỉ cần sắp0thứ tự các biến sao cho c a c b c      0 là xong

b) Tương tự như trên ta có a c a b   b c , biến đổi tương đương bất đẳng thức

ta được bất đẳng thức a b a   5 b5 a c b   5 c5 0 Đến đây ta chỉ cần sắp thứ

tự các biến sao cho a c b   5 c5 0 là xong

Lời giải a) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát

Vì a b c 0   nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

b) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát

Vì a c 0; b c 0    nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ 24 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

bc ca ab a b c

a  b  c   

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau:

+ Quy đồng hai vế của bất đẳng thức thì vế trái xuất hiện  bc2 ca 2 ab 2 và

vế phải xuất hiện abc a b c    ab.bc bc.ca ca.ab  Như vậy chỉ cần chuyển vế trái

ta viết được thành tổng các bình phương

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ 25 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vì a, b, c là các số thực dương nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ 26 Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng

Phân tích: Vì vai trò của a, b như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại

a b , do đó khi biến đổi bất đẳng thức ta cần làm xuất hiện nhân tử a b 2 Khi đóbất đẳng thức trở thành a b 2a24ab b 2 a2b2  ka b2 2 0

Thật vậy, ta xét các trường hợp sau

+ Với k 12 thì ta được a24ab b 2 a2b2  ka b2 2 0

+ Với k 12 thì bất đẳng thức a24ab b 2 a2b2  ka b2 2 0 trở thành

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng Vậy hằng số k lớn nhất là 12.

Ví dụ 27 Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng

Vì a b 2 nên bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi 0

a45a b 12a b3  2 25ab3b4 a2 ab b 2  3ka b3 3 0 Cho a b thì bất đẳng thức trên trở thành 24a6 3ka6  0 k 8 Ta chứngminh k 8 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho Thật vậy, ta xét cáctrường hợp sau

+ Với k 8 thì a45a b 12a b3  2 2 5ab3b4 a2 ab b 2  3ka b3 3 0

+ Với k 8 thì bất đẳng thức trên được viết lại thành

a45a b 12a b3  2 2 5ab3b4 a2 ab b 2  24a b3 30

Do đó ta có a45a b 12a b3  2 25ab3b4 a2 ab b 2 24a b3 3

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh Vậy hằng số k lớn nhất là 8

Ví dụ 28 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

2 23a 2ab 3b 2 2 a b

nhân tử chung có dạng a b 2 ta cần chú ý đến phép biến đổi

Bất đẳng cuối cùng đúng do a , b dương Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 29 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a2b2c2 2 ab bc ca   

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có

 2    

2 2

a a  b c  a b c a b c    0Chứng minh tương tự ta được b2 b2 (c a) 2 0; c2 c2 (a b) 2 0

Nên từ bất đẳng thức trên ta được abca b c b c a c a b          

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c  