Tổng hợp các công thức tính toán hay dùng nhất ôn thi kết thúc học phần Môn Xác suất Thống kê cho các bạn không chuyên (Kỹ thuật Công nghệ) Trình bày ngắn gọn, xúc tính, dễ nhìn , dễ đọc, dễ nhớ .......................................................................................
Trang 1TỔNG HỢP KIẾN THỨC ÔN THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ
XÁC SUẤT
I – Tính Xác suất bằng địng nghĩa cổ điển
P(A) =
Một số tính chất
1 =0 ; p( )=1
2
3 thì:
P(A ) = P(A) + P(B)
4 P(A) = 1 – P(A)
5 P(B\A) = P(B) – P(AB)
6 AB = B\A
II – Xác suất có điều kiện
P(A/B) =
Hay ta có công thức nhân xác suất: P(AB) = P(B).P(A/B)
Nếu A và B độc lập thì P(A/B) = P(A) nên: P(AB) = P(A).P(B)
Một họ các biến cố được gọi là họ đầy đủ các biến cố: { } nếu thỏa mãn:
+ Chúng xung khắc = (i = 1,n )
+ Chúng đầy đủ: + =
Công thức xác suất đầy đủ:
P(A) = P( P(A/ + P( .P(A/ + + P( .P(A/
Với { } Là một họ đầu đủ các biến cố
Công thức Bayes: P( A) = ⁄
III –Dãy phép thử Bernoulli
Điều kiện:
- Mỗi phép thử có hai kết quả A và A
- P(A) = p đối với mọi phép thử
Xác suất cho biến cố A xảy ra m lần là: P(m,p) =
Số lần xảy ra có khả năng nhất:
- pn + p – 1 là số nguyên thì là np + p – 1 và np + p
- pn + P – 1 là sô thực thì là [np + p – 1] + 1
IV – Biến ngẫu nhiên rời rạc
- Biến ngẫu nhiên là biến nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng là một số thực
- Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà các giá trị của nó gồm một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn đếm được
F(x) = p(X < x) gọi là hàm phân phối của X
V – Biến ngẫu nhiên liên tục
Trang 2 Nếu hàm phân phối của nó là hàm liên tục và tồn tại hàm mật độ p(x) sao cho
+ p(x) 0
+ F(x) = ∫
Tính chất
- ∫
-
- F’(x) =p(x) p(x) liên tục
- p(a ) = ∫ = F(b) – F(a)
- p(X<c) = F(c)
VI – Kì vọng EX
EX = { ∑
∫ Tính chất:
Nếu X thì EX
Nếu X = c thì EX = c
ta có: E(cX) = cEX
Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ) = EX + EY
Nếu X là f(x) thì
Ef(x) = { ∑
∫
X, Y độc lập thì E(XY) = EX.EY
VII - Phương sai DX = E( -
Tính chất:
DX
D(cX) =
Nếu X, Y độc lập thì D(X = DX + DY
VIII – Một số phân phối xác suất quan trọng
Biến ngẫu nhiên rời rạc:
Tên gọi Kí hiệu X nhận các
giá trị
pp nhị thức X B(n,p) 0,1,2, , n EX=np
DX=np(1-p)
Giống với dãy
n phép thử Bernoulli
pp Poisson X P( ) 0,1,2, , n
EX= DX = Là số quan sát
trong một khoảng thời gian hoặc không gian
Trang 3 Biến ngẫu nhiên liên tục
Tên
gọi
chú
pp đều X
{ {
EX=
DX=
pp
chuẩn
X N( )
√
Y = gọi
là pp chuẩn tắc
Nên p(a<X<b)
= ( ) ( ) sau đó tra bảng
EX=
DX=
pp mũ X E( {
{
EX=
DX=
IX – Vectơ ngẫu nhiên
Trong giới hạn học phần chỉ nghiên cứu Vectơ 2 chiều {X, } rời rạc
Tính chất:
∑ ∑ = 1
) = ∑
=p( ).p( ) Nếu X và Y độc lập
THỐNG KÊ
I – Mẫu ngẫu nhiên
- Là một bộ phận của tổng thể cần nghiên cứu được chọn lựa một các ngẫu nhiên
- Trung bình mẫu: X = ∑
- Phương sai mẫu: = ∑ –
- Phương sai mẫu hiệu chỉnh: = ∑ –
II – Ước lượng điểm
- Ước lượng điểm cho kỳ vọng EX là: X
- Ước lượng điểm cho phương sai là:
- Ước lượng điểm cho tỉ lệ là: =
III – Ước lượng khoảng
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Trang 4Kí hiệu EX= , DX= Và X được giả thiết là có phân phối chuẩn hoặc n đủ lớn (n Khi đó với độ tin cậy 1 -
Trong đó đươc xác định như sau:
+ TH1: Nếu DX đã biết thì:
√ với ( ) = 1- + TH2: Nếu DX chưa biết và X có phân phối chuẩn thì:
√ với được lấy từ bảng phân phối Student
+ TH3: Nếu DX chưa biết và X không phải là phân phối chuẩn thì:
√
Ước lượng khoảng cho tỉ lệ:
Có 3 trường hợp nhưng ta chỉ xét tường hợp p không quá gần 0 và gần 1
P ( √
√ √
√ )
IV – Bài toán kiểm định giả thiết
Kiểm định giả thiết giá trị trung bình EX=
Giả sử có hai giả thiết {
+TH1: Phương sai DX đã biết =
- Ta tính u = √ sau đó so sánh u với u( )
- Nếu |u| u( ) ta Bác bỏ H ngược lại thì ta chấp nhận H
- Tương tự với kiểm định 1 phía
+TH2: Phương sai DX chưa biết
- Ta tính X, s và sau đó tính t = √ Rồi so sánh với ( ) từ bảng phân phối Student
- Nếu |t| ( ) thì Bác bỏ H, ngược lại thì chấp nhận H
- Tương tự với kiểm định một phía
Kiểm định giả thiết về tỉ lệ
{
Tính u =
√ √ và so sánh |u| với u( ) Nếu |u| u( ) Thì bác bỏ H ngược lại thì chấp nhận H
Trang 5V – Hệ số tương quan của X và Y
Biến ngẫu nhiên X và Y: =
√ √
Mẫu ngẫu nhiên X và Y: r( ) = với = ∑
VI – Phương trình hồi quy
Biểu diễn sự phụ thuộc của Y theo X bởi phưng trình Y=aX + b là phương trình hồi quy với a và b là:
{ √
Tương tự với các mẫu ngẫu nhiên thì thay