DE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁN

DE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁN.DE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁNDE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁNDE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁNDE THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN TOAN 2015 2016 TRUONG NGUYEN TRAI CÓ ĐÁP ÁN

PS Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

H ẢI DƯƠNG CHUYÊN NGUY K Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi: TOÁN (Chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

( Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm)

1) Cho a− =b 29 12 5+ −2 5 Tính giá trị của biểu thức:

2( 1) 2( 1) 11 2015

2) Cho ,x y là hai số thực thỏa mãn 2 2

(1 )(1 ) 1

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình 2

2x+ +3 4x + + =9x 2 2 x+ +2 4x+ 1 2) Giải hệ phương trình

2 2 2







Câu III (2,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 4 2 2

20 0

x + − − +x y y = 2) Tìm các số nguyên k để 4 3 2

k − k + k − k+ là số chính phương

Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm Trên tia

đối của tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các ti ếp điểm) Gọi I là trung điểm của BC

1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của

góc
MIN

2) Gọi K là giao điểm của MN và BC Chứng minh 2 1 1

3) Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là

P Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành

Câu V (1,0 điểm) Cho ,a b là các số dương thỏa mãn điều kiện 3

(a+b) +4ab≤ 12

Chứng minh bất đẳng thức 1 1 2015 2016

1 a+1 b + ab≤

-Hết -

Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

H ẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

N ĂM HỌC 2015 - 2016 (H ướng dẫn chấm gồm: 05 trang)

I 1 Cho a b− = 29 12 5+ −2 5 Tính giá trị của biểu thức:

2( 1) 2( 1) 11 2015

( )2

29 12 5 2 5 3 2 5 2 5 3 2 5 2 5 3

11 2015

4(a 2ab b ) 2015 4(a b) 2015 2051

I 2

Cho ,x y là hai số dương thỏa mãn 2 2

(1 )(1 ) 1

(1 x )(1 y ) (1 xy)

1 x y x y 1 2xy x y

II 1 Giải phương trình 2

2x+ +3 4x + + =9x 2 2 x+ +2 4x+ 1 1,00

Pt ⇔2x+ +3 (x+2)(4x+1) =2 x+ +2 4x+ ĐK: 1 1

4

x≥ − 0,25 Đặt t =2 x+ +2 4x+1,t≥ 7 (hoặc t ≥ ) 0

2

4

t

PTTT t2−4t+ = ⇔ = hoặc 3 0 t 1 t = 3

0,25

TH1 t = giải ra vô nghiệm hoặc kết hợp với ĐK 1 t ≥ 7 bị loại 0,25

TH 2 t= ⇒3 2 x+ +2 4x+ = Gi1 3 ải pt tìm được 2

9

x= − (TM)

Vậy pt có nghiệm duy nhất 2

9

II 2 Giải hệ pt

2 2 2





ĐK: y− + ≥2x 1 0, 4x+ + ≥y 5 0,x+2y− ≥2 0,x≤ 1

=





TH 2 x≠1,y≠ 1 Đưa pt thứ nhất về dạng tích ta được

2

+ −

0,25

1

+ − + > ⇒ + − =

0,25

Thay y= − vào pt thứ 2 ta được 2 x 2

x + − =x x+ − − x

2

( 2)( 1)

0,25

3x 7 1+2 2 x + − >x

Vậy x+ = ⇔ = − ⇒ = (TM2 0 x 2 y 4 ĐK)

0,25

III 1 Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 4 2 2

20 0

x + − − +x y y = (1) 1,00

Ta có (1)⇔x4+x2+20=y2+ y

x + < + + ≤ + + +x x x 20 x x 20 8x

0,25

Vì x, y∈» nên ta xét các trường hợp sau

y y 1+ = x +1 x +2 ⇔x +x +20=x +3x + 2

Với 2

y + =y 9 + +9 20⇔ y + −y 110= 0

y 10 ; y 11

⇔ = = − (t.m)

0,25

y y 1+ = x +2 x +3 ⇔ x +x +20=x +5x + 6

2

+ TH3 ( ) ( 2 )( 2 )

y y 1+ = x +3 x + 4 2 2 4

3

⇔ = ⇔ = (loại)

0,25

+ TH4 ( ) ( 2 )( 2 )

y y 1+ = x +4 x + 5

Với 2

y + =y 20⇔y + −y 20= ⇔ = −0 y 5 ; y= 4

Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x ; y là : )

(3 ; 10 , 3 ; 11 ,) ( − ) (−3 ; 10 ,) (−3 ; 11 , 0 ;− ) ( −5 , 0 ; 4 ) ( )

0,25

III 2 Tìm các số nguyên k để 4 3 2

k − k + k − k+ là số chính phương 1,00

M = −k k + k − k+

( )2 2 ( ) ( )2 2

= − − − + − ( ) (2 )2

0,25

M là số chính phương khi và chỉ khi ( )2

k− = hoặc ( )2

k− + là số chính phương

TH 1 ( )2

k− = ⇔ =k

0,25

TH 2 ( )2

k− + là số chính phương, đặt ( )2 2 ( )

k− + =m m∈»

( )2

Vì m k, ∈ ⇒» m k− + ∈ 3 »,m k+ − ∈ 3 » nên

3 1

3 1

m k

m k

− + =



 + − =

k

Vậy k= 1 hoặc k = 3 thì 4 3 2

k − k + k − k+ là số chính phương

0,25

IV 1 Chứng minh IA là tia phân giác của góc
MIN 1,00

H

P E

K

I

N

M

C B

O

A

Theo giả thiết


0

AMO=ANO=AIO=90 ⇒ 5 điểm A, O, M, N, I thuộc

⇒ = = (Góc nội tiếp cùng chắn một cung) 0,25

AM = AN ⇒ ∆AMN cân tại A ⇒
AMN =
ANM 0,25

AIN
AIM

IV 2 Gọi K là giao điểm của MN và BC Chứng minh 2 1 1

AK = AB+ AC 1,00

(Do AB+AC =2AI)

ABN

AHK

Tam giác AMO∆ vuông tại M có đường cao MH 2

2

IV 3

Đường thẳng qua M, vuông góc với ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P

Xác định vị trí của điểm A để AMPN là hình bình hành 1,00

Ta có AN ⊥NO MP, ⊥NO M, ∉AN ⇒ AN / /MP

Do đó AMPN là hình bình hành ⇔ AN =MP=2x

Tam giác ANO∆ đồng dạng với NEM AN NO NE 2x2

TH 1

2

2

2

x

R

, 0

= −





Do t≥ ⇒ =0 t R⇔ R2 −x2 =R⇔ = ⇒x 0 A≡ (Loại) B

0,25

TH 2

2

2

2

x

R

, 0

PTTT 2(R2 t2) R2 Rt 2t2 Rt R2 0 2t R

=





0,25

2

R

Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh

0,25

1 a +1 b+ ab≤

3

12≥ +(a b) +4ab≥ 2 ab +4ab Đặt t= ab t, > thì 0

12≥8t +4t ⇔2t +t − ≤ ⇔3 0 (t−1)(2t +3t+3)≤ 0

Do 2t2 + + > ∀ nên 1 03t 3 0, t t− ≤ ⇔ ≤ Vt 1 ậy 0<ab≤ 1

0,25

1 a+1 b ≤1 ab ∀a b>

1 a−1 ab +1 b−1 ab ≤

0,25

0 0

( )2

0 (1 )(1 )(1 )

+ + + Do 0<ab≤ nên BĐT này đúng 1

Tiếp theo ta sẽ CM 2 2015 2016, , 0

1 ab + ab≤ ∀a b>

Đặt t = ab, 0< ≤ ta được t 1 2 2

2015 2016

1 t+ t ≤ +

2015t +2015t −2016t−2014≤ 0

0,25

2 (t 1)(2015t 4030t 2014) 0

⇔ − + + ≤ BĐT này đúng : 0∀t < ≤ t 1

Vậy 1 1 2015 2016

1 a+1 b+ ab≤ + + Đẳng thức xảy ra a= = b 1

0,25

S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

H ẢI DƯƠNG CHUYÊN NGUY K Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi: TOÁN (Chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

( Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm)

1) Giả sử x x x là ba nghi1, 2, 3 ệm của phương trình 3 2

2015 2016 0

dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức 3 3 3

1 2 3

A= + + x x x

2) Cho các số nguyên , , ,a b c d th ỏa mãn a b c d+ = + và ab+ = Hãy so sánh 1 cd

c và d

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình 2 3 2

2) Giải hệ phương trình 23 3 3 3 8







Câu III (2,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên , ,x y z thỏa mãn x+2 3 = y+ z

2) Cho ,x y là hai số thực thoả mãn 2 2

y = xy+ − −y x x Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x

Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Đường tròn tâm O đường kính

BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D BD và CE cắt nhau tại H , AH cắt BC tại M Từ A kẻ

tiếp tuyến AP, AQ với (O) (P,Q là tiếp điểm)

1) Chứng minh bốn điểm A ,P, M, Q thuộc một đường tròn

2) Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng

3) OH cắt DE tại I Chứng minh IDIE = HDHE22

Câu V (1,0 điểm) Cho , ,a b c là các số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

-Hết -

Họ và tên thí sinh Số báo danh

Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:

ĐỀ DỰ BỊ

S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

H ẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

N ĂM HỌC 2015 - 2016 (H ướng dẫn chấm gồm: 04 trang)

I 1 Giả sử x x x là ba nghi1, 2, 3 ệm của phương trình 3 2

2015 2016 0

Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức 3 3 3

1 2 3

A= + + x x x 1,00

2

2

1 ( 1)( 2016 2016) 0

2016 2016 0 (1)

x

=



Giả sử x3 = ⇒1 x x1, 2 là 2 nghiệm của pt (1)

Theo Viets 1 2

1 2

2016 2016

x x

+ = −





0,25

1 2 1 ( 1 2) 3 1 2( 1 2) 1

( 2016) 3.2016( 2016) 1 2013.2016 1

I 2 Cho các số nguyên , , ,a b c d th ỏa mãn a b c d+ = + và ab+ =1 cd Hãy

a + b = c + d => a =c+d-b thay vào ab+1=cd có 0,25 (c+d-b)b + 1 = cd <=> bc+bd-b2-cd=-1

<=> (bc-b2)+(bd-cd)=-1 <=> b(c-b)-d(b-c)=-1 <=> (c-b)(b-d)=-1

0,25

Vì c, b, d là các số nguyên nên

1 1 1 1

c b

b d

c b

b d

 − = 



 − = −



 − = −

 − =





0,25

c d

Pt ⇔x2 + =6 4 (x+1)(x2−3x+3)

Do x2− + > ∀ nên điều kiện là 3x 3 0, x x+ ≥ ⇔ ≥ − 1 0 x 1

Pt ⇔x2 −3x+ +3 3(x+1)=4 (x+1)(x2−3x+3)

Chia hai vế cho 2

3 3

0,25

x

+

− + ta được

2

1

3

t

t

=





 =



0,25

2

1

x

+

2 2 2

x

+

II 2 Giải hệ phương trình 23 3 3 3 8





Đặt 2 z

y =

Hệ phương trình cho trở thành

3 3

2 3

2 3







0,25

3 x z z x

3 0

⇔ = (vì 2 2

3 0, ,

2

x

x

= −





Vậy phương trình cho có hai nghiệm: ( , )x y = − −( 1; 2), 2,1( )

0,25

III 1 Tìm các số nguyên , ,x y z thỏa mãn x+2 3 = y + z 1,00

Ta có x+2 3 = y+ z.⇔ +x 2 3= + +y z 2 yz

x y z 2 3 2 yz

x y z 4 3 x y z 12 4yz (1)

0,25

TH1 Nếu x y z 0− − ≠

2 4yz x y z 12 3

4 x y z

=

− − (2) vô lý ( do x, y, z∈ nên vế phải của (2) là số hữu tỷ ) N

0,25

TH2 x− − = khi đó y z 0 ( ) x y z 0

1

yz 3

− − =



Giải (3) ra ta được

x 4

y 1

z 3

=



 =



 =



hoặc

x 4

y 3

z 1

=



 =



 =



III 2

Cho ,x y là hai số thoả mãn 2 2

y = xy+ − −y x x Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của x 1,00

Biến đổi y2 = 3(xy+ − −y x x2)⇔ y2 − 3( )x+ 1 y+ 3(x+x2)= 0 (1) (coi

đây là phương trình bậc hai ẩn y và x là tham số) 0,25 + ∆ = − 3( )(x+ 1 x− 3)

+ Để phương trình (1) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 0,25

Giải được − ≤ ≤ 1 x 3

+ Với x= 3 tìm được y= 6

Khẳng định được: - Giá trị nhỏ nhất của x bằng -1 đạt được khi y= 0

- Giá trị lớn nhất của x bằng 3 đạt được khi y= 6 0,25

IV 1 Chứng minh bốn điểm A ,P, M, Q thuộc một đường tròn 1,00

D

E H

O M

P

Q

C B

A

N

G

K

I H E

D

B A

180

AMO+AQO= ⇒ tứ giác AMOQ nội tiếp (1) 0,25

APO=AHO=90 ⇒ tứ giác APMO nội tiếp (2) 0,25

Từ (1) ,(2) suy ra 5 điểm A,P,M,O,Q thuộc một đường tròn 0,25

AQ là tiếp tuyến ,AEC là cát tuyến 2

AQ AE.AC (1)

AEH AMC AE.AC AH.AM (2)

0,25

Lại có

AQH AMQ (c.g.c)

=

⇒ ∆

Tương tự

AHP=APQ

AHP+AHQ=APM+AQM=180 (tứ giác APMQ nội tiếp )

Vậy 3 điểm P,H,Q thẳng hàng

0,25

IV 3 OH cắt DE tại I Chứng minh IDIE = HDHE22 1,00

Qua O kẻ đường thẳng song song với ED cắt BD tại G và cắt CE tại K

Trên CH lấy điểm N sao cho OK = ON

ID OK

ED / /KG

IE OG

⇒ = (1)

0,25

Ta có

OGB HKE (so le trong )

=

Mà
BOG =KOC
⇒ ∆OBG ∼∆OKC

OK

0,25

Từ (1) ,(2) ID OB.OC2 OC22

HED=OKN=ONK, HDE=HCN⇒ ∆HDE∼∆OCN

0,25

Từ (3), (4) 22

ID HD

IE HE

V

Cho , ,a b c là các số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

1,00

* Ta chứng minh với hai số dương x, y ta luôn có

4

x y≤ x+ y

* Áp dụng đẳng thức Côsi : Ta có

Ấp dụng bất đẳng thức (*)

Tương tự:

0,25

3

M

a b a c a b b c a c b c

Giá trị lớn nhất của M là 3