Một số phương pháp giải số phương trình và hệ phương trình vi phân cấp cao

Mở đầuPhương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phươngtrình cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọngđối với các bài toán thực tế đặc biệ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Ngô Thị Thu Hương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Ngô Thị Thu Hương

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Vũ Vinh Quang

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm 6

1.1.1 Không gian metric 6

1.1.2 Ánh xạ co 6

1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co 7

1.2 Phương pháp sai phân 7

1.2.1 Lưới sai phân 7

1.2.2 Hàm lưới 7

1.2.3 Công thức Taylor 7

1.2.4 Một số công thức xấp xỉ đạo hàm 8

1.3 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo 10

1.4 Phương pháp lưới giải bài toán biên cho phương trình cấp 2 12

2 Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu 16 2.1 Cơ sở lý thuyết về phương pháp Runge-Kutta 16

2.1.1 Phương pháp Euler 1 17

2.1.2 Phương pháp Euler 2 18

2.1.3 Thuật toán RK4 19

2.2 Phương pháp Runge-Kutta đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến 20

2.3 Phương pháp Runge-Kutta đối với phương trình vi phân cấp cao 21 2.4 Giới thiệu thư viện QH_2015 23

3 Phương pháp lặp giải mô hình các bài toán biên phi tuyến

3.1 Giới thiệu 26

3.2 Nghiên cứu các tính chất của nghiệm 27

3.3 Phương pháp xây dựng sơ đồ lặp 30

3.3.1 Cơ sở lý thuyết 30

3.3.2 Sơ đồ lặp tìm nghiệm số 33

3.3.3 Một số kết quả thực nghiệm 36

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi TS Vũ Vinh Quang, người

đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi tìm

ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề nhờ đó tôi mới cóthể hoàn thành luận văn cao học của mình Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắnghơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thờigian học tập tại trường Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin và đặcbiệt là PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, đã luônquan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu trong suốtquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân tronggia đình, đặc biệt là bố mẹ Những người luôn động viên, chia sẻ mọi khókhăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thời gian tôi theohọc khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Ngô Thị Thu Hương

Bảng ký hiệu

R+ tập số thực không âm

R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng

Rn Không gian Euclide n-chiều

C1[0; L] Không gian của hàm có đạo hàm liên tục

A ∪ B hợp của hai tập A và B

A ∩ B giao của hai tập A và B

hx, yi tích vô hướng của hai véc-tơ x, y ∈ H[x, y] đoạn thẳng nối x và y

l2 không gian các dãy số vô hạn

f(n) đạo hàm cấp n

∆a sai số tuyệt đối của a

Danh sách bảng

2.1 Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m 24

2.2 Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m 25

3.1 Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) 37

3.2 Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) 38

3.3 Trường hợp không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi_xx.m) 39 3.4 Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tq.m) 40 3.5 Trường hợp không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tp_xx.m) 42

Danh sách hình vẽ

3.1 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng 37

3.2 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng 38

3.3 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng 39

3.4 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng 41

3.5 Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng 43

Mở đầu

Phương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phươngtrình cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọngđối với các bài toán thực tế đặc biệt là lý thuyết điều khiển ổn định Về mặt lýthuyết tổng quát của lớp phương trình này đã được các nhà toán học nghiêncứu từ rất lâu, tuy nhiên vấn đề tìm nghiệm giải tích của các phương trìnhnày chỉ thực hiện được đối với các phương trình dạng đặc biệt còn chủ yếu làphải xác định nghiệm xấp xỉ qua các phương pháp gần đúng Đối với phươngtrình vi phân cấp 2, với các bài toán điều kiện đầu, người ta đã xây dựng cácphương pháp giải số dựa trên công thức Runge-Kutta với độ chính xác bậc 4,đối với bài toán biên với hệ điều kiện biên hỗn hợp, sử dụng phương pháp saiphân, chúng ta có thể đưa về hệ phương trình đại số dạng 3 đường chéo và hệgiải được bằng thuật toán truy đuổi Đối với phương trình vi phân tuyến tínhbậc 4, bằng phương pháp phân rã, chúng ta có thể đưa về 2 bài toán cấp hai

để xác định nghiệm thông qua các thuật toán đã biết Tuy nhiên khi phươngtrình là dạng phi tuyến hoặc điều kiện biên là phi tuyến thì để tìm nghiệmxấp xỉ, chúng ta cần phải xây dựng các sơ đồ lặp tùy từng dạng bài toán đểxác định nghiệm xấp xỉ của bài toán

Nội dung của luận văn là tìm hiểu một số phương pháp giải số phương trình

vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu, phương pháplặp đối với một số dạng bài toán cho phương trình cấp 4 với hệ điều kiện biêndạng phi tuyến, nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp và kiểm tratính đúng đắn của các sơ đồ lặp trên máy tính điện tử

Nội dung luận văn chia làm 3 chương

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và

hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu

Chương 3: Phương pháp lặp giải mô hình các bài toán biên phi tuyếncấp 4

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả lý thuyết về các sơ

đồ lặp, phương pháp sai phân đối với phương trình vi phân cấp 2 và thuậttoán truy đuổi 3 đường chéo Những kết quả này là những kiến thức bổ trợcho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 Các kết quả

lý thuyết được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3]

1.1 Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Tập X của các phần tử x, y, z được gọi là không gianmetric nếu như với mọi phần x, y bất kì đều tương ứng với với 1 số không âmd(x,y) thỏa mãn các điều kiện sau:

+ d(x,y)>0, d(x,y)=0 khi và chỉ khi x=y

+ d(x,y)=d(y,x)

+ d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)

Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa 2 phần tử x và y hay thường gọi làmetric

Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn}được gọi là 1 dãy cơ bản nếu ∀ε > 0, đều tồn tại

số N > 0 sao cho với mọi m,n>N ta đều có d(xn, xm) ≤ ε

Nếu bất kì một dãy cơ bản nào trong không gian X đều hội tụ đến phần

tử thuộc X thì X được gọi là không gian đủ

1.1.2 Ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.3 Một ánh xạ A từ không gian metric (X,d) vào chính nóđược gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số q ∈ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X,

d(A(x), A(y)) < qd(x, y).

Khi đó hằng số q được gọi là hệ số co của ánh xạ A

1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co

Cho A là ánh xạ co trong không gian metric đủ (X, d) Khi đó:

• Tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho A(x∗) = x∗ Phần tử x∗ ∈ X gọi làđiểm bất động của ánh xạ A

• Mọi dãy lặp xn+1 = A(xn), (n ≥ 0) xuất phát từ x0 bất kì đều hội tụ.Ngoài ra ta có ước lượng sau

d(xn, x∗) ≤ qn(1 − q)−1d(x0, x1) (n ≥ 1),d(xn, x∗) ≤ q(1 − q)−1d(xn−1, xn) (n ≥ 1)

1.2 Phương pháp sai phân

1.2.1 Lưới sai phân

Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài

h = b − a

N bởi các điểm xi = a + ih, i = 0, 1, , N Khi đó tập các điểm xi gọi

là một lưới sai phân trên [a, b] ký hiệu là Ωh, mỗi điểm xi gọi là một nút củalưới, h gọi là bước đi của lưới

u(x + ∆x) = u(x) + ∆xu0(x) + (∆x)

Khi đó (∆x)(m+1)

(m + 1)! u

hằng số K > 0 không phụ thuộc vào ∆x sao cho:

(∆x)(m+1)(m + 1)! u

(m+1)(c)

... thư vi? ??n QH_2015

Xuất phát từ lược đồ tính tốn phương trình vi phân cấp 1,lược đồ phương trình vi phân cấp tuyến tính sơ đồ QH_2,QH_3, phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phươngtrình... 4.

2.3 Phương pháp Runge-Kutta phương trình vi phân cấp

cao

Xuất phát từ kết truyền thống phương trình vi phân cấp

1, sau đưa kết mở rộng phương pháp chophương trình vi phân. .. data-page="21">

Chương 2

Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu

Nội dung chương trình bày sở lý thuyết để xây