Ứng dụng định hướng trong hình học phẳng

Em xin cam đoan khoá luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìmhiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo của thầy Nguyễn Văn Vạn cũng như các Thầy, Cô trong tổ Hình

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 Khoá luận tốt nghiệp

1Dương Trọng Luyện K29b toán

Lời cảm ơn

Sau một thời gian say mê nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân đặc

biệt là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của Thầy Nguyễn Văn Vạn đã giúp đỡ

em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận

Qua đây em xin bày lòng biết ơn tới Thầy cũng như sự chỉ bảo quan tâm, đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô giáo trong tổ Hình học, các Thấy, Côgiáo trong khoa Toán đã giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình

Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nênluận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các Thầy, Cô cùngcác bạn nhận xét và góp ý kiến để em rút đựơc kinh nghiệm và có hướng hoànthiện phát triển khoá luận sau này

Một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc và lời chúcsức khoẻ đến các Thầy, Cô và toàn thể các bạn

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2007

Sinh viên

Dương Trọng Luyện

Lời cam đoan

Qua quá trình nghiên cứu khoá luận: “ứng dụng định hướng trong hình học phẳng” đã giúp em tìm hiểu sâu hơn bộ môn Hình học đặc biệt đó

là một trong những khái niệm quan trọng của hình học sơ cấp Qua đó cũng giúp em bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Em xin cam đoan khoá luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìmhiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo của thầy

Nguyễn Văn Vạn cũng như các Thầy, Cô trong tổ Hình học của khoa Toán

trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô cùng các bạn để khoá luận được hoàn thiện

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2007

Sinh viên

Dương Trọng Luyện

Mục lục

Trang

Phần 1 Các hệ tiên đề của hình học Euclid 6

Phần 2 Vấn đề định hướng trong mặt phẳng 9

A Định hướng trên đường thẳng 9

1.Định nghĩa 9

2.Độ dài đại số của đoạn thẳng 10

3.Hệ thức Sa - lơ 10

4.Các ví dụ minh hoạ 11

B Định hướng trong mặt phẳng 16

B0 Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch 16

B1 Góc định hướng 16

B2 Góc định hướng của hai đường thẳng 24

B3 Cung định hướng và đường tròn định hướng 31

B4 ứng dụng góc định hướng trong mặt phẳng 39 Phần 3 Một số khái niệm định hướng trong không gian 58

1.Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch 58

2.Định hướng cho một nhị diện, một tam diện 58

3 Phân loại phép dời hình loại I và loại II 61 4 Ví dụ 62 Kết luận 64

Tài liệu tham khảo 65

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài.

Hình học là một môn có tính chất hệ thống chặt chẽ, có tính logic và tình trừu tượng cao Rất nhiều bài toán trong hình học phẳng mà việc tìm ra lời giải đó là rất khó hoặc nếu có tìm đựơc lời giải thì lời giải của bài toán thể hiện ngay trong phạm vi kiến thức đã học thì nhất thiết phải vẽ hình để tìm ra hướng giải Trong lời giải của bài toán nhiều khi chúng ta phải xét rất nhiều trường hợp và thứ tự vị trí của các điểm trong bài toán… Với rất nhiềubài toán như vậy khi vân dụng định hướng trong mặt phẳng đã có rất nhiều thuận lợi Mặt khác chúng ta đã thấy được sự tiện lợi của việc định hướng trên đường thẳng và mặt phẳng

Chính vì vậy mà em chọn đề tài: “ứng dụng định hướng trong hình học phẳng” Để có thể làm rõ được một hướng trong việc sử dụng định hướng

trong mặt phẳng và làm rõ tình ưu việt của việc định hướng

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số ứng dụng và tính chất của định hướng trong mặt phẳng vào giải các bài toán chứng minh và quỹ tích trong mặt phẳng

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm nổi bật tính ưu việt và ứng dụng của định hướng

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài toán chứng minh và quỹ tích trong hình học sơ cấp

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các sách giáo khoa, các sách chuyên khảo, các sách tham khảo và các bài giảng có đề cập đến phép biến hình.

5 ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài.

1 Một số yêu cầu cơ bản của việc xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề

Khi xây dựng một số lý thuyết hình học người ta cần phải có các khái niệm

cơ bản (là những khái niệm đầu tiên không định nghĩa) và các tiên đề (là những mệnh đề xuất phát được thừa nhận là đúng).Tuy nhiên hệ thống cáctiên đề cần phải đựơc đảm bảo các điều kiện sau:

1.1 Điều kiện phi mâu thuận: Điều kiện này có nghĩa là những điều nói ở

trong các tiên đề và những kết quả suy ra từ chúng không có hai cái nào trái ngược nhau

1.2 Điều kện độc lập: Mỗi tiên đề của hệ phải độc lập (đối với các tiên đề

khác), nghĩa là không thể suy ra được nó từ các tiên đề còn lại

1.3 Điều kiện đầy đủ: Hệ tiên đề phải đầy đủ để xây dựng môn học bằng

suy diễn lôgic

2 Hệ tiên đề Hinbe của hình học Euclid

Hệ tiên đề Hinbe gồm 20 tiên đề với 6 khái niệm cơ bản

*Sáu khái niệm cơ bản gồm:

“Điểm”, “Đường thẳng”, “mặt phẳng” (gọi chung là các “đối tượng cơbản”)

“Thuộc”, “ở giữa”, “bằng” (gọi chung là các “tương quan cơ bản”)

*Các tiên đề của Hinbe chia làm 5 nhóm:

Nhóm I chứa tám tiên đề về “liên thuộc”

Nhóm II chứa bốn tiên đề về “thứ tự”

Nhóm III chứa năm tiên đề về “bằng nhau”

Nhóm IV chứa hai tiên đề về liên tục

Nhóm V chứa một tiên đề về song song

2.1 Nhóm I - các tiên đề về liên thuộc.

Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “thuộc” có khi còn gọi là đi qua.

Các tiên đề trong nhóm này là:

 Với hai điểm bất kỳ tồn tại đường thẳng đi qua

 Với hai điểm phân biệt có không quá một đường thẳng đi qua

 Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm A thì chúng sẽ cùng thuộc ítnhất một điểm thứ hai B

 Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

2.2 Nhóm II- Các tiên đề về thứ tự.

ở đây có thêm khái niệm tương quan cơ bản “ở giữa”

Các tiên đề trong nhóm này là:

2.2.1 Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì A, B, C là ba điểm khac nhau

cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở giữa C và A

2.2.2 Cho bất kỳ hai điểm A, C nào bao giữa cũng có ít nhất một điểm B trên

đường thẳng AC sao cho C ở giữa A cà B

2.2.3 Trong bất cứ ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng không bao giờ

có quá một điểm ở giữa hai điểm kia

2.2.4 Tiên đề Pát.

Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng và một đườngthẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc bất cứ điểm nào trong ba điểm A, B, C cả Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn AB thì nó còn một điểm chung nữa hoặc với AC hoặc với đoạn BC

2.3 Nhóm III - Các tiên đề bằng nhau.

Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “bằng” của một đoạn thẳng với một đoạn thẳng khác của một góc với một góc khác

Các tiên đề trong nhóm này là:

2.3.1 Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên một nửa đường thẳng có gốc A‟

bao giờ cũng có một điểm B‟ sao cho đoạn thẳng A‟B‟ bằng đoạn thẳng

AB và được ký hiệu: A‟B‟ AB

Đối với mọi đoạn thẳng AB ta đều có: AB BA

2.3.3 Cho ba điểm A, B, C thẳng hằng với B ở giữa A và C và ba điểm

A‟, B‟, C‟ thẳng hàng với B‟ ở giữa A‟ và C‟ Nếu AB A‟B‟, BC

B‟C‟ thì AC A‟C‟

2.3.4 Cho một góc (x, y) và một nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳngchứa tia x‟ Khi đó trong nửa mặt phẳng nói trên bao giờ cũng có một và chỉ một tia y‟ cùng gốc với tia x‟ sao cho (x‟,y‟) bằng góc (x, y) và ký hiệu là:(x, y) = (x‟,y‟)

Đối với mọi góc (x,y) ta đều có (x,y)=(y,x) và (x,y)=(x,y)

và

ACB = A 'C ' B ' .

2.4 Nhóm IV – tiên đề liên tục.

2.4.1 Tiên đề Đơ đơ kin hay tiên đề IV

Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp không rỗng sao cho:

- Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một mà thôi

- Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai.Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai lớp cóthể coi điểm này là điểm cuồi cùng của lớp thứ nhất hoặc điểm đầu của lớp thứ hai

2.5 Nhóm V – các tiên đề về song song.

Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trên một mặt phẳng

và không có điểm chung gọi là hai đường thẳng song song với nhau Nếu a và

b là hai đường thẳng song song với nhau ký hiệu là: a // b

Nội dung tiên đề: Cho một đường thẳng a bất kỳ và một điểm A không

thuộc đường thẳng a Khi đó trong mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng a có nhiều nhất một đường thẳng đi qua A và không cắt a

2.6 Đo độ dài, diện tích, thể tích.

2.6.1 Độ dài

Định nghĩa 2.6.1 Với một đoạn thẳng AB cho trước tồn tại duy nhất

một hàm f (AB) thoả mãn các điều kiện sau:

1 Với mỗi đoạn thẳng AB ta có f(ab) > 0

2 Nếu hai đoạn thẳng AB và A‟B‟ bằng nhau thì f(AB) = f(A‟B‟)

3 Nếu có điểm C ở giữa hai điểm A và B thì : f(AC) + f(CB) = f(AB)

4 Có một đoạn OE sao cho f(OE) = 1

Hàm số f(AB) gọi là độ dài của đoạn thẳng AB Đoạn OE gọi là đơn vị dài hay là đoạn thẳng đơn vị

điều kiện sau:

1 Với mỗi góc (x,y) ta có (x, y) >0

thoả mãn 4

2. Nếu hai góc (x,y) và (x‟,y‟) bằng nhau thì (x, y) (x ', y ')

3. Nếu có một tia z ở giữa hai tia x,y của góc (x,y) thì

2.6.5 Diện tích của các đa giác đơn trong mặt phẳng

Định nghĩa 2.6.5: Giả sử có hàm số f xác định trên tập hợp tất cả các đa

giác đơn của mặt phẳng sao cho các điều kiện sau thoả mãn

1 Giá trị của hàm f luôn dương

2 Nếu hai đa giác bằng nhau thì giá trị của f ứng với chúng cũng bằngnhau

2.6.3 Thể tích của các hình đa diện đơn

Theo sơ đồ như xây dựng lí thuyết về diện tích của các đa giác đơn trong mặt phẳng, người ta xây dựng lí thuyết về thể tích của các hình đa diện đơn trong không gian

tưc là e 1 .Tia 0x cùng hướng với e .

được gọi là tia dương và do đó xác định hướng dương của trục tia 0x‟ làtia

đối của tia 0x và do đó ngược hướng với  , được gọi là tia âm và xác định

âm (hay hướng nghịch của trục )

Với vectơ  trên trục luôn tồn tại và duy nhất

2 Độ dài đại số của đoạn thẳng

Độ dài đại số của một vectơ trên trục đó là số (số đại số) mà nhân

AB trên đường thẳng định hướng  Ta có độ dài đại số của đoạn thẳng

3 Hệ thức Sa–lơ

*Hệ thức Sa-lơ cho ba điểm

Với ba điểm A, B, C bất kỳ trên đường thẳng định hướng ta luôn có:

Vậy AB BC (b a) (c b) c a AC

*Mở rộng hệ thức Sa-lơ cho n điểm

Trên đường thẳng định hướng cho các

A1 A2 A2 A3  A n1 A n A1 A n

- Vận dụng các kiến thức về định hướng trên đường thẳng như: Định nghĩa độ dài đại số và hệ thức Sa- Lơ để giải quyết bài toán

Ta định hướng trên đường thẳng và chọn A là điểm gốc trên đường thẳng đó.

Giả sử B, C, D có toạ độ lần lượt là b, c, d Khi đó ta có:

Vậy AB CD 2 AC DB AD BC CDDBBC 02 2

Ví dụ 3: Giả sử a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB của tam giác

Thật vậy: Nếu D là trung điểm của đoạn thẳng BC với hướng dương theo

hướng  , Với D là gốc khi đó ta có :

m2 = b  c



BC



Chứng minh tương tự ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 4: Qua điểm A của hình bình hành ABCD Dựng cát tuyến đi qua A cắt

(1)



Do BF song song với AD nên :

Từ (1) và (2) suy ra AE FE

AG FA

AE.FA (FA AE).AG

AE.( AG AF ) AG.AF

B Định hướng trong mặt phẳng

B0 Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch

Trong không gian E 2 ,cho hệ toạ độ trực chuẩn

(II) Nếu định thức của phép biển đổi từ (I) sang (II)

có giá trị dương ta nói hệ toạ độ (I) và hệ toạ độ (II) là cùng chiều Nếu địnhthức của phép biển đổi từ (I) sang (II) có giá trị âm ta nói hệ toạ độ (I) và hệtoạ độ (II) là ngược chiều

Vì vậy ta quy ước hệ toạ độ (I) là thuận

Khi đó nếu định thức của phép biến đổi từ (I) sang (II) có giá trị âm thì

ta nói hệ toạ độ (II) là nghịch

B1 - Góc định hướng

1 Khái niệm góc định hướng

1.1 Góc định hướng của hai vectơ chung gốc

1.1.1. Khái niệm: Để khảo sát việc quay tia 0m quanh điểm 0, ta cần chọn một

chiều quay gọi là chiều dương Thông thường, ta chọn đó là chiều ngượcchiều quay của kim đồng hồ là chiều dương (và chiều ngược lại của kim đồng

hồ là chiều âm) hình 1



Hình 1.

Khi đó, nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì ta nói tia

Om quay góc

3600 (hay

2 rad ) quay đúng hai vòng thì ta nói quay một góc

7200 ( hay 4rad), quay theo chiều âm nửa vòng thì ta nói nó quay

 

Cho hai vectơ chung gốc 0A, 0B (đều khác vectơ không), trong mặtphẳng (OAB) Cho tia Ox quay quanh điểm O theo một hướng nhất định từ tia0A đến tia 0B, ta nói tia 0x quét một góc định hướng, kí hiệu là (, ) , với



0

A

là vectơ đầu(hoặc là vectơ gốc)

Như vậy góc định hướng của vectơ



giác của tia 0A và tia 0B

và vectơ  chình là góc lượng

1.1.2. Quy ước: Thông thường, ta quy ước hướng quay của tia 0x nói trên

quanh điểm O là dương nếu hướng quay này là ngược chiều quay của kimđồng hồ, và là âm nếu hướng quay này theo hướng kim đồng hồ

kính 0 A 0B r , từ điểm A đến điểm B và quay k vòng theo hướng xác

định thì điểm X vẽ nên một cung định hướng, kí hiệu: A

B

chiều âm Nếu dùng đơn vị đo rađian ta có công thức: sđ

1.2 Góc định hướng của hai vectơ bất kỳ.

1.2.1 Khái niệm

Cho hai vectơ ,  (đều khác vectơ không) nằm trên cùng một mặt phẳng.Từ một điểm (gọi là điểm gốc) O nào đó trên mặt phẳng ấy dùng các

     

vectơ 0A MN, 0B

 PQ (h.3) với mỗi véc tơ đầu MN , và vectơ cuối   PQ và

số nguyên k, ta xác định một góc định hướng, ký hiệu ( MN, PQ) , với số đo

tương ứng song song cùng hướng ) đồng thời số vòng quay k là như nhau nên

       

sd(0A, 0B) sd(0'C, 0' D) Hai góc định hướng AB,

CD,

MN , PQgọi là bằng

2 Các hệ thức cơ bản về số đo góc định hướng

Sự xác định góc định hướng như trên không phụ thuộc vào độ dài và điểm gốc các vectơ nên để thuận tiện, ta chỉ cần xét các vectơ có độ dài

bằng nhau và có chung điểm gốc, nghĩa là các bán kính vectơ của một

đường tròn với điểm gốc là tâm đường tròn

Từ các hệ thức về số đo cung định hướng trên cùng một đường tròn cótâm O, bán kính 0A = 0B = r ta suy ra được các hệ thức của số đo các góc định hướng chung gốc O, từ đó suy ra hệ thức của góc định hướng không chung gốc Người ta thường xét số đo góc định hướng theo môđun 2để không phải quan tâm đến số k, cuối cùng khi chỉ xét những góc định hướng

có số đo từ 0 đến 2thì số đo góc đó xác định duy nhất Xét các hệ thức về

số đo góc theo môđun 2(hoặc ) ta sẽ nhận được nhiều đồng dư thức đẹp và trong thực tế sử dụng những đống dư thức này rất thuận lợi khi giải toán

Dưới đây là một số hệ thức cơ bản đối với các góc định hướng chung gốc vàkhông chung gốc, trong đó:

   

0A MN, 0B  PQ

Chú ý rằng:  

1) Góc không: (, ) 0 (mod2  )

2) Góc bẹt : (, ) 

(mod2  ) XY

0A 0A 0A

3) Hai góc ngược hướng (h.1

)

(1)(2)

1.3.1 Tổng các góc trong một tam giác

Từ (, ) 0 (mod2  ) , sử dụng hai lần hệ thức Sa-lơ (4) ta đựơc:

( AB, AC) (BC,

BA)  (CA,CB)  (mod 2) (8)

Hệ thức (8) được phát biểu như sau: Tổng ba góc cùng hướng trongmột tam giác bằng (theo (mod 2) )

Nếu xét các góc dương nhỏ hơn ta có: Tổng các góc cùng hướng trong một tam giác bằng 

1.3.2 Góc ngoài của một tam giác

     

( AB, AC) (BC, BA) (CA, CB) (mod

2)

     

( AB, AC) (BC, BA) (CB, CA) (mod 2) (9)

Xét các góc ở đỉnh C của tam giác ABC ta có:

     

(CA,CB) (CB, CA)

(CA, CA)  (mod 2)

Nên ta gọi góc định hướng (, ) (, )

của tam giác ABC

Từ đó hệ thức (9) được phát biểu như sau: Tổng hai góc trong cùnghướng của một tam giác bằng góc ngoài cùng ở đỉnh thứ ba (theo mod 2

)

1.3.3 Góc nội tiếp và góc ở tâm.

Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O (h.4) Giữa góc định hướng nội tiếp và góc định hướng ở tâm cùng chắn dây AB có hệ thức sau:

   

(0A, 0B) 2.(CA,CB) (mod 2) (10)

Chứng minh

CB CA CB

Chú ý rằng hệ thức (10) xảy ra đối với C bất kỳ (khác A và B ) nằm

trên đường tròn đi qua A và B, nhưng với góc không định hướng thì ta có

A0B = 2 ACB , khi C, O cùng phía đối với đường thẳng AB, còn A0B

2( ADB ) khi D, O nằm khác phía đối với đường thẳng AB

1.3.4 Bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn

Giả sử bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm 0 (h.4)

a) Khi Cvà D nằm cùng phía đối với đường thẳng AB thì:

   

(CA,CB) (DA, DB) (mod 2 )

b) Khi Cvà D nằm khác phía đối với đường thẳng AB thì:

Cho tam giác ABC Từ các hệ thức về bốn điểm nằm trên đường tròn

B2 Góc định hướng của hai đường thẳng

2.1 Khái niệm góc định hướng giữa hai đường thẳng

2.1.1 Khái niệm

Trên mặt phẳng cho hai đường thẳng m và p cắt nhau tại O Lấy các điểm

M, N thuộc đường thẳng m, và các điểm P, Q thuộc đường thẳng p (các điểm

M, N, P, Q phân biệt nhau) (h5)

Ta tưởng tượng khi cho đường thẳng t đi qua điểm O và quay quanh điểm

O từ vị trí đường thẳng m đến trùng với đường thẳng p theo một hướng nhất định (âm hoặc dương) thì đường thẳng t quét nên một góc định hướng của hai đường thẳng m và p Ta gọi m là đường thẳng đầu, p là đường thẳng cuối

và kí hiệu góc định hướng là (m,p) hay (MN,PQ)

2.1.2 Công thức tính độ lớn góc định hướng của hai đường thẳng

H.5

đường thẳng là:

sđ (MN, PQ) = 0 k1800

Trong đó k là số lần quay nửa vòng từ đường thẳng OM đến đường thẳng

OP, k

0 nếu quay theo hướng dương, k 0 nếu quay theo hướng âm

Nếu dùng đơn vị đo là rađian ta có sđ( MN,PQ) =k.Như vậy mỗi góc định hướng của hai đường thẳng giao nhau cùng với một số k thì có một số đo xác định

2.1.3 Qui ước

Đối với hai đường thẳng m, n song song hoặc trùng nhau và một số k taqui ước có một góc định hướng của hai đường thẳng này, kí hiệu là (m, n) vớisđ(m,n)= k

2.1.4 Khái niệm bằng nhau của góc định hướng của hai đường thẳng

Hai góc định hướng của hai đường thẳng (m, n) và (u, v) được gọi là bằngnhau khi sđ (m,n) = sđ (u,v) Ta cũng kí hiệu sự bằng nhau đó là

(m, n) = (u,v)

Chú ý: hai góc định hướng của hai đường thẳng bằng nhau không nhất

thiết hai đường thẳng đầu của chúng cùng phương

Quan hệ của các góc định hướng của hai đường thẳng có tính chất: phản

xạ, bắc cầu, đối xứng, nghĩa là các tính chất của quan hệ tương đương

2.2 Mối liên hệ giữa số đo của góc định hướng của hai đường thẳng và góc định hướng vectơ.