Khai thác bài tập toán, phần phương pháp tọa độ trong không gian

PPTĐ cho ta cách giải nhanh chóng, chính xác và tránh được các yếu tốtrực quan, các suy diễn phức tạp của PPTH, và là phương tiện hiệu quả để giảicác bài toán hình học.. Xuất phát từ sự

ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS Nguyễn Văn Hà

Hà NộI - 2010

Khoá luận tốt nghiệp

1

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên em làm quen với việcnghiên cứu khoa học

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em đã

nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp và các

bạn sinh viên trong khoa

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Hà, thầy

đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ, hướng dẫn em hoàn thành khóa luận

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Lê Thị Liễu

Khoá luận tốt nghiệp

2

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan toàn bộ kết quả trong khóa luận này là do em nghiên

cứu dưới sự hướng dẫn của các thầy cô trong tổ phương pháp, đặc biệt là thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà.

Và kết quả trong khóa luận này của em không trùng lập với bất kì kết quả nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Lê Thị Liễu

1 Lý do chọn đề tài

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

Hình học là một môn học khó, nó có tính hệ thống, chặt chẽ, logic, trừutượng hoá cao Đặc biệt là phần hình học không gian (HHKG) Để giải mộtbài toán HHKG đòi hỏi học sinh phải có kiến thức thật chắc và vững

Với một bài toán nói chung và bài toán HHKG nói riêng thì có nhiềucách giải khác nhau, có thể là phương pháp tổng hợp (PPTH), phương phápvectơ, hay phương pháp tọa độ (PPTĐ) Trong đó có một phần lớn các bàitoán HHKG có thể giải bằng PPTĐ

PPTĐ cho ta cách giải nhanh chóng, chính xác và tránh được các yếu tốtrực quan, các suy diễn phức tạp của PPTH, và là phương tiện hiệu quả để giảicác bài toán hình học

Vì vậy, trong rất nhiều năm gần đây PPTĐ được xem là nội dung trọngtâm của chương trình toán trung học phổ thông

Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi,nghiên cứu sâu hơn về HHKG, với mong muốn có được kiến thức vững hơn

về HHKG để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trường, cùng với sự động

viên khích lệ của thầy giáo Nguyễn Văn Hà mà em đã chọn đề tài : “Khai

thác bài tập toán phần PPTĐ trong không gian”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu chủ yếu của đề tài là:

- Cho học sinh thấy được sự tương quan giữa HHKG và HHGT trongkhông gian

- Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để giải bài toán HHKG

- Nghiên cứu sâu hơn về HHKG làm tài liệu tham khảo cho học sinh vàgiáo viên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu với nhiệm vụ:

- Nghiên cứu lý luận chung

+ Bài toán và bài tập toán học

+ Phương pháp tọa độ trong không gian

- Hệ thống hoá phương pháp giải các dạng bài tập dưới dạng cơ bản vànâng cao nhằm phục vụ cho việc giảng dạy: “PPTĐ ở lớp 12 THPT theo phânphối chương trình”

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận : Dựa vào những tài liệu sẵn có,những thành tựu của nhân loại trên những lĩnh vực khác nhau để vận dụngvào phương pháp dạy học môn Toán

- Phương pháp quan sát điều tra: Là phương pháp tri giác một hiệntượng nào đó để thu lượm những số liệu, tài liệu cụ thể đặc trưng cho quátrình diễn biến của hiện tượng

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực chất là đánh giá và kháiquát kinh nghiệm, từ đó phát hiện ra những vấn đề cần nghiên cứu, hoặckhám phá những mối liên hệ có tính quy luật của hiện tượng giáo dục

- Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Cho phép ta tạo nên những tácđộng giáo dục, từ đó xác định và đánh giá kết quả của những tác động đó

5 Cấu trúc khoá luận

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung, bao gồm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: ứng dụng dạy học

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

A BÀI TOÁN VÀ BÀI TẬP TOÁN HỌC

1 Khái niệm

Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách

có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trôngthấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay

Bài tập là bài toán trong đó có những yêu cầu đặt ra cho người họcnhằm đạt được mục đích dạy học nào đó

2 Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán học

a Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệmtoán học và các kết luận toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phântích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và cáckiến thức đã biết khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiếnthức mới nữa…Cuối cùng, chúng ta đi đến được lời giải của bài toán

Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã cótrong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũngđược củng cố qua lại nhiều hơn

b Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của môn toán là một môn khoa học suy diễn, đượcxây dựng bằng phương pháp tiên đề

Do vậy nên lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác

có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ rệt

Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho tanăng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suyluận tuân theo quy tắc suy diễn…

Chúng ta biết rằng không thể có một phương pháp chung nào để giảiđược mọi bài toán

Mỗi bài toán có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm được lời giảicủa bài toán chúng ta phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, kiểmtra kết quả, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cáchsuy luận tổng hợp khái quát hoá…

Như vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện vàphát triển

c Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứcủa bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ mônkhoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đượccác bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó

Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong mọi tìnhhuống của quá trình dạy học môn toán

Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chứcgây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm.Bài toán được sử dụng đã nêu ra làm các ví dụ và phản ví dụ minh họa chokhái niệm Bài toán được sử dụng để luyện tập, củng cố vận dụng khái niệm

Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán có thể được sử dụng để tổchức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học.Bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt là

việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lý chính là việc tổ chứchướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một chương nào đó của môn học.

Trong luyện tập toán học : Bài toán là phương tiện chủ yếu trong cáctiết luyện tập toán học Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệthống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng

cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó

d Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh

Đặc biệt cơ bản trong tính cách của con người là: Mọi hoạt động đều cómục đích rất rõ ràng Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đíchrất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyệnnăng lực hoạt động của con người

Để giải một bài toán nhất là đối với các bài toán khó ta phải vượt quarất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại và nhiều khi ta phải có quyết tâm rấtlớn để giải bài toán đó

Nói theo cách của G.POLYA thì : “Khát vọng và quyết tâm giải đượcbài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán”

Do vậy ta thấy rằng : Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu củaquá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người

3 Phân loại bài toán

a Phân loại theo hình thức bài toán:

- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ramột cách rõ ràng trong đề bài toán

- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa sẵn sàngtrong đề bài toán

b Phân loại theo phương pháp giải toán:

- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theomột angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.

- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của

nó không theo một angôrit nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào đó

c Phân loại theo nội dung bài toán:

Bài toán số học Bài toán đại số Bài toán hình học

d Phân loại theo ý nghĩa giải toán:

- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngaysau khi học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó

- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống cáckiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duyphân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

4 Phương pháp giải một bài toán

Phương pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bước của G.POLYA

a Bước 1: Tìm hiểu đề

Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìmhiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau :

- Những cái đã biết ? Cái gì chưa biết của bài toán ?

- Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thayđổi biến thiên của bài toán

- Xác định các ẩn và giá trị hằng của bài toán

- Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không ?

b Bước 2 : Xây dựng chương trình giải

Chúng ta có thể tiến hành xây dựng chương trình giải theo phươngpháp sau:

- Phương pháp đi xuôi:

Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề Bằng suyluận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic của các tiền đề đó Tiếp tụcchọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làmtiền đề mới Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra hệ quả logic mới gầngũi hơn với kết luận… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra các hệ quảlogic trùng với kết luận của bài toán Khi ấy ta tìm được lời giải của bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

C DX (trong đó A,C là giả thiết, còn

X là kết luận )

- Phương pháp đi ngược:

Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán Bằng suy luận hợplogic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này

Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các tiền đề gần gũi với giả thiết củabài toán làm kết luận mới Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra tiền đềlogic mới của các kết luận mới này… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm racác tiền đề logic trùng với giả thiết của bài toán Khi ấy ta tìm được lời giảicủa bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

C A



D B

(trong đó A,B là giả thiết, còn X là kết luận)

c Bước 3 : Thực hiện chương trình giải



Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, tadùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh

đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán

d Bước 4 : Nhận xét lời giải và khai thác bài toán

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìmđược của bài toán

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán

Nghiên cứu các bài toán có liên quan

Ví dụ 1: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:

Chứng minh rằng nếu ΔABC thỏa mãn điều kiện

thì ΔABC là tam giác cân

HD :

sinA.sinC = cos2

B2

Để chứng minh một tam giác là tam giác cân có nhiều cách : Hoặcchứng minh 2 cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc nào đó bằngnhau

ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ về góc, ta

sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau

Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho thì vai trò của góc A và C lànhư nhau Do đó ta sẽ chứng minh trong ΔABC có góc A = C

Biến đổi đẳng thức đã cho bằng cách làm mất sự có mặt của góc Bbằng cách thay B = 180 o - (A+C)

Sau đó sử dụng công thức biến đổi lượng giác, ta có đẳng thức sau :

sinA.sinC = cos2 B

2

Û sinA.sinC = sin2 A + C

2

Û 2sinA.sinC = 1 cos(A+C) Û cosA.cosC +sinA.sinC = 1 Û cos(A -C) = 1

-Þ A = CVậy : ΔABC cân tại B

Ví dụ 2 : Phân tích tìm lời giải của bài toán sau :

Để tính tổng S (hoặc P) là các tổng hữu hạn gồm n số hạng, ta nhân tổng đóvới a, rồi xét hiệu : aS - S hoặc S - aS.

Từ đây ta tính được S

B PHƯƠNG PHáP TọA Độ TRONG KHÔNG GIAN ( Hình học12)

1 Nội dung chính

+ Phương trình tổng quát của mp :

Ax + By + Cz +D = 0 (1) (với

VTPT của mp là : n = (A; B; C)

+ Phương trình đường thẳng:

A2 +B2 +C2

0)

M0 = (x0 ; y0 ; z0 ) với VTCP u = (a; b; c) là:

- Phương trình tham số là:

a2 + b2 + c2 - d

íï x = x + at

ïï 0ï

+ b2

+

là phương trình mặt cầu có tâm I = (-a; -b; -c) và bán kính R =

2 Mục đích yêu cầu của việc giảng dạy : “PPTĐ trong không gian”

a Về kiến thức :

- Chương 3 nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về khái niệm

về tọa độ trong không gian và những ứng dụng của nó

+ Tọa độ vectơ và tọa độ điểm

+ Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

+ Tích vô hướng của 2 vectơ

+ Phương trình mặt cầu

- Giới thiệu về phương trình mặt phẳng trong không gian

+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

+ Phương trình tổng quát của mặt phẳng

+ Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Phương trình đường thẳng trong không gian

+ Phương trình tham số của đường thẳng.

+ Điều kiện để hai đường phẳng song song.

+ Điều kiện để hai đường phẳng chéo nhau

+ Điều kiện để hai đường phẳng cắt nhau

b Về kĩ năng

- Xác định được các vectơ trong không gian

- Vận dụng được các tính chất để giải bài tập

- Chứng minh được hai mặt phẳng: song song, vuông góc

- Lập được các phương trình đường thẳng, mặt phẳng

- Xác định được vị trí tương đối

3 Phương pháp giải bài toán bằng tọa độ

PPTĐ trong không gian là phương pháp giải các bài toán HHKG mà ở

đó ta quy việc giải chúng về khảo sát nhiều phương trình (hệ phương trình)

Các bước giải bài toán HHKG bằng PPTĐ :

Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp

Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ

Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức PPTĐ

Bước 4: Chuyển kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học.

CHƯƠNG 2 :ứng dụng dạy học

Nội dung chương trình

Chương 3 : Phương pháp tọa độ trong không gian (20 tiết)Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian (5 tiết)Bài 2 : Phương trình mặt phẳng (5 tiết)

 2

u a2 + b2 + c2

aa' + bb' + cc'

a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2

Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian (8 tiết)

u ,

u, vv

 + u, v

là phương trình mặt cầu nếu có điều kiện : a2

tổng quát là: A(x - a) + B(y - b) + C(z - c) = 0

+ Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng:

có phương trình

Ax + By + Cz +D = 0 (1) (với

2 + B2 + C2 0)Nếu mp() có pt (1) thì n = (A; B;

6 Phương trình đường thẳng :



7 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho 2mp   : Ax + By + Cz + D = 0 và  ': A'x + B'y + C'z + D'  0

 u, u' = u, M M '= 0

r ur r

íï éu,u'ù= 0ï

ï êë úû+ d//d' Û

ï

ì ï r uuuuuur r

ï éu,M M 'ù¹ 0ïïî êë 0 0

úû

A = B = C = D A' B' C' D'

ï

0 0

ï

r ur r

íï éu,u'ù¹ 0ï

ï êë úû+ d và d‟ cắt nhau Û

ï

ï éu,u'ù.M M ' = 0ïïî êë ûú 0 0

9 Góc

+ d, d‟ chéo nhau

  

u,u'.M M ' 0

+ Góc giữa 2mp   : Ax + By + Cz

 0

DạNG 1: CáC BàI TOáN LIÊN QUAN TớI vectơ