Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Khoáluậntốtnghiệp ĐỗThịPhương–K29BToánLờinóiđầu Lượnggiáclàmộttrongnhữngvấnđ ề rấtquantrọngcủaToánh ọc,việcvậndụn gcáchệthứclượnggiáctrongtamgiácđểđưaravàchứngminhc á c đẳngthức,bấtđẳng

Khoáluậntốtnghiệp ĐỗThịPhương–K29BToán

Lờinóiđầu

Lượnggiáclàmộttrongnhữngvấnđ ề rấtquantrọngcủaToánh ọc,việcvậndụn gcáchệthứclượnggiáctrongtamgiácđểđưaravàchứngminhc á c đẳngthức,bấtđẳng thứclượnggiáctrongtamgiácgiữvaitròđặcbiệttronggiảitoánlượnggiác.Địnhlýc ôsinvàđịnhlýsintrongtamgiáclàhaih ệthứcquantrọng,làcôngcụrấtcóhiệulựcđểgi ảiquyếtcôngviệcđó.Họcsinhđượcrènluyệnnhiềuvềcácbàitoánchứngminhcácđẳn gthức,

bấtdẳngth ứclượnggiáckhôngchỉgiúpchohọhiểurõhơnnhữngứngdụngcủacácđị nhlýnàytrongtínhtoáncũngnhưtrongthựctếmàcòngiúphọluyệntậpcáckĩnănggi ảitoánlượnggiác.

Đểgópphầnlàmrõtínhưuviệtcủahaiđịnhlýnàytrongviệcgiảicácb à i toánch ứngminhđẳngthức,bấtđẳngthứclượnggiáckhôngcóđiềukiệnv à cóđiềukiệncũng nhưvớimongmuốncủabảnthânđượcnắmchắcvàsâuhơnvềkiếnthứclượnggiácởbậ cTHPTđểsaunàyratrườngdạyhọcđượctốthơn.Mặtkhác,vớimongmuốngiúpcác emhọcsinhkhôngchỉđàosâukiếnthức,màcònthấyđượcvaitròhếtsứcquantrọngc ủakiếnthứclượnggiáctrongToánh ọc.Chínhvìnhữnglídokểtrên,d ướis ựhướngdẫn củat h ầygiáoPhanHồngTrường,emđãnhậnđềtài: “Địnhlýcôsinvàđịnhl ý s introngtamgiác” làmkhoáluậntốt nghiệpchomình.

Trongkhoáluậnnày,emxinđượctrìnhbàymộtsốvấnđềquantrọngsauđây: ChươngI:Mộtsốkiếnthứccầnthiết

ChươngII:Bàitoánchứngminhđẳngthức,bấtđẳngthứclượnggiáckhôngcó điềukiện.

ChươngIII:Bàitoánchứngminhđẳngthức,bấtđẳngthứclượnggiáccóđiềuk iện.

Khoáluậntốtnghiệpđượchoànthànhtrongthờigianngắnnênkhótránhkhỏinh ữngkhiếm

khuyếtvàsaisót.Kínhmongđượcsựgópý,traođổic ủacácthầy,côgiáocùngtoànthểc ácbạnsinhviêntrongkhoađểkhoáluậnn à y đượchoànthiệnhơnkhiđếnvớibạnđọc.

HàNội,tháng05năm2007Si nhviênthựchiệnĐỗThị Phương

TôixincamđoanKhoáluậnlàcôngtrìnhnghiêncứucủariêngtôi.

Trongquátrìnhnghiêncứu,tôiđãkếthừa,vậndụngnhữngthànhquảnghiêncứ

ucủacácnhàkhoahọc,nhànghiêncứuvớisựtrântrọngvàbiếtơn Nhữngkếtquảnêutrongkhoáluậnchưađượccôngbốtrênbấtkỳcôngtrìnhnào khác.

HàNội,tháng05năm2007

Tác giả

ĐỗThịPhương

c sinC

=2cosC c os AB +2sinC cos C

3 3

33

cotgA +cotgB +cotgC =cotgA cotg B c o tg C

4sin

3

4 12

Cácbấtđẳngthứccònlạiđượcsuyratừ( 1 3 )

1)BiếnđổiXthànhY(hayYthànhX):thườngchọnbiểuthứcphứctạpđểbiếnđổi2) BiếnđổiXthànhZ,YthànhZ.

II Giảibàit oá n chứngminhđẳngthức,bấtđẳngthứclượnggi ác khôngc

óđiềukiệnnhờsửdụngđịnhlýcôsin,địnhlýsinvàđịnhlýcôsinmởrộngtro ngtamgiác:

Nếutrongcácđẳngthức,bấtđẳngthứclượnggiáccầnchứngminhcócáccạnhhaycáchàmsốlượnggiáccủacácgócthìtasửdụngcácđịnhlýđóđểbiếnđổicácbiểuthứcđãchothànhcácbiểuthứcchỉcóhàmsốlượnggiáccủacácgóc(haychỉcócáccạnh)đểviệcchứngminhđượcdễdànghơn

Tatiếnhànhgiảibàitoánnàytheocácthaotácsau:

1) Xácđịnhđịnhlýcầnápdụng

2) ápdụngđịnhlýđókếthợpvớicácphépbiếnđổilượnggiác,các hệthứclượnggiáckháctrongtamgiácđểchứngminh

Vídụ1:ChoABC Chứngminhcáchệthứcsau:

=(a+b)(c+ b–a)(c +b–a)=VP(1).

a2c2

b2

Vídụ2:ChứngminhcáchệthứcsautrongABC :

1

1

2A)4

Giải

2RsinA 2

2Rsi nB

2)

2RsinC

 1

)sin2C

sin2A 

1sin2B

 1

)sin2C

Nhậnxét:

ab 8R cab c4 R

c b

Quacácvídụtrêntathấyđịnhlýcôsinvàđịnhlýsintrongtamgiáclàhaic ô n g cụrấtcóhiệuquảtrongviệcchứngminhcácđẳngthứclượnggiáckhôngcóđiềukiện.Tuynhiên,cầnphảivậndụnglinhhoạthaiđịnhlýnàycùngvớiviệcbiếnđổithànhthạocácbiểuthứclượnggiácthìmớicóđượcmộtlờigiảinhanh,gọnvàđúng

tínhtrungtuyếnADquenthuộc.NếuđiểmDthuộccạnhBCsaochoADlàđườngp h ân giácthìcôngthứcphângiáctrongcũngđượcxácđịnh.VậytrongtrườnghợptổngquátDlàđiểmbấtkìtrêncạnhBCthìđộdàiADsẽđượcxácđịnhnhưthếnào?

2 2 2 2

2sinB.sinC



r

sinC2

ctheobánkínhcủahaiđườngtrònđó.Cụthể,taxétvídụsauđây:V í dụ5(CôngthứcEuler):

giác,đặtl=OI.Chứngminhrằng:

A

I

(7)Thay(6),(7)vào(5)tađược:

2

r

sinA2

.2 Rsin AR2



l22

ườ ngtròn ng oạitiếpcáctamgiác MA B , MBC, M C D, M DA ?

Đ ể giảiquyếtđượcbàitoánđóthìtacầnphảichứngminhđịnhlýquantrọngsauđây:

Vídụ8(ĐịnhlýPtôlêmê):

ChotứgiácABCDnộitiếpmộtđườngtròn.Chứngminhrằng:

GiảiGọiRlàbánkínhđườngtrònngoạitiếptứgiácABCD

ABDACD

ACBADB

ACMAMC2 sin

(R1R4R2R3)

R

(4)Chứngminhtươngtự,tađược:

a2RsinA;b2RsinB;c2RsinC

2R 4S

1

a2b2

c2

csC)

2 R sin A (2 R sin A   2 R sin Bc  

sC ) 2 RsinB(2RsinB2RsinAc

sin A [sin( B   C )    sin

B c   sC ] sin B[sin(A

C)sinAcsC]

sin A sinC c   sB sinBsinCcsA

co

t gBcot gA

b2

c2

a2

c2 2 2 2

ab5c

cotg

4.S3

sin(C)

MB .sin( BC C    ) 

sinsinC sinAsinB

cotgcotgCcotgAcotgB

cotgcotgAcotgBcotgC

Vậycôngthức(*)đượcchứngminh

ôsin,địnhlýsinvàđịnhlýcôsinmởrộngtrongtamgiácđốivớiviệcchứngminhcáchệthứclượngtrongtamgiác.Việc

sửdụngcácđịnhlýn à y trongchứngminhgiúpchotacómộtlờigiảingắngọn,đơngiảnvàdễhiểu.Đốivớicácbấtđẳngthứclượnggiáctrongtamgiácthìviệcsửdụngc á c địnhlýnàyđểchứngminhcũngcóhiệuquảtươngtự.Chúngtađixétmộtsốvídụcụthểsauđây:

Vídụ13:ChoABC Chứngminhcácbấtđẳngthứcsau:

a,a3b3c33abca2(bc)

b2(ca)c2(ab)

b, a c  s A   b c   s B   c c   s C 1

(1)(2)

BĐT(1)(ab2ac2a3)(bc2ba2b3)(ca2

a2RsinA;b2RsinB;c2RsinC

2b

2c 8pr

3 abc

2 bc (1   c  s A )   2 ac (1   c sB )   2 ab (1   c  s C

ápdụngđịnhlýcôsinmởrộngchoABC,tacó:

3

giáckếthợpthậtkhéoléovớiviệcápdụngbấtđẳngthứcCôsi.Ngoàira,tacòncóthểchứngminhbấtđẳngthức(*)bằngcáchkhácnhưsau:

 

csA

b2

c2a2

2bc

sinAa

2R c  sA

b2

c2a2

c2

b2)

abc R(a2b2

BĐTcơbảntrongtamgiác

b,SRr(sinAsinBsinC)

c,acotgAbcotgBccotgC2(Rr)

( p a)( p b)( p c)( p d )( p a)( p d )

( p b)( p c)

b,tg A  

2

a b c

(sin2Asin2B sin2C)

c,sinAsinBsinBsinCsinCsinA9r

abc abc abc

Bài15.ChoABC Chứngminhrằng:

a2(pb)(pc)b2(pa)(pc)c2(pa)

(pb)p2R2

BM,z=CMvàgọikhoảngcáchtừđiểmMđếncáccạnhBC,CA,ABlầnlượtlàp ,q,r.Chứngminhrằng:

 Bàitoáncódạng:Chotam

giácABCthoảmãnmộtsốđiềukiệnnàođó(t h ườngl à c á c hệt h ứcl ượngg i á

c ) C h ứngminhr ằngt a m g i á c A B C thoảmãnthêmmộtđiềukiện(haymộthệthứclượnggiác)khácnữa

ươngphápnêutrên.Tuynhiên,mứcđộphứctạpcủabàitoáncóthểtăngthêmdophảisửdụngthêmcáchệthứclượnggiác,cácbấtđẳngt h ứclượnggiáctrongtamgiáchaycácbấtđẳngthứcquenthuộcnhưb ấtđẳngthứcCôsi,Bunhiacốpxki,…

II Giảibàitoánchứngminhđẳngthức,bấtđẳngthứclượnggiáccóđiềukiệ

nnhờsửdụngđịnhlýcôsin,địnhlýsinvàđịnhlýcôsinmởrộngtrongtamgiá c

Tatiếnhànhgiảibàitoánnàytheocácbướcsauđây:

1) Xácđịnhđịnhlýcầnsửdụngchobàitoán

2) ápdụngđịnhlýđókếthợpvớiviệcbiếnđổiđiềukiệnbanđầu,sửdụngcáchệthứclượnggiáckhác,cácbấtđẳngthứcquenthuộchaycácbấtđẳngthứclượnggiáctrongtamgiác,…

3) Kếtluận

III Mộtsốvídụ:

Trướchết,taxétmộtsốvídụvềcácbàitoánchứngminhđẳngthức,bấtđẳngthứclượnggiácm à điềukiệnchotrướcđượ cchodướidạngm ộthệthứclượngg i á c:

(sin2Asin2B )sin(AB)(sin2Asin2B )sinC

(sin2Asin2B )sin(AB)1cs2A1

sin(AB)(sin2Asin2Bsin2C)0

sin2Asin2Bsin2

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.

2sinABcs AB2sinCcs C

 2 2 2 2

sinAsinB 2cs Ccs ABcs AB

sinAsinB 2cs C.2sinAsinB

 2 2 2

2sinA co s A.2sinBco s B

g 2 CtgA .tgB1

Giải

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.

(1)Màtheogiảthiết:

c sAc  sB   sin A sin B

tgC sinAcsBsinBcsA

Chiacảtửvàmẵuởvếtráicủađẳngthứctrên,tađược:

Talạicó:

1   tgAtgB

 sin C c 

sC

tgCtgAtgB  1

tg2 C (đpcm) tgC(tgAtgB

2(a2c2)b2

m 2 2(a2b2)c2

2ab

s B

2sinBcosB cs B

 ab

c 4cs2B32sinB

Suyra:a+c=2b

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.

(2)

Vídụ10:ChotamgiácABCcóbagócA,B,Ctheothứtựlậpthànhmộtcấpsốn h â n vớic

ôngbộiq=2.Chứngminhrằng:

(vìcos 8 cos(28)cos6)

a  c2a

72sinSsincos 2sin

cos 4sincos 67 7 7

2sinSsin3sin

sin5sin3sinsin5

Bài5.ChứngminhrằngnếutamgiácABCthoảmãnđiềukiệnsau:

1

Giảitoánlượnggiáclàmộtvấnđềrấtphongphúvàđadạngtrongchươngtr ì n hToánởnhàtrườngphổthông.Mộtphầngiữvaitròđặcbiệtquantrọngcủachủđềnày

Việcchứngminhcácđẳngthứcvàcácbấtđẳngthứclượnggiácbiểuthịmốiliênhệgiữacácyếutốtrongmộttamgiáclàmộtcôngviệcrấthayvàkhóđốivớihọcsinhphổthông.Tuynhiên,nế

uc á c embiếtvậndụnglinhhoạtvàsángtạocáckiếnthứcđãhọcvềlượnggiácthìcôngviệc sẽtrởnênđơn giảnhơn.Một côngcụrất có hiệuquảtrợgiúpđắclựcchochúngtatrongviệcchứngminhcácđẳngthức,bấtđẳngthứclượnggiáctrongtamg i á

c đólàhaiđịnhlýcôsinvà địnhlýsin.Chínhvìvậy,s a u khinghiêncứuvàhoànthành khoá luận tốt nghiệpnày,emxinđược nêu lênmộtvàisuynghĩcủa bảnt h ân

v ềviệcdạyhọcđịnhlý côsin vàđịnh lý sintrong tam giácchohọcsinh lớp10nhưsau:

1) Cầntạođiềukiệnchohọcsinhtiếpcậnvớinhiềutàiliệuthamkhảovềviệcsửdụngđịnhlýcôsinvàđịnhlýsintrongtam

3) VềviệcgiảngdạyhaiđịnhlýcôsinvàđịnhlýsintrongHìnhhọc10:

vềhaiđịnhlýnày,giáoviêncầnnhấnmạnhmốil i ên hệgiữacácyếutốtrongtamgiácthểhiệntronghaiđịnhlýđểhọcsinhcóthểnắmđượcngaynộidungcủacácđịnhlýđóvàđưaramộthệthốngcácvídụ(baogồmcảvídụtínhtoáncácyếutốtrongtamgiácvàcảvídụchứngminhcácđẳngthức,bấtđẳngthứclượnggiáctrongtamgiác)đểhọcsinhbiếtvậndụngcácđịnhlýđóvàogiảitoánvàthấyđượcứngdụngcủahaiđịnhlýnàytrongthựctế

Trênđâylànhữngýkiếncủariêngemvềvấnđềđượcquantâmtrongviệcgiảngdạyđịnhlýcôsinvàđịnhlýsintrongtamgiácchohọcsinhlớp10

khôngcóđiềukiệnvàbàitoánchứngminhđẳngthức,bấtđẳngthứclượnggiáccóđiềukiện

Vớibàikhoáluậnnhỏnày

củaem,emmongrằngsẽgiúpđỡđượcphầnnàocácbạnsinh viên,đặc biệtlàsinhviênsắpratrườngcóthêmmộttàiliệuthamkhảobổíchchoviệcnghiêncứuvàgiảngdạynộidunglượnggiácđượctốthơn.Đồngthời,đâycũnglàmộttàiliệugiúpcácemhọcsinhnắmchắckiếnthứchơn,cóđượcmộtcáchnhìnmới,mộtphươngpháptưduymớisâu,rộnghơntrongquátrìnhcáce m giảitoán

Mặcdùđãcốgắngrấtnhiều,songbướcđầulàmquenvớinghiêncứukhoahọcvàkhảnăngtổngkếtkinhnghiệmcủabảnthâncònhạnchếnênkhoáluậnnàyk h ô n g tránh

củacá cthầycôgiáovàcácbạnsinhviênđểkhoáluậntốtnghiệpcủaemđượchoànthiệnhơn,cógiátrịthựctiễnhơn

Cuốicùng,chophépemđượcbàytỏlòngbiếtơnchânthànhvàsâusắcđốivớithầyg

iáoPhanHồngTrường,ngườiđãđộngviên,chỉbảotậntìnhvàgiúpđỡe m hoànthànhkho

áluậnnày.Đồngthời,emxintrântrọngcảmơncácthầycô

giáot r o n g khoaToán,đặcbiệtlàcácthầycôgiáotrongtổHìnhhọccùngtoànthểcácbạnsinhviêntrongkhoađãđónggópnhiềuýkiếnquýbáuchokhoáluậncủaem

HàNội,tháng05năm2007

Sinhviênthựchiện:

ĐỗThịPhương