SKKN một số phương pháp chứng minh ban điểm thẳng hàng

A. ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính lôgic, lượng kiến thức rất rộng. Bản thân mỗi người giáo viên, học sinh không phải ai cũng giỏi tất cả các chuyên đề, mà mỗi người có những sở trường riêng. Một trong những chuyên đề mà tôi thấy học sinh, và ngay cả giáo viên đang còn lúng túng khi đi tìm ra lời giải. Chuyên đề này cũng là chuyên đề mà tôi rất thích. Chính những lí do trên nên trong quá trình giảng dạy cũng như đọc tài liệu tôi đã tập hợp được: “ Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng”

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính lôgic, lượng kiến thức rất rộng Bản thân mỗi người giáo viên, học sinh không phải ai cũng giỏi tất cả các chuyên đề, mà mỗi người có những sở trường riêng Một trong những chuyên đề mà tôi thấy học sinh, và ngay cả giáo viên đang còn lúng túng khi đi tìm ra lời giải Chuyên đề này cũng là chuyên đề mà tôi rất thích

Chính những lí do trên nên trong quá trình giảng dạy cũng như đọc tài liệu tôi đã tập hợp được:

“ Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng”

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

Với mục đích là cho học sinh biết được một số phương pháp để chứng minh ba điểm thẳng hàng Nội dung chủ yếu của bài viết này là một số kinh nghiệm của bản thân đã rút ra trong quá trình giảng dạy trực tiếp môn Toán tại trường THCS Bình Lương Qua mỗi bài tập tôi đã cho học sinh nhận xét, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài Sau đó gợi ý cho học sinh tìm nhiều cách giải Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung

Trong đề tài, tôi đã chọn lọc một số bài toán trong SGK và SBT, ngoài ra còn mở rộng đơn vị kiến thức trong một số bài trong đề thi vào 10 các năm và một số trong các tài liệu nâng cao Đề tài này áp dụng cho các đội tượng trung bình, khá (môn hình học) ở học sinh bậc THCS

II THỰC TRẠNG CỦA VIỆC CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.

- Việc bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi chưa có kế hoạch, hệ thống từ các lớp nhỏ đến lớp lớn Chỉ đến lớp 9 mới bắt đầu ôn cho các em

- Địa phương là vùng đặc biệt khó khăn (vùng 30A), vì vậy việc quan tâm đến học hành của các em còn hạn chế cả về tinh thần và vật chất

- Kiến thức của các em còn rỗng nhiều, đồ dùng học tập còn thiếu Kỹ năng vẽ hình, chứng minh đang còn hạn chế

- Dạng toán này khi đưa vào SGK dưới dạng bài tập, không đưa ra phương pháp chứng minh cụ thể và đầy đủ

Qua khảo sát chất lượng của 29 em ở trường THCS Bình Lương(nói riêng

về chuyên đề này) tôi thấy:

- Đa số các em chưa biết cách chứng minh ba điểm thẳng hàng

- Tỉ lệ yếu kém nhiều, khá giỏi ít

Bảng khảo sát trước khi nghiên cứu:

TT Số lượng

Mức độ hiểu bài của học sinh

1 Các giải pháp thực hiện.

- Qua các tiết dạy trên lớp, tiết ôn tập, tiết bồi dưỡng.

- Chọn phương pháp phù hợp với nội dung cơ bản của tiết dạy

- Qua các ví dụ minh hoạ cung cấp cho học sinh các phương pháp chứng minh

2 Các biện pháp để tổ chức thực hiện.

2.1 Lý thuyết.

- Học sinh được ôn tập về các kiến thức ở tất cả các khối lớp

2.2 Các phương pháp chứng minh.

Chú ý: Hình vẽ đóng vai trò quan trọng trong quá trình giải toán:

* Hình vẽ chính xác, rõ ràng giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải

+ Tránh vẽ vào trường hợp đặc biệt

+ Khi vẽ hình thì phải vẽ hết các trường hợp có thể của bài toán

+ Sau khi vẽ hình xong nên đánh dấu các giả thiết lên hình vẽ Như vậy việc chứng minh sẽ đơn giản hơn

a) Phương pháp 1: Sử dụng góc kề bù.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, kéo dài trung tuyến BD đến F sao cho DF = BD và

trung tuyến CE đến G sao cho CE = EG Chứng minh rằng: G, A, F thẳng hàng

Lời giải 1: Sử dụng cách 1: Ta đi chứng minh cho GAC + FAC = 1800

E

G

D

Chứng minh:

Xét AEG và BEC có: AE = EB ( gt ), cạnh EC = EG ( gt ) và AEG = 

BEC ( đối đỉnh )

=> AEG = BEC ( c.g.c) => GAB = CBA ( 2 góc tương ứng )

Tương tự: FAC = BCA

Suy ra: GAB + BAC + FAC = CBA + BAC + ACB = 1800 (Tính chất tổng ba góc trong tam giác) => ba điểm G, A, F thẳng hàng

Lời giải 2: Sử dụng cách 2.

Nhận xét: Ta nhận thấy AG và AF cùng song song vói BC Ta đi chứng minh.

Chứng minh:

Xét AEG và BEC có: AE = EB ( gt ), cạnh EC = EG ( gt ) và AEG = 

BEG

=> AEG = BEC( c.g.c)=> GAB = CBA (2 góc tương ứng) => GA // BC (1)

Tương tự: AF // BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra G, A, F thẳng hàng

Lưu ý: Nếu là HS lớp 8 lớp 9 ta có thể yêu cầu hs chỉ ra thêm một cách khác

nữa (chứng minh các tứ giác AGBC và AFCB là các hình bình hành => có các cạnh song song => góc so le bằng nhau => rồi cũng đi đến kết luận ở cách 1)

b) Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-clit (Chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm nằm ngoài đường thẳng và song song với đường thẳng đó).

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Các tia phân giác của góc A và D

cắt nhau ở I, tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở J Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC Chứng minh rằng: Bốn điểm M, N, I, J thẳng hàng

Lời giải:

C D

1 2

1

Nhận xét: - Nhận thấy những đoạn thẳng đi qua 2 trong 4 điểm M, N, I, J song

song với CD Ta đi chứng minh

- Bài toán có liên quan đến trung điểm của một đoạn thẳng nên ta nghĩ đến kiến thức đường trung bình trong tam giác và trong hình thang

Chứng minh:

Kéo dài AI cắt CD tại P Ta có: A ˆ1 Aˆ2(gt) mà A ˆ2 Pˆ1( vì AB // CD) =>

)

ˆ

(

ˆ

ˆ

2

1

1 P A

A   =>ADP là tam giác cân Có DI là đường phân giác suy ra DI cũng là đường trung tuyến => I là trung điểm của AP

Vậy MI là đường trung bình của tam giác ADP => MI // DP hay MI // CD (1) Tương tự: NJ // CD (2)

Mặt khác MN là đường trung bình của hình thang ABCD suy ra MN // CD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra M, N, I, J thẳng hàng

Kết luận: Qua ví dụ 1 và ví dụ 2 ta thấy: Ta sẽ nghĩ đến cách 2 nếu trong hình

vẽ mà có đường thẳng song song với đường thẳng đi qua 2 trong 3 điểm cần chứng minh thẳng hàng

c) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông.

Ví dụ 3: Cho đường tròn ( O ), đường kính AB Kẻ hai dây cung AC và BD

song song với nhau Chứng minh rằng: C, O, D thẳng hàng

Lời giải:

A

C

D

B O

Nhận xét: Ta thấy ba điểm C, O, D không những thẳng hàng mà điểm O có vị

trí đặc biệt là trung điểm của CD Và CD là đường chéo của hình chữ nhật ACBD ( dự đoán ) Ta sẽ chứng minh cho ACBD là hình chữ nhật

Chứng minh:

Ta có: ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vì AC // BD => ADB = DAC = 900 ( 2 góc trong cùng phía)

Tương tự: ACB = CBD = 900

Vậy ACBD là hình chữ nhật ( có 3 góc vuông ) Mà O là trung điểm của AB, suy ra O cũng là trung điểm của CD => C, O, D thẳng hàng

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, có O là điểm bất kỳ trong tam giác Gọi L, M, N,

D, E, F lần lượt là trung điểm của AO, BO, CO, BC, AC, AB Gọi I là giao điểm của DL và NF Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, M thẳng hàng

Lời giải:

A

E

D

L

N

I

M

Nhận xét: - Ta dự đoán thấy ba điểm E, I, M không những thẳng hàng mà điểm

I có vị trí đặc biệt là trung điểm của ME Và ME là đường chéo của hình bình hành EFMN Ta sẽ chứng minh cho EFMN là hình bình hành

- Bài toán có liên quan đến trung điểm của một đoạn thẳng nên ta nghĩ đến kiến

thức đường trung bình trong tam giác.

Chứng minh:

Xét OAB có: OL = AL (gt) và ON = NC (gt) => NL là đường trung bình của tamgiác OAB

=> NL // AC và NL =

2

1

AC (t/c đường trung bình) (1)

Tương tự: DF // AC và DF =

2

1

AC (2)

Từ (1), (2) => NL = DF (=

2

1

AC) và NL // DF (cùng // AC) => DFLN là hình bình hành => DL và NF cắt nhau tại trung điểm I mỗi đường

Tương tự ở trên thì EFMN là hình bình hành Mà I là trung điểm của NF => I cũng là trung điểm của ME hay M, I, E thẳng hàng

d) Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A Phân giác BD và CE Gọi I, J lần lượt là

trung điểm của BC và ED Gọi O là giao điểm của BD và CE Chứng minh rằng: a) BEDC là hình thang cân

b) BE= ED = DC

c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng

Giải:

A

C

J

1

1 2

2

1

2

O

a) Ta có: ABC cân => B = C => C1 = B1 (=

2

1

Cˆ =

2

1

Bˆ )

Xét ABD và ACE có: AB = AC (gt), A chung và B1 = C1 (c/m trên) => ABD = ACE => BD = CE(1) và AE = AD =>

AC

AD AB

AE

 (vì AB = AC)

=> ED // BC (định lí đảo của định lí ta-let) => BEDC là hình thang có BD = CE (c/m trên) => BEDC là hình thang cân

b) Có ED // BC => D1 = B2 mà B2 = B1 => D1 = B1 => BED cân

=> BE = ED

Mặt khác: BE = DC (BEDC là hình thang cân) Vậy BE = ED = DC

c) Lời giải 1:

Nhận xét: Nhận thấy có thể 4 điểm A, J, O, I cách đều 2 đầu mút B và C của

đoạn thẳng BC Ta đi chứng minh cả bốn điểm đều nằm trên đường trung trực của BC

Chứng minh: ABC cân => AB = AC => Điểm A thuộc đường trung trực của

BC (1)

Ta có: BEJ = CDJ ( vì BE = CD; BED = CDE do BEDC là hình thang cân, và EJ = DJ )

=> JB = JC => Điểm J thuộc đường trung trực của BC (2)

BOC cân (C2 = B2) => OB = OC => Điểm O thuộc đường trung trực của

BC (3)

Vì IB = IC => điểm I thuộc đường trung trực của BC (4)

Từ (1), (2), (3), (4) => Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng

Lời giải 2:

Chứng minh: Ta có:

- ABC cân tại A, có AI là đường trung tuyến => AI cũng là đường phân giác của BAC (4)

- Xét ABC có O là giao điểm của 2 tia phân giác BD và CE => AO là tia phân giác của BAC (5) (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

- AED cân tại A, có AJ là đường trung tuyến => AJ là đường phân giác của 

BAC (6)

Từ (4), (5), (6) => Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng

Ví dụ 6: Cho góc xOy bằng 900 Lấy điểm M thuộc tia Ox, hai điểm A và B thuộc tia Oy Đường thẳng đi qua A và vuông góc với AM cắt đường thẳng đi qua B và vuông góc BM tại P Gọi H là giao điểm của AP và MB Gọi K là giao điểm của AM và BP Gọi I, E, N lần lượt là trung điểm của MP, AB và KH Chứng minh rằng ba điểm I, E, N thẳng hàng

A

M

N

K

H B

O

I E

x

Giải: Xét  vuông PBM có BI là đường trung tuyến => BI =

2

1

PM (1)

Tương tự AI =

2

1

PM (2).Vậy AI = BI => I thuộc đường trung trực của AB Tương tự thì N thuộc đường trung trực của AB

EA = EB => E thuộc đường trung trực của AB

Vậy ba điểm I, E, N thẳng hàng (cùng thuộc vào đường trung trực của AB)

Kết luận:

- Trong trường hợp mà hình vẽ có đoạn thẳng nhận đường thẳng đi qua 2 trong các điểm cần chứng minh thẳng hàng làm đường trung trực ta sẽ sử dụng cách ở vd 6

- Trong trường hợp mà hình vẽ có đường thẳng đi qua 2 trong các điểm cần chứng minh thẳng hàng là tia phân giác của một góc ta sẽ sử dụng cách ở

vd 5

e) Phương pháp 5: Sử dụng các đường đồng quy trong tam giác.

Ví dụ 7: Trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC và về phía ngoài của tam

giác, dựng các hình vuông ABDE, ACPG Từ E và G kẻ EI // AG và GI // AE Đường cao AH

a) Chứng minh rằng: I, A, H thẳng hàng

b) Gọi giao điểm của BP và CD là O Chứng minh rằng: H, A, O thẳng hàng Giải:

A

D

E

I

G

P

H

O

N M

1

2

3

1

2

4

Q

a) Ta có: EI // AG và GI // AE => AGIE là hình bình hành => IEA + 

EAG = 1800 (1)

Mặt khác:EAG + EAB + BAC + CAG = 3600 , mà EAB = CAG =

900

suy ra: EAG + BAC = 1800 (2)

Từ (1), (2) suy ra: IEA = BAC

Xét EAI và ABC có: IE = AC (= AG), EA = AB và IEA = BAC (vừa c/ m)

=> EAI= ABC (c.g.c) => A1 = ABC (2 góc tương ứng) (3)

Mà: ABC + A3 = 900 (4)

Từ (3), (4) => A1 + A3 = 900 => A1 + A3 + A2 = 900 + 900 = 1800 Hay I, A, H thẳng hàng

b) Ta chứng minh cho CD, BP và IH là 3 đường cao trong tam giác IBC Gọi Q là giao điểm của IH và CD

Gọi M là giao điểm của IB và DC, gọi N là giao điểm của IC va BP

Ta có: BAI = A1 + A2 = A1 + 900 (5)

DBC = DBA + ABC = 900 + ABC (6)

Từ (3), (5), (6) => BAI = DBC

Xét BAI và DBC có: BAI = DBC (c/m trên), BA = DB (gt), AI = BC (vì EAI = ABC)

=> BAI = DBC (c.g.c) => BIA = BCD

Xét QHC có: BCD + Q2 = 900 => BIA + Q2 = 900 mà Q2 = Q1

=> BIA + Q1 = 900 (7)

Tam giác MIF có: BIA + Q1 + IMQ = 1800 (8)

Từ (7) và (8) suy ra IMQ = 900 hay CM  IB => CM là đường cao của 

IBC

Tương tự ta có: BN là đường cao của tam giác IBC

Xét IBC có CM và BN là các đường cao cắt nhau ở O => Điểm O cũng thuộc vào đường cao IH => H, I, O thẳng hàng

Mà: I, A, H thẳng hàng => H, A, O thẳng hàng

Kết luận: Nếu ta thấy trong hình vẽ mà 3 điểm cần chứng minh thẳng hàng

cùng nằm trên một trong các loại đường(đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) ta sẽ nghĩ đến phương pháp này

g) Phương pháp 6: Sử dụng góc bằng nhau.

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vuông ở A, cạnh huyền BC = 2 AB Lấy D là điểm

thuộc cạnh AC sao cho: ABD =

3

1

ABC Gọi E là điểm trên cạnh AB sao cho ACE =

3

1

ACB Gọi F là giao điểm của BD và CE Gọi G và H theo thứ

tự là các điểm đối xứng của F qua BC và AC Chứng minh rằng: Ba điểm H, D,

G thẳng hàng

C

D

G I

E

Chứng minh:

Xét ABC ta có: Sin C =

2

1



AB

AB BC

AB

=> ACB = 300 => ABC = 600 =>

ABD =

3

1

ABC= 200 và ACE =

3

1

ACB = 100 Vậy CBD = 400

H, F đối xứng nhau qua AC => AC là đường trung trực của HF => CH = CF =>

CHF là tam giác cân, có CA là đường cao => CA là đường phân giác =>  HCA = ACE = 100

Tương tự: CF = CG và BCE = BCG = 200

Vậy CH = CG (= CF) =>CHG cân có :HCG = HCA + ACB + BCG =

100 + 300 + 200 = 600

=> CHG là tam giác đều => CHG = 600 (1)

Ta có: CH = CF; DH = DF và DC chung => CHD = CFD (c.c.c)

=> CHD = CFD Mà CFD = BFE (đối đỉnh) (2)

Mặt khác: BFC thì: BFE = BCE + CBD = 200 + 400 = 600 (3)

Từ (2), (3) suy ra CHD = 600 (4)

Từ (3) và (4) suy ra H, D, G thẳng hàng

h) Phương pháp 7: Phương pháp chứng minh hai góc đối đỉnh.

Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) sao cho AB  CD AC là phân giác của góc BAD Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của điểm C trên AB, BD, AD Chứng minh H, I, K thẳng hàng.

Giải:

A

C

H

K I

O

Ta có: CID = CKD =900  Tứ giác CIKD nội tiếp đường tròn đường kính CD

 KID = KCD (cùng chắn một cung) (1)

Ta có: CIB = CHB = 900  Tứ giác CHBI nội tiếp đường tròn đường kính BC

 BIH = BCH (cùng chắn một cung) (2)

Vì AC là phân giác của BAD CH = CK (3)

và cung nhỏ BC = cung nhỏ CD  BC = CD (4)

CHB = CKD (5)

Từ (3), (4) và (5)  BHC = DKC  BCH = KCD(5)

Từ (1) ,(2) và (5)  KID = BIH mà B, I, D thẳng hàng Ba điểm H, I, K thẳng hàng

3 Một số bài tập vận dụng.

Câu 1: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó Chứng minh rằng

ba điểm A, B, C thẳng hàng

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường trung tuyến AM Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB và AC Chứng minh rằng: E, A, F thẳng hàng

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi H và K là chân đường vuông góc lần lượt kẻ từ A và C đến đường chéo BD Gọi O là trung điểm của HK Chứng minh rằng: A, O, C thẳng hàng

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông ở A Lấy điểm M là một điểm thuộc cạnh BC Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm của DE Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng

Câu 5: Cho hình thoi ABCD tâm O Gọi E là điểm đối xứng của A qua B, ED cắt AC ở I và BC ở F Gọi G và H theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng OE và BC; OF và CE Chứng minh rằng: Ba điểm A, G, H thẳng hàng Câu 6: Cho tam giác ABC có góc nhọn B và B = 2Cˆ Dựng đường cao AH Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH Gọi I là trung điểm của

AC Chứng minh rằng: Ba điểm E, H, I thẳng hàng

Câu 7: Cho 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O, trên đường thẳng a đặt liên tiếp

3 đoạn thẳng OA = AB = BC Trên đường thẳng b đặt liên tiếp 3 đoạn LO = OM

= MN Gọi I là giao điểm của MC và AL Chứng minh rằng: Ba điểm N, I, B thẳng hàng

Câu 8: Cho tam giác ABC có các đường cao AA,, BB,, CC, Chiếu A, lên AB,

AC, BB,, CC, Chứng minh rằng: Bốn điểm I, J, K, L thẳng hàng

Câu 9: Cho hình bình hành ABCD ; gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh

BC và DC Gọi E là điểm đối xứng của A qua H Chứng minh D, C, E thẳng hàng.

Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD ; O là giao điểm 2 đường chéo, trên đường chéo AC lấy điểm M bất kỳ (M không trùng O) Gọi N là điểm đối xứng của B qua M Từ N kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng CD tại F, vẽ

NE vuông góc với AD tại E Chứng minh : Ba điểm E, F, M thẳng hàng

Câu 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AB  BC Trung tuyến

AM, phân giác AD Gọi E là giao điểm của AD với (O) Chứng minh rằng : Ba điểm O, M, E thẳng hàng

Câu 12: Gọi AH là đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ABC Gọi

O, I, J lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp trong các tam giác ABC, ABH và AHC Chứng minh : O, I , B thẳng hàng và O, J, C thẳng hàng

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A Dựng ra miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK và ACDE Chứng minh H, A, D thẳng hàng

Câu 14: Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và A'B' Các tiếp tuyến chung trong CD và EF Các điểm A, A', C, E