Thuyết trình chương 13 mô phỏng lịch sử và thuyết giá trị cực đại

1 – phương pháp mô phỏng lịch sửMô phỏng lịch sử là việc sử dụng các thay đổi hàng ngày trong các giá trị của các biến đã được quan sát trong quá khứ theo cách trực tiếp để ước lượng sự

CHƯƠNG 13

MÔ PHỎNG LỊCH SỬ

VÀ THUYẾT GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI

GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Quốc Bảo

Thành viên nhóm:

1 Châu Thúy Duy

2 Lê Thị Thu Thảo

NỘI DUNG

1 phương pháp mô phỏng lịch sử (phương pháp luận, độ chính xác,

mở rộng)

2.Thuyết giá trị cực đại

1 – phương pháp mô phỏng lịch sử

Mô phỏng lịch sử là việc sử dụng các thay đổi hàng ngày

trong các giá trị của các biến đã được quan sát trong quá khứ theo cách trực tiếp để ước lượng sự thay đổi giá trị của danh mục hiện tại giữa ngày hôm nay và ngày mai

Giả sử chúng ta muốn tính toán VaR cho một danh mục đầu tư sử dụng trong một ngày, độ tin cậy 99%, và dữ liệu thu thập trong 501 ngày)

1 – phương pháp mô phỏng lịch sử

Bước 1: xác định các biến số thị trường ảnh hưởng đến danh mục đầu tư (tỷ giá hối đoái, lãi suất, chỉ số chứng khoán, v.v), sau đó thu thập dữ liệu về sự biến động của các biến thị trường này trong 501 ngày gần nhất Điều này cung cấp 500 kịch bản thay thế cho những gì có thể xảy ra giữa ngày hôm nay và ngày mai

Bước 2: Diễn đạt cách tiếp cận bằng đại số

Giá trị kịch bản i th = v n

Bước 3: Sắp xếp các kịch bản theo thứ tự tổn thất giảm dần

Bước 4: Tính Var, ES

VÍ DỤ: giả sử rằng một nhà đầu tư trong Hoa Kỳ vào ngày 25 tháng 9 năm

2008 sở hữu một danh mục đầu tư trị giá 10 triệu USD bao gồm các khoản đầu tư vào bốn chỉ số chứng khoán: Dow Jones (DJIA) ở Hoa Kỳ, FTSE 100 ở Vương quốc Anh, CAC 40 ở Pháp, và Nikkei 225 tại Nhật Bản Giá trị của khoản đầu tư vào mỗi chỉ số vào ngày 25 tháng 9, 2008, được thể hiện trong Bảng sau:

INDEX PORTFOLIO VALUE ($000S)

Ngày 25 tháng 9 năm 2008, là một ngày thú vị để lựa chọn trong việc đánh giá vốn đầu tư Sự hỗn loạn trong thị trường tín dụng, bắt đầu vào tháng 8 năm 2007, đã hơn một năm tuổi Giá cổ phiếu giảm mạnh trong vài tháng qua,

sự biến động thị trường tăng lên Lehman Brothers đã bỏ trốn vì phá sản 10 ngày trước đó Chương trình mua lại các tài sản tài chính có rủi ro cao trị giá

700 tỷ USD chưa được Quốc hội Hoa Kỳ thông qua

 Giá trị vốn đầu tư vào ngày mai sẽ còn bao nhiêu, trong trường hợp xấu nhất họ sẽ

lỗ bao nhiêu tiền?

Ta có:

Giá trị của DJIA là 11,022.06 vào ngày 25 tháng 9 năm 2008 ngày 7 tháng 8 năm

2006 nó là 11,219.38, ngày 8 tháng 8 năm 2006 là 11,173.59 Do đó giá trị của DJIA trong Kịch bản 1 là:

11,022.06 x = 10,977,08

Tương tự, giá trị của FTSE 100, CAC 40, và Nikkei 225 (đo bằng Đô la Mỹ) lần lượt là 9,569.23 , 6,204.55 và 115.05 Do đó giá trị của danh mục đầu tư trong Kịch bản 1 là:

Tổn thất cho 500 kịch bản khác nhau sau khi được tính toán sẽ được được xếp hạng theo thứ tự tổn thất giảm dần, kết quả của việc này được thể hiện trong Bảng 13.4 Tình huống tồi tệ nhất là số 494

 ES sẽ là trung bình số học của phần đuôi tổn thất (5 tổn thất lớn nhất) và có giá trị là $ 327,181

Với độ tin cậy 99% Var trong một ngày có thể được ước tính là tổn thất tồi tệ nhất thứ năm và có giá trị là $ 253,385.

VAR TĂNG CƯỜNG VÀ ES TĂNG CƯỜNG

Ở các tính toán cho trước, phương pháp mô phỏng lịch sử sữ dụng dữ liệu vào bất

kỳ ngày nào gần đây nhất Ví dụ, khi tính VaR và ES cho ví dụ 4 chỉ số, tác giả đã

sử dụng dữ liệu từ 501 ngày liền ngay trước đó Tuy nhiên, các chu kỳ biến động cao sẽ có xu hướng mang lại giá trị cao cho VaR và ES, trong khi những khoảng thời gian biến động thấp sẽ có xu hướng mang lại giá trị thấp

VaR tăng cường và ES tăng cường được sử dụng để khắc phục hạn chế trên Để tính toán VAR và ES chúng ta phải tìm kiếm khoảng thời gian 251 ngày mà VaR hoặc

ES lớn nhất Dữ liệu cho khoảng thời gian 251 ngày đó đóng vai trò tương tự như khoảng thời gian 501 ngày trong ví dụ trên Sự thay đổi trong các biến thị trường giữa ngày 0 và ngày 1 của thời kỳ 251 ngày được sử dụng để tạo ra kịch bản đầu tiên; các biến đổi thị trường giữa ngày 1 và ngày 2 của thời kỳ 251 ngày được sử dụng để tạo ra kịch bản thứ hai; và như vậy tổng cộng có 250 kịch bản được tạo ra VaR tăng cường trong một ngày với độ tin cậy 99% có thể được tính toán như là tổn thất giữa kịch bản xấu thứ hai và kịch bản xấu thứ ba ES tăng cường với độ tin cậy 99% trong một ngày có thể được tính như 0.4c1 + 0.4c2 + 0.2c3 trong đó c1, c2 và c3 là ba tổn thất tồi tệ nhất với c1> c2> c3

ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA VAR

Phương pháp mô phỏng lịch sử ước tính sự phân bố của sự thay đổi danh mục đầu

tư từ một số lượng hạn chế các quan sát Kết quả là, các ước tính của phần trăm phân phối có thể bị lỗi

Kendall và Stuart (1972) đã mô tả làm thế nào để tính toán một khoảng tin cậy cho phần trăm phân bố xác suất khi nó được ước tính từ dữ liệu mẫu Giả sử với độ tin cây q% của phân phối được ước tính là x Sai số chuẩn của ước tính là

trong đó n là số quan sát và f (x) là hàm mật độ xác suất của tổn thất của x

Nếu ước tính Var với độ tin cậy 99% bằng cách sử dụng mô phỏng lịch sử là 25

triệu đô la, khoảng tin cậy 95% từ 25 - 1,96 x 1,67 lên 25 + 1,96 x 1,67, tức là từ 21,7 triệu đô la đến 28,3 triệu đô la

MỞ RỘNG

Giả thiết chính trong phương pháp mô phỏng lịch sử là lịch sử gần đây có ý nghĩa là một hướng dẫn tốt cho tương lai Chính xác hơn, sự phân bố xác suất thực nghiệm ước tính cho các biến số thị trường trong vài năm qua là một hướng dẫn tốt cho hành vi của các biến thị trường trong ngày hôm sau Tuy nhiên, hành vi của các biến thị là không ổn định Đôi khi sự biến động của một biến thị trường là cao; đôi khi nó là thấp Trong phần này, chúng tôi đề cập đến các mở rộng của phương pháp mô phỏng lịch sử cơ bản trong Phần 13.1 được thiết kế để điều chỉnh cho sự không ổn định

phương pháp mô phỏng lịch sử cơ bản giả định mỗi ngày trong quá khứ đều có ảnh hưởng như nhau đối với dự báo hiện tại Tức là nếu có n quan sát, mỗi một trong số

chúng có trọng số là 1 / n Boudoukh, Richardson, và Whitelaw (1998) gợi ý rằng cần

quan sát nhiều hơn trong thời gian gần đây vì chúng có ảnh hưởng nhiều hơn đến sự biến động hiện tại và các điều kiện kinh tế vĩ mô hiện tại

Trọng số λ được gán cho Kịch bản, vì vậy trọng số cho kịch bản i là:

MỞ RỘNG

Giả thiết chính trong phương pháp mô phỏng lịch sử là lịch sử gần đây có ý nghĩa là một hướng dẫn tốt cho tương lai Chính xác hơn, sự phân bố xác suất thực nghiệm ước tính cho các biến số thị trường trong vài năm qua là một hướng dẫn tốt cho hành vi của các biến thị trường trong ngày hôm sau Tuy nhiên, hành vi của các biến thị là không ổn định Đôi khi sự biến động của một biến thị trường là cao; đôi khi nó là thấp Trong phần này, chúng tôi đề cập đến các mở rộng của phương pháp mô phỏng lịch sử cơ bản trong Phần 13.1 được thiết kế để điều chỉnh cho sự không ổn định - gọi là phương pháp bootstrap

phương pháp mô phỏng lịch sử cơ bản giả định mỗi ngày trong quá khứ đều có ảnh hưởng như nhau đối với dự báo hiện tại Tức là nếu có n quan sát, mỗi một trong số chúng có trọng số là 1 / n

Boudoukh, Richardson, và Whitelaw (1998) gợi ý rằng cần quan sát nhiều hơn trong thời gian gần

đây vì chúng có ảnh hưởng nhiều hơn đến sự biến động hiện tại và các điều kiện kinh tế vĩ mô hiện tại

λ được gán cho Kịch bản, vì vậy trọng số cho kịch bản i là:

trong đó n là số kịch bản Tham số λ được lựa chọn bằng cách thử các giá trị khác nhau và xem xét

lại tham số nào là tốt nhất (back test best), trong ví dụ của chúng ta, tham số λ tốt nhất được lựa

chọn là 0,995

• Phương pháp bootstrap là một biến thể của cách tiếp cận mô phỏng lịch sử cơ bản, nhằm tính toán khoảng tin cậy cho VaR Nó liên quan đến việc tạo ra một bộ thay đổi trong giá trị danh mục đầu tư dựa trên các biến động trong lịch sử của các biến thị trường theo cách thông thường sau đó lấy mẫu thay thế từ những thay đổi này để tạo nhiều bộ

dữ liệu tương tự mới và tính VaR cho mỗi bộ dữ liệu mới

• có khả năng tính VaR rất chính xác và thường áp dụng cho danh mục đầu tư bao gồm chứng khoán phi tuyến (quyền chọn)

PHƯƠNG PHÁP BOOTSTRAP

1 Mô phỏng một số lượng rất lớn N bước lặp, N>1,000

2 Cho mỗi bước lặp i, i<N

2.1 Tạo ngẫu nhiên một kịch bản được căn cứ trên một phân bố xác suất về những

hệ số rủi ro (giá trị cổ phiếu, tỷ giá hối đoái, tỷ suất, vv) mà ta nghĩ rằng chúng mô tả

những dữ liệu quá khứ (historical data) Ví dụ ta giả sử mỗi hệ số rủi ro được phân bố

chuẩn với kỳ vọng là giá trị của hệ số rủi ro ngày hôm nay Và từ một tập hợp số liệu thị trường mới nhất và từ mô hình xác suất trên ta có thể tính mức biến động của mỗi hệ số rủi ro và mối tương quan giữa các hệ số rủi ro

2.2 Tái đánh giá danh mục đầu tư V i trong kịch bản thị trường trên

2.3 Ước tính tỷ suất sinh lợi (khoản lời/lỗ) r i = V i − V i−1 (giá trị danh mục đầu tư ở

bước i−1)

3 Xếp các tỷ suất sinh lợi r i theo thứ tự giá trị từ thấp nhất đến cao nhất

4 Tính VaR theo độ tin cậy và tỷ lệ phần trăm (percentile) số liệu r i Ví dụ: nếu ta mô phỏng 500 kịch bản và nếu độ tin cậy là 95%, thì VaR là giá trị thứ 25 Nếu độ tin cậy

là 99%, VaR là giá trị thứ 5

5 Đồng thời tính sai số tương ứng cho mỗi VaR, nếu số lượng N càng cao thì sai số

càng nhỏ

PHƯƠNG PHÁP BOOTSTRAP

Ví dụ:

chúng ta có 500 ngày dữ liệu Chúng ta có thể lấy mẫu với số lần thay thế 500.000 lần từ dữ liệu để có được 1.000 bộ dữ liệu khác nhau trong 500 ngày Chúng ta tính toán VaR cho mỗi bộ Sau đó chúng ta xếp hạng VaRs Giả sử VaR lớn thứ 25 là 5,3 triệu đô la và VaR lớn thứ 975 là 8,9 triệu đô la Khoảng tin cậy 95% cho VaR là 5,3 triệu USD đến 8,9 triệu USD Thông thường, chiều rộng của khoảng tin cậy được tính cho VaR bằng cách sử dụng phương pháp bootstrap ít hơn

so với tính toán bằng cách sử dụng phương pháp mô phỏng lịch sử trong phần trước

THUYẾT CỰC TRỊ

Thuyết cực trị (EVT) là thuật ngữ được sử dụng để mô tả khoa học về ước tính đuôi của một phân bố EVT có thể được sử dụng để cải thiện ước tính VaR và hỗ trợ trong những trường hợp các nhà phân tích ước tính VaR với mức độ tin cậy rất cao EVT là một cách

để làm phẳng (nhẵn, san bằng) và ngoại suy các đuôi của một phân bố thực nghiệm

Giả sử rằng F(v) là hàm phân phối tích luỹ cho một biến v (như sự mất mát của một danh mục đầu tư trong một khoảng thời gian nhất định) và u là một giá trị v ở đuôi bên tay phải của phân phối Xác suất nằm giữa u và u + y (y > 0) là F(u + y) - F(u) Xác suất v lớn hơn u là 1 - F(u) Xác định là xác suất nằm giữa u và u + y có điều kiện v >

u Đây là

Biến xác định đuôi bên phải của phân bố xác suất Đây là sự phân bố xác suất tích lũy cho số tiền mà v vượt quá u

THUYẾT CỰC TRỊ

Kết quả của Gnedenko chỉ ra rằng, đối với một lớp phân phối rộng F(v), sự phân phối của hội tụ đến sự phân bố Pareto tổng quát khi ngưỡng u tăng lên Sự phân bố Pareto tổng quát (tích luỹ) là

(13.5)

Phân phối có hai tham số cần được ước tính từ dữ liệu Hai tham số này là ξ và β Tham

số ξ là tham số hình dạng và xác định độ nặng của đuôi phân bố Tham số β là một

tham số quy mô

Khi biến dưới v có phân phối chuẩn, ξ = 0 Khi đuôi phân bố trở nên nặng hơn, giá trị của ξ tăng lên Đối với hầu hết các dữ liệu tài chính, ξ mang giá trị dương và nằm trong khoảng từ 0,1 đến 0,4

Khi ξ = 0, sự phân bố Pareto tổng quát sẽ trở thành

Một trong những tính chất của sự phân bố trong phương trình (13.5) là kth moment của

v, E (vk), là vô hạn đối với Đối với một phân bố bình thường, tất cả các khoảnh khắc đều có giới hạn Khi ξ = 0,25, chỉ có ba khoảnh khắc đầu là hữu hạn; khi ξ = 0.5, chỉ có thời điểm đầu tiên là hữu hạn; và tương tự như vậy

THUYẾT CỰC TRỊ

THUYẾT CỰC TRỊ