Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước

III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận. Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao). Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán được đặt ra. 2. Nội dung. 2.1. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng. a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)  Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α).  Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc với (α))  Tìm giao điểm H của MH và (α).  Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếu H của M lên (α), dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ M’. b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:  Viết phương trình tham số của d  Gọi H d  có tọa độ theo tham số t khi du MH 0   H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d  Tìm t, suy ra tọa độ của H. 2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước. Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, ..An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phăn̉g (α). Tim̀ điểm M trên đươǹg thẳng d hay mặt phăn̉g (α) sao cho 11 2 2 ... nn k MA k MA k MA    có giá trị nhỏ nhất. Lời giải:  Tìm điểm I thỏa 11 2 2 n n k IA + k IA +...+ k IA 0   Biến đổi . 1 1 2 2 n n 1 2 n k MA + k MA +...+ k MA = (k + k +...+ k )MI = k MI .  Tìm vị trí của M khi MI đạt giá trị nhỏ nhất Giải: 1) Gọi điểm I thỏa .IA + IB = 0. thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4) Ví dụ 1: Cho đường thẳng   x 4 y+1 z d : = = 1 1 1 và hai điểm   A 0;1;5 ,   B 0;3;3 . Tìm điểm M trên d sao cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất. 2) MA 4MB có giá trị nhỏ nhất. Khi đó MA + MB MI + IA + MI IB 2 MI    có giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d. Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1), phương trình tham số d:x = 4 + t y = 1 + t z = t 

III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không

áp đặt ngay kiến thức nâng cao)

Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán được đặt

ra

2 Nội dung

2.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng

a Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)

góc với (α))

 Tìm giao điểm H của MH và (α)

trung điểm suy ra tọa độ M’

b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:

 Viết phương trình tham số của d

 Gọi H d có tọa độ theo tham số t

khi u MHd 0

 H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d

 Tìm t, suy ra tọa độ của H

2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước

Bài toán 1: Cho n điểm A1 , A 2, A n , với n số k 1 , k 2 ,.,k n thỏa k 1 + k 2 + ….+k n = k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α) sao cho k MA1 1 k MA2 2  k MA n n

có giá trị nhỏ nhất

1) Gọi điểm I thỏa IA + IB = 0. thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4)

Ví dụ 1: Cho đường thẳng   x- 4 y+1 z

1 1 1 và hai điểm A 0;1;5  , B 0;3;3  Tìm điểm

M trên d sao cho

1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất

2) MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất

Khi đó MA + MB  MI + IA + MI IB 2 MI có giá trị nhỏ nhất

<=> MI nhỏ nhất <=> M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d

Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d:

5 5 khi M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng

d thì JM.u 0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1

Vậy M( 5; 0; 1) thì MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất

Giải:

1) Gọi điểm G thỏa GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm của tam giác ABC và G(0;-2;1)

Ta có MA + MB MC = MG + GA + MG GB MG GC   = 3 MG có giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α)

MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto chỉ phương

Phương trình tham số MG

4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0 17t 17    0 t 1

Vậy với M(-2; 0; -2) thì MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất

2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2IB 3IC 0

Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm A 1;0;1  , B -2;1;2  ,C 1;-7;0 

Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :

1) MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất

2) MA -2MB 3MC có giá trị nhỏ nhất

y = -2t

23

z = +3t2

- Nếu k 1 + k 2 + ….+ k n = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất

- Nếu k 1 + k 2 + ….+ k n = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏ nhất

Giải:

1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa

IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và

Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp nα (1; 2; 2)

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1),

B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất

2) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất

Phương trình tham số MI:

x = 2+t3

y = + 2t23

z = +2t2

JA  JB  JC không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất khi MJ nhỏ nhất hay M là hình chiếu của

J trên mặt phẳng (α)

Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp nα (1; 2; 2)

Phương trình tham số MJ:

1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2 IB = 0

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình: x-1 = y-2 = z-3

1 2 1 và các điểm A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm điểm M trên d sao cho

1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất

2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất

Xét hàm số f t( )  6 – 8 5, t2 t  tR

Có đạo hàm '( ) 12t – 8 , '( ) 0 2

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm A,B không thuộc (α)

Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α)

Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α)

Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB (1; 1;0)  làm vecto chỉ phương

Phương trình tham số của AB:

2

2

x t

y t z

1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một phía của (α)

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A’B với (α)

Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận n (1; 1; 2) làm vecto chỉ phương

Phương trình tham số AA’:

12

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:x – 2y

– 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho

MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm A(1; 2;-1), B(3;

1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M trên d sao cho

1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) MA - MC có giá trị lớn nhất

1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0  6t – 3 = 0 hay t =1 H( ; ; 0)3 3

Do H là trung điểm AA’ nên

' ' '

Phương trình tham số A’B:

5 5 thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất

2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α)

Ta thấy MA - MC  MA' - MC A'C

Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α)

Đường thẳng A’C có vtcp A'C ( 1; 3; 3)   

Phương trình tham số A’C:

4 4 4 thì MA - MC có giá trị lớn nhất

Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M trên đường thẳng

d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

1 Nếu d và AB vuông góc với nhau

Ta làm như sau:

- Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d

- Tìm giao điểm M của AB và (α)

- Kết luận M là điểm cần tìm

2 Nếu d và AB không vuông góc với nhau

Ta làm như sau:

- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t

- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB

- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t

- Tính tọa độ của M và kết luận

Giải:

Đường thẳng d có phương trình tham số

1 2

2 23

Ta có u CD = 14 -10 – 4 = 0  d CD

Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d

(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u (2; 2;1)  làm vecto pháp tuyến

Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0

Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d và mp(P)

Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:

Ta có [ ,AB]OAi = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên AB và Ox chéo nhau

Phương trình tham số của Ox: 0

0

x t y z

Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất

Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các điểm Mt(t; 0) Ox và hai điểm At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt +

MtBt

Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At qua Ox

Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – 7 = 0

S = MtAt + MtBt nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox và At'Bt 3t - 7 = 0 hay t 7

3

 Vậy M( ; 0; 0)7

điểm cần tìm

Cách khác: Ta có thể tìm điểm M bằng phương pháp khảo sát hàm số

2 2 1 và hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3) Hãy

tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0) Hãy tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA +

MB đạt giá trị nhỏ nhất

Có đạo hàm  

f t

 

với điều kiện 2 ≤ t ≤ 3 ta có:





1 [2;3]

7 3

t t

 







 



Bảng biến thiên của hàm số f(t) :

t  7

3 

f’(t) - 0 +

f(t)  

38 10

3



Từ bảng biến thiên suy ra   7

min

3

f t f  

   = 38 10

3



Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng , đạt được tại 7

3

t , tức là M(7

3 ; 0; 0)

Giải:

Đường thẳng d có phương trình tham số

1 2

2 2 1

z t

 



  



  

 qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp u (2;2;1) và AB (2;3; 1) 

Ta có u CD = 4 + 6 – 1 = 9 ≠ 0 d không vuông góc với AB và

[u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6 d và AB chéo nhau

- Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), do AB không đổi nên 2p đạt giá trị nhỏ nhất khi MA +

MB đạt giá trị nhỏ nhất

Xét điểm M d M(1 2 ; 2+2 ;1 t t t), ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

f t t  t  t  t = (3t2)2 1 (3t1)24

Có đạo hàm

'( )

f t

Ví dụ 3: Cho đường thẳng   x-2 y-2 z -1

2 2 1 và hai điểm A(-1; 1; 1), B(1; 4; 0) Hãy tìm

điểm M trên d sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất

3 3 3 thì MA + MB đạt giá nhỏ nhất bằng 3 2

Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số thì việc tìm t sẽ đơn giản hơn

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1 ,d 2 chéo nhau Tìm các điểm M d 1 , N d 2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên

Lời giải:

- Viết phương trình hai đường thẳng dạng tham số

- Lấy Md1 và Nd2( tọa độ theo tham số)

- Giải hệ phương trình MN.u10và MN.u2 0 (u ,1 u là các 2

véctơ chỉ phương của d1 và d2 )

- Tìm tọa độ M, N và kết luận

Giải:

1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp u1 (1; 2; 1)

d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp u2  ( 7; 2;3)

Ta có [u ,1 u ]2 M M = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -1681 2 0

Hay d1 và d2 chéo nhau

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng

2) Tìm điểm Md1 và Nd2 sao cho độ dài MN ngắn nhất

2) Md1 và Nd2 sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dài đoạn vuông góc chung của

- Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB

- Tam giác MAB có diện tích S = 1AB.MH

2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MH

nhỏ nhất, hay MH là đoạn vuông góc chung của AB và d

Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u(1;1;0)

AB qua A(1; 2; 3) và AB(0; -2;-2) =2u1

với u1(0;1;1) là véc tơ chỉ phương của AB

Phương trình tham số AB

t t

Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH =2 3, AB = 2 2

Diện tích MAB 1AB.MH 6

và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1) Tìm điểm M trên d sao cho tam

giác MAB có diện tích nhỏ nhất

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:

y

t t

Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường

thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất

Giải:

- Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N

- Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R = MN khi và chỉ khi

MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox

Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u (0;1; 1) 

Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i(1;0;0)

[ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 0 nên d và Ox chéo nhau

2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng

Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B Viết phương trình mặt phẳng

(α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất

Lời giải:

Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (α), khi đó tam

giác ABH vuông tại H và khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB Vậy d(B; (α))

lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông

góc với AB

Giải:

(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D và vuông góc với DI

(α) nhận DI (2; 1; -5) làm vecto pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0

 2x + y – 5z + 15 = 0

Giải:

Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn nhất khi (α) qua B và vuông góc với AB

BA(1; 2; 2) là véctơ pháp tuyến của (α)

Phương trình (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) = 0 x + 2y + 2z – 1 = 0

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua A Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất

Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9

Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ sao

cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α), K là hình

chiếu vuông góc của A lên ∆

Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H ≡ K, khi đó (α) là mặt

phẳng đi qua ∆ và vuông góc với AK Hay (α) qua ∆ và vuông góc với

(ABC) có véctơ pháp tuyến n [AB,AC] ( 1;4; 5)   

(α) có véctơ pháp tuyến n [n, AB]     ( 9 6; 3) 3(3; 2;1)

Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0

 3x + 2y + z – 11 = 0

Giải:

1) d1 qua M1(2; 1; -1), có vtcp u1 (1; 2; 2)

d2 qua M2(0; 3; 1), có vtcp u2   ( 2; 4; 4)

Ta thấy u2  2u1 và M1d2 nên hai đường thẳng song song với nhau

2) Xét (α1) là mặt phẳng chứa d1 và d2 thì (α1) có véctơ pháp tuyến

n [u , M M ](8; 2;6)2(4;1;3)2n

Khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất khi (α) phải vuông góc với (α1)

Do đó (α) nhận [u , n ]1 2 (8; 11; 7)  là véctơ pháp tuyến, qua M1(2; 1; -1)

Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0

hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0

Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương

trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn

1) Chứng minh hai đường thẳng trên song song với nhau

2) Trong các mặt phẳng chứa d1, hãy viết phương trình mặt phẳng (α) sao cho khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm

trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi

A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong

(α) và vuông góc với AB

Gọi K là hình chiếu vuông góc của

B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi

K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai

điểm A, K

Giải:

Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến n (2; 2;1)

1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)

2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0   t 2 hay H(-2; 7; 3)

Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, H do vậy AH (1;4;6) là véc tơ chỉ phương của ∆ Phương trình của ∆:x+3 y-3 z +3

2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc với AB

∆ có véctơ chỉ phương u [AB, n ] (16;11; 10)

Phương trình của ∆:x+3 y-3 z +3

Do vậy d(D; ∆) lớn nhất khi ∆ nằm trong (α), qua C và vuông góc với CD

∆ có véctơ chỉ phương u [CD, n ]  (1; 8;5)

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3)

Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5) một khoảng :

1) Nhỏ nhất 2) Lớn nhất

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C(2; -1; 3), vuông góc với đường

thẳng d:x-3 y+2 z +5

1  2  3 và cách điểm D(4; -2; 1) một khoảng lớn nhất