MOT SO CONG THUC CHUONG 1 GIẢI NHANH TOÁN 12 VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

GIẢI NHANH TOÁN 12 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1. Quy tắc và công thức tính đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho      u u x v v x C ; ; : là hằng số . Tổng, hiệu:       u v u v . Tích:             uv u v v u C u C u . . . . . . Thương:                        u u v v u C C u v vu vu 22 . . . ,0 Đạo hàm hàm hợp: Nếu           x u x y f u u u x y y u ,. . Bảng công thức tính đạo hàm: Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp    C 0 (C là hằng số).       xx 1.       xx 1.      x x x2 11 ( 0)       xx x 1 0 2   1.. u u u              u u u u2 1 0        u uu u 0 2   xx sin cos     u u u sin .cos    xx cos sin     u u u cos .sin   x x2 1 tan cos      uu u2 tan cos    x x2 1 cot sin      uu u2 cot sin    xx ee     uu e u e .    xx a a a .ln     uu a u a a . .ln    x x 1 ln      uu u ln   1 log lna x xa       a u u ua log .ln Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:          ax b ad bc cx d cx d 2 . ;   c b c f e f a b a xx d e dax bx c dx ex f dx ex f 2 2 22 2                       2 .           TÀI LIỆU ÔN TẬP THPT QUỐC GIA 2018 SƯU TẦM VÀ BIÊN TẬP Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Trang 2 Đạo hàm cấp 2 : + Định nghĩa:     f x f x     + Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động    s f t tại thời điểm t0 là:      a t f t 00 . Một số chú ý:  Nếu hàm số   fx và   gx cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số      f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu      f x g x .  Nếu hàm số   fx và   gx là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số     f x g x . cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số     f x g x , không là các hàm số dương trên K.  Cho hàm số    u u x , xác định với    x a b ; và      u x c d ; . Hàm số   f u x   cũng xác định với    x a b ; . 2. Một số dạng thường gặp. 2.1. Xét tính đơn điệu của hàm số Cho hàm số   y f x  . Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số . Bước 2: Tính đạo hàm y giải phương trình 0 y tìm nghiệm và tìm các điểm mà y không xác định. Bước 3: Vẽ bảng biến thiên xét dấu đạo hàm y và kết luận. ( Dựa vào 3 định lí ở mục 1.1) Chú ý: Quy tắc xét dấu + Hàm bậc nhất   0y ax b, a    : các em nhớ qui tắc xét dấu“ Phải cùng, trái khác” + Hàm bậc 2:   2 0 y ax bx c, a     Nếu 0  thì dấu của y cùng dấu hệ số a. Nếu 0  thì các em nhớ quy tắc xét dấu “ trong trái ngoài cùng”. a) Hàm bậc ba Hàm bậc ba có dạng 32 y ax bx cx d     ( 0 a ). Ta có 232 y ax bx c    là tam thức bậc hai có 2 3 b ac    . Ta có bảng sau: a  Sự biến thiên của y    Đồng biến trên các khoảng   1; x và   2;x  ;  Nghịch biến trên khoảng   12 ; xx .  0   Đồng biến trên .    Nghịch biến trên các khoảng   1; x và   2;x  ;  Đồng biến trên khoảng   12 ; xx .  0   Nghịch biến trên . MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

GIẢI NHANH TOÁN 12

SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1 Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x   ; v  v x C   ; : là hằng số

sinx cosx sinu u.cosu

 x 

x

2

1tan

 Nếu hàm số f x   và g x   cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f x      g x

cũng đồng biến (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu

    

f x g x

 Nếu hàm sốf x   và g x   là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f x g x     cũng đồng biến (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f x g x     , không là các hàm số dương trên K

Nếu  0 thì dấu của y cùng dấu hệ số a

Nếu  0 thì các em nhớ quy tắc xét dấu “ trong trái ngoài cùng”

   Đồng biến trên các khoảng   ; x1 và  x2;  ;

 Nghịch biến trên khoảng  x x1; 2

  0  Đồng biến trên

   Nghịch biến trên các khoảng   ; x1 và  x2;  ;

 Đồng biến trên khoảng  x x1; 2

  0  Nghịch biến trên

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

Trong đó, x1 x2 là các nghiệm của y trong trường hợp y có hai nghiệm phân biệt

a b Sự biến thiên của y

  0  y nghịch biến trên   ; 0 , đồng biến trên   ; 0 ;

   Nghịch biến trên các khoảng  ; 2b 

 không đổi dấu trên tập xác định Do đó:

 ad  bc  0  y đồng biến trên từng khoảng xác định;

 ad  bc  0  y nghịch biến trên từng khoảng xác định

2.2 Định điều kiện của tham số để hàm số yax3bx2cxd luôn đồng biến ( nghịch biến ) trên R

 Trường hợp: a = 0 ( nếu a chứa tham số) Khi đó 0, 0

cx d luôn đồng biến ( nghịch biến ) trên từng khoảng xác định

Bước 3: Lập luận cho các trường hợp

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định     y ' 0, x D ad  bc  0

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác địnhy'   0, x D ad bc 0

2.4 Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng (a;b)

Ví dụ: Cho hàm số yx3 1 2  m x 2 2 m x m   2 Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

CỰC TRỊ HÀM SỐ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

I CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA:

1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f x m   ax3 bx2 cx d

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

y 0 có hai nghiệm phân biệt vày đổi dấu qua 2 nghiệm đó

 phương trình y   0 có hai nghiệm phân biệt

Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P Từ đó giải ra tìm được mD2

Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m D1 D2

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

 phương trình y   0 có hai nghiệm dương phân biệt

y

B

S x x

A C

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

 phương trình y   0 có hai nghiệm âm phân biệt

y

B

S x x

A C

Thay x0 vào y’’

3 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

Cho 2 điểm A x y  A; A  , B x yB; B và đường thẳng  : ax by c    0.

Nếu  axA  byA  c ax  B  byB  c   0 thì hai điểm A B , nằm về hai phía so với đường thẳng 

Nếu  axA  byA  c ax  B  byB  c   0 thì hai điểm A B , nằm cùng phía so với đường thẳng 

Một số trường hợp đặc biệt:

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

hàm số có 2 cực trị cùng dấu

phương trình y   0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

 hàm số có 2 cực trị trái dấu

 phương trình y   0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

 phương trình y   0 có hai nghiệm phân biệt và y C Đ.y C T  0

Đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

 phương trình y   0 có hai nghiệm phân biệt và C T

CT C

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

 phương trình y   0 có hai nghiệm phân biệt và C T

CT C

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

 phương trình y   0 có hai nghiệm phân biệt và y C Đ.y C T  0

(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

phương trình hoành độ giao điểm f x    0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)

4 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

 



tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: ab 0

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH

Tổng quát:

b a

3 2

Tam giác ABC có diện tích SABC S0 a S3 2 b5

b a

a

2 3





0  2  0Tam giác ABC có độ dài AB AC n0 a n2 2 b4 ab

0

Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b2  2 ac

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3  8 a  4 abc  0

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b3  8 a  8 abc  0

Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC b k3. 2  8 ( a k2 4) 0 

Trục hoành chia tam giác ABC thành

4 2

Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b2  8 ac

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 Bước 1: Tính f x  và tìm các điểm x x1, , ,2 x n D mà tại đó f x  0 hoặc hàm số không có đạo hàm

+ Bước 2: Lập bảng biến thiên và rồi suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

 Bước 1:

 Hàm số đã cho y  f x   xác định và liên tục trên đoạn a b; 

 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n trên khoảng   a b ; , tại đó f x     0 hoặc f x   

 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x i ( ; )a b của phương trình

f x  ( ) 0  và tất cả các điểm i ( ; )a b làm cho f x  ( ) không xác định

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

+ Nếu y  f x   đồng biến trên a b;  thì    

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số y  f x xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

 a ;    ,  ; b  hoặc  ; ) Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận

ngang) của đồ thị hàm số y  f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

xlim ( ) f x y0, lim ( )x f x y0

2 Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị

hàm số y f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

x alim f ( x ) thì nhập f ( x ) và CALC x a 10 9 hoặc

ii Tìm các nghiệm của phương trình y '  0 và các điểm tại đó y ' không xác định

iii Xét dấu y ' và suy ra các khoảng biến thiên của hàm số

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

 Liệt kê các điểm đặc biệt ( điểm cực đại, điểm cực tiểu, tâm đối xứng,…)

 Xác định giao điểm của (C) với Ox, Oy (nếu có)

Bước 2 : Từ đồ thị  C đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị  C1 như sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị  C phía trên trục hoành Ox (do (1))

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị  C nằm phía dưới trục Ox (do (2))

 Bỏ phần đồ thị  C nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được đồ thị  C1

Ví dụ minh họa: vẽ đồ thị hàm số y x3 3x2

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

 Dạng 2: Từ đồ thị  C :y f x  C2 :y f x  (đây là hàm số chẵn)

Bước 1 : Ta có:  2      

khi 0 (1):

Bước 2 : Từ đồ thị  C đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị  C2 như sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị  C phía bên phải trục Oy(do (1))

 Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị  C nằm phía bên phải Oy (do tính chất của hàm chẵn)

 Bỏ phần đồ thị  C nằm phía bên trái trục Oy(nếu có), ta sẽ được đồ thị  C2

+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u x    0 của đồ thị   C : y  f x  

+ Bỏ phần đồ thị trên miền u x    0của   C , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox

  C  : y  x3  3 x

+ Giữ nguyên (C) với x  1

+ Bỏ (C) với x 1 Lấy đối xứng phần đồ

thị bị bỏ qua Ox

x y

(C)

(C')

1

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép

suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt

của (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT…

TIẾP TUYẾN

Cho hàm số y  f x  , có đồ thị (C).

1 Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 x y0; 0  ( ) C có dạng: y  y0  f    x0 x  x0 Trong đó:

 Điểm M0 x y0; 0  ( ) C được gọi là tiếp điểm ( với y0  f x 0 )

k  f ' x0 là hệ số góc của tiếp tuyến

2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số y  f x   , ( ) C và y  g x   , ( ') C

  C và   C  tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

Bài toán 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp.

Cho hàm số y  f x  , gọi đồ thị của hàm số là   C

Dạng 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   C : y  f x   tại M x y  o; o .

 Phương pháp

o Bước 1 Tính y f x suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k y x 0

o Bước 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị   C tại điểm M x y 0; 0 có dạng

o Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị  C :y f x 

và đường thẳng d y: ax b Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và   C

 Sử dụng máy tính:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d y: ax b

o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k y x 0 Nhập    

o Bước 2: Sau đó nhân với  X tiếp tục nhấn phím  f  x CALC X x o nhấn phím

 ta được b

 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hàm số   3 2

3 :

C y  x  x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị   C tại điểm

o Sau đó nhân với  X nhấn dấu  3 2

Ví dụ 3 Cho hàm số   1 4 2

4

C y x  x Phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm M có hoành độ x0  0, biết y    x0   1là

o Bước 1 Gọi M x y 0; 0là tiếp điểm và tính y f x

o Bước 2 Hệ số góc tiếp tuyến là k f ' x0 Giải phương trình này tìm được x0, thay vào

hàm số được y0

o Bước 3 Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

:

d y  y  f  x x  x

 Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

 Tiếp tuyến d // : yax b  hệ số góc của tiếp tuyến là ka

 Tiếp tuyến d   : y  ax b  ,  a  0   hệ số góc của tiếp tuyến là 1

k a

+ Với x0   2 y0  4 ta có tiếp điểm M 2; 4

Phương trình tiếp tuyến tại M là y9x   2 4 y 9x14

+ Với x0    2 y0  0 ta có tiếp điểm N2; 0

Phương trình tiếp tuyến tại N là y9x2  0 y 9x18

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y9x14 và y9x18 Chọn đáp án A

2

y x

+ Với x0   3 CALC X   3 nhấn dấu  ta được 14 d y: 3x14

Vậy phương trình tiếp tuyến là d y: 3x14 Chọn đáp án B

Dạng 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   C : y  f x   biết tiếp tuyến đi qua điểm A x  A; yA .

A x y d nên y A y x  0 x Ax0y0giải phương trình này ta tìm được x0

o Bước 3 Thế x0 vào () ta được tiếp tuyến cần tìm

 Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc tính toán tương đối mất thời

gian Ta có thể sử dụng máy tính thay các đáp án: Cho f x  bằng kết quả các đáp án Vào

MODE   nhập hệ số phương trình Thông thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ

hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án đó

 Ví dụ minh họa

Ví dụ Cho hàm số   3

C y  x  x Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến

đi qua điểm A1; 2 

A 9 7

.2

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

2

x  k Phương trình tiếp tuyến là y2 Chọn đáp án A

Dạng 4 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số   C1 : y  f x   và

  C2 : y  g x  

 Phương pháp

o Bước 1 Gọi d tiếp tuyến chung của     C1 , C2 và x0 là hoành độ tiếp điểm của d và

  C1 thì phương trình d có dạng y  f     x0 x  x0  f x  0   ***

o Bước 2 Dùng điều kiện tiếp xúc của d và   C2 , tìm được x0

o Bước 3 Thế x vào 0   *** ta được tiếp tuyến cần tìm

3.2

a x

Bài toán 2: Một số công thức nhanh và tính chất cần biết

Bài toán 2.1: Cho hàm số y ax b c 0, x d

   có đồ thị   C Phương trình tiếp tuyến

 tại M thuộc   C và I là giaođiểm 2 đường tiệm cận Ta luôn có:

 Nếu   IM thì chỉ tồn tại 2 điểm M thuộc 2 nhánh của đồ thị   C đối xứng qua I và

M

ad bc d x

(I) M luôn là trung điểm của AB(với A B , là giao điểm của  với 2 tiệm cận)

(II) Diện tích tam giác IAB không đổi với mọi điểm M và S IAB 2 bc ad2

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

M

bc ad IB

20;acx bcx bd

acx bcx bd OA

A Ứng dụng đồ thị trong biện luận số nghiệm của 1 phương trình

● Cơ sở của phương pháp là sử dụng đồ thị để giải phương trình (bất phương trình); nghĩa là

đã sử dụng tính trực quan sinh động của hình học, để nhận biết sự tương quan của phép toán

giao hai tập giá trị của các hàm y f x  và yg x  trong phương trình f x     g x *tương ứng với ẩn x trên TXĐ của  *

 Bước 1: Dựng đồ thị hàm số  C y:  f x (khi bài toán chưa sẵn có  C )

 Bước 2: Dựng đường thẳng d y g x:    Cơ bản mà nói ta nhận thấy sẽ xảy ra ba trường hợp

Ở đây trong chương trình học, ta chỉ xét trường hợp 1

Khi d y h m:   ; x d song song hoặc trùng với trục hoành

;

Ox m Tương ứng M sẽ di động trên toàn bộ trục tung Oy;m

 Bước 3: Dựa vào số giao điểm  C và d tương ứng với m ta kết luận số nghiệm của phương trình  *

Lưu ý:

● Nếu như phương trình đã cho ban đầu chưa có dạng

     *

f x g m thì ta phải dùng phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng

trong đó có một vế của phương trình là đồ thị  C y:  f x 

● Nếu trong phương trình biến đổi tương đương có xuất hiện điều kiện của ẩn x thì phải “xóa

đi phần đồ thị  C y:  f x  không chứa điều kiện trước khi biện luận tiếp

B Tương giao của hai đồ thị

, 0

y f x ax bx cx d a 

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ GIẢI TRẮC NGHIỆM

 Cho hai đồ thị  C1 :y f x   , C2 :y g x   Để tìm hoành độ giao điểm của    C1 ; C2

ta giải phương trình f x     g x * (gọi là phương trình hoành độ giao điểm) Số nghiệm của phương trình  * bằng số giao điểm của hai đồ thị

 Số giao điểm của đồ thị  C là hàm bậc ba với trục hoành bằng số nghiệm của phương

0 1

ax bx cx d 

 Một số dạng câu hỏi thương gặp:

1.1 Tìm điều kiện để đồ thị  C và trục hoành có 1 điểm chung duy nhất

 12

Lưu ý: nếu phương trình 3 2  

Số giao điểm của   4 2

pt co nghiem kep bang

pt co nghiem bang nghiem con lai am

pt co nghiem kep duong

pt co nghiem duong nghiem con lai am

t t a

III Sự tương giao của đồ thị hàm nhất biến

Bài toán thường gặp nhất chính là xét tương giao giữa  C :y ax b