BÍ QUYẾT XỬ LÝ NHỮNG CÂU TÍCH PHÂN “LẠ”

BÍ QUYẾT XỬ LÝ NHỮNG CÂU TÍCH PHÂN “LẠ” Trong các đề của Bộ GDĐT công bố (minh họa, thử nghiệm, tham khảo) có nhiều câu tích phân mà hàm dưới dấu tích phân không phải là biểu thức cụ thể. Với những câu tích phân này có nhiều bạn thấy “lạ”. Chúng ta sẽ cùng nhau biến “lạ” thành quen trong bài viết này. Cơ sở cho cách xử lí những tích phân này là: Phép biến đổi tích phân Công thức tính tích phân từng phần. Thủ thuậ t bác bỏ nhanh 1. Phép biến đổi tích phân Khi câu tích phân xuất hiện những biểu thức     ; f x f t x  ở giả thiết là dấu hiệu nhắc chúng ta đổi biến. Thí dụ 1. Câu 44. Cho hàm số   fx liên tục trên và thỏa mãn     2 2cos2x, . f x f x x       Tính   3 2 3 2 .I f x dx      A. 6. I  B. 0. I  C. 2. I  D. 6. I  (Đề của Bộ GD – ĐT công bố) Phân tích: Sự xuất hiện   fx  nhắc chúng ta đổi biến tx  . Giải Đổi biến tx  , ta có:          3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 .I f x dx f t dt f t dt f x dx J                          Ta có:           3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3 00 22 3 22 0 2 () 2 2cos2x 4 cos 4 cos cos 4 sin sin 12. I J f x dx f x dx f x f x dx dx x dx xdx xdx xx                                                Do đó: 6 I  nên chọn phương án D. Chú ý: Thực ra chỉ cần đến () là thấy hàm dưới dấu tích phân chỉ nhận giá tri ̣ dương và chỉ triệ t tiêu tạ i một số điểm với 33 ; 22 x      nên 0. I  Do đó chọn ngay phương án D mà không cần tính tích phân cụ thể như trên. Thí dụ 2. Câu 25. Cho   4 0 16.f x dx  Tính   2 0 2. I f x dx  A. 32. I  B. 8. I  C. 16. I  D. 4. I  (Đề của Bộ GD – ĐT công bố) Phân tích: Sự xuất hiện của   2 fx nhắc chúng ta đổi biến 2. tx  Giải Đổi biến 2, tx  ta có:           2 4 4 4 4 0 0 0 0 0 1 1 1 2 8. 2 2 2 2 t I f x dx f t d f t dt f t dt f x dx               Do đó chọn phương án B. Thí dụ 3. Câu 46. Biết hàm số 2 y f x     là hàm số chẵn trên ; 22      và   sin cos . 2 f x f x x x         Tính   2 0 .I f x dx  A. 0. B.1. C. 1 . 2 D. 1.  (Đề thi thử của BigSchool – Mã 001) Phân tích: Mộ t số bạn thấy xuất hiện 2 fx      nên đã đổi biến 2 tx   và bế tắc. Cái “bẫy” ở đây chính là điều này. Để ý giả thiết 2 y f x      là hàm số chẵn nên 22 f x f x                  với ; 22 x      và ta đổi bi

BÍ QUYẾT XỬ LÝ NHỮNG CÂU TÍCH PHÂN “LẠ”

Trong các đề của Bô ̣ GD-ĐT công bố (minh ho ̣a, thử nghiê ̣m, tham khảo) có nhiều câu tích phân mà hàm dưới dấu tích phân không phải là biểu thức cu ̣ thể Với những câu tích phân này có nhiều ba ̣n thấy “la ̣”

Chúng ta sẽ cùng nhau biến “la ̣” thành quen trong bài viết này Cơ sở cho cách xử lí những tích phân này là:

- Phép biến đổi tích phân

- Công thứ c tính tích phân từng phần

- Thủ thuâ ̣t bác bỏ nhanh

1 Phép biến đổi tích phân

Khi câu tích phân xuất hiê ̣n những biểu thức f x ;f t x   ở giả thiết là dấu hiê ̣u nhắc chúng ta đổi biến

Thí du ̣ 1

Câu 44 Cho hàm số f x  liên tu ̣c trên và thỏa mãn

3 2

3 2

I f x dx







A I  6 B I 0. C I  2 D I 6.

(Đề cu ̉a Bộ GD – ĐT công bố) Phân tích: Sự xuất hiê ̣n f  x nhắc chúng ta đổi biến t  x

Giải

Đổi biến t  x, ta có:

I f x dx f t dt f t dt f x dx J

Ta có:

3 2 2

0

2

(*)

I J f x dx f x dx f x f x dx









Do đó: I 6 nên cho ̣n phương án D

Chú ý: Thực ra chỉ cần đến (*) là thấy hàm dưới dấu tích phân chỉ nhâ ̣n giá tri ̣

dương và chỉ triê ̣t tiêu ta ̣i mô ̣t số điểm với 3 ;3

2 2

x   

  nên I 0. Do đó cho ̣n ngay phương án D mà không cần tính tích phân cu ̣ thể như trên

Thí du ̣ 2

Câu 25 Cho 4  

0

16

f x dx

0

I  f x dx

A I 32. B.I 8 C.I 16 D.I 4.

(Đề cu ̉a Bộ GD – ĐT công bố) Phân tích: Sự xuất hiê ̣n của f  2x nhắc chúng ta đổi biến t 2 x

Giải

Đổi biến t 2 ,x ta có:

t

I  f x dx f t d  f t dt  f t dt  f x dx

 

 

Do đó cho ̣n phương án B

Thí du ̣ 3

Câu 46 Biết hàm số

2

y  f x  

 là hàm số chẵn trên ;

2 2

 

 

và

2

f x  f x   x x



Tính 2  

0

I  f x dx



(Đề thi thư ̉ của BigSchool – Mã 001)

Phân tích: Mô ̣t số ba ̣n thấy xuất hiê ̣n

2

f x  

  nên đã đổi biến

2

t x 

và bế

tắc Cái “bẫy” ở đây chính là điều này Để ý giả thiết

2

y  f x  

  là hàm số chẵn

nên

f x   f  x 

2 2

x   

  và ta đổi biến hợp lí phải là:

2

t   x 

Giải

2

t   x 

ta có:

2

          

        



Ta có:

   

2

2 0 0

sinx cosx dx sinx cosx 2





Từ đó: I  J 1 nên cho ̣n phương án B

Thí du ̣ 4

Cho hàm số y  f x  liên tu ̣c trên thỏa mãn f   x 2017f x e x

Tính 1  

1

I f x dx



A

2

1

2018

e

I

e



 B I 0. C

2

1 2018

e I

e



 D I e2017.

Phân tích: Sự xuất hiê ̣n f  x nhắc chúng ta đổi biến t  x

Giải

Đổi biến t  x, ta có:



Do đó:

1 1

e

f x f x dx e dx e e





Suy ra

2

1 2018

e

I

e



 nên ta cho ̣n phương án A

Thí du ̣ 5

Biết rằng F x  là mô ̣t nguyên hàm của f x  thỏa mãn

  2017  

1



    Tính 2018  

0

I   xf x dx

A I 2018 B I 2017. C I 2019. D I 2016.

Phân tích: Sự xuất hiê ̣n của F x 1 nhắc ta đổi biến t x 1

Giải

Đổi biến t  x 1, ta có:



Lưu ý: F x'  f x  nên đă ̣t

 

u x

v F x





 

' 1 '

u

v f x





 

Áp du ̣ng công thức tích phân từng phần ta có:

 

2018 0

2018 2018

0

0

F

Do đó ta cho ̣n phương án B

Chú ý: Khi nhìn 2018   2018  

'

xf x dx xF x dx

  là ta thấy dấu hiê ̣u sử du ̣ng tích phân từng phần để tính I

2 Tính tích phân từng phần

Dấu hiê ̣u để chúng ta nghĩ đến sử du ̣ng công thức tính tích phân từng phần là hàm dưới dấu tích phân xuất hiê ̣n đa ̣o hàm của mô ̣t hàm nào đó

Thí du ̣ 6

Câu 23 Cho hàm số f x  có đa ̣o hàm trên đoa ̣n  1;2 , f  1 1 và f  2 2 Tính

 

2

1

I  f x dx

A I 1. B I  1. C I 3 D 7

2

I 

(Đề cu ̉a Bộ GD – ĐT công bố) Phân tích: Sự xuất hiê ̣n của f ' x dưới dấu tích phân nhắc chúng ta nghĩ đến công thức tính tích phân từng phần và đă ̣t u f x  La ̣i tiếp tu ̣c nhìn ở dưới dấu tích phân xem thừa số nào nhân với f ' x thì đó chính là v

Giải

1

u f x

v

 





' 0

u f x v

 





I  f x dxv u dxuv v udx f x  f  f   

Do đó ta cho ̣n phương án A

Thí du ̣ 7

Câu 38 Cho hàm số f x  thỏa mãn 1   

0

x f x dx

Tính 1  

0

I  f x dx

A I  12. B.I 8. C I 12. D I  8.

(Đề cu ̉a Bộ GD – ĐT công bố) Phân tích: Hàm dưới dấu tích phân của giả thiết xuất hiê ̣n f ' x và thừa số nhân với f ' x chính là x1  Từ đó ta nhâ ̣n ra ngay u và v để sử du ̣ng công thức tích phân từng phần

Giải

1

u f x

v x

 



 

' 1

u f x v

 





Ta có:

 

1 0

I  f x dxu v dxuv u vdx

   

1 1 0 0

Do đó ta cho ̣n phương án D

Thí du ̣ 8

Câu 46 Cho hàm số y  f x  thỏa mãn 2    

0

sin x f x dx f 0 1





Tính

 

2

0

cos '

I  x f x dx



A I 1 B I  1 C I 0 D I 2

(Đề thi thư ̉ của BigSchool – Mã 003)

Phân tích: Xuất hiê ̣n cos 'x f  x dưới dấu tích phân nhắc ta tính tích phân từng phần và đă ̣t u  f x  và vcos x

Giải

cos

u f x

 





' sin

u f x

 



 

Ta có:

 

2 0

2 2 0 0

I x f x dx v u uv u v dx

x f x x f x dx f









Do đó ta cho ̣n phương án C

Chú ý: Mô ̣t số chuyên gia nghi ngờ về giả thiết: 2    

0

sin x f x dx f 0 1





và có ý

kiến: “Nếu không có hàm số nào thỏa mãn giả thiết này thì cả 4 phương án đã cho đều sai!”

Đây đúng là điều mà tất cả những ai ra đề thi đều phải cẩn thâ ̣n khi tung ra các giả thiết về hàm số da ̣ng “ẩn” vì nếu hàm số đó không tồn ta ̣i thì các khẳng đi ̣nh về hàm số đó đều sai

Kinh nghiê ̣m cá nhân khi sáng tác các đề kiểu này nên lấy ra mô ̣t hàm số cu ̣ thể để khỏi lo sự không tồn ta ̣i Với đề thi tự luâ ̣n mà chứng minh hàm số không tồn ta ̣i thì là điều lí thú và bài toán vẫn tuyê ̣t vời nhưng với đề thi trắc nghiê ̣m, khi mà phải cho những phương án với những kết quả cu ̣ thể thì cần rất thâ ̣n tro ̣ng bởi không khéo đi từ giả thiết vẫn dẫn đến kết quả cu ̣ thể, giả thiết đã bao hàm giả sử hàm số tồn ta ̣i!

Để các ba ̣n chuyên gia đỡ “áy náy” xin chỉ ra hàm số cu ̣ thể thỏa mãn giả thiết của thí du ̣ 8, đó là hàm số y  f x 1 vớ i mo ̣i x (hàm không đổi) Khi đó f  0 1 và

2 0

sin x f x dx sinxdx cosx 1



Từ đó chúng ta còn đưa ra mô ̣t phương pháp đô ̣c đáo để có thể giải nhanh thí du ̣ 8 và nhiều bài toán trắc nghiê ̣m khác (sẽ trình bày ở phần cuối của bài viết)

Thí du ̣ 9

Câu 46 Cho hàm số y f x  với f  0  f  1 1 Biết rằng:

   

1

0

x

e f x  f x dxae b

Qa b

A Q0. B Q2. C Q1. D Q 2.

(Đề thi thư ̉ của BigSchool – Mã 002) Phân tích: Sự xuất hiê ̣n f ' x và e f x ' x nhắc chúng ta dùng tích phân từng phần với u f x v , e x

Giải

x

u f x

v e

 







 

 







Ta có:

1 0

1 0

x

x

e f x f x dx u v v u dx uv dx u v

e f x e f f e

Do đó a1;b 1 dẫn đến Q0 nên cho ̣n phương án A

Thí du ̣ 10

Câu 48 Cho   2017sin2017 2017

x

y f x

0

I x f x dx





2

I  

4

I  

D 3

4

I  

(Đề thi thư ̉ của BigSchool – Mã 004) Phân tích: Xuất hiê ̣n f ' x x f; ' x nhắc chúng ta dùng tích phân từng phần và

đă ̣t u  f x  và vx

Giải

Đă ̣t u f x 

v x

 





 

' ' ' 1

u f x v

 





2 2



 

2

f    

  )

Tính J bằng phép đổi biến

2

 

 

2017 0

2017 2

0

2

sin

t x

x







  

Nhâ ̣n thấy: 2 2

0

J K dxx 



4

  

I   

  

Do đó cho ̣n phương án C

3 Thủ thuâ ̣t bác bỏ nhanh

Ở phần trên khi bình luâ ̣n thêm về thí du ̣ 8, chúng ta đã mở ra mô ̣t phương pháp để

giải bài toán trắc nghiê ̣m nhanh Có thể go ̣i phương pháp này là “Thủ thuật bác bỏ nhanh” Đây cũng là cách mà người ta cũng dùng để bác bỏ mô ̣t điều khái quát nào đó bằng cách đưa ra mô ̣t phản thí du ̣ Bởi có mô ̣t chân lí là: “Muốn đúng với mo ̣i tình huống thì phải đúng với bất cứ trường hợp riêng nào!”

Trở la ̣i thí du ̣ 8, ta lấy y  f x 1 với mo ̣i x thỏa mãn các giả thiết về hàm

 

y f x mà bài toán đă ̣t ra Khi đó f ' x 0 với mo ̣i x nên

 

Loa ̣i tất cả các phương án A, B, D nên tất nhiên cho ̣n phương án C

Thí du ̣ 11

Hàm số y  f x  liên tu ̣c trên thỏa mãn: f   x f 2017x2016 x Tính

 

2017

1

I   f x dx

A

2

2017 1

2

B I 2016. C I 2017. D I 2018.

Phân tích: Với giả thiết “ít ỏi” ở trên gần như sẽ bế tắc về đường lối nếu như

chúng ta làm bình thường như mô ̣t bài tự luâ ̣n Chính tác giả khi ra đề toán này cũng chưa giải và cũng chưa đi tìm tất cả các hàm số y f x  thỏa mãn giả thiết

đã cho Nhưng vì là tác giả đề toán trắc nghiê ̣m nên cũng đã phải “thủ sẵn” mô ̣t hàm số cu ̣ thể để đề phòng hàm số mà mình “bi ̣a” ra cái giả thiết kia không tồn ta ̣i (!)

Giải

Cho ̣n y f x x với mo ̣i x thì f   x f 2017x  x 2017x2016x thỏa mãn giải thiết

2017 1

x

I  f x dx xdx  

Vâ ̣y các phương án B, C, D không thể đúng nên ta cho ̣n phương án A

Thí du ̣ 12

Cho hàm số y  f x  liên tu ̣c trên thỏa mãn f x  f x   1 e 1e x Tính

 

1

0

I  f x dx

A I  e 1. B.I e. C I  e 1 D I 0.

Phân tích: Giả thiết quá ít liên hê ̣ đến I nên con đường giải theo tự luâ ̣n sẽ quá khó khăn Với “Thủ thuật bác bỏ nhanh” ta nhìn vào đẳng thức của giả thiết để nghĩ ra

mô ̣t hàm số y f x  cu ̣ thể thỏa mãn đẳng thức này Chắc đo ̣c đến đây các ba ̣n cũng đã tự nghĩ ra

Giải

f x  f x e e  e e thỏa mãn giả thiết

0

I  f x dxe dxe  e

Chứng tỏ các phương án B, C, D không thể đúng nên cho ̣n phương án A

Thí du ̣ 13

Cho hàm số y  f x  thỏa mãn f sinx f cosx1 với mo ̣i x Tính

 

2017

0

I   f x dx

A

3

3

B

3

2017

3

I  C I 2017 3 D I  2 2017.

Phân tích: Hê ̣ thức f sinx f cosx1 khó mà liên hê ̣ với hàm số y f x 

trong đề toán tự luâ ̣n Nhưng con số 1 ở vế phải hê ̣ thức làm chúng ta nhớ đến hê ̣

sin xcos x1 ? Từ đây gợi ý tới mô ̣t hàm số y f x  cu ̣ thể thỏa mãn hê ̣ thức này

Giải

f x  f x  xc x thỏa mãn giả thiết

0

I   f x dx  x dx x 

Do vâ ̣y các phương án A, C, D không thể đúng nên ta cho ̣n phương án B

Thí du ̣ 14

Cho hàm số y  f x  thỏa mãn   2 

f x  f x  với mo ̣i x Tính  

0

I f x dx





A I 1 B I  1. C 2

2

I  D I 0.

Phân tích: Hê ̣ thức đã cho tương đương hê ̣ thức nào đã biết? Chúng ta “lu ̣c tìm” và

c x x Từ đó có ngay mô ̣t hàm số thỏa mãn giả thiết

Giải

Cho ̣n y f x cosx thì ta có hê ̣ thức 2

c x x

Ta có:   2 



Do đó các phương án A, B, C không thể đúng nên ta cho ̣n phương án D

Thí du ̣ 15

Cho hàm số y  f x  thỏa mãn f x  f  x với mo ̣i x Tính 2  

0

I f x dx





A I 1 B I 0. C I  1. D

2

I  

Phân tích: Với ma ̣ch suy nghĩ trên ta nhớ đến sinxsin x với mo ̣i x nên có

thể cho ̣n ngay hàm số y f x sin ,x dễ dàng thỏa mãn f x  f  x

0



Do đó các phương án B, C, D không thể đúng nên ta cho ̣n phương án A

Lời kết: Với đề toán trắc nghiê ̣m vẫn đòi hỏi các ba ̣n phải tư duy để cho ̣n phương

án đúng Không những thế, các ba ̣n phải sẵn sàng nhiều “vốn liếng” để tư duy nhanh

Với đề toán trắc nghiê ̣m, các phương án cho trước cũng là giả thiết rất quan tro ̣ng vì có khi chỉ cần thử mô ̣t chút là có những phương án đã bi ̣ loa ̣i

Chính vì vâ ̣y, từ toán tự luâ ̣n bước sang toán trắc nghiê ̣m không hề đơn giản, đă ̣c biê ̣t là ngay viê ̣c ra đề và sau nữa là cách da ̣y, cách ho ̣c

Hy vo ̣ng bài viết góp chút ít vào hành trang của những ngày cuối cùng, giúp các

ba ̣n có thể tự tin hơn để bước vào kì thi THPT Quốc Gia

Rất mong nhâ ̣n đươ ̣c nhiều trao đổi và tranh luâ ̣n của các ba ̣n

TS Lê Thống Nhất

Hiê ̣n nay, các câu trắc nghiê ̣m da ̣ng này đang rất ít Do đó, xin gửi thêm các ba ̣n

mô ̣t số bài tâ ̣p để luyê ̣n thêm

Bài 1 Cho hàm số y f x  liên tu ̣c trên Biết rằng 2  

ln

1 ln

e

e

f x

dx

3

0





1 2

f x

x

A I 2016. B I 2017. C I 2018. D I 2015.

Đáp số: Cho ̣n C

Bài 2 Cho hàm số y f x  liên tu ̣c trên thỏa mãn

  2016 2017 

0

I   f x dx

A I 2017. B I 1008,5. C I 2016. D I 2018.

Đáp số: Cho ̣n B

Bài 3 Cho hàm số y f x  liên tu ̣c trên thỏa mãn f  3x  f x f    2x

Tính 1  

0

I  f x dx

A I e. B I  e 1. C I  e 1 D I 1.

Đáp số: Cho ̣n C

Bài 4 Cho hàm số y f x  là hàm số chẵn trên  ;  Tính I sin x f x dx 





A I 2. B I 0. C I 1. D I  1.

Đáp số: Cho ̣n B

Bài 5 Cho hàm số y  f x  là hàm số chẵn, liên tu ̣c trên thỏa mãn

   2017 2

f x  f x  với mo ̣i x Tính 2017  

0

I   f x dx

A I 2 B I 0. C I 2018. D I 2017.

Đáp số: Cho ̣n D

Bài 6 Cho hàm số y  f x  liên tu ̣c trên thỏa mãn  

1

e

f x xdx

 

f e e Tính  

1

e

f x

x

A I  e 1. B I  e 1. C I 1 D I 0.

Đáp số: Cho ̣n B