Dáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễ

Trong luận án này, chúng tôitập trung vào một trong những vấn đề trung tâm của lí thuyết định tínhcác hệ vi phân tiến hóa, đó là dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức viphân không ô-tô-n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————— * ———————

NGUYỄN VĂN ĐẮC

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————— * ———————

NGUYỄN VĂN ĐẮC

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS Trần Đình Kế

PGS TS Cung Thế Anh

Hà Nội - 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướngdẫn của PGS TS Trần Đình Kế và PGS TS Cung Thế Anh Các kết quảđược phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bốtrong các công trình của các tác giả khác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Văn Đắc

Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích Khoa Toán-Tin, trườngĐại học sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chuđáo của PGS TS Trần Đình Kế và PGS TS Cung Thế Anh Tác giả xinbày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với hai Thầy, PGS.TS TrầnĐình Kế là người Thầy đã giảng dạy tác giả từ những ngày còn học đại học

và sau đó dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu được trình bày trong luận

án này, PGS.TS Cung Thế Anh đã đem đến cho tác giả những bài giảngđược chuẩn bị chu đáo, đầy cảm hứng và phương pháp làm việc khoa học.Những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của tậpthể hướng dẫn dành cho tác giả luôn là động lực chính giúp tác giả khôngnhững hoàn thành được luận án mà còn có những định hướng cho nghiêncứu tiếp theo

Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đạihọc, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặcbiệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên,tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đạihọc Thủy lợi, các đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệThông tin, Trường Đại học Thủy lợi đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp

đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luônyêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thànhluận án

Tác giả

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16

1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 16

1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG 18

1.3 LÍ THUYẾT NỬA NHÓM 21

1.4 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 23

1.4.1 Một số vấn đề về giải tích đa trị 23

1.4.2 Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động 26

1.5 TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG Ô-TÔ-NÔM ĐA TRỊ 27

Chương 2 TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN 30

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 30

2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN 30

2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 37

2.4 ÁP DỤNG 44

2.4.1 Phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm dạng đa diện 44 2.4.2 Hệ phương trình vi phân lưới 45

Chương 3 TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC

VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN 49

3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 49

3.2 TIÊU CHUẨN TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 49

3.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN 51

3.4 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 55

3.5 ÁP DỤNG 61

Chương 4 TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN 66

4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 66

4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU 66 4.2.1 Độ đo không compact trên BC(R+τ , X) 67

4.2.2 Sự tồn tại nghiệm phân rã 68

4.2.3 Tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường 79 4.3 ÁP DỤNG 80

Chương 5 TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH 86 5.1 ĐẶT BÀI TOÁN 86

5.2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ 87

5.3 TÍNH HÚT CỦA NGHIỆM TẦM THƯỜNG 87

5.3.1 Sự tồn tại nghiệm tích phân 87

5.3.2 Tính hút của nghiệm tầm thường 90

5.4 ÁP DỤNG 92

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO 98

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Bao hàm thức tiến hóa là mô hình cho nhiều bài toán khác nhau Xétbài toán sau đây trong lí thuyết điều khiển (xem [9])

Sự tương đương giữa hệ điều khiển và bao hàm thức vi phân tương ứng

là yếu tố then chốt để chứng minh các định lí tồn tại trong lí thuyết điềukhiển tối ưu Ở một hướng nghiên cứu khác, ta xét phương trình vi phân

là nghiệm Trong áp dụng, phương trình vi phân với vế phải không liên tục

là mô hình cho một số bài toán trong vật lí, kỹ thuật, sinh học và kinh tế.Các bài toán dạng này được Filippov nghiên cứu trong [37], ở đó kỹ thuậtchính quy hóa hàm phi tuyến ở vế phải dẫn đến các bao hàm thức vi phân

Ngoài ra, khi nghiên cứu các bất đẳng thức vi biến phân, một trong nhữngphương pháp hiệu quả là chuyển chúng về các bao hàm thức vi phân (xem[63]).

Có thể thấy rằng, bao hàm thức tiến hóa phát sinh từ các bài toán trongnhiều hướng nghiên cứu khác nhau, tiêu biểu là bài toán chính quy hóaphương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục, bài toán điềukhiển và một số bất đẳng thức vi biến phân Đối với các hệ tiến hóa mô tảcác bài toán thực tế trong sinh học, hóa học, kỹ thuật, kinh tế, trễ thờigian thường xuất hiện như một yếu tố tự nhiên, cho phép việc mô tả cácquá trình chính xác hơn Vì vậy, các bao hàm thức vi phân có trễ thu hútđược sự quan tâm của nhiều nhà toán học Trong luận án này, chúng tôitập trung vào một trong những vấn đề trung tâm của lí thuyết định tínhcác hệ vi phân tiến hóa, đó là dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức viphân không ô-tô-nôm có trễ, bao gồm sự tồn tại nghiệm tích phân, sự tồntại tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu và tính hút trong khoảng thờigian hữu hạn của nghiệm

Lí thuyết định tính các hệ vi phân trong không gian hữu hạn chiều(phương trình vi phân thường) đã được nghiên cứu từ đầu thế kỷ 20 và đãthu được những thành tựu quan trọng dựa trên lí thuyết ổn định Lyapunov(xem [32, 44]), trong đó phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ hiệuquả được nhiều nhà nghiên cứu sử dụng Ngoài ra, các phương pháp khácnhư phương pháp điểm bất động (xem [17]), phương pháp so sánh (xem[61]) cũng được lựa chọn để phân tích dáng điệu tiệm cận nghiệm Với cácbao hàm thức tiến hóa hữu hạn chiều, các cuốn chuyên khảo [9, 29] trìnhbày một cách hệ thống các kết quả về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm.Tuy nhiên, do tính chất không duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy chobao hàm thức vi phân, lí thuyết Lyapunov gặp nhiều khó khăn trong việcnghiên cứu tính ổn định nghiệm Khi đó, khái niệm ổn định yếu đã đượcFilippov đề xuất (xem [37]) và phương pháp hàm Lyapunov cải tiến đểchứng minh tính ổn định yếu cũng đã được xây dựng trong [1]

Trong khoảng hai thập kỷ qua, bao hàm thức vi phân trong không gianBanach tổng quát cùng những ứng dụng của nó đã và đang thu hút được sựquan tâm của nhiều nhà toán học, trở thành chủ đề nghiên cứu có tính thời

sự Có thể tìm thấy trong các cuốn chuyên khảo tiêu biểu [48, 49, 51, 68]những kết quả nghiên cứu có tính hệ thống Dựa vào lí thuyết nửa nhóm,các kết quả về tính giải được của các bao hàm thức tiến hóa đã được thiết

lập dưới nhiều điều kiện khác nhau (xem [25, 38, 62]) Để nghiên cứu tính

ổn định nghiệm, các công cụ như lí thuyết tập hút toàn cục hay lí thuyết ổnđịnh Lyapunov đóng vai trò quan trọng Lí thuyết tập hút toàn cục đượcxây dựng (xem [27, 67]) nhằm phân tích dáng điệu nghiệm của các hệ viphân ô-tô-nôm (autonomous) dưới góc nhìn hệ động lực, theo nghĩa có tồntại hay không một tập compact, bất biến và hút các quĩ đạo nghiệm Líthuyết này được phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả có tính hệthống cho cả hệ động lực đơn trị (xem [27, 42, 67]) và hệ động lực đa trị(xem [59, 60, 70]) Nói riêng với các hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hútđược phát triển với một số lược đồ nghiên cứu, như lược đồ nửa dòng suyrộng của Ball [11, 12], nửa dòng đa trị của Melnik và Valero [59] Hai cáchtiếp cận này đã được so sánh trong [23] Có thể tham khảo một số kết quả

về dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng đa trị đượcthiết lập trong [3, 4, 52, 70] nhờ ứng dụng lược đồ của Melnik và Valero.Ngoài ra, Chepyzov và Vishik [26] cũng phát triển lí thuyết tập hút quỹđạo để nghiên cứu dáng diệu của các hệ vi phân không duy nhất nghiệm

Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân không ô-tô-nôm(nonautonomous), lí thuyết tập hút đều và tập hút lùi được xây dựng cho

cả trường hợp đơn trị và đa trị (xem [19, 20, 21, 60]) Trong đó, phải kểđến những kết quả nghiên cứu quan trọng của Caraballo, Kloeden cùng cáccộng sự về tập hút lùi cho các hệ vi phân tất định và hệ vi phân ngẫu nhiênvới lược đồ thống nhất Gần đây, ở [28], các tác giả Zelati và Kalita đã đưa

ra một cải tiến đáng chú ý trong lược đồ nghiên cứu tập hút lùi, đó là giảmnhẹ tính liên tục (chỉ yêu cầu tính đóng) đối với hệ động lực và đưa ra tiêuchuẩn compact tiệm cận dựa trên độ đo không compact

Trong các lược đồ nghiên cứu về tập hút, bước then chốt để chứng minh

sự tồn tại tập hút toàn cục là kiểm tra điều kiện về tính compact tiệmcận của hệ động lực sinh bởi hệ Điều kiện này được thỏa mãn nếu nửanhóm sinh bởi phần tuyến tính là nửa nhóm compact Tuy nhiên, các hệ

vi phân đạo hàm riêng trong miền không bị chặn nói chung không thỏamãn điều kiện này, tức nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính không có tínhchất compact Trong trường hợp không gian pha là một không Hilbert táchđược, để kiểm tra điều kiện compact tiệm cận, ta có thể kiểm tra điều kiệnxấp xỉ hữu hạn chiều (flattening) (xem [28, 57, 75, 76]) Tuy nhiên, cáchnày không khả thi cho trường hợp hệ đạo hàm riêng có trễ khi không gianpha tương ứng có cấu trúc phức tạp hơn, theo nghĩa ta không thể tìm đượcmột cơ sở của không gian pha để có thể áp dụng điều kiện xấp xỉ hữu hạn

chiều Mục tiêu nghiên cứu đầu tiên của chúng tôi trong luận án này là xâydựng một số tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận của hệ động lựctrong tình huống kể trên.

Đề cập đến các khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov cho bao hàmthức vi phân, có thể thấy việc chứng minh tính ổn định theo phương pháphàm Lyapunov là khó áp dụng vì tính không duy nhất nghiệm của bài toánCauchy Do đó, các kết quả về tính ổn định cho các bao hàm thức vi phântheo nghĩa Lyapunov còn hạn chế Mục tiêu tiếp theo của chúng tôi là sửdụng cách tiếp cận điểm bất động ở [17] (trong nghiên cứu tính ổn địnhnghiệm cho các phương trình vi phân thường/vi phân hàm) để phân tíchdáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vôhạn trong không gian Banach tổng quát, trong đó tính ổn định tiệm cậnyếu của nghiệm tầm thường (nghiệm không) được xem xét

Theo một góc nhìn khác, mặc dù dáng điệu nghiệm của các hệ vi phânkhi thời gian đủ lớn đóng một vai trò quan trọng trong nhiều bài toán thựctiễn, có lịch sử nghiên cứu lâu dài và đạt được những kết quả có tính hệthống, dáng điệu nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn lại có vai trò quantrọng hơn trong các bài toán liên quan đến quá trình sinh-hóa (biochemicalnetworks), quá trình chuyển đổi tín hiệu (signal transduction), ở đó cácquá trình cần quan sát chỉ xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn Từ đó,hướng nghiên cứu hệ động lực thời gian hữu hạn đang thu hút được sự quantâm của nhiều nhà toán học Một số kết quả tiêu biểu theo hướng nghiêncứu này cho các hệ vi phân thường có thể tìm thấy trong các công trình[14, 33, 34, 35, 39, 55] Sử dụng các khái niệm về hệ động lực thời gian hữuhạn trong [39], chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính hút trong thời gianhữu hạn của các bao hàm thức tiến hóa nửa tuyến tính có trễ trong khônggian Banach, trong đó chúng tôi tìm kiếm các điều kiện chấp nhận được ápđặt lên phần tuyến tính và phần phi tuyến để có thể chứng minh một sốđiều kiện đủ cho tính hút của nghiệm tầm thường

Sau đây, chúng tôi trình bày một cách ngắn gọn về những nội dung nghiêncứu chính

Sử dụng lược đồ về tập hút lùi của Caraballo và Kloeden, chúng tôinghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho một số lớp bao hàm thức vi phân hàm

có trễ trong không gian Banach Cụ thể, trường hợp hệ có trễ hữu hạn,chúng tôi xét lớp bài toán sau

u0(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut), t ≥ τ, (1)

u(t) = ϕτ(t − τ ), t ∈ [τ − h, τ ], (2)trong đó hàm trạng thái u lấy giá trị trong không gian Banach tách được

X, A là một toán tử tuyến tính đóng và sinh ra nửa nhóm liên tục mạnhtrên X, F là một ánh xạ đa trị xác định trên R × X × C([−h, 0]; X), ut

là hàm trễ, tức là ut(s) = u(t + s) với s ∈ [−h, 0] Ký hiệu {U (t, τ, ·)}t≥τ

là hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh bởi hệ (1)-(2), tức là

U (t, τ, ϕτ) = {ut : u(·, τ, ϕτ) là một nghiệm tích phân của hệ (1)-(2)}

Liên quan đến kết quả về sự tồn tại tập hút lùi, đóng góp chính của chúngtôi là đề xuất cách kiểm tra tính compact tiệm cận của U theo cách chứngminh tính nén của toán tử GT,t = U (t, t − T, ·) trên C([−h, 0]; X) Đánglưu ý là cách tiếp cận này hiệu quả đối với các hệ có trễ bởi vì ta chỉ cầnkiểm tra các ước lượng độ đo không compact trên phần phi tuyến Điều nàyđược thể hiện rõ trong phần áp dụng cho hệ vi phân lưới có dạng

dui

dt (t) = ui+1(t) − (2 + α)ui(t) + ui−1(t) + fi(t, ui(t), ui(t − h)), t > τ,

(3)

ui(τ + s) = φτi(s), s ∈ [−h, 0], i ∈ Z, (4)trong đó u = (ui)i∈Z là hàm trạng thái, α > 0 và fi : R3 → R, i ∈ Z, là

các hàm liên tục Mô hình này phát sinh từ một số bài toán liên quan đến

xử lí ảnh, nhận dạng mẫu, kỹ thuật điện và một số lĩnh vực khác Ngoài

ra, nó cũng là kết quả của việc rời rạc hóa theo biến không gian của cácphương trình đạo hàm riêng Trong mô hình này, nửa nhóm sinh bởi phầntuyến tính không có tính chất compact và phần phi tuyến chỉ cần thỏa mãnmột số điều kiện về tăng trưởng

Trường hợp hệ có trễ vô hạn, chúng tôi xét lớp bài toán sau

u0(t) ∈ Au(t) + F (t, ut), t ≥ τ, (5)

uτ(s) = ϕτ(s), s ∈ (−∞, 0], (6)trong đó hàm u và toán tử tuyến tính A giống như trong trường hợp trễhữu hạn, F là ánh xạ đa trị xác định trên R × B, với B là không gian phakiểu Hale-Kato [45] sẽ được định nghĩa trong Chương 1

Một số kết quả nghiên cứu sự tồn tại tập hút trong trường hợp F là hàmđơn trị đã được công bố, chẳng hạn trong các công trình [16, 20] Mục đíchcủa chúng tôi là giải quyết trường hợp phần phi tuyến đa trị bằng cách sửdụng các ước lượng theo độ đo không compact Việc chứng minh sự tồn tại

nghiệm cho bài toán (5)-(6) là tương tự như đối với hệ có trễ hữu hạn Tuynhiên, khi nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi ta gặp một số khó khăn Cụthể là sự xuất hiện trễ vô hạn đã gây ra một số khó khăn về mặt kỹ thuậttrong việc chứng minh tính tiêu hao cũng như tính compact tiệm cận của hệđộng lực đa trị tương ứng Những khó khăn này xuất phát từ đặc điểm củakhông gian pha Trên không gian này ta không có các tiêu chuẩn về tínhcompact, đồng thời cũng không có mối quan hệ đủ tốt giữa độ đo khôngcompact trên không gian pha và độ đo không compact trên X như trongbài toán với trễ hữu hạn, dẫn đến việc các kỹ thuật sử dụng cho trường hợptrễ hữu hạn lại không khả dụng cho trường hợp trễ vô hạn Ở đây, chúngtôi đề xuất một tiêu chuẩn mới cho tính compact tiệm cận đối với hệ độnglực không ô-tô-nôm đa trị dựa trên tính co theo độ đo không compact, từ

đó chứng minh hệ động lực sinh bởi bài toán (5)-(6) có một tập hút lùi toàncục khi không gian pha được chọn là Cγ Kết quả ở phần này được áp dụngcho bài toán điều khiển với phản hồi đa trị sau

∂u

∂t(t, x) = ∆u(t, x) + f0(t, x, u(t, x)) + b(x)v(t), x ∈ Ω, t > τ (7)v(t) ∈

Bên cạnh việc sử dụng khái niệm tập hút lùi, chúng tôi cũng sử dụngkhái niệm ổn định tiệm cận yếu để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của hệ(5)-(6) theo cách tiếp cận lí thuyết điểm bất động Ký hiệu SOL(ϕτ) là tậpnghiệm ứng với dữ kiện đầu là ϕτ và giả sử rằng 0 ∈ SOL(0) Nghiệm tầmthường của hệ được gọi là ổn định tiệm cận yếu nếu nó thỏa mãn hai điềukiện

(i) ổn định, tức là với mọi  > 0, tồn tại số dương δ sao cho khi |ϕτ|B < δ

từ đó đưa ra một tiêu chuẩn compact trên không gian này để có thể khaithác nguyên lí điểm bất động cho các ánh xạ đa trị nén.

Kết quả lí thuyết được áp dụng cho bài toán điều khiển sau

ϕ ∈ C([−h, 0]; X) đóng vai trò là dữ kiện đầu

Mục tiêu của chúng tôi là đưa ra các điều kiện đủ cho tính hút của nghiệmtầm thường của (14)-(15) khi hàm phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyếntính Cuối cùng, chúng tôi áp dụng kết quả thu được cho hệ vi phân đạohàm riêng

2 Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân tiến hóanửa tuyến tính không ô-tô-nôm có trễ bằng lí thuyết tập hút lùi và lí thuyết

ổn định Cụ thể

1) Tìm các điều kiện đủ để kiểm tra tính chất compact tiệm cận của hệđộng lực đa trị sinh bởi các bao hàm thức vi phân chứa trễ hữu hạnhoặc vô hạn, từ đó chứng minh sự tồn tại tập hút lùi

2) Thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệmtầm thường của lớp bao hàm thức tiến hóa có trễ vô hạn

3) Xây dựng các điều kiện đủ cho tính hút trong thời gian hữu hạn củanghiệm tầm thường của lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính cótrễ hữu hạn

2.2 Đối tượng nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi xét hai lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyếntính không ô-tô-nôm trong không gian Banach tổng quát:

• Lớp thứ nhất: Bao hàm thức vi phân có trễ hữu hạn;

• Lớp thứ hai: Bao hàm thức vi phân có trễ vô hạn;

trong đó phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh và phần phituyến là hàm đa trị

2.3 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu được thể hiện thông qua các nội dung sau

• Nội dung 1: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức viphân không ô-tô-nôm với trễ hữu hạn và trễ vô hạn;

• Nội dung 2: Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho các bao hàm thức

vi phân nói trên;

• Nội dung 3: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầmthường đối với các bao hàm thức vi phân với trễ vô hạn;

• Nội dung 4: Nghiên cứu tính hút trong thời gian hữu hạn của nghiệmtầm thường cho bao hàm thức vi phân với trễ hữu hạn

3 Phương pháp nghiên cứu

◦ Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức vi phân, chúngtôi sử dụng lí thuyết nửa nhóm [64], các ước lượng độ đo không compact[15, 51], các công cụ của giải tích đa trị và định lí điểm bất động choánh xạ nén [51]

◦ Trong nghiên cứu về sự tồn tại tập hút lùi cho quá trình đa trị khôngô-tô-nôm, chúng tôi sử dụng lược đồ được đề xuất bởi Caraballo vàKloeden [20] Trong đó, chúng tôi thực hiện các ước lượng theo độ đokhông compact để thu được tính compact tiệm cận của quá trình đatrị

◦ Để nghiên cứu tính ổn định yếu của nghiệm tầm thường cho hệ vi phân

có trễ vô hạn và tính hút của nghiệm tầm thường cho hệ vi phân hàm,chúng tôi sử dụng nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén ứng với độ

đo không compact xây dựng tương tự trong [5] và kỹ thuật ước lượngtiên nghiệm

4 Cấu trúc và các kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và Tàiliệu tham khảo, luận án được chia làm năm chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lạicác khái niệm và kết quả được sử dụng trong các chương tiếp theo về

lí thuyết nửa nhóm, lí thuyết độ đo không compact, một số kiến thức

về giải tích đa trị và lí thuyết tập hút lùi cho quá trình đa trị

• Chương 2: Tập hút lùi cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễhữu hạn Trong chương này, chúng tôi chứng minh tính giải được và sựtồn tại tập hút lùi cho một lớp bao hàm thức vi phân hàm với trễ hữuhạn

• Chương 3: Tập hút lùi cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ

vô hạn Trong chương này, chúng tôi đưa ra một tiêu chuẩn về sự tồntại tập hút lùi cho một quá trình đa trị tổng quát Chứng minh tínhgiải được toàn cục của một lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ vôhạn và sự tồn tại tập hút lùi bằng cách sử dụng tiêu chuẩn nói trên

• Chương 4: Tính ổn định tiệm cận yếu cho bao hàm thức vi phân nửatuyến tính với trễ vô hạn Trong chương này, chúng tôi xét tính ổn định

tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân có trễ

vô hạn trên nửa trục Trước tiên, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại nghiệmphân rã của bài toán Sau đó, sử dụng kết quả thu được để suy ra tính

ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường

• Chương 5: Tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức

vi phân hàm nửa tuyến tính Chúng tôi xét hệ vi phân với biến thờigian thuộc tập compact cho trước và chứng minh nghiệm tầm thường

có tính hút và hút mũ

5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các kết quả thu được trong luận án góp phần làm phong phú thêm hướngnghiên cứu ổn định nghiệm cho các bao hàm thức vi phân có trễ trong trongkhông gian Banach tổng quát, có thể áp dụng cho nhiều lớp phương trìnhđạo hàm riêng phi tuyến cũng như các hệ vi phân thường có trễ

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trêncác tạp chí khoa học chuyên ngành (liệt kê ở mục "Danh mục công trìnhkhoa học của tác giả liên quan đến luận án"), 02 bài đã hoàn thành ở dạngtiền ấn phẩm

Các nội dung chính trong luận án đã được báo cáo tại:

1) Xê mi na của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sưphạm Hà Nội;

2) Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sưphạm Hà Nội, 2017;

3) Hội thảo "Vietnam-Korean workshop on selected topics in ics", Đà Nẵng, tháng 2 năm 2017

Mathemat-Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng ta ký hiệu (E, k · k) là một không gian Banach

và 2E là họ các tập con của E Ký hiệu

P(E) = {A ∈ 2E : A 6= ∅},

Pb(E) = {A ∈ P(E) : A là tập bị chặn},

Pc(E) = {A ∈ P(E) : A là tập đóng},Kv(E) = {A ∈ P(E) : A là tập lồi và compact},

Lploc(Ω) := {f : f ∈ Lp(K) với mọi tập compact K ⊂ Ω}

Ngoài ra, ta sử dụng các không gian hàm phụ thuộc thời gian sau:

• C([a, b]; E) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → E liêntục, với chuẩn:

kukC([a,b];E) = sup

t∈[a,b]

ku(t)kE

• Lp(a, b; E) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → E saocho

• Cτ := C([−τ, 0]; E), với τ > 0 cho trước

Không pha sau đây được sử dụng trong Chương 3 và Chương 4, không gianloại này được giới thiệu trong [45] Cho (B, | · |B) là không gian tuyến tính

có trang bị nửa chuẩn gồm các hàm từ (−∞, 0] vào E và giả sử các tiên

đề (B1)-(B4) phát biểu dưới đây được thỏa mãn

Nếu v : (−∞, σ+T ] → E, ở đó σ ∈ R và T là số thực dương, là một hàmsao cho v|[σ,σ+T ] ∈ C([σ, σ + T ]; E) và vσ ∈ B với vσ(s) = v(σ + s) khi s ∈(−∞, 0], thì ta có

(B1) vt ∈ B với t ∈ [σ, σ + T ];

(B2) hàm t 7→ vt là liên tục trên [σ, σ + T ];

(B3) |vt|B ≤ K(t − σ) sup{kv(s)k : σ ≤ s ≤ t} + M (t − σ)|vσ|B với mỗi

t ≥ σ, trong đó K, M : [0, +∞) → [0, +∞), K là hàm liên tục, M làhàm bị chặn địa phương và các hàm này độc lập với v;

(B4) tồn tại ` > 0 sao cho kφ(0)k ≤ `|φ|B, với mọi φ ∈ B

Một ví dụ điển hình cho không gian B là Cγ, được định nghĩa như sau

Cγ = {φ ∈ C((−∞, 0]; E) sao cho lim

θ→−∞eγθφ(θ) tồn tại trong E}

Nếu γ > 0 thì Cγ là không gian Banach với chuẩn xác định bởi

|φ|γ = sup

θ≤0

eγθkφ(θ)k

Trong trường hợp này K(t) = 1, M (t) = e−γt, với mọi t ≥ 0

Một ví dụ quan trọng khác là không gian CLpg, được đưa ra sau đây:

ở đó G : (−∞, 0] → R+ là bị chặn địa phương Nếu có (1.2)-(1.3), thì CLpg

thỏa mãn (B1)-(B4) với ` = 1 (xem [47]) Hơn nữa, ta có thể lấy

, G(−t)1p} với 0 ≤ t ≤ r,max{hR−r−t−r g(θ)dθi

1 p

, G(−t)p1} với t > r

(1.5)Một số ví dụ khác về không gian pha B được trình bày trong tài liệu thamkhảo [43, 47]

Ký hiệu P là không gian B hoặc Cτ và J = [σ, T ], T > σ, σ ∈ R cố

định Khi đó, đặt

Cφσ = {v ∈ C(J ; E) : v(σ) = φσ(0), với hàm cho trước φσ ∈ P},

ta được Cφσ là không gian con đóng của không gian C(J ; E) với chuẩn supnên Cφσ là không gian Banach

1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo không compact vàmột số ước lượng liên quan (xem [2, 51])

Định nghĩa 1.1 Hàm β : Pb(E) → R+ được gọi là một độ đo khôngcompact trong E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ Pb(E),

trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω Độ đo β được gọi là:

(i) đơn điệu nếu Ω1, Ω2 ∈ Pb(E), Ω1 ⊂ Ω2 kéo theo β(Ω1) ≤ β(Ω2);(ii) không suy biến nếu β({x} ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi x ∈ E, Ω ∈ Pb(E);

(iii) bất biến với nhiễu compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tập compact

tương đối K ⊂ E và Ω ∈ Pb(E);

(iv) nửa cộng tính β(Ω0 ∪ Ω1) ≤ max{β(Ω0), β(Ω1)} với mọi Ω0, Ω1 ∈

χ(B) = inf{ > 0 : B có một -lưới hữu hạn},

được gọi là độ đo không compact Hausdorff trên E

Dựa vào độ đo Hausdorff χ, ta đưa ra khái niệm độ đo rời rạc χ0 nhưsau:

với mọi tập bị chặn Ω ⊂ E Khi đó, ta có tính chất sau:

Mệnh đề 1.1 Xét χ là độ đo Hausdorff trong E và Ω ⊂ E là một tập bịchặn Khi đó, với mọi  > 0, tồn tại một dãy {xn} ⊂ Ω sao cho

Mệnh đề 1.2 ([51], Định lí 4.2.2) Nếu {wn} ⊂ L1(J ; E) bị chặn tíchphân, thì

Chứng minh Với  > 0, tồn tại một dãy {ξn} ⊂ D sao cho

Do  là bất kì, ta có điều phải chứng minh

Trong không gian tách được, ta có kết quả sau:

Mệnh đề 1.4 ([51], Định lí 4.2.3) Cho E là không gian Banach tách được.Nếu D ⊂ L1(J ; E) là bị chặn tích phân và

Giả sử L(E) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên E, tanhắc lại định nghĩa χ-chuẩn của một ánh xạ tuyến tính bị chặn T (xem[2]):

E nếu nó thỏa mãn:

(i) S(0) = I, I là phép đồng nhất trên E,

(ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0

Định nghĩa 1.4 Ta nói rằng toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửanhóm tuyến tính {S(t)}t≥0 nếu nó được xác định bởi:

Định nghĩa 1.5 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh(C0-nửa nhóm) nếu

lim

t→0+S(t)x = x,

với mọi x ∈ E

Định lí sau cho ta một điều kiện cần để toán tử tuyến tính A sinh ra một

là không gian các hàm liên tục đều và bị chặn trên R+ Họ toán tử {S(t)}t≥0

được xác định như sau:

S(t) : E → E(S(t)f )(s) = f (t + s), s ∈ R+

Khi đó {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm và toán tử sinh là toán tử đạo hàm

Af (s) = f0(s),

với miền xác định D(A) = {f ∈ E : f khả vi và f0 ∈ E}

Định lí 1.2 Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm Khi đó tồn tại cáchằng số ω ∈ R và M ≥ 1 sao cho

kS(t)k ≤ M eωt, với mọi t ≥ 0

Nếu ω ≤ 0, M = 1 thì {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm co

Định nghĩa 1.6 Cho {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm trên E Nửa nhóm

{S(t)}t≥0 được gọi là:

(i) ổn định mũ nếu tồn tại các số dương M, α sao cho

kS(t)k ≤ M e−αt, với mọi t ≥ 0;

(ii) compact nếu S(t) là toán tử compact với mỗi t > 0;

(iii) χ-giảm nếu tồn tại các số N, β > 0 sao cho

kS(t)kχ ≤ N e−βt, với mọi t ≥ 0;

(iv) liên tục theo chuẩn nếu t 7→ S(t) là liên tục với t > 0

Định nghĩa 1.7 Xét ∆δ = {z ∈ C : |arg z| < δ}, với 0 < δ < π

2.

Họ {S(z)}z∈∆δ∪{0} ⊂ L(E) được gọi là nửa nhóm giải tích nếu

(i) S(0) = I;

(ii) S(z + z0) = S(z)S(z0), với mọi z, z0 ∈ ∆δ;

(iii) z 7→ S(z)x liên tục tại mọi z ∈ ∆δ, với x ∈ E;

(iv) z 7→ S(z) là hàm giải tích trong ∆δ

Từ các định nghĩa, ta thấy rằng nếu C0-nửa nhóm S(·) ổn định mũ thì

χ-giảm Hơn nữa, nếu S(·) là compact thì S(·) là χ-giảm với β = +∞.Ngoài ra, nếu nửa nhóm {S(t)}t≥0 là khả vi, nửa nhóm compact hoặc nửanhóm giải tích thì {S(t)}t≥0 liên tục theo chuẩn (xem [36])

1.4 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

1.4.1 Một số vấn đề về giải tích đa trị

Trong mục này, chúng tôi trình bày về một số khái niệm và kết quả củagiải tích đa trị, chi tiết hơn có thể xem trong [51] Cho Y là một không gianmetric

Định nghĩa 1.8 Ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:

(i) nửa liên tục trên nếu F−1(V ) = {y ∈ Y : F (y) ∩ V 6= ∅} là tập conđóng của Y với mọi tập đóng V ⊂ E;

(ii) nửa liên tục trên yếu nếu F−1(V ) là tập con đóng của Y với mọi tậpđóng yếu V ⊂ E;

(iii) đóng nếu đồ thị ΓF = {(y, z) : z ∈ F (y)} là tập đóng trong Y × E;(iv) compact nếu F (Y ) compact tương đối trong E;

(v) tựa compact nếu ánh xạ hạn chế trên một tập con compact A ⊂ Y bất

kì là compact

Ta có kết quả sau về điều kiện nửa liên tục trên của một ánh xạ đa trị

Bổ đề 1.1 ([51], Định lí 1.1.12) Cho G : Y → P(E) là ánh xạ đa trịđóng, tựa compact và có giá trị compact Khi đó G nửa liên tục trên

Bổ đề 1.2 ([15], Mệnh đề 2) Cho E là một không gian Banach và Ω là mộttập khác rỗng của một không gian Banach X Giả sử rằng G : Ω → P(E)

là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, compact yếu Khi đó G nửa liên tục trên yếunếu và chỉ nếu {xn} ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn) kéo theo tồn tạidãy con của yn hội tụ yếu về y0 ∈ G(x0)

Sau đây nhắc lại khái niệm hàm chọn và nêu một số kết được dùng trongcác chương sau.

Định nghĩa 1.9 Hàm f : [a, b] → E, với [a, b] ⊂ R, được gọi là hàm chọn

đo được mạnh của hàm đa trị F : [a, b] → Kv(E) nếu f đo được mạnh và

f (t) ∈ F (t), với hầu khắp t ∈ [a, b]

Xét hàm đa trị F : J × E × P → Kv(E), thỏa mãn

(G)(1) t ( F (t, x, y) có một hàm chọn đo được mạnh với mỗi (x, y) ∈ E × P

và (x, y) ( F (t, x, y) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ J;

(G)(2) tồn tại các hàm không âm a, b ∈ L1(J ) và hàm g ∈ L1loc(R;R+) sao

cho

kF (t, x, y)k ≤ a(t)kxk + b(t)kykP + g(t), ∀x ∈ E, y ∈ P,

ở đây kF (t, x, y)k = sup{kξk : ξ ∈ F (t, x, y)} và kykP được hiểu lànửa chuẩn trong B hoặc là chuẩn sup trong C([−τ, 0]; E) của y

Cho v ∈ Cφσ, đặt

PF(v) = {f ∈ L1(J ; E) : f (t) ∈ F (t, v(t), v[φσ]t) với hầu khắp t ∈ J },

ở đó v[φσ]t là hàm trễ xác định như sau: v[φσ]t(s) = v[φσ](t + s), s ∈(−∞, 0] nếu P là B và s ∈ [−τ, 0] nếu P = C([−τ, 0]; E)

Ta có các kết quả sau về sự tồn tại hàm chọn và tính chất của PF

Mệnh đề 1.5 Giả sử (G)(1)-(G)(2) được thỏa mãn Khi đó PF(u) 6= ∅

với mỗi u ∈ Cφσ Ngoài ra, ánh xạ đa trị PF : Cφσ → P(L1(J ; E)) là nửaliên tục trên yếu và có giá trị lồi, compact yếu

Chứng minh Cho u ∈ Cφσ Lấy dãy các hàm bậc thang un sao cho un → u

và fn là các hàm đo được mạnh với fn ∈ PF(un) Ta thấy {fn(t)} ⊂C(t) := F (t, {un(t), un[φσ]t}), và C(t) là một tập compact với mỗi t ∈ J

do F (t, ·, ·) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ J Hơn nữa, từ (G)(2) ta

có dãy {fn} bị chặn bởi hàm khả tích Do vậy dãy {fn} compact tương đốiyếu trong L1(J ; X) (xem [30]) nên ta có thể giả sử fn * f Khi đó theoĐịnh lí Mazur tồn tại efn ∈ co{fi : i ≥ n} sao cho efn → f trong L1(J ; X)

và efn(t) → f (t) với hầu khắp t ∈ J, ít nhất là đúng với một dãy con Đểkết luận rằng f (t) ∈ F (t, un(t), un[φσ]t) với hầu khắp t ∈ J, ta lập luậnnhư sau Do F là hàm nửa liên tục trên với giá trị compact nên ta có:

F (t, un(t), un[φσ]t) ⊂ F (t, u(t), u[φσ]t) + B

với n đủ lớn,  > 0 cho trước và B là hình cầu tâm 0 bán kính  trong E

Do vậy: fn(t) ∈ F (t, u(t), u[φσ]t) + B với hầu khắp t ∈ J Do tính lồi của

F (t, u(t), u[φσ]t) + B bao hàm thức trên cũng đúng với efn(t) Từ đó suy

ra f (t) ∈ F (t, u(t), u[φσ]t) + B với hầu khắp t ∈ J Do  nhỏ tuỳ ý, ta có

f ∈ PF(u) Vậy PF(u) 6= ∅ Lập luận tương tự như trên nhưng thay cáchàm bậc thang bởi các hàm un trong Cφσ và sử dụng Bổ đề 1.2 ta có PF

nửa liên tục trên yếu với giá trị compact yếu

Định nghĩa 1.10 Dãy {fn} ⊂ L1(J ; E) được gọi là nửa compact nếu dãynày bị chặn tích phân và {fn(t)} ⊂ K(t) với hầu khắp t ∈ J, trong đó

K(t) ⊂ E, t ∈ J, là một họ các tập compact

Ta biết rằng nếu {fn} là một dãy nửa compact trong L1(J ; E), thì {fn}

compact yếu (xem [30, 51])

Cho A là một toán tử tuyến tính đóng và sinh ra nửa nhóm liên tụcmạnh {S(t)}t≥0 trên E Đặt

W(f )(t) =

Z t

σ

S(t − s)f (s)ds, với f ∈ L1(J ; E), (1.8)Toán tử W được gọi là toán tử Cauchy Ta có kết quả sau về W

L1(J ; E) bị chặn tích phân thì W(D) đồng liên tục trong C(J ; E), ở

đó toán tử W : L1(J ; E) → C(J ; E) được cho bởi (1.8) Ngoài ra, nếu

{fn} ⊂ L1(J ; E) là dãy nửa compact thì {W(fn)} compact tương đối trong

C(J ; E) Hơn nữa, nếu fn * f∗ trong L1(J ; E) thì W(fn) → W(f∗)

trong C(J ; E)

Chứng minh Phát biểu đầu tiên được chứng minh bằng cách kiểm tra trựctiếp Ta chứng minh phát biểu thứ hai Giả sử {fn} ⊂ L1(J ; E) là dãy nửa

compact Khi đó {fn(t)} ⊂ K(t) với K(t) là tập compact trong E, với hầukhắp t ∈ J, dẫn đến {fn(t)} compact tương đối với hầu khắp t ∈ J Ta có:

compact tương đối ta được W(fn) → W(f∗)

1.4.2 Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động

Lí thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén là công cụ cơ bản để chứng minh

sự tồn tại nghiệm cho các bài toán trong luận án Ngoài ra lí thuyết điểmbất động cũng được sử dụng để nghiên cứu tính ổn định của các hệ vi phântheo đề xuất của Burton và Furumochi [17, 18] Chi tiết hơn về ánh xạ nén

và các định lí điểm bất động cho ánh xạ nén, có thể xem trong [2, 51].Định nghĩa 1.11 Ánh xạ liên tục F : Z ⊆ E → E được gọi là một ánh

xạ nén theo độ đo β (β-nén) nếu với tập bị chặn Ω ⊂ Z, bất đẳng thức

β(Ω) ≤ β(F (Ω))

suy ra tính compact tương đối của Ω

Với β là một độ đo đơn điệu và không suy biến trong E, từ Hệ quả 3.3.1

và Mệnh đề 3.5.1 trong [51] ta có định lí điểm bất động sau

Định lí 1.3 Cho M là một tập con lồi, đóng, bị chặn của E và F : M →Kv(M) là ánh xạ đóng và β−nén Khi đó Fix(F ) := {x ∈ F (x)} là tậpkhác rỗng và compact

Nguyên lí điểm bất động sau đây được coi là hệ quả của Định lí 1.3.Định lí 1.4 Cho M là một tập con lồi, compact trong E và F : M →P(M) là một ánh xạ đa trị đóng với giá trị lồi Khi đó Fix(F ) là tập khácrỗng

1.5 TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG Ô-TÔ-NÔM ĐA

Cho D là một họ các hàm đa trị xác định trên R lấy giá trị trong Pc(E)

và có tính chất đóng với bao hàm thức, tức là: nếu D ∈ D và D0 là mộthàm đa trị sao cho D0(t) ⊂ D(t) với mọi t ∈ R, thì D0 ∈ D Họ D nhưvậy được gọi là một tập phổ quát (universe)

Định nghĩa 1.13 Hàm đa trị B ∈ D được gọi là tập D-hấp thụ lùi nếuvới mỗi D ∈ D, tồn tại một số T = T (t, D) > 0 sao cho

Nếu trong yêu cầu (iii) dấu bao hàm thức được thay bởi dấu bằng thì D-hútlùi toàn cục A được gọi là bất biến.

Với hàm đa trị D, ta định nghĩa tập ω-giới hạn lùi của D là một tập phụthuộc vào t như sau

Bổ đề 1.3 ([20]) Cho U là một hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị trên

E và là ánh xạ nửa liên tục trên, nói khác đi U (t, τ, ·) là nửa liên tục trênvới mỗi (t, τ ) ∈ R2d Giả sử rằng B là một hàm đa trị sao cho U compacttiệm cận đối với B, tức là với mỗi dãy sn → +∞ và t ∈ R, thì dãy bất kỳ

yn ∈ U (t, t − sn, B(t − sn)) là compact tương đối Khi đó với t ∈ R, tập

ω-giới hạn lùi Λ(t, B) là tập khác rỗng, compact và

lim

s→+∞distE(U (t, t − s, B(t − s)), Λ(t, B)) = 0,Λ(t, B) ⊂ U (t, s, Λ(s, B)), với mọi (t, s) ∈ R2d

Bổ đề này giúp ta có một điều kiện đủ cho sự tồn tại của D-hút lùi toàncục sau đây

Định lí 1.5 ([20]) Cho U là một hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị nửaliên tục trên xác định trên E, và B ∈ D là tập D-hấp thụ lùi đối với U saocho U là compact tiệm cận ứng với B Khi đó hàm đa trị A xác định bởi

lim

s→+∞distE(U (t, t − s, B(t − s)), A(t)) = 0, ∀B ∈ D,

tức là A(t) hút các tập không ô-tô-nôm So sánh giữa hai khái niệm nàytrong trường hợp hệ động lực không ô-tô-nôm đơn trị đã được công bố trong

[58] và trường hợp đa trị được công bố trong [66] Trong cả hai công trìnhnày, với một số giả thiết phù hợp, các tác giả đều đưa ra khẳng định: khitập phổ quát D chứa các họ dạng {B(t) = B, ∀t ∈ R : B là bị chặn} vàtồn tại cả hai tập hút lùi, thì tập hút lùi theo nghĩa thứ nhất là tập con củatập hút lùi theo nghĩa thứ hai Ngoài ta, nếu tập hút lùi theo nghĩa thứ hai

là bị chặn lùi thì hai tập hút trùng nhau

Nhận xét 1.2 Trong một công bố gần đây ở [28], Coti Zelati và Kalita

đã cải tiến phần lược đồ về tập hút lùi của hệ động lực không ô-tô-nôm đatrị theo khái niệm thứ nhất, trong đó tính liên tục của hệ động lực khôngô-tô-nôm đa trị được thay bằng tính đóng Trong lược đồ sử dụng khái niệmthứ hai, điều kiện về tính nửa liên tục trên của U có giảm nhẹ được haykhông vẫn còn là một vấn đề cần được nghiên cứu

Chương 2

TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC

VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu lớp bao hàm thức vi phânnửa tuyến tính không ô-tô-nôm trong không gian Banach với trễ hữu hạn.Bằng các ước lượng theo độ đo không compact, chúng tôi chứng minh tínhgiải được toàn cục và sự tồn tại tập hút lùi cho quá trình đa trị sinh bởi hệ.Chúng tôi đưa ra một cách chứng minh tính compact tiệm cận của hệ độnglực không ô-tô-nôm đa trị sử dụng độ đo không compact Phương pháp nàyhữu hiệu đối với các hệ vi phân mà nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tínhkhông có tính compact

Nội dung của chương này dựa trên bài báo số 1 trong Danh mục côngtrình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

cho trước, và ϕτ ∈ C([−h, 0]; X) là dữ kiện đầu

2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính giải được vàtính chất của nghiệm đối với hệ (2.1)-(2.2) trên đoạn J = [τ, T ]

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân, ta giả thiết

(A) Nửa nhóm S(·) sinh bởi A liên tục theo chuẩn

(F) Ánh xạ đa trị F : J × X × Ch → Kv(X) thỏa mãn

(1) t ( F (t, x, y) có một hàm chọn đo được với mỗi (x, y) ∈ X × Ch

và (x, y) ( F (t, x, y) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ J;(2) tồn tại các số không âm a, b và hàm g ∈ L1loc(R;R+) sao cho

kF (t, x, y)k ≤ akxk + bkykCh + g(t), ∀x ∈ X, y ∈ Ch,

ở đây kF (t, x, y)k = sup{kξk : ξ ∈ F (t, x, y)};

(3) Nếu nửa nhóm S(·) không có tính compact, thì tồn tại các hàm

p, q ∈ L1loc(R;R+) sao cho

Nhận xét 2.2 Với các giả thiết (A) và (F), ta được các kết quả trongMệnh đề 1.5 và Mệnh đề 1.6

Sau đây là định nghĩa về nghiệm tích phân của hệ (2.1)-(2.2)

Định nghĩa 2.1 Hàm u : [τ −h, T ] → X được gọi là nghiệm tích phân của

hệ (2.1)-(2.2) nếu u ∈ C([τ − h, T ]; X), u(t) = ϕτ(t − τ ) với t ∈ [τ − h, τ ]

và tồn tại hàm f ∈ PF(u|[τ,T ]) sao cho

u(t) = S(t − τ )ϕτ(0) +

Z t

τ

S(t − s)f (s)ds (2.3)với mỗi t ∈ [τ, T ]

Chúng ta định nghĩa toán tử đa trị F : Cϕτ → P(Cϕτ) như sau

Định lí 2.1 Giả sử (A) và (F) thỏa mãn Khi đó hệ (2.1)-(2.2) có nghiệmtích phân với mỗi dữ kiện đầu ϕτ ∈ Ch.

Chứng minh Phép chứng minh được chia thành ba bước

Bước 1 Ta tìm một tập lồi, đóng M0 ⊂ Cϕτ sao cho F (M0) ⊂ M0.Lấy z ∈ F (u), u ∈ Cϕτ Từ định nghĩa của toán tử nghiệm, ta có

ở đây kí hiệu co dùng để chỉ bao lồi đóng của một tập con trong Cϕτ Khi

đó Mk lồi và đóng Hơn nữa, do F (M0) ⊂ M0 và M0 là tập lồi đóng nên

với mỗi t ≥ τ Điều này xảy ra nếu

Từ (F)(2), suy ra PF(Mk) bị chặn tích phân Do đó, theo Mệnh đề 1.6,

F (Mk) là tập đồng liên tục với mọi k ∈ N Vì vậy M là tập đồng liên tục

Bước 3 Xét F : M → P(M) Để áp dụng nguyên lí điểm bất động chotrong Định lí 1.4, ta chỉ cần chứng minh F có đồ thị đóng Lấy {un} ⊂ M

với un → u∗ và vn ∈ F (un) với vn → v∗ Khi đó

vn(t) = S(t − τ )ϕτ(0) + W(fn)(t), fn ∈ PF(un) (2.6)

Sử dụng Mệnh đề 1.5, ta được PF nửa liên tục trên yếu Do vậy ta có

fn * f∗ trong L1(J ; X) và f∗ ∈ PF(u∗) Do F (t, ·, ·) nửa liên tục trên,

K(t) = F (t, {un(t), un[ϕτ]t}) là compact và {fn(t)} ⊂ K(t) với hầu khắp

t ∈ J Mặt khác, từ điều kiện (F)(2), ta thấy {fn} bị chặn tích phân

Vì vậy, theo Mệnh đề 1.6 thì ta được tính compact của {W(fn)} trong

C(J ; X) Chuyển qua giới hạn trong (2.6) để nhận được đẳng thức

v∗(t) = S(t − τ )ϕτ(0) +

Z t

τ

S(t − s)f∗(s)ds

với f∗ ∈ PF(u∗) Điều này nghĩa là v∗ ∈ F (u∗), định lí được chứng minh

Kết quả sau đây được chứng minh nhằm sử dụng cho việc chỉ ra sự tồntại của tập D-hút lùi của hệ động lực sinh bởi bài toán

Ký hiệu πT, T > τ, là toán tử cắt trên [τ, T ] tác động lên không gian

C([τ, +∞); X), tức là, với mỗi z ∈ C([τ, +∞); X), πT(z) là hạn chế củahàm z trên [τ, T ] Đặt

Σ(ϕτ) = {u ∈ C([τ, +∞); X) : u[ϕτ] là nghiệm tích phân

của hệ (2.1)-(2.2) trên [τ − h; T ] với mọi T > τ }

Ta thấy

πT ◦ Σ(ϕτ) = S(· − τ )ϕτ(0) + W ◦ PF(πT ◦ Σ(ϕτ)), (2.7)với mọi T > τ và πT ◦ Σ(ϕτ) = Fix(F ), với Fix(F ) tập điểm bất độngcủa toán tử nghiệm F của hệ (2.1)-(2.2) trong Cϕτ

Bổ đề 2.1 Với giả thiết của Định lí 2.1, πT ◦ Σ({ϕτ

Đặt Σ(t, τ, ϕτ) = πt ◦ Σ(ϕτ) Ta sẽ chứng minh Σ(t, τ, ·) nửa liên tụctrên trong Bổ đề dưới đây.

Bổ đề 2.2 Với các giả thiết (A) và (F)(1)-(F)(3), Σ(t, τ, ·) là nửa liêntục trên và có giá trị compact với mỗi (t, τ ) cho trước

Chứng minh Ta có Σ(t, τ, ϕτ) = πt◦ Σ(ϕτ) compact trong C([τ, t]; X) vớimỗi ϕτ ∈ Ch như trong Bổ đề 2.1, tức là Σ(t, τ, ·) có giá trị compact

Theo Bổ đề 1.1, chỉ còn phải chứng minh Σ(t, τ, ·) tựa compact và có đồthị đóng

Trước tiên, ta chỉ ra rằng Σ(t, τ, ·) là tựa compact Lấy K ⊂ Ch làmột tập compact và {zn} ⊂ Σ(t, τ, K), lấy một dãy {φτ

n) sao cho ξn hội tụ đến ξ∗ trong

Ch Lấy fn ∈ PF(ξn) sao cho:

ξn(r) = S(r − τ )ϕτn(0) + W(fn)(r), r ∈ [τ, t] (2.8)

Từ (F)(2) và {ξn} bị chặn, suy ra {fn} bị chặn tích phân Hơn nữa, K(r) =

F (r, {ξn(r), ξn[ϕτ

n]r}), r ∈ [τ, t], là tập compact và {fn(r)} ⊂ K(r) Vậy

{fn} là dãy nửa compact Áp dụng Mệnh đề 1.6, ta được fn * f∗ và

W(fn) → W(f∗) Qua giới hạn trong (2.8), thì

ξ∗(r) = S(r − τ )ϕ∗(0) + W(f∗)(r), r ∈ [τ, t]

Do PF nửa liên tục trên yếu, ta có f∗ ∈ PF(ξ∗) Vậy ξ∗ ∈ πt ◦ Σ(ϕ∗) Định

Trong phần này, ta giả thiết:

(A*) Nửa nhóm S(t) = etA liên tục theo chuẩn, ổn định mũ và χ-giảm, tức

là tồn tại các số N ≥ 1, α, β > 0 sao cho

kxk ≤ |kxk| ≤ Ckxk,

|kS(t)xk| = e−αtsup{eα(t+s)kS(t + s)xk : s ≥ 0} ≤ e−αt|kxk|

Trong mục này, ta xét trường hợp nửa nhóm S(·) là không compact Nếunửa nhóm S(·) là nửa nhóm compact thì chọn β = +∞.

Ký hiệu χC là độ đo không compact Hausdorff trên Ch Ta có các tínhchất sau của χC (xem [2]):

Mệnh đề 2.1 (Bất đẳng thức Halanay) Cho hàm liên tục f : [t0−h, T ) →

R+, t0 < T < +∞ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân hàm sau

f (s) và ` là nghiệm của phương trình γ = ` + νe`h

Sử dụng bất đẳng thức Hanalay, ta thu được tính nén của GT,t trong bổ