DSpace at VNU: Số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp

Số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp Nguyễn Thanh Hải Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Thạc sĩ ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn: GS.TSKH.. Nguy

Số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp

Nguyễn Thanh Hải

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Thạc sĩ ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số: 60.46.40

Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Năm bảo vệ: 2012

Abstract: Trình bày các kiến thức cơ bản về số phức và các tính chất liên quan như:

dạng đại số của số phức, biểu diễn hình học của số phức, dạng lượng giác của số phức, căn bậc n của đơn vị Trình bày các kiến thức về khai triển nhị thức và trình bày các

ứng dụng của số phức trong toán tổ hợp

Keywords: Số phức; Toán tổ hợp; Phương pháp toán sơ cấp

Content

Luận văn đề cập đến số phức, tổ hợp và ứng dụng của số phức trong toán tổ hợp

Luận văn trình bày chi tiết các vấn đề về số phức

1 Dạng đại số của số phức

2 Dạng cực của số phức

3 Biểu diễn hình học của số phức

4 Dạng lượng giác của số phức

5 Căn bậc n của số phức

6 Căn bậc n của đơn vị

Trong mỗi dạng biểu diễn của số phức trên, luận văn đưa ra các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia hai số phức; các tính chất làm nền tảng phát triển các bài toán ứng dụng trong tổ hợp Đặc biệt chú ý tới De Moivre:

cos sin , cos sin

n j

Luận văn trình bài các kết quả cơ bản về khai triển NewTon

1 Khai triển nhị thức NewTon

 

0

n

n k n k k

n k



 

2 Khai triển n thức

1 2

1 2

!

! ! !

n n

r

  

    

3 Các tính chất của khai triển nhị thức NewTon

Luận văn xây dựng các bài toán ứng dụng số phức trong giải toán tổ hợp Có 4 dạng toán được xây dựng

2

Dạng 1: Số phức với khai triển NewTon

1 Khai triển một nhị thức và cho ẩn x nhận những giá trị phức thích hợp Xây dựng những bài toán tính tổng Ví dụ:

Tính tổng

2012 2012 2012 2012

2012 2012 2012 2012

A B

    

    

2 Khai triển một nhị thức, đạo hàm (hoặc tích phân) hai vế, cho x nhận những giá trị phức thích hợp

Tính tổng

30 30 30

30 30 30

3 29

2 4 30

D E

   

   

3 Khai triển một nhị thức, cho x nhận những căn bậc 3 của đơn vị

Tính tổng

20 20 20 20

Dạng 2: Đẳng thức lượng giác

Bằng cách sử dụng công thức Moivre, ta có thể tạo ra những đẳng thức lượng giác mà dùng các công thức lượng giác thuần túy, rất khó khăn mới có thể chứng minh được

 

0

2

os 1 2 cos cos

n

n k

n





 



Dạng 3: Số phức ứng dụng trong logic hình thức với một số bài toán liên quan đến tổ hợp

Luận văn xây dựng những bài toán đếm số phần tử của một tập hợp có những tính chất đặc biệt

Dạng 4: Số phức giải các bài toán với phép đếm nâng cao

Luận văn xây dựng những bài toán đếm số phần tử của một tập hợp có những tính chất cụ thể, cho trước

References:

1 Phan Huy Khải (2008), Các phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm, tích phân và số phức, NXB Giáo dục

2 Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc, NXB Giáo dục

3 Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, Lê Bích Ngọc (2003), Các phương pháp giải toán giải tích

tổ hợp, NXB ĐHQGHN